求成功次數的期望值與標準差

單元2 二項分布與幾何分布 習題 三年____班 座號：____ 姓名：

觀念澄清

下列敘述對的打「○」，錯的打「×」

□ (1)重複丟一枚均勻硬幣 4 次，恰出現 3 次正面的機率為 4 3

□ (2)重複丟一枚均勻硬幣 10 次，恰出現 3 次正面的機率與恰出現 7 次正面的機率相等

□ (3)重複丟一枚均勻的硬幣，直到第三次才出現正面的機率為C₁³ )³ 2 (1

一、基礎題：

1.有 6 題是非題，某生每題皆隨意作答。已知每題答對與否皆為獨立事件，求下列各事件的機率。

(1)恰答對 2 題 (2)至少答對 3 題

2.袋中有大小相同的紅球 3 顆、白球 2 顆。每次從袋中取出 1 球，觀察顏色後再放回袋中，共取球 3 次。已知每一次取球 都為獨立事件，且每球被抽到的機會均等，求下列各事件的機率。

(1)取到 2 次紅球 (2)取到紅球的次數大於取到白球的次數

3.右圖是一個分支管道圖。從上方 A 處放入一顆彈珠，設彈珠會隨機地向右或向左落下。

已知彈珠在分支處向右或向左落下的機率相等，求彈珠出現在B 處的機率

4.甲、乙兩人進行「剪刀、石頭、布」的猜拳遊戲，其中甲勝叫做成功，乙勝或平手叫做失敗。今兩人猜拳 60 次，

求成功次數的期望值與標準差

5.袋中有大小相同的紅球 3 顆、白球 1 顆，每次從袋中隨機取出 2 球，觀察顏色後再放回袋中，共取 8 次，設每顆球被取 到的機率均等且每一次取球都為獨立事件。令隨機變數X 表示兩球都是紅球的次數，求 X 的期望值與標準差。

6.重複「同時擲兩粒公正骰子」，觀察所出現的點數，求直到第 3 次才出現兩粒骰子的點數和為 7 的機率

7.袋中有大小相同、編號 1、2、3、4、5 的號碼球各 1 顆。每次從袋中取出 1 球，觀察取到的號碼後再放回袋中。已知 每一次取球都為獨立事件，且每球被取到的機會均等。

(1)求直到第 4 次才取到偶數號碼球的機率

(2)令隨機變數 X 表示第一次取到偶數號碼球所需的次數，求 X 的期望值

二、進階題：

8.某抽獎活動依排隊順序抽獎，輪到抽獎的人可丟一枚均勻硬幣一次，出現正面可得獎品一份，反面則沒中獎。已知獎品 共有三份，且三份獎品都被抽中活動就結束，求排在第七位的人抽獎後活動就結束的機率。

9.如下圖，P 點在數線上的原點。今擲一粒公正骰子決定 P 點的移動方式：

當點數出現1 或 2 時，P 點向右移 1 單位；當點數出現 3，4，5，6 時，P 點向左移 1 單位。

求擲骰子5 次後 P 點停在－1 處的機率。

10.袋中有大小相同的紅球 4 顆、白球 x 顆。每次從袋中任取 1 球，觀察顏色後再放回袋中，共取球 n 次，設每顆球被取 到的機率均等且每一次取球都為獨立事件。已知取到紅球次數的期望值為5 次，標準差為 2 次，求 x 與 n 的值。

11.從 3 人中選出 1 人買飲料。選法如下：這 3 人各丟一枚均勻硬幣 1 次，稱為一輪；每一輪中，若有 1 人與另 2 人丟出 的硬幣不同面，則此人獲選，否則進行下一輪，直到有人獲選為止。

(1)求第一輪就可以決定人選的機率

(2)求三輪內(含三輪)就可以決定人選的機率 (3)求決定人選所需輪數的期望值

12.某科系宣稱該系新生男女錄取的比例相等。今檢定男女錄取的比例，並列出前三個步驟如下：

○¹ 假設「男女錄取的比例相等」；

○² 確立檢定統計量為「隨機抽取7 名新生中女生的人數」；

○³ 設定顯著水準為0.05 回答下列問題：

(1)已知隨機變數 X 表示女生的人數，求拒絕域

(2)若試驗的結果為 7 名新生中有 1 名女生，則是否拒絕「男女錄取的比例相等」的假設？

單元2 二項分布與幾何分布 習題 三年____班 座號：____ 姓名：

觀念澄清

下列敘述對的打「○」，錯的打「×」

□ (1)重複丟一枚均勻硬幣 4 次，恰出現 3 次正面的機率為 4 3

□ (2)重複丟一枚均勻硬幣 10 次，恰出現 3 次正面的機率與恰出現 7 次正面的機率相等

□ (3)重複丟一枚均勻的硬幣，直到第三次才出現正面的機率為C₁³ )³ 2 (1

解： (1)×：重複丟一枚均勻硬幣 4 次，恰出現 3 次正面的機率為C₃⁴ )³ 2 (1 )

2 (1 

4 3

(2)○：重複丟一枚均勻硬幣 10 次，恰出現 3 次正面的機率為C₃¹⁰ )³ 2 (1 )⁷

2 (1 ，

恰出現7 次正面的機率為C₃¹⁰ )⁷ 2 (1 )³

2

(1 ，兩者相等。

(3)×：重複丟一枚均勻的硬幣，直到第三次才出現正面表示前兩次都是反面，其機率為 )² 2 (1 ×

2 1＝

8 1

一、基礎題：

1.有 6 題是非題，某生每題皆隨意作答。已知每題答對與否皆為獨立事件，求下列各事件的機率。

(1)恰答對 2 題 (2)至少答對 3 題 解：是非題答對(成功)的機率為

2

1，答錯(失敗)的機率為 2 1

(1)在 6 題中恰答對 2 題的機率為C₂⁶ )² 2 (1 )⁴

2 (1 ＝

64 15

(2)至少答對 3 題表示答對 3 題、4 題、5 題或 6 題，

其機率為C₃⁶ )³ 2 (1 )³

2

(1 ＋C₄⁶ )⁴ 2 (1 )²

2

(1 ＋C₅⁶ )⁵ 2 (1 )¹

2

(1 ＋C₆⁶ )⁶ 2 (1 ＝

64 1 6 15 20  

＝32 21

2.袋中有大小相同的紅球 3 顆、白球 2 顆。每次從袋中取出 1 球，觀察顏色後再放回袋中，共取球 3 次。已知每一次取球 都為獨立事件，且每球被抽到的機會均等，求下列各事件的機率。

(1)取到 2 次紅球 (2)取到紅球的次數大於取到白球的次數 解：由題意可知，每次取到紅球(成功)的機率為

5

3，取到白球(失敗)的機率為 5 2

(1)取球 3 次，恰有 2 次取到紅球之機率為C₂³ )² 5 (3 )¹

5 (2 ＝

125 54

(2)取球 3 次，取到紅球的次數大於取到白球的次數，即

○¹ 取到3 次紅球，機率為C₃³ )³ 5 (3 ＝

125

27 ，與○² 取到2 次紅球、1 次白球，機率為C₂³ )² 5 (3 )¹

5 (2 ＝

125 54

共125 27 ＋

125 54 ＝

125 81

3.右圖是一個分支管道圖。從上方 A 處放入一顆彈珠，設彈珠會隨機地向右或向左落下。

已知彈珠在分支處向右或向左落下的機率相等，求彈珠出現在B 處的機率 解：彈珠在分支處向右方落下(成功)的機率為

2

1，向左方落下(失敗)的機率為 2 1

彈珠總共會經過分支處3 次。因為當彈珠落入 B 處時，

表示只有2 次向右而 1 次向左，所以其機率為C₂³ )³ 2 (1 )¹

2 (1 ＝

8 3

4.甲、乙兩人進行「剪刀、石頭、布」的猜拳遊戲，其中甲勝叫做成功，乙勝或平手叫做失敗。今兩人猜拳 60 次，

求成功次數的期望值與標準差

解：甲、乙兩人出拳情形與獲勝的情況如表

由上表得知：兩人出拳一次共有9 種情形，其中有 3 種為甲勝，

其機率為9 3＝

3 1

所以這是n＝60，p＝

3

1的二項分布。設隨機變數X 表示甲勝的次數，

則X 的期望值為 E(X)＝np＝60×

3

1＝20 次，與標準差為



601  ＝ 3

30

2 次

5.袋中有大小相同的紅球 3 顆、白球 1 顆，每次從袋中隨機取出 2 球，觀察顏色後再放回袋中，共取 8 次，設每顆球被取 到的機率均等且每一次取球都為獨立事件。令隨機變數X 表示兩球都是紅球的次數，求 X 的期望值與標準差。

解：樣本空間n(S)＝C₂⁴＝6，因為兩球都是紅球的機率 p＝

6

3

C2

＝2

1，所以這是n＝8，p＝

2

1的二項分布，即X~B(8，

2 1)

X 的期望值為 E(X)＝np＝8×

2

1＝4，與標準差為



81  ＝ 2

6.重複「同時擲兩粒公正骰子」，觀察所出現的點數，求直到第 3 次才出現兩粒骰子的點數和為 7 的機率 解：樣本空間n(S)＝6×6＝36，因為同時擲兩粒公正骰子點數和為 7 的方法數＝6 種

點數和為 7 的機率為 p＝

36 6 ＝

6 1

直到第3 次才出現點數和為 7，即前 2 次點數和不為 7，其機率為 )² 6 1 1 (  ×

6 1＝

216 25

7.袋中有大小相同、編號 1、2、3、4、5 的號碼球各 1 顆。每次從袋中取出 1 球，觀察取到的號碼後再放回袋中。已知 每一次取球都為獨立事件，且每球被取到的機會均等。

(1)求直到第 4 次才取到偶數號碼球的機率

(2)令隨機變數 X 表示第一次取到偶數號碼球所需的次數，求 X 的期望值 解：取到偶數號碼球的機率為p＝

5 2

(1)直到第 4 次才取到偶數號碼球，即前 3 次沒有取到偶數號碼球，其機率為 )³ 5 1 2

(  × 5 2＝

625 54

(2)隨機變數 X ~ G(

5

2)的幾何分布，X 的期望值為 E(X)＝

p 1 ＝

5 2 1 ＝

2 5次

二、進階題：

8.某抽獎活動依排隊順序抽獎，輪到抽獎的人可丟一枚均勻硬幣一次，出現正面可得獎品一份，反面則沒中獎。已知獎品 共有三份，且三份獎品都被抽中活動就結束，求排在第七位的人抽獎後活動就結束的機率。

解：由題意可知，中獎的機率為p＝

2 1。

第七位的人抽獎後活動就結束，表示前六位有兩個人中獎、四個人沒中獎，且第七位的人中獎，

其機率為C₂⁶ )² 2 (1 )⁴

2 (1 ×

2 1＝

128 15

9.如下圖，P 點在數線上的原點。今擲一粒公正骰子決定 P 點的移動方式：

當點數出現1 或 2 時，P 點向右移 1 單位；當點數出現 3，4，5，6 時，P 點向左移 1 單位。

求擲骰子5 次後 P 點停在－1 處的機率。

解：由題意可知，向右移的機率為p＝

6 2＝

3

1，向左移的機率為1－

3 1＝

3 2

擲骰子5 次後 P 點停在－1 處，表示有 2 次向右而 3 次向左，其機率為C₂⁵ )² 3 (1 )³

3 (2 ＝

243 80

10.袋中有大小相同的紅球 4 顆、白球 x 顆。每次從袋中任取 1 球，觀察顏色後再放回袋中，共取球 n 次，設每顆球被取 到的機率均等且每一次取球都為獨立事件。已知取到紅球次數的期望值為5 次，標準差為 2 次，求 x 與 n 的值。

解：取到紅球的機率p＝

4 4



x ，隨機變數X~B(n，

4 4

 x ) 期望值為E(X)＝5＝np＝n×

4 4



x ， n＝

4 5 20 x

標準差為



 

 

x

n x ，nx＝x²＋8x＋16













 

16 8 4

5 20

2 x

x nx n x

，得 4 5

20 xx＝x²＋8x＋16，x＝16，－4(不合)，n＝

4 5 20 x

＝25

11.從 3 人中選出 1 人買飲料。選法如下：這 3 人各丟一枚均勻硬幣 1 次，稱為一輪；每一輪中，若有 1 人與另 2 人丟出 的硬幣不同面，則此人獲選，否則進行下一輪，直到有人獲選為止。

(1)求第一輪就可以決定人選的機率

(2)求三輪內(含三輪)就可以決定人選的機率 (3)求決定人選所需輪數的期望值

解：因為有一人與另二人丟出硬幣不同面的機率為p＝C₁³×C₁²× 2 1× )²

2 (1 ＝

8 6＝

4 3

所以這是p＝

4

3的幾何分布。設隨機變數X 表示直到有人獲選為止所進行的輪數

(1)第一輪就可以決定人選的機率為 4 3

(2)三輪內(含三輪)就可以決定人選表示第一輪、第二輪或第三輪就可以決定人選，

其機率為4 3＋

4 1×

4 3＋

4 1×

4 1×

4 3＝

64 63

(3)期望值 E(X)＝

p 1 ＝

4 3 1 ＝

3 4

12.某科系宣稱該系新生男女錄取的比例相等。今檢定男女錄取的比例，並列出前三個步驟如下：

○¹ 假設「男女錄取的比例相等」；

○² 確立檢定統計量為「隨機抽取7 名新生中女生的人數」；

○³ 設定顯著水準為0.05 回答下列問題：

(1)已知隨機變數 X 表示女生的人數，求拒絕域

(2)若試驗的結果為 7 名新生中有 1 名女生，則是否拒絕「男女錄取的比例相等」的假設？

解：(1)在假設成立的條件下，可得女生的比例為 2

1，此時拒絕域取自X 可能的取值之左右兩端。

又因為P(X＝k)＝C_k⁷× )^k 2

(1 × )^7k 2 (1 ＝

128

7

Ck

，k＝0，1，2，…，7

P(X＝0)＋P(X＝7)＝

128

7

C0

＋128

7

C7

＝128

2 0.02＜0.05 (顯著水準)

P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝6)＋P(X＝7)＝

128

7

C0

＋128

7

C1

＋128

7

C6

＋128

7

C7

＝128

16 0.13＞0.05 (顯著水準)

故拒絕域為X＝0，7

(2)因為試驗的結果為 7 名新生中有 1 名女生，並沒有落在拒絕域，所以不拒絕「男女錄取的比例相等」的假設