L16 遞增遞減函數延拓到閉區間 微分相等的函數之間差一常數 4.3 local extreme values (局部極值
Let f and g be decreasing on I, then f+g is decreasing on I.
Q:這邊用的是定義還定理？A:定義，自變數越大則函數值越小。
pf:
Let x1<x2 in I.
∵ f and g are decreasing on I.
∴ f(x1)>g(x2) and g(x1)>g(x2)
⇒ f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2)
⇒f+g in decreasing on I.
Q:什麼樣的函數會遞減(增)？A:一階微分小(大)於 0 在 I 上。反過來則不對
Thm:Let f be increasing on (a,b).If f is cont. at a (c.f. b), then f is increasing on [a,b) (c.f.(a,b]). 延拓到端點
如果函數在 a 點連續，則函數在 a 閉 b 開遞增。
Q:Let f be increasing on (a,b)，在哪裡遞增？A:(a,b)內部 Q:改成[a,b)會遞增嗎？A:不一定，如果在 a 上連續就會。
Q:如果這點不連續會不會遞增？A:不一定
eg.
○1 Find the intervals on which f increases or decreases.
Let f(x)=√(1-x^2) on [-1,1].
○2 4/5x^5-3x^4-4x^3+22x^2-24x+6
Q:決定遞增遞減有兩種方法？
A:1 根據定義、2 根據定理，函數要可微。
L16 遞增遞減函數延拓到閉區間 微分相等的函數之間差一常數 4.3 local extreme values (局部極值
pf:○1
∵ f'(x)= 2x/(2√(1-x^2 ))=-x/(1-x^2 )
∴ f'(x) �> on (−1,0)
< on ( 0,1)
⇒ f �↗ on (−1,0)↘ on ( 0,1) 利用上述定理
∵ f is cont. on -1, 0 and 1.
∴ �↗ on [−1,0]
↘ on [ 0,1]
pf:○2
f'(x)=4x^4-12x^3-12x^2+44x-24=4(x+2)(x-1)^2(x-3)=0 f': + -2 - 1 - 3 +
∵ f' �
> 0 𝑜𝑛 (−∞, −2)
< 0 𝑜𝑛 ( −2, 1)
< 0 on ( 1, 3)
> 0 on ( 3, ∞)
∴ f �
↗ 0 on (−∞, −2)
↘ 0 on ( −2, 1)
↘ 0 on ( 1, 3)
↗ 0 on ( 3, ∞)
∵ f is cont. at -2,1 and 3.
∴ f �
↗ 0 on (−∞, −2]
↘ 0 on [ −2, 1]
↘ 0 on [ 1, 3]
↗ 0 on [ 3, ∞)
⇒↘ [ −2, 3]
L16 遞增遞減函數延拓到閉區間 微分相等的函數之間差一常數 4.3 local extreme values (局部極值
Thm:Let f:I→ℝ be diff. If f'≡0 on I, then 表○1 ∃ c ∈ℝ s.t. f(x)≡0(or f(x)=c ∀ x∈I) 表○2 f(x)≡c for some c ∈ℝ(or where c ∈ℝ) pf:By Mean-value thm.
cor推論:Let f, g:I→ℝ be function.If f'=g' on I, then ∃ c∈ℝ s.t. f(x)≡g(x)+c.
極重要 By the way~定理出來一直往下推
~出社會前勢在必行的條件，一個企畫案一個月兩個月。
~統計資料出來台灣沒有人才的比率五成，兩個人就有一個不是人才。
pf:
Let h=f-g, then h'=f'-g'=0 on I.
⇒∃ c∈ℝ s.t. h≡c
⇒h=f-g=c
⇒f=g+c
e.g. Find f s.t. f'(x)=6x^2-7x+5 and f(2)=1.
pf:
∵ (2x^3-7/2x^2+5x)'=6x^2-7x+5 找 g 使得它的微分等於 f
∴ f(x)=2x^3-7/2x^2+5x+c f(2)=16-14+10+c=1⇒c=-13
⇒ f(x)=2x^3-7/2x^2+5x-13 Ex.P165(15.2430.55.56.58)
L16 遞增遞減函數延拓到閉區間 微分相等的函數之間差一常數 4.3 local extreme values (局部極值
§ 4.3 local extreme values
第一個遞增或遞減的數學建模找出高低點，哪一類函數會遞增遞減 第二個高峰或低峰的數學建模找出高低峰，哪裡會產生高峰低峰 高峰低峰上的比較值沒有意義，高(低)峰不一定是函數的最大值。
只是局部的高(低)峰
Q:憑什麼叫局部最大？A:某高峰它最大
Def:Let f:I→ℝ be a function.
○1 We say that f has a local maximum value at c, if ∃ δ>0 s.t. f(x)≤f(c), ∀ x∈(c-δ,c+δ).
我們說函數在 c 有局部極大值，如果存在有以 δ 半徑的區間，使得 函數小於 c 函數值，對每一個 x 在(c-δ,c+δ)。
○2 We say that f has a local minimum value at d, if ∃ δ>0 s.t. f(x)≥f(c), ∀ x∈(c-ζ,c+ζ).
○3 The local Maxmimun values of f and local minimun values of f are called the local extreme values of f.
畫圖至少要找局部極值
從所求想起，給了題目也給答案，要中間的推倒
如果將來要走研發方面，本來就沒有答案，有的只是題目~必要條件想起 若 P 則 Q(P⇒Q) If~,~then.
P 充分條件 sufficient condition、Q 必要條件 necessary condition 充分條件的意思，滿足它，一定得到結果。所以叫充分條件。
必要條件是有這個條件，一定可以推到這個結果。
蹦~今天怎麼這麼多人在睡覺~
可微則連續。如果要可微，一定要連續。
可微對連續來講，可微充分條件 連續對可微來講，連續必要條件
Question:How to find local extreme values ?想法~若有它，則滿足它的性質。
Local Max
Local Min
