(考試時間：80分鐘，應考班級：高二仁~信，共5個班)

(1)

國立高師大附中105學年度第2學期第二次段考高二數學科(自然組)試題

(考試時間：80分鐘，應考班級：高二仁~信，共5個班)

1、多重選擇題(每題至少有1個選項是正確的，未作答者不給分。每題7分，共4題，合計 28分。答錯1個選項給5分，答錯2個選項給2分，答錯3個選項以上不給分)

1. 空間中有三個相異平面 ¹ ² ³ , ,

E E E

。已知 ¹

E

與 ²

E

交於直線

5 2

: 3 2 2

x y z a

L

  

 

， ²

E

與

E

3

交於直線

5 1

: 4 3 2

x y a z M

    

，則下列敘述哪些是正確的？

(1) L 與 M 不一定有交點 (2) 若 L 與 M 有交點時，

^a ^{ } ⁵

(3) 若 L 與 M 有交點時，

交點坐標為



1, 2,1 (4) 可以唯一確定

 E 的平面方程式 (5) 無法唯一確定

²

E 的平面方

¹ 程式

2. 已知三元一次聯立方程式

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d

  

   

   

 代表空間中三平面的相交情形，其中

1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b c a b c a b c

 

，

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x

d b c d b c d b c

 

，

1 1 1

2 2 2

3 3 3

y

a d c a d c a d c

 

，

1 1 1

2 2 2

3 3 3

z

a b d a b d a b d

 

，則下列敘述哪些是正確的？

(1) 若      ，則_x _y _z 0

d

¹

d

² 

d

³ (2) 若0         ，則三平面交於_x _y _z 0 一線或三平面重合 (3) 若三平面交於一點，則  、  、^x  、^y  皆不為0 (4) 若三平^z 面交於一線，則        (5) 若三平面沒有共同交點，則_x _y _z 0

^{ } ⁰

且 , ,   其^x ^y ^z 中必有不為0者

3. 若將聯立方程組

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d

  

   

   

 的增廣矩陣經過一連串的列運算後可得矩陣

1 4 3 0 2 5 0 0

a b c d

 

 

  ，則下列敘述哪些是正確的？

(1) 若

^c ^ ⁰

，則方程組恰有一組解 (2) 若

^c ^ ⁰

且

^d ^ ⁰

，則方程組無解 (3) 若

^d ^ ⁰

，則方程組恆有解 (4) 若方程組有無限多解，則

^{c d} ^{ } ⁰

(5) 若方程組有解，則

^d ^ ⁰

4. 已知矩陣 , ,

A B C

皆為二階方陣，

^O

為二階零矩陣，

^{x R} ^

。則下列敘述哪些是正確的？

(1) 若

 ^{A B}

^



²

^{A B}

^



^²

^A

²^

^{AB B}

^ ²_{，則 AB BA}^ _{(2) 若}

^A

² ^

^B

²_{，則 A B}_{ 或 A B}_{ }

(3) 若

^{B C} ^

，則

^{AB CA} ^

(4) 若

^{A B O} ^{ }

，則

 ^{A B}

^



² ^

^A

²^²

^{AB B}

^ ²

(5)

^{AB xB}

^ ^

 ^{A x B}

^



【請翻頁繼續作答】

2、

(2)

填充題(不依題號順序，依答對格數給分，請參考分數對照表，共計72分)

格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 得分 7 14 21 28 35 40 45 50 55 60 63 66 69 71 72

1. 已知平面

E

包含直線

1 1 2

: 5 1 3

x y z

L

  

 

 ，且與平面

3

x

2

y z

  1 0

垂直，則平面

E

的方程式為。

2. 已知空間中一平面 :

E x

2

y z

 12及三點

^A 

^1,2,1



_，

^B 

^2,1,8



_，

^C 

^-3,3,9



_{。若 A 點在平}

面 E 上的投影點為 P ，則直線 AP 與直線

^BC

的最短距離為。

3. 空間中有兩個平行平面

E 與

¹

E ，已知此兩平面的 x 截距相差3， y 截距相差6， z 截距相

² 差9，則此兩平行平面間的距離為。

4. 已知 , , ,

a b c d R



，且聯立方程組

2

x

5

y

2

az b x ay z c

y az d

  

   

  

 的解的圖形為空間坐標中包含點



^{1, 1,0}^



_{的一條直線，則數對}

 ^{a b c d}

^{, , ,}



 (有兩解，全對才給分) 。 5. 空間中有

^O 

^0,0,0



_，

^A 

^{4, 4, 2}



_，

^B 

^{2, 1, 2}_{  ，}

 ^C 

^^{1, 2, 2}_{ 四點，若平面}



: 4 2

E x



y z k

 

恰好平分由 A

O

， B

O

， C

O

所張開的長方體體積，則

^k ^

。

6. 空間中相異兩點

A

、

B

皆在直線 : 1 1

2

L x a



y z

   

上，且

A

、

B

兩點也同時在平面

: 2 1

E x by z

   上，則

² ^a ^ ³ ^b ^

。

7. 空間中過

^A 

^{1, 2, 3}_{  ，}

 ^B 

^{1,0, 1} 兩點，且與平面 :

 E x y

  夾角為457 ^的平面方程式為。

8. 已知

xyz

 ，若3 60

x



y z

 9

x

2

y

5

z x

 8

y

5

z

，則

x

²

xy

10

z

的最小值為。 9. 已知

^O 

^0,0,0



為正六面體中的一個頂點，且

^A 

^1,1,0



_，

^B 

^^1,1,0



_，

C a b c 為此正六 

^{, ,}



面

體中與

^O

相鄰的三個頂點，則包含直線 AB 且與直線

^OC

平行的平面方程式為。

10. 已知

1 2

A

4 3

  

 ，

4 1

B

0 3

  

 ，

11 4

C a

b

 

  

 。若存在 ,

x y R



，使得

xA yB C

 

，則數對

  ^{a b}

^,  。

11. 已知

1 0 2 1 1 0 4

M

8 4 5

   

   

   ，

0 2 4 3 2 3 0

M

6 3 1

   

   

   ，則

2 4 6 8

M

 

  

  。

【請翻頁繼續作答】

12. 已知兩方程組為 3

x y u

x y v

  

  

 及

4 3 2

u v p u v q

 

  

 。若

, , ,

x y p q

四個未知數的關係式以矩陣

(3)

表示為

x p

M y q

   

   

   ，則矩陣

M



13. 已知矩陣

3 1

A

2 4

  

 ，且

2 3 3 1

A B

  

   

 ，則

A

2

BA



14. 已知

1 2

A

2 4

  

 ，則

3 3 2 7 2

A



A



A



I



15. 已知

3 1 1 5 0 0 1 3 1 0 0 1 1 3 0 0

a b e h

a c f i

a d g j

     

     

     

      ，則

a c e i

   

【試題結束】

(4)

國立高師大附中105學年度第2學期第二次段考高二自然組數學科答案卷

班號姓名

1、多重選擇題(每題至少有1個選項是正確的，未作答者不給分。每題7分，共4題，合計 28分。答錯1個選項給5分，答錯2個選項給2分，答錯3個選項以上不給分)

題號

1 2 3 4

答案

245 4 1234 14

3、填充題(不依題號順序，依答對格數給分，請參考分數對照表，共計80分)

格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 得分 7 14 21 28 35 40 45 50 55 60 63 66 69 71 72

題號

1 2 3

答案 5

x

4

y

7

z

23 3 5 18

7

題號

4 5 6

答案



^{2, 3, 1, 1}_{   或}



1 3 , 3, , 1 2 2

   

 

 

14

 18

題號

7 8 9

答案

^x ^ ¹

或

x

2

y

2

z

 1 5 2



y

1

題號

10 11 12

答案



^{ }^{1, 6}



¹² ⁴ ⁶

4 14 12

 

 

 

1 5 1 5

 

 

 

題號

13 14 15

答案 0 10

11 7

  

 

 

1 6 6 10

 

 

 

(考試時間：80分鐘，應考班級：高二仁~信，共5個班)