朱緒鼎

4

一 . 簡 介

前頁雖不是胡言胡語, 也可算是痴言痴 語。 現在正式介紹本文所要討論的流。

假設下圖表示一個封閉的運輸系統。

.

...

.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .

.. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . .. . . .. .. . . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. . . .. . .. . .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .

v

₁

. v

₂

v

₄

v

₅

v

₃

• •

•

•

•

圖1

v

₁

, v

₂

, v

₃

, v

₄

, v

₅

代表中轉站, 連接站 與站之間的線條表示運輸的線路。

假設對每一運輸線路賦以一個方向和一 個實數。 其解釋如下: 若連接 v

1

, v

₂

的線 路賦以方向為 v

₁

−→ v

2

, 且值為2.5, 則表 示設該線路將 2.5 個單位的“物質”從 v

₁

運 送到 v

₂

, 若連接 v

3

, v

₄

的線路賦以方向是 v

₃

−→ v

4

, 其值為 −1, 則表示沿該線路將

−1 個單位的物質從 v

3

運送到 v

₄

, 等價於將 一個單位的物質從 v

₄

運送到 v

₃

。

這種賦值和方向稱之為該系統的一個權 函數 (weight)。 如果一個權函數滿足下面的 平衡條件

(∗) 對每一個中轉站 v

_i

, 流進 v

i

的物質

= 流出 v

i

的物質,

則我們稱它為一個流。 所以一個流, 是一個特 殊的權函數。

這裡定義的流, 也許可以用一個更時髦 的名字“清流”— 因為每一個中轉站都不貪

污、 揩油, 收多少, 出多少。 不過, 時髦的東西 往往不能久遠, 我們還是用這個清淡名字—

流 (flow)。

流, 就是這篇文章討論的主題。

二 . 符號、 定義

首先, 我們介紹幾個名詞和符號。

形 如 圖 的 系 統 我 們 稱 之 為 一 個 圖 (Graph)。 嚴格地講, 一個圖由兩個集合組 成: 頂點集 ( 對應於中轉站) 和邊集 (對應 於運輸線路)。 常常用 G = (V, E) 表示一 個圖。 V 是頂點集, E 是邊集。 E 中的每一 個元素 (每一條邊), 對應於兩個不同的頂點。

若 e ∈ E 對應於頂點 x, y, 則稱 e 是連接 x 和 y 的邊, x, y 為 e 的端點。 若有兩條 邊 e, e

^′

連接相同的兩點 x, y, 則稱 e, e

^′

為 重邊。 在本文中, 重邊是被允許的。 有些地方, 圖中的一條邊的兩個端點可以是同一個頂點。

但在這裡, 我們不考慮這樣的圖。

若 x, y ∈ V 有一條邊連接它們, 則稱 x, y 相鄰, x 為 y 的鄰居, y 也為 x 的鄰居。

記 N

_G

(x) 為 x 的鄰居全體形成的集合, 其 大小 |N

_G

(x)| 記為 d

G

(x), 稱之為 x 的度 (degree)。

假設 G = (V, E) 是一個圖。 給 G 的 每一條邊賦以一個方向, 我們得到一個有向 圖, 記作 ~G = (V, ~E)。 我們稱 ~G 是通過 G 賦以方向所得的有向圖, ~E 中的每一元素 是一條有向邊, 它對應於一個有序的頂點對。

若 e ∈ ~E 對應的有序頂點對是 (x, y), 稱 e 為從 x 到 y 的邊, 有時記作 e = x → y, y 為 e 的頭, x 為 e 的尾, y 為 x 的出鄰居,

x 為 y 的入鄰居。 記 N

⁺

(x) 為 x 的出鄰 居的全體, N

⁻

(x) 為 x 的入鄰居的全體。 記 E

⁺

(x) 為以 x 為尾的邊的全體, 記 E

⁻

(x) 為以 x 為頭的邊的全體。

有了這些概念, 我們可準確的定義權和 流如下:

定義1: ~G= (V, ~E) 上的一個權是一個 映射 f : ~E → R。 ~G= (V, ~E) 上的一個流 是一個滿足如下條件的權,

(∗) ∀v ∈ V,

^X

e∈E

⁺

(v)

f(e) =

^X

e∈E

⁻

(v)

f(e).

定義2: 假設 A ⊂ V 是 V 的一個子集, A6=

^∅

, A6= V 。 令 B = V − A。 稱 (A, B) 為 ~G 的一個分割, 我們也用 (A, B) 表示所 有連接 A 和 B 的邊的全體。 所以, 一個分割 也是一個邊的子集。 記 [A, B] 為 ~G 中所有 從 A 到 B 的邊, 即

[A, B] = {x → y : x ∈ A, y∈ B}。

引理1: 若 f 是 ~G= (V, ~E) 的一個流, (A, B) 是 ~G 的一個分割, 則

X

e∈[A,B]

f(e) =

^X

e∈[B,A]

f(e)

證明: 在求和公式

X

v∈A

(

^X

e∈E

⁺

(v)

f(e) −

^X

e∈E

⁻

(v)

f(e)) 中, 對每一條 [A, B] 中的邊 e, f (e) 出現 一次, 對每一條 [B, A] 中的邊 e, −f (e) 出 現一次, 對兩端點都在 A 中的邊 e, f (e),

−f (e) 各出現一次。

對兩端點都不在 A 中的邊 e, f (e),

−f (e) 均不出現。 故

X

v∈A

 X

e∈E

⁺

(0)

f(e) −

^X

e∈E

⁻

(0)

f(e)

^

=

^X

e∈[A,B]

f(e) −

^X

e∈[B,A]

f(e)

因為對任何 v ∈ V ,

X

e∈E

⁺

(0)

f(e) −

^X

e∈E

⁻

(0)

f(e) = 0,

故引理得證。

三 . 流指標 和幾個重要猜想

定義3: 設 r ≥ 2 是一個實數。 ~G = (V, ~E) 上的一個流 f 稱之為一個 r-流, 如 果 ∀e ∈ ~E, 1 ≤ |f (e)| ≤ r − 1。

引理2: 設 f 是 ~G= (V, ~E) 上的一個 r-流。 ~G

^′

= (V, ~E

^′

) 由 ~G 改變一條邊 e

₀

的 方向所得 (即若 e

₀

= x → y ∈ ~E, 則 e

^′ ₀

= y → x ∈ ~E

^′

, 且 ~E− {e

0

} = ~E

^′

− {e

^′ ₀

})。

令 f

^′

: ~E

^′

→ R 為 f

^′

(e

^′ ₀

) = −f (e

0

),

∀e ∈ ~E

^′

− {e

^′ ₀

}, f

^′

(e) = f (e) 則 f

^′

是 G~

^′

的一個 r-流。

引理 2可由定義直接驗證, 證明從略。 由引理 2 可得, 設 ~G, ~G

^′

都是由 G 賦以方向所得 的有向圖, 若 ~G 有一個 r-流, 則 ~G

^′

也有一 個 r-流。 所以, 是否存在 ~G 的一個 r-流是由 圖 G = (V, E) 的結構決定, 與邊的方向性 無關。 由此, 我們可定義一個圖 G = (V, E) 的流指標 (flow index) 如下:

定義4: 設 G = (V, E) 是一個圖。 設 G 是由 G 賦以方向所得的有向圖。 若 ~~ G 有 一個 r-流, 則稱 G 存在一個 r-流。 G 的流 指標 F (G) 定義如下:

F(G) = inf{r : G 存在一個 r-流 } 若對任意 r ∈ R, G 不存在 r-流, 則 F(G) = ∞。

首先, 我們看什麼樣的圖 G, 其流指標 F(G) = ∞。 若 G 有一分割 (A, B) 恰 有一條邊 e, 則根據引理 1 可知, 對 ~G 的任 何一個流 f , f (e) = 0, 故 G 不存在一 個 r-流。 我們稱只含有一條邊的分割為一個 橋 (bridge)。 所以, 有橋的圖其流指標為無窮 大。

反之, 任何一個無橋的圖, 都有一個有限 的流指標。 而且流指標都不是太大。

接下來, 我們看什麼圖 G, 其流指標 F(G) = 2。 為方便起見, 我們可假設 G 是 連通圖 (若不然; 則各個連通分支分開考慮即 可)。 若 f 是 ~G 上的一個2-流, 則對 G 的任 何一條邊 e, f (e) =±1。 因為對任意頂點 v,

X

e∈E

⁺

(0)

f(e) −

^X

e∈E

⁻

(0)

f(e) = 0, 我們一定有 |E

⁺

(v) ∪ E

⁻

(0)| ≡ 0 (mod 2)。(因為奇數個 ±1 的代數和不可能等於0)。

所以 G 的每個頂點的度數都是偶數。

反過來, 若 G 的每個頂點的度數都是偶 數, 則 G 有一個歐拉迴路 (即一個封閉的路 線通過該分支的每條邊恰好一次。 若你有考 慮過一筆畫的問題, 慢慢思考一下, 應可以理 解。 若從來沒考慮過一筆畫問題, 也許你會有 興趣, 現在考慮一下, 並找一點相關的資料看

看)。 沿著該迴路的方向給每一條邊賦向, 再 令 f (e) = 1, 就得到了 ~G 上的一個2-流, 故F (G) = 2。

所以, F (G) = 2 ⇐⇒ G 的每個頂點 的度數為偶數。 那麼, 對於其它的圖, F (G) 的值會是少呢?

猜想1: 若 G 是一個無橋的圖, 則 F(G) ≤ 5。

猜想 1 是 Tutte 在 1954 年提出來的。

近五十年過去了, 猜想依然沒有解決。 不過, P. Seymour 在 1981 年證明了下面的定理。

定理1: 若 G 是一個無橋的圖, 則 F(G) ≤ 6。

定理 1離猜想1很近了, 但最終解決猜想 1 還是很難。 Tutte 還有兩個關於流的猜想, 也是非常困難的問題。

假設 e = xy 是 G 的一條邊, 將邊 e 收縮 (為一個頂點) 是指從 G 中去掉頂點 x, y (及與之相連的邊), 加進新的頂點 z, 使 得 N (z) = (N(x) ∪ N(y)) − {x, y}。 直 觀上, z 是由將 x 和 y 合成一點得到的。 若 E

₀

∈ E 是 G 的一組邊, 將 E

0

中的每一條 邊收縮, 得到的圖記作 G|

_E

₀。

如果我們從 G 中去掉一些點和邊, 得到 的圖稱為 G 的子圖。 如果我們將 G 的一個 子圖的一些邊收縮, 得到的圖稱為 G 的 mi- nor。

Petersen 圖

上圖是一個很特別的圖, 它的名字叫 Pe- tersen 圖。

猜想2: 若 G 是一個無橋的圖, 且 Pe- tersen 圖不是 G 的一個 minor, 則 F (G) ≤ 4。

猜想3: 若 G 是一個無橋的圖, 且 G 沒有一個分割 (A, B) 恰好有三條邊, 則 F(G) ≤ 3。

這三個猜想在圖論的研究中受到極大的 重視, 它們和許多其它的圖論問題有聯繫。 與 之相關的研究很多, 也取得相當的成就, 但問 題的最終解決還是可望不可及。

四 . 整數流

若 ~G 的一個流 f 滿足 f(e) ∈ Z, 稱 f 是一個整數流。 若 r ≥ 2 是一個整數, f 是一 個 r-流, 且是一個整數流, 則稱 f 為一個處 處不為零的 r-整數流。 所以, 一個處處不為 0 的 r-整數流是一個映射。

f : ~E→ {−r + 1, −r + 2, · · · ,

−1, 1, 2, · · · , r − 1}

滿足

(∗) ∀v ∈ V,

^X

e∈E

⁺

(v)

f(e) =

^X

e∈E

⁽

v)

f(e).

根據定義, 若 r ≥ 2 是一個整數, 則任 何一個處處不為零的 r-整數流是一個 r-流。

反過來, 一個 r-流卻不一定是一個處處不為 零的 r-整數流。 不過, 我們有如下的引理:

引理3: 若 r ≥ 2 是一整數, ~G 存在一 個 r-流, 則 ~G 存在一個處處不為0的 r-整數 流。

證明: 令 f 是 ~G 的一個 r-流, 令 E~

_f

= {e ∈ ~E, f(e) 6∈ Z}。 取 f 使得 | ~E

_f

| 最小 (即 ~G 中 f 值不為整數的邊最少)。 若 E~

_f

=

^∅

, 則 f 是一個處處不為 0 的 r-整數 流。 假設 ~E

₀

6=

^∅

。 ~E

_f

中的邊生成的有向圖 G~

₀

= (V, ~E

_f

) 是 ~G= (V, ~E) 的子圖。

首先我們證明 ~G

₀

也是一個無橋的圖。

假設相反, (A, B) 是 ~G

₀

的一個分割, ~G

₀

恰 有一條連結 A 和 B 的邊 e

^∗

。 (A, B) 也是 G 的一個分割。 根據引理~ 1,

X

e∈[A,B]

f(e) =

^X

e∈[B,A]

f(e).

注意, 這裡 [A, B] 是指所有 ~G 中從 A 到 B 的邊, [B, A] 是指所有 ~G 中從 B 到 A 的 邊。

不失一般性, 假設 e

^∗

∈ [A, B]。 因 為 [A, B] 和 [B, A] 中的其它邊都不屬 於 ~E

₀

, 即這些邊上的 f 值都是整數。 故

P

e∈[A,B]

f(e) 不是整數, 而

^P _e∈[B,A]

f(e) 是整數。 矛盾。 所以我們證明了 ~G

₀

是一個 無橋的圖。

令 e

^∗

= x → y 是 ~G

₀

中的一條邊。 因 為 ~G

₀

無橋, 在 ~G

₀

− e

^∗

中, 有一條連接 x 和 y 的路。 如下圖所示:

.

... ..

v

₁

.

v

₂

v

_n−1

x y

•

• • • •

•

•

.. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . . .. . .. . .. . .. . .. . . ... . ...

.

... ... ...

.. ...

.

... .

. .. . . .. .. . . .. . .. . .. . . .. .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. ... ...

圖2

記這條路為 (x = v

0

, v

₁

, v

₂

,· · · , v

n−1

, v

n

= y)。 其中, v

i

∈ V 是 ~G

₀

的頂點, 且對任 意的 i, 或者 v

_i

→ v

i+1

是 ~G

₀

的一條 邊, 或者 v

_i+1

→ v

i

是 ~G

₀

的一條邊。 令 e

_i

= v

i

→ v

i+1

或 e

_i

= v

i+1

→ v

i

, 注意根 據定義, f (e

_i

) 不是整數。 故

1 ≤ ⌊f (e

i

)⌋ < f (e

i

) < ⌈f (e

i

)⌉ ≤ r − 1 令 δ

^∗

= f (e

^∗

) − ⌊f (e

^∗

)⌋,

對 i = 0, 1, · · · , n − 1, 令 δ

_i

=







⌈f (e

_i

)⌉−f (e

_i

) 若 e

_i

= v

_i

→ v

_i+1

f(e

i

)−⌊f (e

i

)⌋ 若 e

i

= v

i+1

→ v

i

令 δ = min{δ

^∗

, δ

₀

, δ

₁

,· · · , δ

n−1

}。

重新定義一個

G^~ = (V, E)

上 的權函數

f

^′ 如下

:

f

^′

(e)=



 

 

 

 



 

 

 

 



f(e)

若

e6=e

^∗

, e

₀

, e

₁

,· · · e

n−1

f(e)+δ

若

e = e

i

= v

i

→ v

v+1

f(e)−δ

若

e= e

i

= v

i+1

→ v

i

或

e = e

^∗

.

容易驗證

, f

^′ 也是

G^~

的一個

r-

流

,

且

|E

_f

^′| < |E

_f

|

。

(

請讀者

自行驗證

,

若有問題

,

則需 重讀一遍定義

,

或找同學

,

老師討論

)

。 這與我們選取

f

的方式矛盾。 引理

3

得證。

根據引理

3,

前面介紹過 的猜想可敘述如下

(

這才 是這些猜想的原始陳述方 式

):

猜想1: 每一個無橋的圖都有一個處處 不為 0 的 5-整數流。

猜想2: 若 G 是一個無橋圖, 且 Pe- tersen 不是 G 的一個 minor, 則 G 有一 個處處不為 0 的 4-整數流。

猜想3: 若 G 是一個無橋圖, 且 G 沒有 一個分割 (A, B) 恰含 3 條邊, 則 G 有一個 處處不為 0 的 3-整數流。

五 . 平面 圖的面著色

一個圖 G 的平面嵌入是指將圖 G 畫 在平面上 (即畫在紙上) 使得任意兩條邊都 不“交叉”。

例如:

... .

... ..

. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .

•

•

•

• 圖3

圖三就是一個圖的平面嵌入。

有些圖存在平面嵌入, 有些圖則不存在 平面嵌入。 例如 Petersen 圖就不存在平面嵌 入。 也就是說, 不管你怎麼畫, 總有兩條邊會 交叉。 (注: 所謂把圖畫在平面上, 即是用點 來代表圖的頂點, 圖的一條連結 x, y 兩頂點 的邊, 則用一連接 x, y 兩點的曲線段表示。

曲線的形狀, 點的位置可任意選取)。 一個平 面圖是指一個已經嵌入在平面上的圖 (即已 畫好的圖, 畫好是指邊與邊不交叉)。

若 G 是一個平面圖, G 的一個面是指 一個由 G 的邊所界定的平面上的極大區域。

例如:

. ..

... .

. . .

... .

.. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .

F

₁

F

₂

F

₃

F

₄

•

•

•

• 圖4

圖四的平面圖有 4個面, 包括一個無窮盡的面 F

₄

, 及三個有限面 F

1

, F

₂

, F

₃

。

一個平面圖的面著色是指將它的每個面 塗上一種顏色, 使得有公共邊界的面塗不同 的顏色。 至於無公共邊界的面則可塗相同的 顏色, 當然也可塗不同的顏色。 例如圖四中的 4 個面, 兩兩都有公共邊界, 故兩兩要塗不同 的顏色。

圖論中有一個著名的問題, 稱之為四色 問題。 它是指下面的命題:

命題1: 每一個平面圖的面都可用四種 顏色著色。

這一問題 1852 年由一個地圖印刷廠工 人提出, 1860 年出現在印刷品中, 1878 年在 倫敦的一次會議中作為一個 open problem 提出。 其後, 它困擾數學家一百多年, 1977 年, Appel, Haken 借助於計算機證明命題 1 是正確的。 但是, 人們依然對這一問題充滿 興趣。 Appel-Haken 的證明離不開大量的計 算機的驗證。 使得其它人的驗證幾乎不可能。

另外, 人們總希望能找到一個傳統意義下的 證明, 甚至是簡短的證明。

命題 1, 長久以來被稱之為四色問題。 隨 著時間的推移, 人們對 Appel-Haken 的證 明的正確性的懷疑慢慢的減少。 1991 年只有 四位數學家用類似的方法再次證明了命題 1。

雖然計算機驗證仍然不可缺少, 但計算的時 間則縮短。 現在, 我們稱命題 1 為四色定理。

六 . 著色與流的關 係

平面圖的面著色和流初看上去風牛馬不 相及, 但實質上卻是同一個問題的兩個側面。

定理2: 設 G 是一個無橋平面圖, r ≥ 2 是一個整數。 則 G 可 r-著色等價於 G 存在 一個處處不為 0 的 r-整數流。

證明: 令 ~G 是由 G 賦以方向得到的 一個有向圖。 設 f : ~E → {−r + 1, −r + 2, · · · , −1, 1, 2, · · · , r − 1} 是 ~G 的一個處 處不為 0 的 r-整數流, 我們構造 G 的一個面 著色 g 如下:

任取 G 的一個面 F

₀

, 令 g(F

0

) = 0, 設 F 是 G 的一個面。 畫一條從 F

₀

的內部

到 F 的內部不穿過任何頂點 (僅穿過邊) 的 曲線 P , 如下圖:

F

P ^′ P

F 0

圖5

令 ~E

_p

是 P 所穿過的邊全體。 ~E

_p

有的 邊是從 P 的左邊指向右邊, 有的是從右邊指 向左邊, 令 ~E

_P,L

是 ~E

_P

中從 P 的左邊指向 右邊的邊。 ~E

_P,R

= ~E

_P

− ~E

_P,L

。

令 g(F )≡

^X

e∈~ E

P,L

f(e)−

^X

e∈~ E

P,R

f(e) mod (r) 我們要證明 g 是一個 r-著色, 即 g 用 r-種 顏色將 G 的面著色, 使有公共邊界的面著不 同的顏色。

首先, 我們要證明 g(F ) 的定義不依賴 於曲線 P 的選擇。 令 P

^′

是另一條從 F

₀

到 F 的曲線, 我們要證明:

X

e∈ ~ E

_{P ′,L}

f(e) −

^X

e∈ ~ E

_{P ′,R}

f(e)

=

^X

e∈ ~ E

P,L

f(e) −

^X

e∈ ~ E

P,R

f(e)

如圖五所示, P 和 P

^′

形成一個圖, 將 G 的 頂點分成“裡面”和“外面”兩部份, 記 A 為 裡面的頂點全體, B 為外面的頂點全體。 則 (A, B) 為一個分割。 由圖五可看出

[A, B] = ~E

_P,L

∪ ~E

_P

′

,R

[B, A] = ~E

_P,R

∪ ~E

_P

′

,L

所以, 由引理 1,

X

e∈ ~ E

P,L

f(e) +

^X

e∈ ~ E

_{P ′,R}

f(e)

=

^X

e∈ ~ E

P,R

f(e) +

^X

e∈ ~ E

_{P ′,L}

f(e)

故

X

e∈ ~ E

P,L

f(e) −

^X

e∈ ~ E

P,R

f(e)

=

^X

e∈ ~ E

_{P ′,L}

f(e) −

^X

e∈ ~ E

_{P ′,R}

f(e)

所以 g 是一個定義好的映射。 很顯然, g 的值 域是 {0, 1, 2, · · · , r − 1}。 令 i 表示第 i 種 顏色, 則 G 的面確實是用 r 種顏色著色。 若 F, F

^′

有公的邊界。 令 e 是 F 與 F

^′

的公共 邊界上的一條邊, 如下圖所示:

F ^′ F e

F 0

圖6 根據 g 的定義可知,

g(F

^′

) ≡ g(F ) + f (e) mod (r)。

因為 f (e) ∈ {−r +1, −r +2, · · · , −1, 1, 2,

· · · , r − 1}, 故 g(F

^′

) 6= g(F )。 反之, 若 G 是一個無橋平面圖, g 是 G 的面的一個

r-著色。 即對 G 的每一個面 F , g(F ) ∈ {0, 1, 2, · · · , r − 1}, 且若 F , F

^′

相鄰, 則 g(F ) 6= g(F

^′

)。 令 ~G 是由 G 賦向所得的有 向圖, 我們定義 E( ~G) 的一個權函數 f 如下:

若 e 是 ~G 的一條有向邊, e 的兩邊分屬於兩 個面 F

₁

和 F

₂

, 因為 e 是有向邊, 故 F

1

, F

₂

可分為左邊的面和右邊的面。 設 F

₁

是左 邊的面, F

₂

是右邊的面, 令

f(e) = g(F

1

) − g(F

2

)。

則容易驗證 f 是 ~G 上的一個 r-流 (請讀者 自行驗證之)。 定理 2 證畢。

由定理得知, 一平面圖 G 的面可4-著色 等價於 G 有一個處處不為零的 4-整數流。 又 由引理, 這又等價於 F (G) ≤ 4。

猜想 2說, 若 Petersen 圖不是 G 的一 個 minor, 則 F (G) ≤ 4。 因為 Petersen 圖 不是平面圖, 故它不是任何平面圖的 minor (請讀者想想, 為什麼)。 所以, 猜想 2 蘊含了 每一個無橋的平面圖都有 4-流。 從而可面 4- 著色。 也就是說, 猜想 2 比 4 色定理要強。 這 也反映了猜想 2 的難度。

四色定理的推論: 每一個無橋的平面圖 存在一個 4-流。

七 . 圖的流指標的可能值

若猜想 1 是對的, 那麼每一個無橋圖的 流指標都 ≤ 5。 現在我們問一個另類的問題:

圖的流指標究竟可以是一些什麼數呢?

由定義可知, 一個圖的流指標 ≥ 2。 所 以, 若猜想 1 是對的, 則對任何無橋圖 G,

2 ≤ F (G) ≤ 5

那麼, F (G) 可以是介於 2 和 5 之間的任何數 嗎? 若不然, 它可以是一些什麼樣的數呢?

引理4: 若 G 是一個有限 (即有有限條 邊) 的無橋圖, 則 F (G) 是有理數。

該引理可以用類似於引理的證明方法來 證明。 我們把它的證明留給讀者去試一試。

問題1: F (G) 可以是介於 2 和 5 之間的 任何有理數嗎?

定理3: F (G) 可以是介於 2 和 4 之間 的任何有理數。 也就是說, 任意給定有理數

a

b

∈ [2, 4], 我們有辦法構造一個圖 G, 使得 F(G) =

^a _b

。

對於介於 4和5之間的有理數, 我們則不 知道這樣的圖是否存在, 更不知道怎麼去構 造它。

我們所知道是: 令 G = Petersen 圖, 則

(1) 存在圖 H, F (H) = 5。 其實 F (G) = 5。 不過, 要驗證這一點並不容易。 需要有 一定的方法和工具, 光憑定義是比較困難 的。

(2) 對任意 ε > 0 存在圖 H, 使得 4 <

F(H) < 4 + ε。

基本上, 這是我們目前所知道的全部。

舉例來說, 我們不知道是否對任意的 ε > 0,

∃G, 5 − ε < F (G) < 5。

定理 3 的證明稍微麻煩一點, 需要用到 一些新的概念和工具。 下面介紹一些這樣的 概念和工具, 並證明定理 3的一部份。

八 . 兩極圖和偽流

所謂一個兩極圖其實就是一個圖, 只是 圖中有兩個頂點被指定為該圖的兩個極點。

我們用 (G; x, y) 表示一個兩極圖, 其中 x, y 是被指定為極點的兩個頂點。 注意, 極點可以 是 G 中任意的頂點。 不過, 若 {x

^′

, y

^′

} 6=

{x, y}, 則 (G; x, y) 和 (G; x

^′

, y

^′

) 是兩個不 同的兩極圖。

定義5: 令 ~G 是由 G 賦以方向得到的 有向圖。 ( ~G; x, y) 則是一個由 (G; x, y) 賦 以方向得到的有向兩極圖。 ( ~G; x, y) 上的一 個偽流是 ~E 上的一個權函數, 滿足

(**) ∀v ∈ V − {x, y},

X

e∈E

⁺

(v)

f(e) =

^X

e∈E(v)

f(e)

也就是說 ( ~G; x, y) 上的一個偽流和流一樣, 每一頂點滿足流進=流出的條件, 但是, 兩個 極點除外。 極點享有特權, 它們可以有純流進 或純流出。

定義6: 設 r ≥ 2 是實數, ( ~G; x, y) 上 的一個 r-偽流是一偽流 f , 滿足

∀e ∈ ~E, 1 ≤ |f (e)| ≤ r − 1

引理5: 設 ( ~G; x, y) 是一個兩極圖, f

是 ( ~G, x, y) 上的一個偽流, 則

X

e∈E

⁺

(x)

f(e) −

^X

e∈E

⁻

(x)

f(e)

=

^X

e∈E

⁻

(y)

f(e) −

^X

e∈E

⁺

(y)

f(e) 該引理的證明和引理1的證明一樣, 請讀者自 行補上。

直觀上講,

X

e∈E

⁺

(x)

f(e)−

^X

e∈E

⁻

(x)

f(e) 可以作為從 x 點的純流出, 而

X

e∈E

⁻

(y)

f(e) −

^X

e∈E

⁺

(y)

f(e)

則是 y 點的純流入。 因為其它各點的流出等 於流入, 故 x 點的純流出等於 y 點的純流入。

定義7: 設 ( ~G; x, y) 是一個兩極圖, f 是其上的一個偽流, 稱

Val(f ) =

^X

e∈E

⁺

(x)

f(e) −

^X

e∈E

⁻

(x)

f(e) 為 f 的功效值。

直觀上講, f 的功效值 Val(f ) 就是 f 把多少東西從 x 流送到了 y。

定義8: 設 ( ~G; x, y) 是一個兩極圖, r≥ 2 是一個實數, 令

L

_r

( ~G; x, y) = {Val(f ) mod (r) : f 是( ~G; x, y)上的一個 r-偽流}

類似於引理, L

r

( ~G; x, y) 實際上與 ~G 中邊 的方向無關。 所以, 我們可定義 L

r

(G; x, y)。

在圖的兩極點 x, y 確定, 不引起混淆的情況 下, 我們記

L

_r

(G) = L

_r

(G; , x, y) = L

_r

( ~G; x, y).

我們稱 L

r

(G; x, y) 為 (G; x, y) 的 r-標號 集。

引理6: 若 t ∈ L

r

(G; x, y) 則 r − t ∈ L

_r

(G; , x, y)。

證明: 設 f 是 ( ~G; x, y) 上的一個 r-偽 流, Val(f ) = t, 則 −f 也是 ( ~G; x, y) 上 的一個 r-偽流 (這裡 −f : ~E → R 定義為 (−f )(e) = −f (e))。 而且 Val(−f ) = −t, 而 −t mod (r) = r − t mod (r)。 引理得 證。

引理7: 設 G 是一個圖。 x, y 是 G 的 兩個頂點, 則 G 存在一個 r-流若且唯若

O ∈ L

r

( ~G; x, y)

證明: 若 f 是 ~G 的一個 r-流, 則 f 是 ( ~G, x, y) 上的一個 r- 偽流, 且 Val(f ) = 0。

反之, 若 f 是 ( ~G; x, y) 上的一個 r-偽流, 且 Val(f ) = 0, 則 f 實際上是 ~G 的一個 r-流。

九 . r- 模流

定義9: 設 ~G = (V, ~E) 是一有向圖, r ≥ 2 是一實數。 ~G 上的一個 r-模流是 ~G 的一個權函數滿足如下的條件:

(1) ∀v ∈ V

^P

e∈E

⁺

(v)

f(e) ≡

^P

e∈E

⁻

(v)

f(e) mod (r)

(2) ∀e ∈ ~E,1 ≤ f (e) mod (r) ≤ r−1 (注:

若 t ∈ R, 則 t mod (r) ∈ [0, r), 為 t 除 r 的餘數)

根據定義, ~G 的一個 r-流是 ~G 的一個 r-模 流。 ~G 的一個 r-模流卻不一定是 ~G 的一個 r-流。 不過, 我們有如下的定理:

定理4: 若 f 是 ~G 上的一個權函數, 滿 足條件

(1) ∀v ∈ V ,

^P

e∈E

⁺

(v)

f(e) ≡

^P

e∈E

⁻

(v)

f(e) mod (r), 則存在 ~G 上的一個權函數 g, 滿足條件

(1)

^′

∀v ∈ V ,

^P

e∈E

⁺

(v)

g(e) =

^P

e∈E

⁺

(v)

g(e);

(2)

^′

∀e ∈ ~E, |g(e)| ∈ [0, r), 且或者 g(e) ≡ f (e) mod (r) 或者 g(e) ≡

−f (e) mod (r).

定理 4的證明這裡略去, 有興趣的讀者可試一 試自己給出證明 (不是太難)。

由定理 4可推出:

推論: 若 f 是 ~G 上的一個 r-模流, 則 存在 ~G 上的一個 r-流 g, 使得 ∀e ∈ ~E, 或者 g(e) ≡ f (e) mod (r) 或者 g(e) ≡

−f (e) mod (r)。

假設 ~G = (V, ~E), ( ~G, x, y) 是一個兩 極圖, f 是 ~G 上的一個 r-偽流。 Val(f ) = t, 令 ~G

^′

是由 ~G 加上邊 e

^′

= y → x 得到的有 向圖。 令 f

^′

: ~E

^′

→ R 的定義為

f

^′

(e) =







f(e) 若 e ∈ ~E t 若 e = e

^′

則 f

^′

是 ~G

^′

上的一個權函數, 滿足

∀v :

^X

e∈E

⁺

(v)

f

^′

(e) ≡

^X

e∈E

⁻

(v)

f

^′

(e) mod (r).

根據定理 4, ~G

^′

存在一個權函數 g

^′

, 滿足

(1) ∀v :

^P

e∈E

⁺

(v)

g

^′

(e) =

^P

e∈E

⁻

(v)

g

^′

(v).

(2) ∀e ∈ E

^′

, g

^′

(e) ≡ f

^′

(e) mod (r) 或 者 g

^′

(e) ≡ −f

^′

(e) mod (r)。 且 0 ≤

|g

^′

(e)| < r。

令 g 為 g

^′

在 ~G 上的限制, 則 g 是 ( ~G; x, y) 的一個 r-偽流。 而對於 g 來說

X

e∈E

⁺

(x)

g(e) −

^X

e∈E

⁻

(x)

g(e) = g(e

^′

)

故 L

_r

(G; , x, y) 可定義如下:

L

_r

( ~G; x, y)

= {Val(g) : g 是 ( ~G; x, y) 的一個r-偽 流, 且 Val(g) ∈ [0, r)}

^[

{r + Val(g) : g 是 ( ~G; x, y) 的一個r- 偽流, 且 Val(g) ∈ (−r, 0)}

其實, 可以證明若 Val(g) ∈ (−r, 0), 則 存在一個 ~G 上的偽流 g

^′

, 使得 Val(g

^′

) = r+ Val(g)。 所以 L

r

( ~G; x, y, ) = {Val(g) : g 是 ( ~G; x, y) 的一個偽流, 且 Val(g) ∈ [0, r)}。

十 . 兩極圖的運算

定義10: 設 (G

1

; x

1

, y

₁

), (G

2

, x

₂

, y

₂

) 是兩個兩極圖。 取 G

1

和 G

₂

的合 (dis- joint union), 再將 y

1

和 x

₂

合成一個頂點, 記所得的圖為 G, 稱兩極圖 (G; x

1

, y

₂

) 為 (G

₁

, x

₁

, y

₁

) 和 (G

₂

; x

₂

, y

₂

) 的串聯圖。 其示 意圖如下:

.. . .. .. .. .. .. . .. . .. .. . . .. . . . .. . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . .. . . .. . . .. . .. . .. .. . .. . . .. . .. .. . ..

... ...

. .. .

... .

.. .

.. ...

x

₁

y

₁

x

₂

y

₂

x

₁

x

₂

= y

1

y

₂

G

₁

G

₂

G

• • •

• • • •

圖7

定義11: 設 (G

1

; x

1

, y

₁

), (G

2

; x

2

, y

₂

) 是兩個兩極圖, 取 G

₁

和 G

₂

的合, 再將 x

₁

, x

₂

合成一個頂點 x, 將 y

₁

, y

₂

合成一 個頂點, 記作y。 即所得的圖為 G, 稱兩極圖 (G; x, y) 為 (G

1

; x

1

, y

₁

) 和 (G

2

; x

2

, y

₂

) 的 並聯圖, 其示意圖如下:

G 1

x 1 y 1

G 2

x 2 y 2

x y

G

圖8

通過串聯運算和並聯運算所得的兩極 圖, 其r-標號集可以通過簡單的公式求得。

根據定義, 對任意的兩極圖 (G; x, y), 其 r-標號集 L

_r

(G; x, y) 是 [0, r) 的一個子 集。 設 A, B ⊂ [0, r) 是 [0, r) 的兩個子集。

定義

A+ B = {(s + t) mod (r) : s ∈ A, t ∈ B}

引理8: 若 (G; x, y) 是 (G

1

, x

₁

, y

₁

) 和 (G

2

, x

₂

, y

₂

) 的串聯圖, 則

L

_r

(G) = L

_r

(G

₁

) ∩ L

_r

(G

₂

)。

若 (G; x, y) 是 (G

₁

; x

1

, y

₁

) 和 (G

2

, x

₂

, y

₂

) 的並聯圖, 則

L

_r

(G) = L

r

(G

1

) + L

r

(G

2

)

證明: 設 (G; x, y) 是 (G

1

; x

1

, y

₁

) 和 (G

2

, x

₂

, y

₂

) 的串聯圖。 令 f 是 ( ~G; x, y) 上一個 r-偽流, 這裡 ~G 是由 G 賦以方向 得到的有向圖, 它在 G

₁

及 G

₂

上的限制 分別為 ~G

₁

和 ~G

₂

。 令 f

₁

為 f 在 ~G

₁

上 的限制, f

2

為 f 在 ~G

₂

上的限制, 則 f

1

是 ~G

₁

上的偽流, f

2

是 ~G

₂

上的偽流。 且 Val(f

₁

) = Val(f ) = Val(f

₂

)。 所以

L

_r

(G) ⊆ L

r

(G

1

) ∩ L

r

(G

2

)。

反過來, 若

t ∈ L

r

(G

1

) ∩ L

r

(G

2

),

則存在 ~G

₁

上的一個偽流 f

₁

, Val(f

1

) = t, 存在 ~G

₂

上的一個偽流 f

₂

, Val(f

2

) = t (參 考第九節的最後一段)。

令 f 是 ~G 上的一個權函數, 定義為

f(e) =







f

₁

(e) 若 e ∈ E( ~G

₁

) f

₂

(e) 若 e ∈ E( ~G

₂

) 則根據引理 5 可知 f 是 ~G 上的一個偽流, 且 Val(f ) = t。 故 t ∈ L

r

(G)。 所以 L

r

(G) = L

_r

(G

1

) ∩ L

r

(G

2

)。 引理8的下半段證明和上 面類似, 請讀者自行補全。

十一 . 串並聯圖及流指標的計 算

串並聯圖是一類特殊的圖, 其構造很簡 單。 首先我們給出兩極串並聯圖的遞歸定義:

定義12: 令 K

2

是有兩個頂點 0,1 的完 全圖, 則

(1) (K

2

; 0, 1) 是一個兩極串並聯圖;

(2) 若 (G

1

, x

₁

, y

₁

) 和 (G

2

; x

2

, y

₂

) 是兩個兩 極串並聯圖, 且 (G; x, y) 是它們的串聯 圖, 則 (G; x, y) 也是一個串並聯圖;

(3) 若 (G

1

,; y

1

, y

₂

) 和 (G

2

; x

2

, y

₂

) 是兩個 兩極串並聯圖, 且 (G; x, y) 是它們的並 聯圖, 則 (G; x, y) 也是一個串並聯圖。

(4) 每一個兩極串並聯圖都是通過 (1) (2) (3) 遞歸構造即得。

定義13: 我們稱圖 G = (V, E) 是 一個串並聯圖若且唯若 ∃x, y ∈ V , 使得 (G; x, y) 是一個兩極串並聯圖。

下面是幾個串並聯圖的例子:

.

... ... ...

• • • • • • •

串並聯類似於電路的串聯、 並聯。 其實, 串並 聯圖最早也是作為解決組合電路裡面的相關 電流、 電阻的計算的工具的。

引理 8 告訴我們, 只要知道了 L

r

(K

2

), 那麼, 任何串並聯圖的 r-標號集都可以通過

求 “+”和求交的運算出來。 應用了引理7, 我 們就可找出一給定串並聯圖的流指標。

由 r-偽流的定義可知

L

_r

(K

2

; 0, 1) = [1, r − 1]

r

這裡, [1, r − 1]

r

= {t : 1 ≤ t ≤ r − 1}。 一 般來說, 假設 a, b ∈ [0, r), 我們定義 [a, b]

r

如下:

若 a ≤ b, 則 [a, b]

r

= {t : a ≤ t ≤ b];

若 a > b, 則 [a, b]

_r

= {t : a ≤ t ≤ r] ∪ {t : 0 ≤ t ≤ b}

直觀上來看, 我們把 [0, r) 想像是一個圓圈, 即截取直線段 [0, r], 將 0 和 r 合成一個點。

[a, b]

r

表示在這個圓圈上從 a 到 b 這一段。

我們稱 [a, b]

r

為一個區間。 對於任一個兩極 圖 (G; x, y), 它的 r-標號集往往是用若干個 區間價來表示的。 若 [a, b]

r

是 [0, r) 的一個 區間, 則其長度和一般的區間長度定義相仿, 即若 a ≤ b, 則長度為 b − a; 若 a > b, 則長 度為 (r − a) + b。 若 A, B ⊆ [0, r] 是兩個 區間的話, 它們的和 A + B 也是一個區, 或 者是 [0, r) 全部。

引理9: 設 [a, b]

r

和 [c, d]

_r

是 [0, r] 的 兩個區間。

(1) 若 [a, b]

r

和 [c, d]

_r

的長度之和 ≥ r, 則 [a, b]

r

+ [c, d]

r

= [0, r);

(2) 若 [a, b]

_r

和 [c, d]

_r

的長度之和 < r, 則 [a, b]

r

+ [c, d]

r

= [a + c, b + d]

r

。 (當然, 這裡的 a+ c, b+ d 都是模 r 的加法), 在第 (2) 種情形下, [a, b]

_r

+ [c, d]

_r

是一長 度為 [a, b]

_r

,[c, d]

_r

兩區的長度之和的區間。

引理 9可由定義直接驗證。

有了引理 9, 再加上引理 8, 我們就可以 比較方便地計算一些串並聯圖的 r-標號集, 從而求出其流指標。

我們先看幾個簡單的例子。

. ..

... ..

..

...

x• •y

例1: 令 (G; x, y) 如上圖, 根據引理 8 和引理 9, 以及根據 L

r

[K

2

; 0, 1] = [1, r − 1]

r

我們知道

L

_r

(G; x, y)

= [1, r − 1]

_r

+ [1, r − 1]

_r

+ [1, r − 1]

_r

若 r ≥ 3, 則 L

_r

(G; x, y) = [0, r)。 若 r < 3, 則 L

r

(G; x, y) = [3 − r, 2r − 3]

r

。 因為當 r < 3 時, [3 − r, 2r − 3]

_r

不包含 0, 所以, G 不存在 r-流。 由此可得 G 的流指標 F(G) = 3。

例2: 令 (H; x, y) 是 2k + 1 個 (K

2

; 0, 1) 的並聯 (k = 1時, 即為例 1 所 討論的圖), 則

L

_r

(H; x, y) = [1, r−1]

r

+ · · · + [1, r−1]

r

| {z }

2k+1

若 r ≥ 2+

_k ¹

, 則因為 [1, r−1]

r

的長度 ≥

¹ _k

, 故 L

_r

(H; x, y) = [0, r)。 若 2 < r < 2 +

¹ _k

, 則 L

_r

(H; x, y) = [2k + 1 − kr, (k + 1)r − (2k + 1)]

_r

(注意, kr < 2k + 1 < (k + 1)r), 因為當 2 < r < 2+

¹ _k

時, [2k +1−kr, (k + 1)r − (2k + 1)]

r

不包含 0, 所以, G 不存在 r-流。 由此可得 G 的流指標 F (G) = 2 +

¹ _k

。

十二 . 串並聯圖的流指標的上 界

我們看到前節中例 1 給出的串並聯圖, 其流指標為 3。 這裡證明 3 是無橋串並聯圖的 流指標的上界。

引理10: 令 r = 3, (G; x, y) 是一 個兩極串並聯圖。 若 G 無橋則 {0, 1, 2} ∈ L

_r

(G), 若 G 有橋則 {1, 2} ∈ L

r

(G)。

證明: 用歸納法, 若 G = K

2

, 則 L

_r

(G) = [1, 2]

r

。 故引理成立。

假設 G 是由 G

₁

, G

₂

的串聯圖, 且引理 對 G

₁

和G

₂

均成立。 若 G 無橋, 則 G

₁

, G

₂

均無橋, 且 {0, 1, 2} ⊆ L

r

(G

1

), {0, 1, 2} ⊆ L

_r

(G

2

), 故 {0, 1, 2} ⊆ L

r

(G) = L

r

(G

1

) ∩ L

_r

(G

2

)。

反之, 因為 {1, 2} ⊆ L

_r

(G

₁

), {1, 2} ⊆ L

_r

(G

2

) 故 {1, 2} ⊆ L

r

(G) = L

r

(G

1

) ∩ L

_r

(G

2

)。 假設 G 是由 G

1

, G

₂

的並聯圖, 且引理對 G

₁

和 G

₂

均成立。 則 {1, 2} ⊆ L

_r

(G

₁

), {1, 2} ⊆ L

_r

(G

₂

)。 故 {0, 1, 2} ⊆ L

_r

(G

1

) + L

r

(G

2

) = L

r

(G)。 證畢。

由引理 10可知:

定理5: 若 G 是一個無橋的串並聯圖, 則 G 的流指標 F (G) ≤ 3。

定理6: 設 G 是一個無橋的串並聯圖。

若 G 有一分割恰含 3 邊, 則 F (G) = 3。

證明: 由定理 5, F (G) ≤ 3。 假設定理 6 不對, 則 F (G) = r < 3。 設 (A, B) 是一

個恰含三條邊的分割, 根據引理 1,

X

e∈[A,B]

f(e) −

^X

e∈[B,A]

f(e) = 0.

設 (A, B) = {e

1

, e

₂

, e

₃

}, 則上式表示

|f (e

1

)|, |f (e

2

)|, |f (e

3

)| 的一個帶符號的代 數和為 0。 而1 ≤ |f (e

₁

)| ≤ r − 1 < 2。

矛盾。 定理 6 證畢。

十三 . 沒有三邊分割的串並聯 圖

上節的最後一個定理告訴我們, 一個存 在三邊分割的無橋串並聯圖的流指標為 3。 這 一節證明沒有三邊分割的串並聯圖的流指標

≤

⁸ ₃

。

引理: 設 (G; x, y) 是一個兩極串並聯 圖, 且若 (A, B) 是一邊數少於 4 的分割, 則 x∈ A, y ∈ B。

令 m(G) = min{|(A, B)| : x ∈ A, y ∈ B}。(如前所定義, (A, B) 表示分割 (A, B) 所含邊的全體)。 令 r =

⁸ ₃

,

(1) 若 m(G) = 1, 則 {1,

⁴ ₃

,

⁵ ₃

} ⊆ L

r

(G);

(2) 若 m(G) = 2, 則 {2,

⁷ ₃

,

¹ ₃

,

² ₃

} ⊆ L

_r

(G);

(3) 若 m(G) = 3, 則 {

¹ ₃

,

² ₃

,

³ ₃

,

⁴ ₃

,

⁵ ₃

,

⁶ ₃

,

⁷ ₃

}

⊆ L

r

(G);

(4) 若 m(G) ≥ 4, 則 {0,

¹ ₃

,

² ₃

,

³ ₃

,

⁴ ₃

,

⁵ ₃

,

⁶ ₃

,

⁷ ₃

}

⊆ L

r

(G).

證明: 同樣, 用歸納法。 若 G = K

2

, 顯然是正確的。 設 G 是 G

₁

, G

₂

的串聯 圖。 m(G) = min{m(G

₁

), m(G

₂

)}, 並且,

m(G

1

) + m(G

2

) 6= 3, (否則 G 有一邊數少 於 4的分割 (A, B), 使得 x, y ∈ A。)

不妨設 m(G

1

) ≤ m(G

2

)。 若 m(G

1

)

= 1, 則 m(G

2

) = 1 或者 m(G

2

) ≥ 3。

無論何種情形, 都有 {1,

⁴ ₃

,

⁵ ₃

} ⊆ L

_r

(G

₁

) ∩ L

_r

(G

2

)。

若 m(G

₁

) = 2, 則 m(G

2

) ≥ 2。 故 {2,

⁷ ₃

,

¹ ₃

,

² ₃

} ⊆ L

r

(G

1

)∩L

r

(G

2

)。 m(G

1

) ≥ 3 的情形也是用類似的方法證明。

接下來假設 G 是 G

₁

和 G

₂

的並聯圖。

根據引理 8, L

r

(G) = L

r

(G

1

) + L

r

(G

2

)。 由 定義可知, m(G) = m(G

₁

) + m(G

2

)。

我們僅考慮 m(G

1

) = m(G

2

) = 2 的 情形。 由歸納法假設 L

_r

(G

1

) ⊇ {2,

⁷ ₃

,

¹ ₃

,

² ₃

}, 所以,

L

_r

(G) ⊇ {2,7 3,1

3,2

3} + {2,7 3,1

3,2 3}, L

_r

(G) ⊆ {0,1

3,2 3,3

3,4 3,5

3,6 3,7

3}.

其它的情形用類似的方法證明。

定理7: 若 (G; x, y) 是一個兩極串並 聯圖, 且 G 的每一分割至少含有四條邊, 則 F(G) ≤

⁸ ₃

。

證明: 用引理可知, 當 r =

⁸ ₃

時, 0 ∈ L

_r

(G), 故 F (G) ≤

⁸ ₃

。

實際上, 稍微仔細一點的分析串並聯圖 的結構可以證明如下定理:

定理8: 若 G 是一個無橋且沒三邊分割 的串並聯圖, 則 F (G) ≤

⁸ ₃

。

由定理 6及定理8, 可知對任意一個無橋 串並聯圖 G 或者 F (G) = 3, 或者 F (G) ≤

8 3

。

定理 8 可以更進一步推廣, 稱一個分割 (A, B) 為奇分割, 如果 (A, B) 所含邊數為 奇數。 令 C

0

(G) = min{|(A, B)| : (A, B) 為一奇分割}, 則可以證明對串並聯圖而言, C

₀

(G) 越大, 則 F (G) 越接近 2。

對於一般的圖而言, 也有如下猜想:

猜想: 對任意 ε > 0, ∃n, 當 C

0

(G) ≥ n 時, F (G) ≤ 2 + ε。

不過, 這一猜想似乎也很困難。 即使是 ε= 1 的情形, 也還未解決。

十四 . 串並聯圖的流指標的可 能值

前面的結論告訴我們, 若 G 是一個無 橋的串並聯圖, 則 F (G) = 3, 或者 2 ≤ F(G) ≤

⁸ ₃

。 接下來的一個問題是: 是否介於 2 和

⁸ ₃

之間的任意有理數都是某個串並聯圖 的流指標呢? 答案是肯定的。

首先我們討論一下有理數的性質。 設

p

q

∈ (2,

⁸ ₃

] 是一個有理數, 其中 p, q 是互 質的兩個正整數。 由於 p, q 互質, 存在唯一 的正整數 0 < p

^′

< p, 0 < q

^′

< q 使 得 p

^′

q −pq

^′

= 1。 從而我們得到一有理數

p

^′

q

^′ >

^p _q

。 稱

^p

^′

q

^′ 為

^p

q

的父親 (father), 稱

p−p

^′

q−q

^′ 為

^p

q

的母親 (mother)。 令 p

^′′

= p−p

^′

, q

^′′

= q − q

^′

。 直接驗算可得 pq

^′′

− p

^′′

q= 1,

p

^′′

q

^′′ <

^p _q

。 記

^p

q

的父親為 f (

^p _q

), 記

^p _q

的 母親為 m(

^p _q

)。 注意, 若

^p _q

∈ (2,

⁸ ₃

], 則 f(

^p _q

) ∈ (2, 3], m(

^p _q

) ∈ [2,

⁸ ₃

)。 無論是 f (

^p _q

)

或 m(

^p _q

), 其分母和分子都分別小於

^p _q

的分 母和分子。

引理: 設

^p _q

∈ (2,

⁸ ₃

], m(

^p _q

) =

^a _b

, f(

^p _q

) =

^a _b

′^′。 存在一個兩極的串並聯圖 G

_p/q

使得

(1) 對所有

^a _b

≤ r < min{

⁸ ₃

,

^p−2 _q−1

}, L

_r

(G

p/q

) = [p − 3 − (q − 2)r, (q − 1)r − p + 3]

r

;

(2) 對 r <

^a _b

, L

r

(G

_p/q

) =

^∅

。

.. .. .

... .

.. .. .

x•. •y

證明: 我們對有理數

^p _q

的分母 q 用歸 納法。 若

^p

q

=

⁵ ₂

, 則

^a _b

=

² ₁

,

^a _b

′^′ =

⁸ ₃

。 令 G5 2

如上圖, 直接驗證可證明引理的結論成立。

x y

若

^p

q

=

⁸ ₃

, 則

^a _b

=

⁵ ₂

,

^a _b

^′′ =

³ ₁

。 令 G8 3

如上圖, 同樣直接驗證可證明引理的結論。

. .. ..

... .

.. . .. .. ..

...

x• ··· •y

若

^p _q

=

^2k+1 _k

(k ≥ 3), 則

^a _b

=

² ₁

, 令 G2k+1

k 如上圖, 為 2k − 2 個 K

₂

的並聯圖。

同樣直接驗算可證。 下面假設

^p

q

6=

^2k+1 _k

,

⁸ ₃

。 則

^a

b

6=

² ₁

,

⁵ ₂

。 根據歸納法的假設 G^a

b, Ga′

b′

都 存在。 圖 G 的構造如下圖所示:

G a

^′

/b

^′

G _a/b G a/b

G

_p/q

同樣, 直接的驗證可證明引理對圖 G^p

q

成立。 不過, 這個時候的驗證稍微複雜一點。

需要一些耐心和細心, 以及適當的技巧。 相信 有毅力的讀者可自行完成。

定理: 若

^p _q

∈ [2,

⁸ ₃

] 是一有理數, 則存 在一個串並聯圖 H^p

q, 使得 F (H^p

q) =

^p _q

。

. ..

... ..

..

• •

證明: 若

^p _q

= 2, 則令 H^p

q 如上圖即

可。 假設

^p

q

∈ (2,

⁸ ₃

]。 根據引理, 存在 G^p

q, 使得對所有的 m(

^p _q

) ≤ r < min{

⁸ ₃

,

^p−2 _q−1

}, L

_r

(G^p

q) = [p − 3 − (q − 2)r, (q − 1)r − p+ 3]

r

。 令 H

^′

p

q

為下圖所示。

... ..

.

... .

.. .

. ...

• • •

x G^p y

q

直接驗算可知, 若 r ≥

^p _q

, 則 L

_r

(H

^′

^p

q) 6=

^∅

. 若 r <

^p _q

, 則

L

_r

(H

^′

^p

q) =

^∅

. 令 H^p

q 如下圖所示

.

... ..

... .

... .

.. .

... .

.. ..

•. G^p •

q

(即 H^p

q 是由 H

^′

^p

q 將 x, y 兩點併成一點所 得), 則 F (H^p

q) =

^p _q

。 定理證畢。

十五 . 後記

本文所討論的流與其它文獻 (教科書或 論文) 有些側重點的差異。 一般關於流的討論 限於整數流的問題。 這裡介紹流指標等等, 屬 於比較新的概念。 它是整數流問題的自然延 伸和推廣。而討論的問題有其獨特的地方。 所 用的方法也有所不同。(當然, 相同的地方還是

占多數)。

由於涉及一些新的概念, 其名稱並不確 定, 像流指標 (flow index), 我在一篇文章 中稱之為 circular flow number (圓流數)。

其它一些名稱, 即使是英文中有固定名稱的, 中文名稱也許有更好的選擇。 本文的撰寫過 程中, 由於缺乏這方面的參考文獻, 都是隨意 譯來, 不恰當的恐怕很多, 請讀者見諒。 閱讀 時, 儘量注重內含, 弄清楚定義, 也許其它地 方有別的名稱。

∗ 文中所提的問題 1 最近由潘志實 (中 山應數系博士生) 和作者解決。 我們證明任何 介於 2 和 5 之間的有理數都是某個圖的流的 指標。

—本文作者任教於中山大學數學系—