都市建設之淹水影響與改善措施評估研究－總計畫暨子計畫:都市雨水下水道功能與改善措施之評估研究(II)

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫

■ 成 果 報 告 □期中進度報告

都市建設之淹水影響與改善措施評估研究－總計畫暨子計畫:

都市雨水下水道功能與改善措施之評估研究(II)

Assessment of Urban development Impact on the Inundation

phenomena and its Improvement Measures(II)

計畫類別：□ 個別型計畫 ■ 整合型計畫

計畫編號：NSC 96-2625-Z-006 -002 -

執行期間：96 年 08 月 01 日至 97 年 07 月 31 日

計畫主持人：蔡長泰教授

共同主持人：

計畫參與人員：翁俊鴻

成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：□精簡報告 ■完整

報告

本成果報告包括以下應繳交之附件：

□赴國外出差或研習心得報告一份

□赴大陸地區出差或研習心得報告一份

□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份

□國際合作研究計畫國外研究報告書一份

處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研

究計畫、列管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢

□涉及專利或其他智慧財產權，□一年□二年後可公開查詢

執行單位：國立成功大學水利及海洋工程學系（所）

中 華 民 國 97 年 10 月 31 日

中文摘要

關鍵字：都市化影響、都市淹水模擬、雨水下水道模式、都市水流型制 都市中及其鄰近地區的新建設、改建、擴充等均將改變都市的水流型制，將會 增加淹水災損，故應評估都市建設對都市淹水及排水的影響，以研擬改善措施。主 要的都市建設為交通系統、土地開發利用、可暫蓄水空間、河海堤、雨水下水道、 水門與抽水站等。這些建設對都市地表逕流之水流型制的影響性相互關聯。 本計畫目的為：應用擬似定量流理論建立「緩坡雨水下水道系統模擬模式」，演 算豪雨發生時緩坡雨水下水道系統人孔水位，探討人孔豎井尺寸及降雨損失對於演 算結果之影響，藉以研發改進雨水下水道模式，應用於評估現況雨水下水道之功能 與改善措施之效益。 本計畫完成，可針對研究對象建立淹水措施改善方案，作為政策研訂之參考， 並可技術轉移推廣，作為推動都市建設之技術規範參考。

英文摘要

Keywords：Impact of Urbanization, Inundation Modeling of Urbanized Area, Storm Sewer Hydraulic Model, Urban Flow Regime.

Abstract

The urban flow regime may be changed due to a new construction in urban area and suburbs. Therefore, an assessment of the impact of changes in flow regime on the urban inundation and drainage is crucial for planning an efficient method both to improve the drainage facilities and to mitigate flooding damages.

The existing urban storm sewer hydraulic models will be evaluated and modified in this study to establish a suitable sewer model for assessment of the capacity of the urban sewer system in Taiwan. The results obtained from the established model can provide decision-makers guidance how to improve urban inundation phenomena.

目錄

中文摘要 ... 2  英文摘要 ... 3  目錄 ... 4  表目錄 ... 6  圖目錄 ... 7  第一章 前言 ... 9  1-1 研究背景與目的 ... 9  1-1.1 背景 ... 9  1-1.2 目的 ... 10  1-2 分年預期完成之工作項目及預期執行成果 ... 10  1-2.1 預期完成工作項目 ... 10  1-2.2 預期執行成果 ... 11  1-3 文獻回顧 ... 12  第二章 雨水下水道水理模式應用之比較 ... 27  2-1SWMM 水理模式 ... 27  2-1.1 雨水下水道水流基本方程式及數值方法 ... 27  2-1.2 地表逕流基本方程式 ... 29  2-1.3 街道側溝水流基本方程式 ... 30  2-2HYDROWORKS ... 30  2-2.1 管線水理模式(hydraulic model)之基本方程式 ... 30  2-2.2 地表逕流演算模式 ... 30 

2-3 雨水下水道水理模式之應用 ... 31  第三章 緩坡雨水下水道之流量律 ... 35  3-1 規則渠道之坡度 ... 35  3-1.1 矩形斷面規則渠道 ... 35  3-1.2 圓形斷面規則渠道 ... 38  3-2 格區間連續方程式 ... 41  3-3 格區間之流量律 ... 41  3-3.1 自由液面流況 ... 43  3-3.2 上游段局部滿管流況 ... 44  3-3.3 下游段局部滿管流況 ... 46  3-3.4 滿管流況 ... 46  第四章 緩坡雨水下水道系統模擬模式之建立 ... 48  4-1 格區水位演算 ... 48  4-2 涵管流量演算 ... 49  4-2.1 涵管兩端未浸沒 ... 49  4-2.2 涵管上游端浸沒，下游端未浸沒 ... 54  4-2.3 涵管上游端未浸沒，下游端浸沒 ... 58  4-2.4 涵管兩端浸沒 ... 60  4-3 雨水下水道系統之幾何條件、起始條件、邊界條件 ... 61  4-3.1 幾何條件 ... 61  4-3.2 起始條件與邊界條件 ... 62  4-4 演算流程 ... 63  第五章 緩坡雨水下水道系統模擬模式之應用與討論 ... 66 

5-1 封閉型邊界格區案例 ... 66  5-2 水位型邊界格區案例 ... 69  5-3 實例應用與討論 ... 70  5-3.1 地表淹水之格網佈置 ... 73  5-3.2 雨水下水道系統之佈置 ... 73  5-3.3 模擬區域之水文條件 ... 74  5-3.4 模擬結果與討論 ... 77  5-3.5 人孔容積之影響 ... 78  第六章 結論與建議 ... 80  6-1 結論 ... 80  6-2 建議 ... 81  研究成果自評 ... 82  謝誌 ... 82  參考文獻 ... 83 

表目錄

表1 雨水下水道網路模式水理性質簡介 ... 14  表2-1 水理模式校驗證成果 ... 34  表3-1 涵管之臨界坡度 ... 41  表5-1 設計案例各人孔資料 ... 67  表5-2 設計案例各涵管資料 ... 67 

圖目錄

圖1-1a 雨水下水道入口流況之種類[41] ... 17  圖1-1b 雨水下水道出口流況之種類[41] ... 17  圖1-1c 雨水下水道管內流況之種類[41] ... 18  圖1-2a 亞臨界流況下，上游水深固定時之輸水曲線[20] ... 19  圖1-2b 亞臨界流況下，下游水深固定時之輸水曲線[20] ... 19  圖1-3 亞臨界流之流量與上游及下游水深關係示意圖[20] ... 20  圖2-1 玉成抽水站系統之管線系統 ... 32  圖2-2 SWMM-模式及 HydroWorks 模式於玉成 9 監測站之演算水位與監測水 之比較，以及演算之流量、流速及水位之比較 ... 33  圖3-1 矩形斷面規則渠道之臨界坡條件 ... 38  圖3-2 矩形斷面規則渠道與寬廣渠道臨界坡度之比較 ... 38  圖3-3 圓形斷面渠道 ... 39  圖3-4 圓形斷面規則渠道與矩形斷面規則渠道臨界坡度之比較 ... 40  圖3-5 雨水下水道系統，i-格區與相鄰格區之關係示意圖 ... 42  圖3-6 雨水下水道人孔間之水流關係示意圖 ... 42  圖3-7 入口未浸沒，出口非自由跌流 ... 44  圖3-8 入口未浸沒，出口為自由跌流 ... 44  圖3-9 入口浸沒，出口未浸沒且非自由跌流 ... 45  圖3-10 入口浸沒，出口未浸沒且自由跌流 ... 45  圖3-11 入口未浸沒，出口為滿管流 ... 47  圖3-12 入口浸沒，出口為浸沒管 ... 47  圖4-1 渠流差分示意圖 ... 50  圖4-2 單一雨水下水道示意圖 ... 62 

圖4-3 模式演算示意圖 ... 64  圖4-4 流況判斷示意圖 ... 65  圖5-1 設計案例之雨水下水道示意圖 ... 66  圖5-2 設計案例之 1、2 號人孔入流歷線 ... 68  圖5-3 設計案例一各人孔與滯洪池演算之水位歷線 ... 68  圖5-4 設計案例一滯洪池進流歷線 ... 68  圖5-5 設計案例二之下游邊界條件 ... 69  圖5-6 設計案例二各人孔演算之水位歷線 ... 70  圖5-7 台南科學園區基地全區導覽圖 ... 71  圖5-8 台南科學園區 A 集水分區 ... 72  圖5-9 研究範圍網格佈置圖 ... 72  圖5-10 台南科學園區之 A 集水分區 ... 73  圖5-11 人孔與排水管線佈置示意圖 ... 74  圖5-12 民國 95 年凱米颱風之時雨量降雨資料 ... 75  圖5-13 道路格區水位歷線轉換流量歷線示意圖 ... 76  圖5-14 民國 95 年凱米颱風 A 滯洪池水位歷線 ... 76  圖5-15 民國 95 年凱米颱風 67 號人孔之演算及實測水位歷線 ... 77  圖5-16 考慮降雨損失後之降雨組體圖比較圖 ... 78  圖5-17 考慮降雨損失後之演算及實測水位歷線 ... 78  圖5-18 不同人孔豎井尺寸之演算及實測水位歷線 ... 79 

第一章

前言

1-1 研究背景與目的

本計畫為整合型研究計畫「都市建設之淹水影響與改善措施評估研究」之總計 畫，並執行整合型計畫之子計畫四「都市雨水下水道功能與改善措施之評估研究」。 本研究計畫之背景與目的說明如後。 1-1.1 背景 台灣人口日益集中於都市，也形成許多新興都市，也擴充都市，或都市中舊社 區更新改善，均有公私建設密集，時常增建及改建，以致不斷的有地形地貌的改變， 及增加不透水面積，也就常改變原有的水流型制(flow regime) ，日益增加淹水災損。 因此已必要針對不斷更新擴充的都市建設，評估對都市淹水及排水的影響，並 依據評估結果，研訂改善措施方案，進而評估改善方案對提升排水設施功能的效益， 以期確實改善都市地區的淹水現象。因此擬進行本整合型研究計畫─都市建設之淹 水影響與改善評估研究。 基於對台灣都市建設及淹水現象之認識，為改善都市淹水現象，在法制面上， 首要的是有一套評估各項建設對淹水水理影響之模式，也需能評估排水設施之功能 及效益。雖然目前已有一些有關淹水及排水的數學模式，但為能應用於評估都市建 設對淹水及排水之影響，應成立整合型研究計畫，加以研發改進： (1) 研析各種建設對都市地表逕流的影響機制，探討現有相關數學模式之適用 性； (2) 研發或改進可評估各種建設對都市地表逕流影響之數學模式； (3) 研究應用評估模式以研訂及評估淹水排水改善措施效益以作為制訂改善方 案之依據。 在都市雨水下水道的建設方面，因都市雨水下水道位於街道下，以收集街道兩 側社區、公園綠地等流進街道之水流，以維持交通順暢並減免淹水災損，因此都市 雨水下水道為都市重要公共建設，大都市的雨水下水道投資可遠超過河流防洪建設

之投資［Linsley,1992］。

目前已有許多都市與水下水道水理模式，大致可分為動力波模式（dynamic wave model），例如 SWMM-EXTRAN 模式（Roesner et al., 1988），ISS 模式（Sevuc and Yen,1982），CAREDAS 模式，UNSTDY 模式，MOUSE 模式，HYDRO-WORKS 模 式（L.W.Mays, 2004）；零慣性波模式（Noninertia Model），例如 HVM 模式， DAGVL-DIFF 模式（L.W.Mays,2004），NISN 模式（Pagliara.s. , and B.C.Yen , 1997） 等；以及非線性運動波模式（Nonlinear Kinematic Wave Model），例如 USGS 模式、 ILSD-B2，ILSD-B3，WASSP-SIM 模式，SWMM-TRANPORT 模式（L.W.Mays,2004）

等。以上各模式水理背景及數值方法列於表1。 雖然迄今起發展許多雨水下水道系統之水理模式，但在國內目前有所利用的為 SWMM 模式及 Hydro-Works 模式，因此本計畫亦將收集此二模式所曾應用過的重要 案例作一檢討分析，探討其優缺點及適用性，並據以改進研發模式，提供國內都市 與水下水道水理分析之利用。 1-1.2 目的 台灣都市建設不斷更新與擴充，不僅必要評估對淹水及排水的影響，更必要評 估提升排水設施功能的效益，以作為研訂改善都市淹水現象措施方案之依據。本計 畫「都市雨水下水道功能與改善措施之評估研究」之目的為經由檢討目前相關雨水 下水道之功能，以研發改進雨水下水道模式，應用於評估現況雨水下水道之功能， 及改善措施之效益。

1-2 分年預期完成之工作項目及預期執行成果

1-2.1 預期完成工作項目 本計畫原訂擬以三年完成都市建設之淹水影響評估之研究，預期之工作項目如 下： 第一年工作項目(已完成) 1. 整理雨水下水道設計規範。 2. 整理共同研究應用地區之人文、地文及水文資料。

3. 建立地理資訊系統，以利蒐集資料之交換應用。 4. 研發並改進定量流雨水下水道設計模式。 5. 進行定量流雨水下水道設計模之比較。 第二年工作項目(本年度執行項目) 1. 蒐集分析 SWMM-EXTRAN 模式及 Hydro-Works 模式在國內之既有應用案 例。 2. 研發變量流雨水下水道系統水理模式。 3. 進行定量流雨水下水道設計模式與變量流雨水下水道水理模式之比較。 4. 進行變量流雨水下水道水理模式之既有案例模擬比較。 5. 進行變量流雨水下水道水理模式之共同研究案例之初步模擬。 第三年工作項目 1. 進行研究案例實際豪雨之演算。 2. 進行不同模式演算結果之探討比較，以進一步改進模式。 3. 依據演算結果探討雨水下水道設計規範之改善建議。 4. 整理歸納研究成果研定研究區都市雨水下水道改善措施及效益評估。 1-2.2 預期執行成果 第一年預期成果(已完成) 1. 雨水下水道設計規範之彙整。 2. 整合型計畫地理資訊系統之建立。 3. 完成定量流雨水下水道設計模式之建議。 第二年預期成果(本年度預訂成果) 1. 完成 SWMM-EXTRAN 模式及 Hydro-Works 模式國內重要應用案例之比較檢 討。 2. 完成變量流雨水下水道系統水理模式之測試。

3. 完成定量流雨水下水道設計模與變量流雨水下水道水理模之功能比較，以利選 用。 第三年預期成果 1. 完成實際豪與案例之演算。 2. 完成研究模式之改進。 3. 完成雨水下水道設計規範之改善建議。 4. 研定都市建設對淹水影響之改善措施及效益評估方法。

1-3 文獻回顧

雨水下水道是道路下之排水路，將豪雨逕流從街道運送到鄰近的地面排水路或 自然水域，如江河溪澗湖海或人工滯洪區，以避免街道淹水之管路，為一種長涵洞。 涵洞原指橫向穿過道路，與車行方向垂直或斜交，使水流在道路、鐵路或堤防下通 過之水路。雨水下水道與車行方向平行，也稱之為涵洞，並依其斷面形狀區分成箱

涵(box culvert，矩形斷面)與管涵(pipe culvert，圓形斷面)。

典型之雨水下水道研究可分為三類型：水理分析、水工試驗，以及數值模擬演 算模式。 涵洞之水理現象可能受到入口之幾何形狀、涵洞之坡度及斷面形狀與大小、涵 洞內面之糙度、上游水位及尾水狀況等影響，且可因上、下游水位之不同而有管流 型、閘流型、堰流型等三種不同之流動型態[17,18]。 Yen(1986)[42]將雨水下水道依入口(entrance)、出口(exit)及管內水流(pipe flow)，分為三區(region)進行水理分析。 入口處之水流流況如圖1-1a 所示，依入口處之水位與臨界水深區分成：入口未

潛沒(non-submerged entrance)時之亞臨界流入口(case Ⅰ)及超臨界入口(case Ⅱ)、入 口潛沒(submerged entrance)時之閘流型(case Ⅲ)及潛沒滿管流(case Ⅳ)等四種流況。 閘流型之管內前端可能形成空氣袋(air pocket)，即入口段有自由液面產生。case Ⅰ

受下游控制，case Ⅱ受上游控制，case Ⅲ可為亞臨界流況、超臨界流況或過渡 (transitional)流況。

出口處之水流流況如圖1-1b 所示，依入口處之水位區與臨界水深分成：出口

未潛沒(non-submerged exit)之自由跌流(case A)、連續流(case B)及水躍(case C)，以 及出口潛沒(submerged exit)之滿管出流(case D)等四種流況：case A 之下水道流況為

出口控制；case B 之下水道流況則視當時流況而定，若為亞臨界流況則為下游控制，

若為超臨界流況則上游控制；case C 之下水道流況，若匯流後水面為下游控制，則 下水道水流為上游控制；case D 之下水道流況，下水道流況常為下游控制，亦可由 上游及下游控制。

表1 雨水下水道網路模式水理性質簡介 水 力 性 質 明渠流 內邊界 滿管流 模式 數值方法 參數 Sf 雨 水 下 水 道 之下游條件 解法 滯 留 蓄水 方程式 (備註) 轉變條件 滿管水力學 數值解法 動 力 波 模 式 SWMM- EXTRAN 顯式法 y , Q 曼寧公式 匯 流 水 位 或_假設條件 單掃 _{ㄧ管ㄧ管算} 是 (1)、(3) 進入一匯流_{井之各管均} 滿或最高的 進入管潛沒 假設調整因子， 超量水損失， 利用含匯流水頭 之明渠方程式 顯 示 法 ， ㄧ 管 接 ㄧ 管 的 單 掃 法求解 ISS 特性法 y , v 達西-維斯 巴公式 匯 流 水 位 或 臨界水深 聯立求解 (重疊段法) (ㄧ管接ㄧ管 算) 是 (1)、(4) 或 (2)、(3) 無 無 CAREDAS 四點隱 式法 y , Q 謝希或 曼寧公式 匯流水位 聯立求解 (雙掃法) 是 (1)、(3) y d >0.91 普理斯曼長裂縫 UNSTDY 四點隱 式法 y , Q 曼寧公式 匯 流 水 位 或 下射式水門 同上 是 (1)、(5) 或 (2)、(3) 未說明 同上 MOUSE 六點隱 式法， W=0.5 y , Q 同上 匯流水位或 同上 是 (2)、(3) 未說明 同上 HYDRO- WORKS/ SPIDA 四點隱 式法 y , Q 可布魯克-懷 特 或 曼 寧公式 匯 流 水 位 或 臨界水深 同上 是 (1)、(5) 或 (2)、(3) 同上

表1 雨水下水道網路模式水理性質簡介(續) 水 力 性 質 明渠流 內邊界 滿管流 模式 數值方法 參數 Sf 雨 水 下 水 道 之下游條件 解法 滯 留 蓄水 方程式 (備註) 轉變條件 滿管水力學 數值解法 零 慣 性 波 模 式 HVM y , Q 可布魯克 - 懷 特 公 式 匯 流 水 位 或 臨界水深 ㄧ 管 接 ㄧ 管 求解 無 (2)、(3) 標準壓力管流 DAGVL- DIFF 隱式法， _六點之連 續方程式 四點之動 量方程式 W=0.5 y , Q 曼寧公式 匯 流 水 位 或 臨界水深 聯立求解 (雙掃法) 是 (2)、(3) 或 (1)、(5) 普理斯曼長裂縫 MOUSE 六點隱 式法， W=0.5 y , Q 曼寧公式 匯流水位 聯立求解 (雙掃法) 是 (2)、(3) 普理斯曼長裂縫 NISN 四點隱 式法 y , Q 同上 匯 流 水 位 或 臨界水深 聯立求解 (重疊段法) 是 (1)、(5) 或 (2)、(3) 同上

表1 雨水下水道網路模式水理性質簡介(續) 水 力 性 質 明渠流 內邊界 滿管流 模式 數值方法 參數 Sf 雨 水 下 水 道 之下游條件 解法 滯留蓄水 方程式 (備註) 轉變條件 滿管水力學 數值解法 非 線 性 運 動 波 模 式 USGS 顯式法 A, Q 曼寧公式 非 線 性 運 動 波。分段(二源 流 井 間 為 一 段)求解 是 (1) Q>Q_f Q=Q_f ㄧ 管 接 ㄧ 管 求解 ILSD-B2 四點隱 式法 y , Q 同上 同上 無 (2) 無 無 無 ILSD-B3 同上 y , Q 同上 麥斯根-康居 分段求解 無 (2) 無 無 無 WASSP- SIM 擬似 _顯式法 y , Q 達 西 - 維_斯巴及可 布 魯 克 -懷特公式 麥斯根-康居 (ㄧ管接ㄧ管) 是 (1) Q>Q_f 或 假設潛没條 件 變量流動立 方程式。計 算匯流水頭 及 能 量 損 頭。 隱 式 法 聯 立，鬆弛法。 SWMM- TRANSPO RT 四點隱 式 法 ， W=0.55 A, Q 曼寧公式 單 掃( ㄧ 管 接 ㄧ管) 若非蓄水 箱就不蓄 水 若非蓄 水箱， (1) f Q Q> Q=Q_f ㄧ 管 接 ㄧ 管 求解 備 註 ∑ =Q ds dt……(1)， ∑ = 0Q …….(2)， hi =h0……(3)， h H

(

v 2g

)

2 0 = − ……. (4)， h0 =H −

(

kv2 2g

)

……….(5)

(a) caseⅠ (b) caseⅡ

(c) caseⅢ (d) caseⅣ

圖1-1a 雨水下水道入口流況之種類[42]

(a) case A (b) case B

(c) case C (d) case D

圖1-1b 雨水下水道出口流況之種類[42]

依據上述之入口及出口流況，雨水下水道內流況可能完全或部分為亞臨界流、

(a) subcritical (b) supercritical (c) subcritical to supercritical

(d) supercritical to subcritical (e) supercritical jump to surcharge

(f) supercritical to surcharge

(g) subcritical to surcharge (h) surcharge to supercritical (i) surcharge to subcritical

(j) surcharge

圖1-1c 雨水下水道管內流況之種類[42]

雨水下水道在明渠水流狀態之輸水能力方面，當兩人孔或匯流井銜接一下水道

管涵，若管內流況為明渠水流時，則類似連接兩水庫間之管道輸水問題(delivery of a canal connects two reservoirs)，或稱兩湖問題(the two-lake problem)[Chow, 1959； Hendersen, 1966]。Bakhmeteff[23]分析明渠亞臨界流的兩湖問題，指出輸水能力因上 下游水位間之差異而有所不同，並畫出上下游不同水位下之輸水曲線(delivery curve)，如圖 1-2a 及圖 1-2b。

圖1-2a 亞臨界流況下，上游水深固定時之輸水曲線[21]

圖1-2b 亞臨界流況下，下游水深固定時之輸水曲線[21]

Yen et al. [42]進一步發展分析明渠水流之流量與兩端水位間之關係曲線圖，並 稱之為水力履性圖(Hydraulic Performance Graph，簡稱 HPG)，圖 1-3 為其中之一類 型。陳(2006)[12]則依據兩人孔或匯流井之水位及二者間之雨水下水道為渠流、半滿 管流或滿管流等之水流基本方程式，發展矩形斷面緩坡雨水下水道之兩端水位與流

量之關係曲線，並以實驗驗證之。

雨水下水道之水工試驗研究對象以匯流井或人孔的能量損失為主，由於水流流

損失係數(loss coefficients)為雨水下水道重要的研究課題，一般均經由實驗分析之。 在人孔或匯流井處，亞臨界或超臨界的明渠流或滿管流都有可能發生(Zhao et al., 2006)，Hsu et al. (1998)、Weber et al. (2001)、Shabayek et al. (2002)進行明渠流通 過匯流井的實驗研究；Del Giudice and Hager (2001)、Gisonni and Hager (2002)進行 超臨界流通過匯流井的研究[20]。

圖1-3 亞臨界流之流量與上游及下游水深關係示意圖[21]

對於單一匯流井或人孔連接兩條下水道管路之組合而言，Sangster et al. (1958, 1961)進行直通(straight through)與90D_{彎管匯流井之滿管(surcharged)實驗；Ackers}

(1959)進行直通與 45D

、52D

彎管之滿管實驗；Archer et al. (1978)進行直通與 30D

、60D

and Mark (1990)則進行直通之滿管實驗[42]；Merlein(2000)[32]進行直通與 45D 彎管 之滿管實驗。 下水道管網的人孔或匯流井可有三條或四條以上的管涵交匯。Sangster et al. (1958, 1961)、Lindvall (1984)進行 T 形三方向(three-way)滿管匯流(merging)的實驗， 分析90D 側向匯入之圓管管徑及流量對能量損失係數的影響。Joliffe(1982)則進行三 方向不滿管(nonsurcharged)匯流及分流(dividing)的實驗分析能量損失係數[42]。

Takashi Sakakibari et al. (1997)[39]以圓管連接四個矩形人孔進行的模型比 1：10 之能量損失係數實驗，其結果顯示流速大於0.6 m/s 且圓管曼寧糙率係數為 0.009 至 0.1 時，能量損失係數的範圍為 0.02 至 0.12。

Zhao et al. (2004)[20]進行三方向 25.8D_{Edworthy 匯流井與 90}D

垂直側向匯流管之

匯流試驗，研究結果證實在出流管涵為陡坡時，匯流井出口處存在由明渠流況轉變

至潛沒流況的三種流況(Regime I~III)。並且提出以潛沒因數(submergence factor)區分 三方向90D 垂直側向匯流井中三種流況的判斷準則。結果顯示，當匯流井之側向入流 量約等於出流量之25%時，匯流井水位約為管徑之2.2倍，但出流管涵仍然保持明 渠流況。實驗結果也發現，縮小側向匯流的管徑1/ 3時，會使得匯流井的總能量損 失增加約3 倍。 張(2004)[10]分析明渠有連續突擴段的水理現象，顯示人孔如同突擴段，於亞臨 界流況下，人孔水位上升及其造成之能量損失可使上游渠段水位上升，此上升情形 會累積至更上游。賴(2005)[15]進一步分析管道流量與兩端人孔水位之關係曲線，並 進行實驗驗證，由實驗結果亦可看出接近滿管流時，人孔水面有明顯的逆坡傾斜現 象。陳(2006)[12]進行矩形箱涵之緩坡雨水下水道實驗，分析下水道明渠流至滿管流 之輸水能力；並於人孔溢流時，由實驗結果分析人孔之溢流超高。 雨水下水道系統包含許多管涵、箱涵、人孔及匯流井，藉由上述之水理分析及 水工實驗的研究結果可瞭解單一雨水下水道及其兩端人孔或匯流井間的水理現象， 但對整個雨水下水道系統的設計及輸水能力評估仍需應用數值模式。

雨水下水道模式為以地表逕流模式所演算之地表逕流量視為下水道管網之入

流量，以演算雨水下水道管內流量大小及人孔或匯流井水位變化。隨著計算機計算

能力與數值計算方法的增進，由早期之合理化公式法，至今日簡化之聖凡南方程式

(Saint Venant equation)之不恆定流分析法，下水道數值模式除具備快速分析能力外， 仍保有相當的精確度。

Yen(1978)[42]將雨水下水道模式分為規劃模式(planning model)、設計模式 (design model)，及評鑑模式(evaluation/operation model)等三類。規劃模式是長時間 及大尺度空間的模擬模式，皆在進行結合性及政策性的規劃，美國工兵團水文中心 發展之STORM 具有該功能。設計模式之目的為計算雨水下之管徑尺寸及坡度，以 改善舊系統或佈置新系統，ILLUDAS、SWMM、ILSD-1、ILSD-2 等具有設計模式 之功能。評鑑模式只在驗證及評鑑雨水下水道系統之宣洩豪雨逕流之能力及探求排 水問題之癥結，以作為現有雨水下水道系統之操作、排水調度、擴充及改善規劃之 參考，SWMM、MOUSE、ISS、TRRI、HydroWorks 等均具評鑑之功能。 用數值模式來執行管道演算已經在工程業務方面廣為接受。上述各種模式中， 目前引進上有應用者為SWMM、MOUSE 及 Hydroworks 模式。

ISS 模式(The Illinois Storm System Simulation Method; Sevuk et al., 1973) [38]為 高精確度的設計與模擬模式，具有考慮匯流點與人孔處的不恆定狀態與迴水影響之

功能。其控制方程式為迪聖凡南(de Saint Venant equations)方程式。但 ISS 模式只能 處理明渠流況之圓形管渠，而遇到滿管流時，模式會自動大管徑，以保持明渠流況。

此外，模式不能模擬水躍或跌水，也不允許水深或流量為零，最多只能考慮三支管

渠的迴水效應。所模擬的管線也不允許有迴路，而且只能是向下游收斂的樹枝狀。 ILLUDAS 模式(Illinois Urban Drainage Area Simulator, Terstrip and Stall, 1974)是 由Illinois State Water Survey 修改英國 TRRL 法(The British Transport and Research Laboratory Method)，使其具有模擬及設計下水道管線功能。ILLUDAS 根據運動波 (Kinematic wave)控制方程式建立模式，為單場暴雨事件模擬演算模式，由設計暴雨

以時間面積法(Time-area method)轉換入流歷線，再進行下水道輸水演算，而不能直 接輸入流量歷線，且模擬管線不能有迴路。但此模式的簡易性和公制單位的選用使

其被廣泛的使用。

MOUSE(An integrated modeling package for urban drainage and sewer system)為 由丹麥水及環境研究所(Danish Hydraulic Institute)所發展之模式(DHI, 1988)，適用於 模擬都市暴雨排水系統。模式之數值計算採用隱式有限差分法求解迪聖凡南方程 式，以求算人孔內水位與排水管渠內之流量。模式包括下列四部分： 1. 地表逕流模擬計算：地表逕流模擬計算係根據連續方程式、運動波方程式及降 雨扣除蒸發量、入滲量與貯蓄量後之有效降雨。至於入滲量計算，則採用Horton 之指數式，隨時間之延續而消滅。 2. 明渠流與滿管流模擬計算：根據連續方程式與動量方程式模擬計算。 3. 污染物傳輸之模擬計算。 4. 模擬計算結果之繪圖整理。 此模式包含處理迴水影響之功能，也可模擬多管線之交會與迴路情形。管線配 置方面具有考慮圓形人孔、稽延池、溢流堰以及幫浦操作等情況。

SWMM(Storm Water Management Model; Huber and Dickinson, 2000)[41]係由美 國環境保護署(USEPA)所發展之暴雨經理模式，為模擬分析與都市排水有關的水量 與水質問題之動力波模式(dynamic wave model)。SWMM 模式依排水系統的水流動 態及特性，分成地表逕流(RUNNOFF)及幹線輸水(TRANSPORT、EXTRAN)兩部分。

地表逕流部分係模擬雨滴降落地面後，進入各排水幹道前之漫地流現象。當降

雨強度超過地表入滲容量時，地面低窪處開始積水，當低窪處積滿水後，水便溢出

形成漫地流。

幹線輸水部分，係由雨水降落地面形成漫地流，經由邊溝匯集進入人孔後導入

幹線中，此部份之處理採用變量非均勻之自由液面流(unsteady nonuniform free surface flow)之水理特性，以模擬在管渠中水流流動之情形，藉以了解各管渠中之流

量及人孔處可能之溢流量，作為檢討管道排水之能力及系統改進之參考。發生滿管

流況時，假設溢流之水量可暫時貯存於人孔附近，於入流量減少時再回流下水道系

統。

HydroWorks 為英國 Wallingford Software 公司於 1994 年 7 月開發完成之動力波

水理模式，可結合GIS 及資料庫管理系統，做為有效規劃、分析、設計與管理下水

道系統之工具，目前廣泛應用於美國、英國及香港等地區。其控制方程式為聖凡南

方程式。

模式主要分成逕流演算模式(Runoff Model)及管線水理模式(Hydraulic Model)

兩部分，前者提供5 種逕流模式可依不同集水區條件之適用性，選擇適當模組以獲

得地表或街區逕流量；後者管線水理模式以應用隱式尤拉法(implicit Euler method) 離散化連續方程式，以及應用普里斯曼(Preissmann)四點隱式法離散化動量方程式， 並以牛頓-拉福生法(Newton-Raphson Method)配合雙掃法(Double Sweep Method)求 解非線性方程式，計算各雨水下水道之流量及人孔水位[5]。

以上三模式，對於滿管流(surcharge flow)，都是採用普里斯曼靜壓長縫法 (Preissmann hypothetical piezometric open slot approach)的觀念，以便應用上述之明渠 變量流水理模式求解滿管流況下的雨水下水道系統的變量流過程。 Preissmann(1961)提出在管頂上假想長縫模擬壓力滿管流，目的為求解滿管流況 時，為了使計算方便而在管渠頂部假設一虛擬之連續窄縫，當管渠發生滿管流時能 以類似明渠流的方式處理。Sjberg(1982) [42]建議於 h 0.9999 D≥ 時，長縫開口的寬度 b，可表示如(1-1)式。 24 6 10 0.05432exp b h D D − ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ = + ⎢−_{⎜ ⎟} ⎥ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (1-1) 滿管流之處理除普里斯曼靜壓長縫法外，剛性柱體模式(Rigid Column Model) (Wiggert, 1972)，全動力模式(Full-Dynamic Model) (Song et al., 1983)也可處理滿管流

況[20]。

Jose et al., (2006)[40]建議一改進之下水道水流模擬模式稱為二成份壓力法 (Two-Component Pressure Approach)，此模式利用震波捕捉法(shock-capturing)，於滿 管流壓力分離出靜水壓，能有效改善普里斯曼靜壓長縫法之限制。

Schmitt et al. (2004) [36] 發展一套下水道淹水模擬模組 RisUrSim ( Risk Management in Urban Areas–Simulation and Optimization) ，其中包含：(1)集水區降 雨逕流模式以單位元歷線法求得逕流流量；(2)街區逕流模式其架構原理為質量守恆 及動量守恆，以獲得街道逕流流量；(3)重力下水道模式是以顯式差分法求解聖凡南 方程式(Saint-Venant-Equations)。該研究提到雙排水系統(dual drainage model)即漫地 流與管流間之水力演算。

當人孔或匯流井內水位高於地表高程時，會有人孔水位溢淹及溢流流量流入地

表面情形。C. Nasello et al. (2005)[33]發展之雙向模式具有計算街道水體與下水道水 體之間的交換情形。雙向模式是以雙重近似演算法 DORA (double order

approximation methodology)考慮人孔水位溢淹流入地面街區情形，模式中假設街道 為上層管道網路系統，垂直連接下層之下水道系統，相當於人孔或匯流井連接上層 管道與下水道系統。上下層網路系之水位為該模式雙層流率函數之變數，進而獲得 各計算網格之總進通量。此模式主軸於人孔連接上層地面及下層下水道，分別考慮 上層管道水位及下層下水道內人孔水位高低，演算在豪雨過程中，地表逕流流入下 水道系統，或是下水道自人孔溢流流入地面街道之流量率(flow rate)。 目前，雨水下水道模式之研究已有長足之進步，但各模式之建立與發展則各自 獨立，並不相關，僅適用其獨自之水流狀況範圍。因此，建立與發展一個可以分別 適用明渠水流及壓力管流之網路分析模式，對於下水道管線網路之設計規劃、評鑑 預報等目的，具有重大的意義及需要性。 薛(2007)[16]應用擬似定量流理論配合明渠水力學求水面剖線的方法，根據能量 方程式推導雨水下水道流量律，發展矩形斷面緩坡雨水下水道系統水流模式，以分

析豪雨期間，矩形斷面雨水下水道系統之輸水能力。本研究進而發展圓形斷面緩坡

雨水下水道之限制條件系統，整合圓形斷面(管涵)及矩形斷面(箱涵)演算方法，發展 緩坡雨水下水道系統模擬模式，應用於模擬豪雨發生時緩坡雨水下水道系統之輸水

第二章

雨水下水道水理模式應用之比較

目前較廣為應用的都市雨水下水道水理模式為美國環境署發展之SWMM，英 國Wallingford 發展之 HydroWorks/InforWorks，以及丹麥水利研究所(DHI)發展之 MOUYSE 模式等。本計畫收集分析美商傑明工程顧問公司台灣分公司應用 SWMM 及HydroWorks 兩種模式演算台北市玉成抽水站排水系統之比較結果。

2-1 SWMM 水理模式

2­1.1  雨水下水道水流基本方程式及數值方法  SWMM 水理模式以迪聖凡南(de Saint-Venant)方程式為雨水下水道水流之基本 方程式：  0 A Q t x ∂ ₊∂ ₌ ∂ ∂       (2‐1)  1 o f V V V y S S g t g x x ∂ ∂ ∂ + + = − ∂ ∂ ∂ (2-2) 以上二式中，A 為通水面積；Q 為流量；V 為斷面平均流速；So為底床坡度；y 為水深；g 為重力加速度；Sf為為摩擦坡度；t 為時間；x 為延流向之距離。因 V=Q/A， 故由(2-1)式與(2-2)式可得： 2 2 f Q A A h gAS V V gA t t x x ∂ ∂ ∂ ∂ = − + + − ∂ ∂ ∂ ∂ (2-3) 上式中h 為水位。摩擦坡度 Sf可應用曼寧公式得之： 2 3 2 2 2 2 f n Q S K R A = (2-4) 上式中R 為水力半徑；K 為單位係數。若為公制，K=1。若為英制，K=1.486。 雨水下水道滙流孔或滙流井等之連續方程式如下： j i j j dh Q Q A dt ∑ + = (2-5) 上式中，Qi為流入人孔或滙流井之第i 個雨水下水道之流量，若由人孔或滙流

井流出，則取為負值；Qj為流入人孔或滙流井之外來流量(如由街道水流進入之流 量，取為正值)或由人孔或滙流井溢出街道、抽出或漏出之流量(負值)；Aj為人孔或 滙流井之水平截面積；Hj為人孔或滙流井之水位： j j j h =y + z (2-6) 上式中，yj及zj各為人孔或滙流井之水深及底部高程。

求解動力波方程式(2-3)式而發展之顯式法模式(explicit scheme model) SWMM-EXTRAN 模組說明如下：

兩人孔(或滙流井)間之雨水下水道全長 L 視為單一計算段(a single computational reach)，將(2-4)式代入(2-3)式之動力波方程式以顯式差分法離散化以由 tn時間之雨 水下水道水理條件(Qn，Rn，Vn，An，hn等)計算 tn+1時間之雨水下水道流量Qn+1： 4 3 2 1 2 1 (1 2 ) 2 ( 1 ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n un dn n un dn n gn t t t Q V Q V A A V A A gA h h L L k R − + + Δ ⎡ Δ Δ ⎤ = + _⎢ + − + − − − _⎥ ⎣ ⎦ (2-7) 上式中下標u 表示雨水下水道上游端(入口)，d 表式下游端(出口)；Rn、Vn、An等均 代表在入口與出口之水力半徑、流速、通水面積之平均值；△t 為計算時距，△t=tn+1-tn。 人孔或滙流井之連續方程式(2-5)式亦以顯式差分法離散化以計算 tn+1時間之人孔(或 滙流井)水位 hj，_n+1： , 1 , ( , , ) j n j n i n j n j t h h Q Q A + Δ = + ∑ + (2-8) 上式中下標i 表示連接於第 j 個滙流井或人孔之第 i 之雨水下水道。 人孔(或滙流井)之水位(hj)及接受人孔(或滙流井)流量之雨水下水道入口水位 (相當於(2-13)式之 hun)二者視為相等。

(2-7)式及(2-8)式可應用 modified Euler method 及半時距(half-step)及全時距 (full-step)計算以得其解 hj,n+1及Qi,n+1。可蘭穩定準則(Courant`s stability criterion)用於

s L t gD Δ ≤ (2-9) 上式中Ds為雨水下水道管線內高或直徑。 若模擬區各雨水下水道管線之最長與最短的比例超過4 倍至 5 倍時，可採用等 效管(equivaleat pipe)以避免不穩定現象。實際管長為 Lp，實際糙率係數為np，則取 等效管長為Le時，等效糙率ne如下： 1 2 ( / ) e p P e n =n L L (2-10)  當人孔(或淹流井)滿溢(surcharge)時，基於滙流連續方程式，可應用微分之鏈 (chain rule)可導出滙流水頭式，或以泰勒展開式(Taylor expansion)推導之。惟其結果 尚難滿意而需介入調整因子修正，且需由使用者設定最大的數值疊代次數，或依滙

流處之進流量與出流量之代數和小於某一允許值以決定疊代次數。

SWMM-EXTRAN 為顯式法，故程式設計較易。加拿大 CHI(Computational Hydraulics Int)以 SWMM 模式為核心，輔以視窗化功能及 GIS 模組功能，發展 PCSWMM。

2­1.2  地表逕流基本方程式 

鄰接街道側溝之地區分成若干次區。任一次區之地表遲滯需要(detention requirement)之水深 Dd，荷頓方程式(Horton`s equation)之起始入滲率 fi，最終入滲率

fo，入滲遞減率α，則此一次區在t 時間之水深 D(t)，由 t 至(t+△t)時間之平均降雨 強度為it時，在(t+△t)時間流入側溝之流量 Q_w如(2-11)式所示：

(

)

5₃ 1 2 ` w d k Q D D S W n = − (2-11) 上式中W 為次區與邊溝交界寬度，S 為次區坡度，D`如(2-12)式所示：

{

}

` ( ) [ ( ) t] t o i o D=D t + i − f + f − f e−∂ Δ t (2-12) 次區在(t+△t)時間之水深 D(t+△t)可由(2-13)式得之： ( ) ` ( w ) / b D t+ Δ =t D− Q Δt A (2-13) 上式中Ab為次區之面積。

2­1.3  街道側溝水流基本方程式  某一側溝之溝底縱向坡度Sg，t 時間之流量 Qg(t)，水深 yg(t)，鄰接之各次入流 量之和為ΣQwj(t)，上游側溝流量和ΣQgi(t)，則 t+△t 時間之流量 Qg(t+△t)可由(2-14) 式得之： 2 1 3 2 g g g g g R Q R S A n = (2-14) 上式中Rg及Ag各為水深yg`時之水力半徑及通水面積，yg`可由(2-16)式得之： ` ( ) ( ) ( ) ( ) g g gi wj g s t y y t Q t Q t Q t A Δ ⎡ ⎤ = + ∑<sub>⎣</sub> + ∑ − <sub>⎦</sub> (2-15) 上式中，As為yg(t)及 yg`之側溝自由水面之面積平均值。在 t+△t 時間之側溝水深 y_g(t+ △t)可由(2-16)式得之： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g g gi wj g s t y t t y t Q t Q t Q t t A Δ ⎡ ⎤ + Δ = + ∑_⎣ + ∑ − + Δ _⎦ (2-16)

2-2 HydroWorks

  2­2.1  管線水理模式(hydraulic model)之基本方程式          HydroWorks 之管線水理模式以(2-1)式及(2-2)式為基本方程式，並運用有限差分 法離散化(2-1)式及(2-2)式而建立數學模式以演算雨水下水道之水理現象。

連續方程式(2-1)式以隱式歐拉法(implicit Euler method)離散化有差分式；動量方 程式(2-2)式則以普里斯曼四點隱式法離散法為差分式。進一步應用牛頓－拉福生法 (Newton-Raphson method)求解非線性之聯立差分式，並以雙掃法(double sweep method)求解修正量帶狀矩陣，因而可建立數學模式以演算雨水下水道水理現象。若

福祿數介於0.8 至 1.1，則慣性項線性化的漸取為趨於零；基本上，超臨界流時，以

零慣性(noninertial)近似 i。若雨水下水道滿管而成為壓力流，則普里斯曼長縫寬假 設為最大管徑之1/20。

  2­2.2  地表逕流演算模式 

Reservoir , DLR/walling ford model)，大面積逕流模式(Large Contributing Area Runoff Model)，單線性水庫逕流模式(SPRINT Runoff Model)，DR-model (Deshordes Runoff Model)，SWMM-Runoff Model 等。 2­3  雨水下水道水理模式之應用  傑明工程顧問公司台灣分公司以台北市玉成抽水站系統之管線進行演算結果與 實際水位監測資料之比對。選用之模式為PCSWMM 及 HydroWorks 8.0 版。 玉成抽水站系統之管線系統如圖2-1 所示，演算之事件為民國 91 年 7 月 3 日之 雷馬遜颱風及7 月 9 日之納克莉颱風。採用此二颱風在三興國小、瑠公國中、市政 中心及玉成等雨量站之雨量紀錄，以及玉成抽水站排水系統之外水位。圖2-2 為其 中玉成9 監測站之演算水位與監測水之比較，以及 SWMM-模式及 HydroWorks 模式 演算之流量、流速及水位之比較。依據傑明公司以英國WAPUG(Water Planning Users Group)協會建議之驗證準則及台北市政府養工處相關計畫之模式驗證方法評估比較 如表2-1 所示，顯示一般而言，雖積淹水高度有較大誤差，但峰值到達時刻尚頗吻 合，二模式演算結果之水位歷線及峰值到達時間頗接近，但PCSWMM 模式在部分 情況求解時會有不易收斂之情況。 因此人孔間管長為計算段，以數值方法求解明渠水流動力波方程式，並引用普里斯 曼長縫法以應用於壓力管流，有引起不易收斂之情況，且對於人孔溢流現象須做簡 化，故本計畫發展以擬似定量流理論建立之緩坡雨水下水道人孔演算模式。

  圖2-1 玉成抽水站系統之管線系統

  圖2-2 SWMM-模式及 HydroWorks 模式於玉成 9 監測站之演算水位與監測水之比

表2-1 水理模式校驗證成果

第三章 緩坡雨水下水道之流量律

雨水下水道系統可分為街道網路系與下水道網路系二部份，下水道網路系由許 多人孔、匯流井、箱涵及管涵所組成；道路網路系則視為一明渠管道，雨水降於地 面後於地表移動，再經由邊溝進水口流入人孔或匯流井。因此，將人孔或匯流井視 為一格區(cell)，二相鄰人孔或匯流井由箱涵或管涵所銜接，以進行演算。 雨水下水道的設計一般依據定量等速流的觀念，應用曼寧公式設計所需之雨水 下水道各涵管尺寸。然而豪雨期間，地面水流經由道路邊溝進水口流入人孔或匯流 井，人孔或匯流井也承受來自上游所連接涵管之流量，也流出流量至下游涵管，因 此人孔或匯流井水位將不斷改變，而管涵內的流量也會受到兩端人孔或匯流井水位 之影響，故雨水下水道系統在豪雨期間為變量流過程。 一般而言，平緩地區之雨水下水道多屬緩坡涵管[15]。本研究將應用擬似定量 流(quasi-steady flow)理論建立「緩坡雨水下水道系統模擬模式」，以了解豪雨期間之 雨水下水道系統之排水能力。每一格區(人孔或匯流井)與相鄰格區間，經由連接涵 管傳輸流量，可應用連續方程式計算每一格區之水位。而每一涵管之流量則可由兩 端之格區水位選用適當之流量律計算之。本章將說明所應用之基本方程式。

3-1 規則渠道之坡度

渠道之坡度類型可因流量而異，任一流量對應之等速水深y 大於臨界水深₀ y 時_c 為緩坡渠道，若y 與₀ y 相等則為臨界坡渠道，若_c y 小於₀ y 則為陡坡渠道。 _c 3-1.1 矩形斷面規則渠道 已知渠道坡度S 、寬度₀ B 及曼寧糙率係數n，則定量等速流時之水深與流量關 係可以曼寧公式表示如下： 2 1 3 2 0 0 0 0 1 Q R S A n = (3.1)

上式中Q 為流量；₀ A 與₀ R 為等速水深₀ y 時之通水面積及水力半徑，₀ 0 0 0 A =B D ，B 及₀ D 為等速水深時之水面寬及水力深度；_{0 0} 0 0 w A R P = ；P 為等速水深_w0 時之濕周，矩形斷面時P_w0 = +B 2y₀。 若渠道為緩坡，形成等速流時為亞臨界流況，福祿數小於1： 2 2 0 0 3 0 1 Q B F gA = < (3-2) 若渠道為臨界坡，形成等速流時為臨界流況，福祿數等於1： 2 2 0 0 3 0 1 Q B F gA = = (3-3) 若渠道為陡坡，形成等速流時為超臨界流況，福祿數大於1： 2 2 0 0 3 0 1 Q B F gA = > (3-4) 指定一水深y ，可由(3-1)式得₀ y 條件下之 Q ，並計算₀ y 條件下之福祿數₀ F ： ₀ 2 4 2 0 3 2 0 0 3 2 0 0 0 3 0 0 1 Q B B F R S A gA n gA = = × 4 1 1 _{3 3} 3 2 0 0 0 0 0 2 0 0 w S B B D F n g P B ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∴ = _{⎜ ⎟ ⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3-5) 對於矩形斷面規則渠道，上式可改寫為： 1 3 0 1 3 2 0 0 2 4 3 0 1 2 y S B B F n g _y B ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = × ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (3-6) 比較(3-2)式及(3-6)式可知： 緩坡條件： 1 4 1 3 3 3 0 0 0 2 1 2 S B y y n g B B − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ < +_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3-7) 臨界坡條件： 1 4 1 3 3 3 0 0 0 2 1 2 S B y y n g B B − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = +_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3-8)

陡坡條件： 1 4 1 3 3 3 0 0 0 2 1 2 S B y y n g B B − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ > +_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3-9) 已知S 、 B 、₀ n之矩形斷面規則渠道，可由(3-7)式至(3-9)式得知對於任一等速 水深時之坡度類別。圖3-1 為 1 3 0 2 S B n g 與 0 y B 在臨界坡時之關係曲線，曲線左方為緩坡， 右方則為陡坡。因此 1 3 0 2 S B n g 可稱為矩形斷面規則渠道之陡坡因子，用於辨識其是否 會有陡坡流況發生。 由(3-8)式可得發生臨界坡時之 1 3 0 2 S B n g 最小值為 8 3，相對應之水深、寬度比 0 y B 為 1 6。亦表示，當一矩形斷面之規則渠道之坡度S 、寬度 B 、曼寧糙率係數0 n已知， 若其S 、 B 、₀ n之組合 1 3 0 2 S B n g 之值小於 8 3，則該渠道必為緩坡，不因流量而異。 對於已知坡度S 及曼寧糙率係數₀ n之寬廣渠道，可如上之分析得其臨界坡之條 件如(3-10)式所示： 1 0 3 0 2 S y gn − = (3-10) 由(3-10)式可知，指定坡度S 及曼寧糙率係數₀ n之寬廣渠道，可因等速水深之 增加以致 13 0 y− 小於 0 2 S gn 而成為陡坡，而等速水深因流量而異，故(3-10)式亦表示寬廣 渠道可因流量之增加而成為陡坡渠道。圖3-2 為不同寬度之矩形斷面規則渠道與寬 廣渠道之坡度條件之比較。由圖可看出以寬廣渠道曼寧公式研判為陡坡渠道，若屬 矩形斷面規則渠道，則可為緩坡渠道。

1 10 100 SB1/3_/n2_g 0.001 0.01 0.1 1 10 y/D Mild Slope Critical Slope Steep Slope 圖3-1 矩形斷面規則渠道之臨界坡條件 0.1 1 10 100 1000 S/n2_{g (m)} 0.001 0.01 0.1 1 10 y0 (m) B=0.3m B=0.5m B=1.0m B=2.0m B=10m B=100m Wild Channel 圖3-2 矩形斷面規則渠道與寬廣渠道臨界坡度之比較 3-1.2 圓形斷面規則渠道 對於一圓形斷面渠道(即圓管)，如圖 3-3，其發生自由液面流時之水深、通水面 積、水面寬與水力半徑以中心角φ可表示成： 1 cos 2 2 D y= ⎛_⎜ − φ⎞_⎟ ⎝ ⎠ (3-11) sin 2 B=D φ (3-12)

(

)

2 sin 8 D A= φ− φ (3-13)

sin 1 4 D R φ φ ⎛ ⎞ = _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠ (3-14) 將上式代入(3-1)式中，可得圓管之定量等速流量：

(

)

5 3 13 8 2 1 1 3 2 3 3 2 0 0 0 0 0 2 3 sin 1 1 2 Q R S A D S n n φ φ φ − − = = (3-15) 圖3-3 圓形斷面渠道 而發生滿管等速流時，φ =2π，則滿管等速流量Q ： _f 8 1 3 2 0 10 3 1 2 f Q D S n π = (3-16)

(

)

(

)

5 2 3 3 0 2 3 sin 1 sin sin 1 2 ₂ f Q Q φ φ φ φ φ π φ _πφ − ⎛ ⎞ = − _⎜ − _⎟ = ⎝ ⎠ (3-17) 上式中， _2cos 1 _{1 2} y0 D φ ₌ − ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (3-18) 若發生臨界定量等速流，福祿數為1，將(3-12)式與(3-13)式代入(3-3)式，可得 臨界定量等速流量Q ： _c

(

)

3 2 5 9 1 2 2 sin 1 2 sin 2 c Q gD φ φ φ − = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (3-19)

(

)

1 12 1 3 1 2 3 ₁ 0 0 3 4 2 3 sin sin 2 2 c Q S D Q n g φ φ φ φ ⎡ ₋ ⎤ ⎛ _{⎞ ⎢ ⎥} ⎜ ⎟ = _{⎢ ⎥} ⎜ _{⎟ ⎢ ⎥} ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (3-20) 由(3-19)式可得無因次臨界定量等速流量為：

(

)

3 2 9 1 5 _{2 2} sin 1 2 sin 2 c Q gD φ φ φ − = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (3-21) 當渠道為臨界坡時，S₀ = ，S_c Q₀ =Q_c，代入(3-20)式，可得圓形斷面規則渠道 之陡坡因子：

(

)

1 4 3 ₁ 3 3 2 ₁ 3 2 sin sin 2 c S D n g φ φ φ φ − = − (3-22) 圖3-4 為 1 3 2 c S D n g 與 0 y B 在臨界坡時之關係曲線，曲線左方為緩坡，右方則為陡坡。 1 2 3 4 5 6 7 8 910 SD1/3_/n2_g 0.01 0.1 1 y/D circular rectangle 圖3-4 圓形斷面規則渠道與矩形斷面規則渠道臨界坡度之比較 混凝土材質之雨水下水道，曼寧糙率係數可取為0.015，若為矩形且寬度在 3 公尺以下，則臨界坡在0.0041 以下；若為圓形且直徑在 2 公尺以下，則臨界坡在 0.004 以下。平原地區之雨水下水道寬度很少超過3 公尺，直徑也小於 2 公尺，坡度大多

小於0.004，故平原地區雨水下水道屬緩坡渠道。 表3-1 涵管之臨界坡度 n 底寬 (m) 臨界坡度 管徑 (m) 臨界坡度 0.015 3.0 0.0041 3.0 0.0035 0.015 2.0 0.0047 2.0 0.0040 0.015 1.0 0.0059 1.0 0.0050 0.014 3.0 0.0036 3.0 0.0030 0.014 2.0 0.0041 2.0 0.0035 0.014 1.0 0.0051 1.0 0.0044 箱涵 管涵

3-2 格區間連續方程式

雖然人孔或匯流井內水面並非水平[15]，但一般而言，波動尚不劇烈，故可取 平均水位代表格區水位。任一格區 i 與其相鄰格區間之連續方程式可表示如(3-23) 式： , ( ) ( , ) i i hi i k i k dh A Q t Q h h dt = +

∑

(3-23) 式中，A 為 i 格區之水平面積；_i Q t 為 t 時刻時， i 格區在_hi( ) Δt時距中之側向流 入格區之流量，如街區流入之流量，或由人孔頂部流入之流量，若為由格區溢出之 流量則為負值；Q_i,k為相鄰於 i 格區之k格區流進 i 格區之流量；h 為_i i 格區之水位； k h 為k格區之水位。

3-3 格區間之流量律

雨水下水道系統之相鄰之人孔或匯流井之間銜接箱涵或管涵，如圖3-5 所示。 對於 i 格區而言，若其能量頭H 小於相鄰_i k格區之能量頭H ，則流量_k Q 自_{i k,} k格區 流向 i 格區，其值為正。H 為上游能量頭，以_k H 表示；_u H 為下游能量頭，以_i H 表_d 示，z 、₁ y 、₁ A 等表示涵管在銜接₁ k格區處之底床高程、水深、通水面積，z 、_N y 、_N

N A 等表示涵管在銜接 i -格區處之底床高程、水深、通水面積。反之，若H 大於_i H ，_k 則流量Q 自_{i k,} i 格區流向k格區，其值為負。H 為上游能量頭，以_i H 表示；_u H 為下_k 游能量頭，以H 表示，_d z 、₁ y 、₁ A 等表示涵管在銜接 i 格區處之底床高程、水深、₁ 通水面積，z 、_N y 、_N A 等表示涵管在銜接_N k格區處之底床高程、水深、通水面積。 故以H 、_u H 分別代表上遊人孔能量頭及下游人孔能量頭，_d H 、_uS H 分別代_dS 表上游端入口浸沒之最小水頭及下游端出口浸沒之最小水頭，如圖3-6 所示，人孔 間之流量可依據H 、_u H 、_d H 、_uS H 及涵管幾何形狀等選用適當之流量律得之，說_uS 明如下各節。 , 0 i k Q < i k k k i H <H , 0 i k Q > k i H >H 圖3-5 雨水下水道系統， i -格區與相鄰格區之關係示意圖 圖3-6 雨水下水道人孔間之水流關係示意圖

3-3.1 自由液面流況 當雨水下水道內於自由液面流況，即明渠流況時如圖3-7，若出口未浸沒，且 出口水深y 大於臨界水深_N y ，管涵內可能為 M1 或 M2 之縱向水面線，相關之能量_c 方程式如下： 上遊人孔能量頭H 與入口端水深_u y 之關係： ₁ 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 i u k Q Q H z y gA gA α = + + + (3-24) 入口端水深y ，出口端水深₁ y 兩斷面間能量方程式： _N 2 2 1 1 2 2 1 2 N N 2 f N Q Q z y z y S L gA gA α α + + = + + + (3-25) 下游人孔能量頭H 與出口端水深_d y 之關係： _N 2 2 2 2 2 2 o N N d N N k Q Q z y H gA gA α + + = + (3-26) 上述各式中，下標u、1、N、d各表示上游端之人孔或匯流井、入口端斷面、 出口端斷面、下游端之人孔或匯流井；H 為總能量頭；Q 為流量；g 為重力加速度； A 為通水面積；z 為底床高程；α 為能量修正係數；S 為摩擦坡度，可由曼寧公式_f 得之；k 及_i k 各為入口與出口之能量損失係數； L 為雨水下水道之長度。 _o 若出口端為自由跌流如圖3-8，出口端斷面之水深y 等於臨界水深_N y 時，(3-27)_c 式可取代(3-26)式計算該流量。 2 3 c c Q =gA B (3-27) c A 、B 為發生臨界流況時之通水面積、水面寬。 c

圖3-7 入口未浸沒，出口非自由跌流 Sb Zu yu Hu Zd Hd z1 HuS HdS zN D L NDL CDL yd 圖3-8 入口未浸沒，出口為自由跌流 3-3.2 上游段局部滿管流況 雖然上游端人孔水位h 高於浸沒條件，而下游端未浸沒，可能發生閘流，但若_u 為緩坡管道，且足夠長時，將浸溺閘流[12]，因而為上游端滿管。上游端人孔水位 高於浸沒條件，且下游人孔水位h 未達浸沒條件之流況如圖 3-9 所示，若出口水深_d N y 大於臨界水深y ，涵管內不滿管段可為 M2 或 M1 縱向水面線，相關之能量方程_c 式如下： 入口浸沒段： 2 2 2 2 2 2 i u s fD s D D k Q Q H z D S L gA gA α = + + + + ⋅ (3-28) 1 s b s z = − ⋅ z s L (3-29)

管道內明渠段： 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 s N N fD fN s D N Q Q z D z y S S L L gA gA α α + + = + + + + ⋅ − (3-30) 出口段水流： 2 2 2 2 2 2 o N N d N N k Q Q z y H gA gA α + + = + (3-31) 圖3-9 入口浸沒，出口未浸沒且非自由跌流 上述式中， D 為涵管之內高；L 為局部滿管流段之長度；_S S_fD⋅ 則為滿管時之L_s 摩擦損失；z 為管道內發生浸沒時底床高程；s s 為底床坡度。 b 若出口人孔之能量頭不影響下水道出口之水深，出口端為自由跌流情形如圖 3-10，出口水深y 即為臨界水深_N y ，涵管之出口不滿管段為 M2 縱向水面線，則(3-27)_c 式亦可取代(3-31)式計算該流量。 圖3-10 入口浸沒，出口未浸沒且自由跌流

3-3.3 下游段局部滿管流況 上游人孔水位未浸沒，且下游端人孔水位高於浸沒條件如圖3-11，因入口未浸 沒，故與出口相鄰段為滿管流，與入口相鄰段為明渠流之關係方程式如下： 入口段水流： 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 i u k Q Q H z y gA gA α = + + + (3-32) 管道內明渠段： 2 2 1 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 2 s 2 2 f fD s D Q Q z y z D S S L L gA gA α α + + = + + + + ⋅ − (3-33) s N b s z =z + ⋅ s L (3-34) 出口浸沒段： 2 2 2 2 2 2 o s d fD s D D k Q Q z D H S L gA gA α + + = + + ⋅ (3-35) 3-3.4 滿管流況 上下游兩端人孔能量水頭分別高於入、出口浸沒條件如圖3-12，且兩端使涵管 呈現無自由液面之滿管流動，則以擬似定量流之情況並假設管道內剪應力均勻分 佈，涵管內之流量可由(3-14)式計算。 2 2 ( ) 2 u d i o fD D Q H H k k S L gA = + + + ⋅ (3-36)

Sb Zu yu Hu yd Zd Hd z1 HuS _HdS zN D L LS 圖3-11 入口未浸沒，出口為滿管流 圖3-12 入口浸沒，出口為浸沒管

第四章

緩坡雨水下水道系統模擬模式之建立

本研究建立之「緩坡雨水下水道系統模擬模式」是將雨水下水道系統視為由格 區(人孔或匯流井)及格區間之連通管涵(箱涵或管涵)所組成。其任一格區之水位變化 與進出該格區流量之關係可依據前章所述之格區間連續方程式及適當之流量律表 示，分別進行格區水位演算及涵管流量演算，分述如下各節。

4-1 格區水位演算

本研究應用有限差分法離散化(3-23)式成為差分式： , ( , ) ( ) i i k i k hi i h Q h h Q t A t Δ + = Δ

∑

(4-1) 1 , ( ( ), ( )) , (1 ) , m m i k i k i k i k Q h τ h τ =θQ + + −θ Q (4-2) 其中，Δt為t 時刻至_m t_m+1時刻之時距；Δ 為i 格區在h_i Δt時距中之水位增量；Ai 為 i 格區之垂直投影面積，格區為人孔或匯流井時，一般而言，A 為定值；_i Q 為 i 格_hi 區在Δt時距中之邊溝側向入流量；Qi km_, 、 1 , m i k Q + 為t 時刻與m tm+1時刻由k格區流進 i 格 區之流量。τ 為t 時刻至_m t_m+1時刻間某一時刻，即t_m≤ ≤τ t_m+1；θ 為加權係數，介於 0 到 1 之間。 若取(4-2)式之θ =0時則為顯式差分法，若是θ ≠0時則為隱式差分法。本文採 用顯式差分法，即取θ =0。 依據t 時刻 i 格區之水位及相鄰_m k格區之水位，選用格區間適當之流量率計算 進出格區之流量，則由(4-1)式及(4-2)式可得t 時刻至m tm+1時刻 i 格區之水位增量Δ ： hi , m m i k hi k i m i Q Q t h A ⎛ ₊ ⎞_{⋅ Δ} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Δ =

∑

(4-3) 上式中，若Δt很小，可假設Δt時間中，邊溝側向入流量Q 的變化不大，故在_hi t Δ 時距中，入流量 m_, i k Q 均可以t 時刻之邊溝側向入流量_m Q 近似之，由(4-3)式可得出_hi

格區內之Δ ，則下一時刻h_i t_m+1時刻之水位 m1 i h + 如下： 1 m m i i i h + =h + Δ h (4-4)

4-2 涵管流量演算

依涵管兩端格區(人孔或匯流井)之能量頭H 及_u H ，及前章所述之流量律可演_d 算涵管流量。若涵管兩端未浸沒，或一端浸沒，另一端未浸沒，涵管內均會有自由 液面。兩端未浸沒時，可由(3-24)式至(3-26)式求解流量 Q 及涵管兩端水深y 及₁ y ，_N 若只上游端浸沒，可由(3-28)式至(3-31)式求解流量 Q、滿管段長度L 及下游端水深S N y ；若只下游端浸沒，則由(3-32)式至(3-35)式求解流量 Q、上游端水深y 及滿管段₁ 長度L 。若未浸沒之下游端為自由跌流，則需以(3-27)式取代(3-26)式。因上述各式_S 均為非線性方程式，需以試誤法求解。本研究將以牛頓疊代法建立數學模式以求解 之。若兩端浸沒，則可直接由(3-36)式計算涵管流量。 4-2.1 涵管兩端未浸沒 涵管兩端未浸沒時可由(3-24)式至(3-26)式求解流量 Q 及兩端水深。唯因自由液 面為曲線，僅依(3-24)式至(3-26)式計算流量可能介入較大誤差，故將涵管分成N個 斷面，如圖4-1 所示，相鄰二斷面間之能量頭方程式如下： 2 2 1 1 , 2 2 1 2 2 i i i i f i i i Q Q z y z y h gA gA α α + + + + + = + + + (4-5) 上式中， i 為由上游端向下游端之斷面編號

(

i=1, 2,3,"N

)

， z 、 y 、 A 及α 各 為指定斷面之底床高程、水深、通水面積及能量修正係數。h_{f i,} 為相鄰二斷面之摩 擦損頭，本研究將以二斷面之摩擦坡度S 之算術平均值及間距_f Δ 表示如下式： x_i

2 2 , , 1 , 4 3 2 4 3 2 1 1 1 1 2 2 f i f i i f i i i i i i S S n Q x h x R A R A + + + + Δ ⎛ ⎞ = ⋅ Δ = _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ (4-6) 上式中，n為曼寧糙率係數，同一管涵視為常數。 Sb Zu yu Hu yd Zd Hd z1 zN L 1 2 i i+1 N y1 yN z2 z_{i zi+1} Δx 圖4-1 渠流差分示意圖 管涵分成N個斷面，故有N−1條如同(4-5)式之方程式，配合(3-24)式及(3-26) 式，則共有N+1條方程式，可求解y y₁, , ,₂ " yN及 Q 等N+1個未知數。應用試誤法 求解時，可將N+1條方程式寫成如(4-7)式：

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

2 0 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 ,1 ,2 1 1 2 2 1 1 2 2 , , 1 1 2 1 1 1 2 2 , 1 , 1 0 2 1 1 1 0 2 2 1 1 1 0 2 2 1 1 1 2 2 u i f f i i i i i f i f i i i i N N N N N f N f N N N N Q E H y z k gA Q E y z y z S S x g A A Q E y z y z S S x g A A Q E y z y z S S x g A A α α α α + + + + − − − − − − = − + − + = ⎛ ⎞ = + − + + _⎜ − _⎟− + Δ = ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = + − + + _⎜ − _⎟− + Δ = ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = + − + + _⎜ − _⎟− + Δ ⎝ ⎠ # #

(

)

1 2 2 0 ( ) 0 2 N N N d o N Q E y z H k gA α ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = + − + − = ⎪⎩ (4-7) 上式中之E 為以試誤法求解時之誤差值，若_i E 為零或甚小，則為得到正確解。_i 已知H 及_u H 並以試誤法求解時，先假定一組 Q 及_d y ，代入(4-7)式，若不能滿足(即_i 0 i E ≠ ，稱為餘數，以e 表示)，則重新假定，以至滿足(即可使_i e_i = ，0 i=0,1, 2, ,⋅⋅⋅ N) 為止。第一次的假設解可任意假定，但宜配合流況，即若為亞臨界流，則假設解以 能使各斷面流況均為亞臨界流為佳。反之亦然。 為能盡快獲得期望之解，於重新假設時，修正量dQ dy dy, ₁, ₂, ,⋅⋅⋅ dy_N可使用牛頓 疊代法求之。對(4-7)式取全微分可得： 0 0 1 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 i i i i i i N N N N N N N N N N dE b dy c dQ dE a dy b dy c dQ dE a dy b dy c dQ dE a dy b dy c dQ dE a dy c dQ + − − − − − = + ⎧ ⎪ _{= + +} ⎪ ⎪ ⎪ = + + ⎨ ⎪ ⎪ = + + ⎪ ⎪ _{= +} ⎩ # # (4-8) 其矩陣型態則如(4-9)式：