試求 這 8 個數的算術平均數﹑變異數與標準差 解 解解 解 算術平均數 µ

高中數學(2) 3-1 一維數據分析 1

習題習題

習題習題 3-1 解答解答解答解答 一一

一一﹑基本題基本題基本題基本題

1. 試求 1﹐4﹐5﹐7﹐8﹐9﹐10﹐12 這 8 個數的算術平均數﹑變異數與標準差

解 解解

解 算術平均數 1 4 5 7 8 9 10 12 8 7

µ

= + + + + + + + =

變異數

σ

^{2＝1( (1 7 )2 ( 4 7 )2 ( 5 7 )2 ( 7 7 )2 (8 7 )2 ( 9 7 )2 (10 7 )2 (12 7 ) )2}

8 − + − + − + − + − + − + − + −

＝11﹐

2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(1 4 5 7 8 9 10 12 ) 7 11

σ

8

 

= + + + + + + + − =

 

或是變異數 。

標準差

σ = 11

2. 某班平時測驗的成績統計如下表﹐試求平均分數

分數 100 90 80 70 60 50 40 30 人數 1 3 7 4 2 2 0 1

解 解解

解 平均分數

µ

^＝100 1 90 3 80 7 70 4 60 2 50 2 40 0 30 1 20

× + × + × + × + × + × + × + ×

＝73（分）

3. 下表是 107 學年度學科能力測驗英文科級分人數累計表。定義頂標﹑前標﹑均標﹑後標﹑底標分別 為第 88﹑75﹑50﹑25﹑12 百分位數考生的級分。試問此次考試的英文科五標各為幾級分？

級分 人數 累計人數 15 7,407 134,277 14 13,220 126,870 13 12,992 113,650 12 13,365 100,658 11 11,971 87,293 10 9,741 75,322 9 9,566 65,581 8 8,886 56,015 7 7,715 47,129 6 8,332 39,414 5 9,146 31,082 4 9,556 21,936 3 10,426 12,380 2 1,890 1,954

1 60 64

0 4 4

（資料來源：大學入學考試中心）

解解

解解 第 88 百分位數的人數約在 134277×88 ％ ≈ 118163.76 處﹐經查表得頂標為 14 級分 第 75 百分位數的人數約在 134277×75 ％＝100707.75 處﹐經查表得前標為 13 級分 第 50 百分位數的人數約在 134277×50 ％＝67138.5 處﹐經查表得均標為 10 級分 第 25 百分位數的人數約在 134277×25 ％＝33569.25 處﹐經查表得後標為 6 級分 第 12 百分位數的人數約在 134277×12 ％＝16113.24 處﹐經查表得底標為 4 級分

高中數學(2) 3-1 一維數據分析 2

4. 某國家連續四年的經濟成長率分別為 2.5 ％﹐3 ％﹐4 ％﹐2.6 ％﹐試求這四年的年平均成長率為 何？（四捨五入取到百分數的小數點後第一位）

解 解解

解 四年的年平均成長率為 r＝⁴

(1 2.5 % ) (1 3% ) (1 4 % ) (1 2.6 % ) 1 + + + + −

＝ 1.025 1.03 1.04 1.026 1× × × − ≈0.030232977≈3.0 % 按法：按 後輸入 1.025×1.03×1.04×1.026﹐

接著再依序按 ﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹐

5. 已知 7 個數據 476﹐485﹐479﹐482﹐494﹐488﹐491 的算術平均數為 485﹐試求標準化後的數據

解 解解

解 已知算術平均數

µ

＝485﹐而標準差為

σ

^{＝ 1( (476 485 )2 ( 485 485)2 ( 479 485)2 ( 482 485)2 ( 494} 485) +( 488² 485 ) +( 491 485) )^{2 2}

7 − + − + − + − + − − −

＝

252

7

^＝6﹐

故經標準化 _i xⁱ

X

µ

σ

= − ﹐所得的數據為 3 1 3 1 , 0, 1, , , , 1

2 2 2 2

− − −

二二

二二﹑進階題進階題進階題進階題

6. 某班共有 40 人﹐某次月考全班數學的平均成績是 68 分。但成績結算後﹐才發現有兩位學生成績登 錄有誤﹐有一位是 75 分卻登錄為 95 分；另一位是 84 分卻登錄為 48 分。試問這兩位學生成績經 過更正後﹐全班平均成績是多少？

解 解解

解 全班平均成績為 40 68 95 75 48 84 40

× − + − +

＝68.4（分）

7. 某高中數學科計算學期成績的公式如下：平時成績占 30 ％﹐兩次期中考各占 20 ％﹐期末考占 30

％。已知小芬平時成績為 80 分﹐期中考成績分別為 50﹐55 分。試問小芬期末考成績至少需要考多 少分﹐才能使她的學期成績達到 60 分以上？

解解解

解 假設期末考考 x 分﹐依題意可得

80 0.3 50 0.2 55 0.2× + × + × + ×x 0.3≥60﹐得 x≥50﹐ 故小芬期末考至少需要考 50 分

8. 已知 5 個數 x₁+ + + + =x₂ x₃ x₄ x₅ 50 且

x

₁²

+ x

₂²

+ x

₃²

+ x

₄²

+ x

₅²

= 580

﹐則這 5 個數的標準差為何？

解解解

解 5 個數的標準差為

2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4

5 5

x +x +x +x +x x + + + +x x x x 

−  =

 

高中數學(2) 3-1 一維數據分析 3

9. 某公司 9 名員工薪水如下：

27530﹐30890﹐28010﹐28490﹐29930﹐28490﹐28970﹐29450﹐28970

（元）﹐將以上數據減去 27050 後再除以 480﹐得新數據如下：

1﹐8﹐2﹐3﹐6﹐3﹐4﹐5﹐4。

(1) 新數據的算術平均數及標準差為何？

(2) 公司員工薪水的算術平均數及標準差為何？

解 解解

解 (1) 將原數據 x_i 減去 27050 再除以 480﹐

得新數據 y_i 27050 480 xi−

 

 

即  為 1﹐8﹐2﹐3﹐6﹐3﹐4﹐5﹐4﹐計算可得﹐

新數據之算術平均數為

1 8 2 3 6 3 4 5 4 9 4

µ

y = + + + + + + + + = ﹐ 新數據之標準差為

σ

y^{＝ (1 4 )2 (8 4 )2 ( 2 4 )2 ( 3 4 )2 ( 6 4 )2 ( 3 4 )2 ( 4 4 )2 ( 5 4 )2 ( 4 4 )2}

9

− + − + − + − + − + − + − + − + −

＝2

(2) 由 27050 480

i i

y = x − 及

µ

_y =4﹐

σ

_y =2 可得﹐

27050 480 4

x y

µ

=

µ

⁻ = ﹐解得

µ

_x =480 4 27050× + =28970

480 2

x y

σ

=

σ

= ﹐解得

σ

_x =480 2× =960

故公司員工薪水的算術平均數為 28970 元﹐標準差為 960 元

三三

三三﹑挑戰題挑戰題挑戰題挑戰題

10. 某一次數學競賽﹐只有 10 位同學參加﹐其成績的平均分數為 56 分﹐標準差為 4 分。若已知此 10 人中之 8 個人的成績分別為 50﹐52﹐53﹐54﹐56﹐57﹐60﹐61 分﹐則其他兩人的成績為何？

解解解

解 假設這兩人的成績為 a﹐b（且 a≥b）﹐將所有人的成績減去 56﹐

得新數據 y_i（即 x_i−56）為 a−56=a′﹐b−56=b′﹐－6﹐－4﹐－3﹐－2﹐0﹐1﹐4﹐5

則有 ^{2 2 2 2 2 2 2 2 2 2}

( 6 ) ( 4 ) ( 3) ( 2 ) 0 1 4 5 0,

( ) ( ) ( 6 ) ( 4 ) ( 3) ( 2 ) 0 1 4 5 10 4,

a b

a b

′ + + − + − + − + − + + + + = ′

 

 ′ + ′ + − + − + − + − + + + + =

 

﹐

化簡得 ₂

5,

₂

( ) ( ) 53, a b

a b

′ + = ′

 

′ + ′ =



解得 a′ =7﹐b′ = −2﹐

故 a＝63﹐b＝54﹐即其他兩人的成績為 63 分與 54 分