大學入學考試中心指定科目考試研究用試卷

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大學入學考試中心指定科目考試研究用試卷

數學考科

(卷3)試題第一部份

作答時間：40 分鐘作答方式：

˙選擇題用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液

˙非選擇題用黑色或藍色原子筆，直接作答於試題所標示的答案欄內

祝考試順利

本試卷之著作權屬於財團法人大學入學考試中心基金會

本試卷(含參考答案)預定於96年5月15日公布在大考中心網站 http://www.ceec.edu.tw

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壹、多重選擇題

說明：第1-4題，每題有5個選項，其中至少有一個選項是正確的。請選出正確選項，標示在答案卡之「解答欄」。每題各選項獨立計分，每答對一個選項，可得2點；每答錯一個選項，倒扣2點，完全答對得10點。整題未作答者，不給分亦不扣分。若在備答選項以外之區域劃記，一律倒扣2 點。

1.設0≤ ≤θ π ，且 cosθ 、sinθ 為 x²+ax b+ = 之兩根，試問下列敘述何者正0 確？

(1) 1

| |b ≤ 2

(2) 若b>0，則 a<0 (3) a²+b² ≠ 0

(4) a可能大於 0 (5) a² ≤ 2

2.將長度n為正整數(n≥2)的四條線段圍成正方形，再用長度1的線段將這個正方形均分為邊長1的小正方形。令a 為邊長1的小正方形的個數，令_n b 為所有_n 線段的總長度。下列選項哪些正確？

(1) a 是 4 的倍數 _n (2) 3b_n ≤ a_n恒成立 (3) b 是 4 的倍數 _n

(4) a 是某個整數的平方 _n (5) b 是某個整數的平方 _n

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3.已知 y x x= ( −1)(x+ 及 2) y=2x+ 之圖形如下圖所示。 2

考慮 f x( )=x x( −1)(x+ −2) 2x− ，下列有關方程式 ( ) 02 f x = 根的敘述，哪些是正確的?

(1) 當x< −2時，恰有一實根 (2) 當− < < −2 x 1時，恰有一實根 (3) 當− < <1 x 0時，恰有一實根 (4) 當0< <x 1時，恰有一實根 (5) 當x>1時，恰有一實根

4.有一筆統計資料，共有 11 個數據如下（不完全依大小排列）：

2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 10, x, y

已知這 11 個數據的算術平均數是 6，全距是 8。請選出正確的選項。

(1) x與y 的平均數必為 6 (2) 中位數等於 7

(3) 中位數等於 6 (4) 標準差必≥ 2

(5) 標準差必≤ 2

(4)

5. 設一元三次整係數多項式ax³+bx²+cx d+ = 有一根為0 − +1 i。已知若將此方程式的三個根和原點在複數平面上標出，則可圍成一個平行四邊形。試問下列敘述何者正確？

(1) 此四邊形必為一正方形 (2) 此四邊形之面積必為 2 (3) d =4

(4) c必為 3 的倍數

(5) a b c d+ + + 必為 3 的倍數

貳、選填題

說明：1.第A-B題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號 (6–

15)。

2.每題完全答對得10點，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A.一飛機在跑道上機場以固定的仰角及速度離開地面向東爬升。某人站在飛機起飛處正東 700 公尺的地面上觀測。飛機起飛 5 秒後，正好經過此人正上方。再過5 秒後，此人測得飛機的仰角為60 ，此飛機每秒飛行^D ○6 ○7 ○8 公尺。

B.設A(2,1)、B( 4,8)− 、C為坐標平面上三點，O為原點，滿足OC aOA bOBJJJK= JJJK+ JJJK (a、b為實數)。若C在直線AB 上，且OCJJJK

垂直JJJKAB

，則a= ； b= 。（化成最簡分數）。

9 11

10 12

13 15

14

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(卷 3)試題第二部份

說明：此題為計算證明題，請在非選擇題答案卷上之作答區內作答，並從作答區第一大題方格下方開始連續作答，且標明你作答的題號。

第一題

某一早餐店專售三明治，已知每個三明治的成本為 8 元。當每個三明治售價訂為 2 0 元時，每天可賣出 1 0 0 個三明治。若每個三明治的售價每降 1 元時，每天可多賣出 2 5 個三明治。

（ 1 ）若三明治之售價為 1 2 元，則老闆每天可賣出多少個三明治？ ( 3 分 )

（ 2 ）試問老闆應將三明治之售價訂為多少，其利潤最大？並求其利潤。 ( 8 分 )

第二題

在一個牽涉到兩個未知量x y 的線性規劃問題中，有三個限制條件。坐標平面, 上符合這三個限制條件的可行解區域是一個三角形區域ABC。已知目標函數

( , )

f x y =ax by+ （a b 是常數），在此三角形的一個頂點, A(12,3)上取得最大值 42，而在另一個頂點B(6,1)取得最小值20。現因實務需要，加入第四個限制條件，結果可行解區域變成一個四邊形區域BCDE，其中D、E 之坐標分別為

(10,4)和(9,2)。

（1）試求 ,a b 的值。(4 分)

（2）在四個限制條件下，求 f x y( , )=ax by+ 的最大值與最小值。(4 分)

（3）設三角形 ABC 的頂點 C 坐標為

( )

^{s t}^, ^，試說明^s⁺²^t⁼¹⁸^且1≤ <s 10。(5 分)

背面尚有問卷

(6)

問卷

各位同學：

首先非常感謝你們協助此次的研究計劃進行。此次試題主要是了解我國目前高中生對有關數學推理及理解的能力，作為未來命題研究的參考。也請你幫我們填寫此份問卷。

大學入學考試中心第一處敬上

請依題號劃記在答案卡之「解答欄」

16. 你覺得此卷較一般的試題，難度較（單選）

（1）高（2）差不多（3）低（請跳答第 18 題）

17. 你覺得難度較往年的試題高的原因是（可多選，作答後請跳答第 19 題）

（1）計算太過複雜

（2）試題敘述不夠清楚

（3）平常很少見到的試題，不知如何下手

（4）其他

18. 你覺得難度較往年的試題低的原因是（可多選）

（1）很容易想到解題的概念

（2）常在參考書籍看見的類似題

（3）平常練習時常見的練習題

（4）其他

19. 你覺得非選擇題作答時間四十分鐘是否足夠（單選）

（1）非常足夠，有時間可檢查

（2）足夠，剛好做完

（3）不夠，只能作答一半

（4）不夠，只能讀完整題題目，沒有時間作答 20. 你的性別是（單選）

（1）男

（2）女

21. 你高一所使用教科書版本為（可多選）

（1）三民（2）正中（3）南一（4）康熙

（5）翰林（6）龍騰（7）教師自編教材 22. 你高二所使用教科書版本為（可多選）

（5）翰林（6）龍騰（7）教師自編教材 23. 你高三所使用教科書版本為（可多選）

（5）翰林（6）龍騰（7）教師自編教材

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