第八回 指數與對數(2)
首數與尾數
高中基礎數學統整講義
一、常用對數表(含線性內插法)、首數與尾數
1. 對數表對數表對數表對數表：：：：
將繁複的乘、除運算轉化為較簡易的加、減運算；
將複雜的根號(分數指數)運算轉化為較簡易的倍數運算。
※
※※
※2. 自然對數自然對數自然對數：自然對數：： ：
以無理數e=2.7182818...(又稱尤拉數)為底的對數稱為自然對數，為 Napier(納皮爾)所創，故 又稱為 Napier 對數，是最早定義的對數，可用來處理自然科學自然科學自然科學許多問題。一般以自然科學 ln 代替x
e x log 。 3. 常用對數常用對數常用對數常用對數：：：：
以 10 為底的對數稱為常用對數，為 Briggs(布里格斯)所創，故又稱為 Briggs 對數。一般以logx 代替log10 x。
4. 對數表用法對數表用法對數表用法對數表用法：：：：
(1)若 a 在1.00~9.99之間，則可直接查得log 之值(近似值)。 a
(2)若 a 不在1.00~9.99之間，則把 a 寫成科學記號科學記號科學記號科學記號 ：a=N×10n，其中1≤ N <10，n ∈Z， 再查 N 的對數值：
(i)若 N 是1.00~9.99的數字，則可直接查得 log N ，即可得 loga=n+logN。
(ii)若 N 不是1.00~9.99，則可利用表尾差表尾差表尾差表尾差 或 線性內插法線性內插法線性內插法線性內插法 求得 log N 之近似值，即可得 loga≈n+logN。
5. 線性內插法線性內插法線性內插法線性內插法：：：：
實數 x 的微小變量與其所對應之對數 y 的變化量 近似於成比例，亦即在微觀(很小的範圍)之下，
將對數函數圖形視為線性，如右圖：
【例題 1】(1)查對數表知：log 1.34 ≈ 0.1271，log 1.35 ≈ 0.1303，那麼 log 1.346 的近似值該是多 少(到小數第四位)？ [0.1290]
(2)由(1)之結果，試求102.1290之近似值(四位有效數字)。[134.6]
解：
【類題 1】已知 log 1.92 ≈ 0.2833，log 1.93 ≈ 0.2856，用線性內插法求 log1.927 的近似值(到小數 第四位)。[0.2849]
(2)由(1)之結果，試求10−2.7151之近似值(四位有效數字)。[0.001927]
解：
【例題 2】統計學家克利夫蘭對人體的眼睛詳細研究後發現：我們的眼睛看到圖形面積的大小與 此圖形實際面積的 0.7 次方成正比。例如：大圖形是小圖形的 3 倍，眼睛感覺到的只有 30.7 ( 約 2.16 ) 倍。觀察某國家地圖，感覺全國面積約為某縣面積的 10 倍，試問這個國家的實際面積 大約是該縣面積的幾倍？[(4)]
(1) 18 倍 (2) 21 倍 (3) 24 倍 (4) 27 倍 (5) 36 倍 【93 指考乙】
解：
【類題 2】聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特(W/m 2 )來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強 度為 I0＝10－12 (W/m 2)；當測得的聲音強度為 I(W/m2)時，所產生的噪音分貝數 d 為
d (I)＝10．log I I0 。
(1)一隻蚊子振動翅膀測得的聲音強度為 10－12 (W/m 2 ) ，求其產生的噪音分貝數。[0 分貝]
(2)汽車製造廠測試發現，某新車以每小時 60 公里速度行駛時，測得的聲音強度為 10－4 (W/m 2 )，試問此聲音強度產生的噪音為多少分貝？[80 分貝]
(3)棒球比賽場中，若一支瓦斯汽笛獨鳴，測得的噪音為 70 分貝，則百支瓦斯汽笛同時同地 合鳴，被測得的噪音大約為多少分貝？[90 分貝] 【93 指考乙】
解：
【例題 3】地震規模的大小通常用芮氏等級來表示。已知芮氏等級每增加 1 級，地震震幅強度約 增加為原來的 10 倍，能量釋放強度則約增加為原來的 32 倍。現假設有兩次地震，所釋放的 能量約相差 100,000 倍，依上述性質則地震震幅強度約相差幾倍？請選出最接近的答案。[(3)]
(1) 10 倍 (2) 100 倍 (3) 1000 倍 (4) 10000 倍 【94 指考甲】
解：
【類題 3a】在養分充足的情況下，細菌的數量會以指數函數的方式成長，假設細菌 A 的數量每 兩個小時可以成長為兩倍，細菌 B 的數量每三個小時可以成長為三倍。若養分充足且一開始 兩種細菌的數量相等，則大約幾小時後細菌 B 的數量除以細菌 A 的數量最接近 10？[(5)]
(1)24 小時 (2)48 小時 (3)69 小時 (4)96 小時 (5)117 小時 【95 學測】
解：
【類題 3b】已知在一容器中有 A，B 兩種菌，且在任何時刻 A，B 兩種菌的個數乘積為定值 1010。 為了簡單起見，科學家用 PA＝log (nA) 來記錄 A 菌個數的資料，其中 nA為 A 菌的個數。試問 下列哪些選項是正確的？[(2)(5)]
(1) 1 ≤PA≤10 (2) 當 PA＝5 時，B 菌的個數與 A 菌的個數相同
(3) 如果上週一測得 PA值為 4 而上週五測得 PA值為 8，表示上週五 A 菌的個數是上週一 A 菌個數的 2 倍 (4) 若今天 PA值比昨天增加 1，則今天 A 菌比昨天多了 10 個 (5) 假設科學家將 B 菌的個數控制為 5 萬個，則此時 5＜PA＜5.5 【97 學測】
解：
6. 科學記號科學記號科學記號科學記號：：：：
對任意正實數 a，恆可表成 a＝N×10n形式，其中 1 ≤ N＜10， n∈Z，稱為 a 的科學記號。
7. 首數與尾數首數與尾數首數與尾數首數與尾數：：：：
對任意正實數 a，將 a 的對數寫成 loga=n+logN，其中 n∈Z， 0≤logN < ，則 1 n 稱為對數log a 的首數， log N 為對數 log a 的尾數。
8. 首數與尾數的性質首數與尾數的性質首數與尾數的性質首數與尾數的性質：：：：
(1)設a=N×10n，則 loga=n+logN，其中 n∈Z， 0≤logN < ， 1
log 1
n≤ a<n+ ，如右圖：
(2)若a≥ 1 loga≥0， log a 的首數n ≥0，則有：
log a 的首數為 n⇔a的整數部份有n +1位數。
(亦即 a 的小數點往左移 n 位即可得 N)
(3)若 0<a< 1 loga<0， log a 的首數n= −k n( <0,k >0)，則有：
log a 的首數為 k− ⇔a的小數部份直到小數點後第 k 位才不為 0。
(亦即 a 的小數點往右移 k 位即可得 N)
(4)若兩大於 1 正數的整數位數相同，或兩小於 1 正數其小數點後第一個非 0 數字的位置相同 時，則此二正數的首數相同。
(5)若兩正數的有效數字相同，而後面 0 的個數或小數點位置不同時，則此二正數的尾數相同。
【例題 4】已知 log 3 ≈ 0.4771，log 7 ≈ 0.8451，試問：
(1) 340是幾位數？最高位數字為何？個位數字為何？[20，1，1]
(2) (3
7 )20在小數點後第幾位開始出現不為 0 的數字？該非 0 數字為何？[8，4]
解：
【類題 4】已知 log 2 ≈ 0.3010，log 3 ≈ 0.4771，試求：
(1) 2100是幾位數？最高位數字為何？個位數字為何？[31，1，6]
(2) 50－20表成小數時，在小數點後第幾位始出現非 0 的數字？該非 0 數字為何？[34，1]
(3)滿足(2
5 )n＜0.00001 的最小正整數 n 是多少？[13]
解：
【例題 5】試求下列各題中 x 之近似值：
(1)設log4.37=0.6405，log4.38=0.6415，logx =2.6412。[437.7]
(2)設log4.16=0.6191，log0.0417=−1.3799，logx=4.6200。[41,690]
解：
【類題 5】(1)已知log72800=4.8621，log0.000729=−3.1373，試求log7283000。[6.86228]
(2)設100.6776 =4.76，102.6785 =477，10 =x 4766，試求 x。[3.6781]
解：
【例題 6】數學教科書所附的對數表中，log 4.34＝0.6375，log 4.35＝0.6385。根據 log 4.34 和 log 4.35 的查表值以內插法求 log 4.342，設求得的值是 p，則下列哪一個選項是正確的？[(3)]
(1) p＝ 1
2 ( 0.6375＋0.6385 ) (2) p＝0.2×0.6375＋0.8×0.6385 (3) p＝0.8×0.6375＋0.2×0.6385 (4) p＝0.6375＋0.002
(5) p＝0.6385－0.002 【98 指考甲】
解：
【類題 6】在密閉的實驗室中，開始時有某種細菌 1 千隻，並且以每小時增加 8％的速度繁殖。
如果依此速率持續繁殖，則 100 小時後細菌的數量最接近下列哪一個選項？[(3)]
(1) 9 千隻 (2) 108 千隻 (3) 2200 千隻 (4) 3200 千隻 (5) 32000 千隻 【99 學測】
解：
【例題 7】下表為常用對數表 log 10 N 的一部分：
請問 103.032最接近下列哪一個選項？[(4)]
(1) 101 (2) 201 (3) 1007 (4) 1076 (5) 2012 【101 學測】
解：
【類題 7】已知 log 2≈0.3010，log3≈0.4771
(1)請以對數律計算 log 1.5(不必四捨五入) [0.1761]
(2)請以對數律計算 log ( 1.5 )60(不必四捨五入) [10.566]
(3)請問 ( 1.5 )60的整數部分是幾位數？請說明理由。[11 位數]
(4)請問 ( 1.5 )60的整數部分中，最左邊的數字是幾？請說明理由。[3] 【102 指考乙】
解：
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755
… … … … … … … … … … …
20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201
… … … … … … … … … … …
30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900
【例題 8】設 1＜x＜10，若 log x 與 log x3的尾數相等，試求 x 之值。[ 10 ] 解：
【類題 8a】設 a，b 均為正整數，800＜a＜900，b 為四位數，若 log a 之尾數為 log b 之尾數的 兩倍，試求 a，b 之值。[a＝841，b＝2900]
解：
【類題 8b】已知 1360為 67 位數﹐求13 的位數。[45] 40 解：
二、複利問題(含等比數列與等比級數)
1. 單利與複利單利與複利單利與複利單利與複利：：：：
設本金 p 元存入銀行，年利率為 r (例如 3％) (1)單利：
每年計息一次，t 年後的本利和 A＝p ＋ ( pr ) t＝p ( 1 ＋ rt ) (2)複利：
○1 每年計息一次，t 年後的本利和 B＝p ( 1＋r )t
○2 每年計息 k 次，t 年後的本利和 B＝p ( 1＋ r k )kt
【例題 9】小明為預籌孩子將來的教育經費，將手上的一百萬元存入銀行，年利率 5％，每年複 利計息一次。試問需經過多少年(取整數)後，本利和始達二百萬元？(log1.05 ≈ 0.0212) [15 年]
解：
【類題 9】接上例，若要本利和達本金的 3 倍，需經多少年？[23 年]
解：
【例題 10】小明每年年初每年年初每年年初將 10,000 元存入銀行，年利率 2％，每年複利一次，試問至少多少年(取每年年初 整數)後本利和才會超過 200,000 元？( log 1.02≈0.0086，log 1.42≈0.1523 ) [17 年]
解：
【類題 10】某人向銀行貸款 100 萬元，約定從次月開始每月每月每月每月還給銀行 1 萬元，依月利率 0.5％複 利計算，則某人需要幾年(取整數)才能還清？( log 1.005≈0.0021，log 2≈0.3010 ) [12 年]
解：
【例題 11】某公司為了響應節能減碳政策，決定在五年後將公司該年二氧化碳排放量降為目前 排放量的75%。公司希望每年依固定的比率(當年和前一年排放量的比)逐年減少二氧化碳的 排放量。若要達到這項目標，則該公司每年至少要比前一年減少 %的二氧化碳的排放 量。(計算到小數點後第一位，以下四捨五入。)[5.6] 【98 學測】
解：
【類題 11】小華準備向銀行貸款 3 百萬元當做創業基金，其年利率爲 3％，約定三年期滿一次 還清貸款的本利和。銀行貸款一般以複利 ( 每年複利一次 ) 計息還款，但給小華創業優惠改 以單利計息還款。試問在此優惠下，小華在三年期滿還款時可以比一般複利計息少繳 元。[8181] 【104 學測】
解：
【例題 12】半導體產業的摩爾定律認為「積體電路板可容納的電晶體數目每兩年增加一倍」。用 f ( t )表示從 t＝0 開始，電晶體數目隨時間 t 變化的函數，並假設 f ( 0 )＝1000。下面選項中，
請選出可以代表摩爾定律的公式。[(3)(5)]
(1) 若 t 以年為單位，則 f ( t )＝1000＋ 1000
2 t (2) 若 t 以月為單位，則 f ( t )＝1000＋ 1000 24 t (3) 若 t 以年為單位，則 f ( t )＝1000．( 2 )t
(4) 若 t 以年為單位，則 log f ( t )＝3＋
log ( 3t 2 ＋1 ) 2 (5) 若 t 以月為單位，則 log f ( t )＝3＋ log 2
24 t 【104 指考乙】
解：
【類題 12a】放射性物質的半衰期 T 定義為每經過時間 T，物質的質量會衰退成為原來的一半。
鉛製容器中有兩種放射性物質 A、B，開始記錄時容器中物質 A 的質量為物質 B 的兩倍，而 120 小時後兩種物質的質量相同。已知物質 A 的半衰期為 7.5 小時，請問物質 B 的半衰期為 幾小時？(1) 8 小時 (2) 10 小時 (3) 12 小時 (4) 15 小時 (5) 20 小時 [(1)] 【105 學測】
解：
【類題 12b】設 a，b，x 皆為正整數且滿足 a ≤ x ≤ b 及 b－a＝3。若用內插法從 log a，log b 求 得 log x 近似值為 log x ≈ 1
3 log a＋ 2
3 log b＝ 1
3 ( 1＋2 log 3－log 2 )＋ 2
3 ( 4 log 2＋log 3 )，則 x 的值為_________。[47] 【【【106 學測】【 】】】 解：
【例題 13】設a1, a2, a3, a4是一等比數列﹐其首項a >1 1且公比r >1﹒坐標平面上有一質點 M 自
原點(0, 0)出發﹐依以下規則連續移動四次：第一次移動往右log a1﹐第二次移動向上log a2﹒
第三次移動往右log a3﹐第四次移動向上log a4。已知經過這四次的移動後該質點 M 停在點 (1 log 2, 2)+ ﹐試求首項a1及公比 r。[a1=2,r= 5]
解：
【類題 13】已知滿足n 為31 35 位數的正整數 n 恰只有一個﹐試求 n 的值。[13]
( log 2 ≈ 0.3010﹐log3 ≈ 0.4771﹐log7 ≈ 0.8451) 解：
【例題 14】美 國 科 學 家 於 2 0 0 8 年 發 現 了 目 前 已 知 的 最 大 質 數 243112609− 。 若 一張1 A4 紙張可列印 3000 個數字﹐想印出此質數至少需要幾張 A 4 紙？在下列選項中﹐選出最接近 的張數。(1)3000 (2)3500 (3)4000 (4)4500 (5)5000 [(4)]
解：
【類題 14】下表是函數 f x( )=b+loga x的 4 個函數值：
試求：(1)函數 f x( ) [ f x( )= +5 log 2 x] (2)m +n [8]
解：
x 0.25 2 4 8
( )
f x m n 10 − m n + 4
