1-2 數學期望值與二項分配

1 2 ︱

1

3 ︱

1

1-2 數學期望值與二項分配

例題 1

隨機變數 X 定義為 X＝

 



0，機率是 5 6

，則：

( )1 X 的期望值為 ‧ ^{( )2} X 的變異數為 ‧ ( )3 X 的標準差為 ‧

■解：

( )1 X 的期望值 E（X）＝4× 1 6 ＋0×

5 6 ＝

4 6 ＝

2 3

( )2 X 的變異數 Var（X）＝E（X ²）－［E（X）］²＝（4²× 1

6 ＋0²× 5

6 ）－（

2 3 ）²＝ 8

3 － 4

9 ＝ 20

9 ( )3 X 的標準差 σ＝ 20

9 ＝ 2 5

3

例題 2

考慮有 2 個小孩的家庭，以隨機變數 X 表示男孩子的數量，則：

( )1 X 的期望值為 ‧ ( )2 X 的變異數為 ‧ ( )3 X 的標準差為 ‧

■^解：隨機變數 X 的取值為 0，1，2 又 P（｛X＝k｝）＝C²_k（ 1

2 ）²

－k（ 1

2 ）^k，其機率分別為 1 4 ，

1 2 ，

1 4 ( )1 X 的期望值 E（X）＝0× 1

4 ＋1×

1 2 ＋2×

1 4 ＝1 ( )2 X 的變異數 Var（X）＝E（X²）－［E（X）］²

＝（0²× 1

4 ＋1²× 1

2 ＋2²× 1

4 ）－1²＝ 1

2 ＋1－1＝

1 2 ( )3 X 的標準差 σ＝ 1

2 ＝ 2

2

例題 3

某職棒球員的年收入期望值為 300 萬元，標準差為 60 萬元，這職棒球員的經紀人年收入是

從這名球員年收入中抽取 15 %，另外再加固定的 20 萬元，則這經紀人年收入的期望值為 萬元，標準差為 萬元‧

■解：以隨機變數 X 表示這名球員的年收入，則E（X）＝300（萬元），σ＝60（萬元）

這名球員的經紀人年收入是 0.15X＋20（萬元）

故 ( )1 期望值為 E（0.15X＋20）＝0.15E（X）＋20＝0.15×300＋20＝65（萬元）

2 2 ︱

1

3 ︱

1

( )2 ∵Var（0.15X＋20）＝（0.15）²Var（X）＝（0.15）²×60²＝81

∴標準差為 81 ＝9（萬元）

例題 4

一袋中有寫著 20，30，50，80 的卡片各一張‧自袋中隨機取卡片兩次，一次一張，取後放 回，以隨機變數 X 表示兩次的號碼和，則：

( )1 X 的期望值為 ‧ ( )2 X 的標準差為 ‧

■解：以 X1 表示第一次取到的號碼 以 X2 表示第二次取到的號碼

則 E（X1）＝E（X2）＝ 20＋30＋50＋80

4 ＝45

( )1 X 的期望值 E（X）＝E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）＝45＋45＝90 ( )2 Var（X1）＝Var（X2）＝ 1

4 （20²＋30²＋50²＋80²）－45²＝2550－2025＝525 故 X 的變異數 Var（X）＝Var（X1＋X2）＝Var（X1）＋Var（X2）＝525＋525＝1050

X 的標準差為 1050 ＝5 42

例題 5

若 X 與 Y 是獨立的隨機變數，且 Var（X）＝3，Var（Y）＝20，則：

( )1 Var（2X＋3Y）＝ ‧ ( )2 Var（5X－2Y）＝ ‧

■^解： ( )1 ∵2X 與 3Y 也是獨立的隨機變數

∴Var（2X＋3Y）＝Var（2X）＋Var（3Y）

＝2²Var（X）＋3²Var（Y）＝4×3＋9×20＝192 ( )2 ∵5X 與－2Y 也是獨立的隨機變數

∴Var（5X－2Y）＝Var（5X）＋Var（－2Y）

＝5²Var（X）＋（－2）²Var（Y）＝25×3＋4×20＝155

例題 6

( )1 設 X 是一隨機變數且 Var（4X－6）＝144，則 X 的標準差為 ‧

( )2 設 X 是一隨機變數滿足 E（5X²）＝200，且 E（X）＝6，則 X 的標準差為 ‧

■解： ( )1 ∵Var（4X－6）＝Var（4X）＝16Var（X）＝144

∴Var（X）＝9，故 X 的標準差為 9 ＝3 ( )2 E（5X²）＝5E（X²）＝200 E（X²）＝40

∴Var（X）＝E（X²）－［E（X）］²＝40－36＝4 故 X 的標準差為 4 ＝2

3 2 ︱

1

3 ︱

1

例題 7

連續投擲一公正骰子 4 次，以隨機變數 X 表示出現點數為 5 的次數，則：

( )1 X 的期望值為 ‧ ( )2 X 的變異數為 ‧ ( )3 X 的標準差為 ‧

■解：

這是參數為（4， 1

6 ）的二項分配 ( )1 X 的期望值 E（X）＝4× 1

6 ＝ 2

3 ( )2 X 的變異數 Var（X）＝4× 1

6 × 5

6 ＝ 20

36 ＝ 5

9 ( )3 X 的標準差 σ＝ 5

9 ＝ 5

3

例題 8

袋中有紅球 4 個，黑球 6 個，球大小一致且被取出的機會均等，連續自袋中取球 3 次，每次取 一球，取出後放回，則：

( )1 取得紅球次數的期望值為 ‧ ( )2 取得紅球次數的標準差為 ‧

■解：

此為 n＝3，p＝ 2

5 的二項分配

( )1 取得紅球次數的期望值 E（X）＝3× 2 5 ＝

6 5 ( )2 取得紅球次數的變異數 Var（X）＝3× 2

5 × 3

5 ＝ 18

25 ，故標準差為

18 25 ＝

3 2 5

例題 9

調查顯示有 40 %的大學生曾有打工經驗，現抽取 5 位大學生，則至少有 3 位曾有打工經驗 的機率為 ‧

■解：

此為 n＝5，p＝40 %＝ 2

5 的二項分配，因此至少有 3 位曾有打工經驗的機率為 C⁵₃（ 2

5 ）³（ 3

5 ）²＋C⁵₄（ 2 5 ）⁴（ 3

5 ）＋C

5 5（ 2

5 ）⁵＝ 720 3125 ＋

240 3125 ＋

32 3125 ＝

992 3125

例題 10

隨機變數 X 是參數為（6， 2

5 ）的二項分配，X 的期望值為μ，標準差為σ，則 P（｛μ－2σ≦X≦μ＋2σ｝）＝ ‧

4 2 ︱

1

3 ︱

1

■解

：μ＝6× 2 5 ＝

12 5 σ＝ 6× 2

5 × 3

5 ＝ 6

5

∴P（｛μ－2σ≦X≦μ＋2σ｝）

＝P（｛0≦X≦ 24 5 ｝）

＝1－P（｛X＝5｝）－P（｛X＝6｝）

＝1－C⁶₅（ 2

5 ）⁵（ 3

5 ）¹－C⁶6（ 2 5 ）⁶

＝1－ 576 15625 －

64 15625

＝ 14985 15625 ＝

2997 3125