直線 曲線
B
A C
點、線、角 :在探討幾何學之前,我們必須先瞭解構成平面圖形的基本元素-點、 線、角。
點:點是幾何學中所討論的最基本圖形。
點僅用來表示事物所在的位置,而不考慮它的形狀與大小。
線:線可以想成是筆尖在紙上連續移動時所經過的路線,因此線是沒有寬窄的。
線可以分為曲線與直線,如下圖。
直線:通過兩點用直尺所畫出來的線,也就是說:兩點決定一直線;
「 « 」符號是表示直線可以向兩邊無限延伸,所以直線是不談長短的。
線段:直線 AB 在 A 點與 B 點之間的部分就稱為線段。
角:兩線段 AB 與 AC 相交於 A 點形成一個角,如右圖。
記作∠BAC 或∠A。
若角的度數>90 0 ,我們稱這個角為鈍角,如下圖的∠A。
若角的度數=90 0 ,我們稱這個角為直角,如下圖的∠B。
若角的度數<90 0 ,我們稱這個角為銳角,如下圖的∠C。
圖示 記法 讀法
● A 點 A 或 A 點 點 A 或 A 點
圖示 記法
直線 L 直線 L
L
A B
AB
直線AB
圖示 記法 讀法
A B
AB
或 BA 線段 AB 或線段 BA
A B C
1
2 4 3
A
B
C D
E
A
E
D B
C
互補:若兩個角的和是一個平角(180 0 ),我們稱這兩個角互補,如圖,∠1+∠2= 180 , 0 故我們稱∠1 與∠2 互補。
互餘:若兩個角的和是一個直角,我們稱這兩個角互餘,如圖,∠1+∠2=90 0 , 故我們稱∠1 與∠2 互餘。
對頂角:兩直線相交會形成兩組對頂角。如右圖,∠1 與∠2 為對頂角,
∠3 與∠4 亦為對頂角。
※對頂角相等,即∠1=∠2;∠3=∠4
【證明】: ∵∠1+∠3=180 0 又∠3+∠2=180 0
∴∠1=180 0 -∠3=∠2
有關點線角的應用:
我們已經知道兩點可以決定一條直線,接著要來討論平面上相異的點決定線段數目及角度等相關問題。
【範例】上相異 5 點 A、B、C、D、E,
(1)至多可決定幾條直線?
(2)至少可決定幾條直線?
【解答】 (1)自
A
點出發,可得 AB 、 AC 、 AD 、 AE 共 4 條。自
B
點出發,可得 BC 、 BD 、 BE 共 3 條。自
C
點出發,可得 CD 、 CE 共 2 條。自
D
點出發,可得 DE 共 1 條。自
E
點出發,均已連線故 0 條。∴共 4+3+2+1+0=10 條。
(2)當 5 點共線時,可決定最少的 1 條直線。
結論:平面上相異 n 點,至多可決定
2
) 1 ( - n
n
條直線;至少可決定 1 條直線(n 點共線時)。1 2
1 2
O A
E C B
D L
V
A B C
X Y Z W
【範例】平行線,L 上有相異三點,V 上有相異四點,除 L、V 外,
由上述七點可決定多少線段?
【解答】 (1)由 A 出發可決定:
AX 、 AY 、 AZ 、 AW 共
4
條。(2)由
B
出發可決定:BX 、 BY 、 BZ 、 BW 共
4
條。(3)由
C
出發可決定:CX 、 CY 、 CZ 、 CW 共
4
條。∴總共 4+4+4=4×3=12。
【範例】如圖,算一算總共幾個角?
【解答】 (1)以 OA 邊算起有:
AOB
Ð
、Ð AOC
、Ð AOD
、Ð AOE
共 4 個。(2)以 OB 邊算起有:
BOC
Ð
、Ð BOD
、Ð BOE
共 3 個。(3)以 OC 邊算起有:
COD
Ð
、Ð COE
共 2 個。(4)以 OD 邊算起有:
Ð DOE
共1
個。∴總共6 2
) 1 4 ( 1 4 2 3
4 ´ + =
= + +
+
個。【範例】已知∠1=(45-a)度,∠2 與∠1 互補,求∠2?
【解答】∠2=180 0 -∠1
=180 0 -(45-a) 0
=(135+a) 0
L
V
A B C
X Y Z W
O A
E C B
D
12 1
2
3
4 6 5
7 8 9
10 11
O
A C B
D
?
11 12 1
2
3
4 6 5
7 8 9
10
55 0
11 12 1
2
3
4 6 5 7 8 9
10
6X 0 6x
【範例】 AB 與 CD 交於 O 點,已知 2∠AOC+3∠BOD= 350 ,則∠COB=? 0
【解答】 ∵∠AOC=∠BOD(對頂角相等) 。
∴2∠AOC+3∠BOD=350 0 , 5∠AOC=350 0
∴∠AOC= 350 0
¸ 5 =
70 0 故∠COB=180 0 -70 0 = 110 0【範例】9 點 30 分時,分針與時針的夾角為幾度?
【解答】 時針 1 小時走 12 360 0
= 30 0 時針 1 分鐘走
60 30 0
=0.5 0 分針 1 分鐘走
60 360 0
= 6 0
∴夾角= 0 . 5 0 ×
30
+ 90 = 0 105 0【範例】12 點多,小明外出吃午餐,出門前發現時針與分針的夾角為 55 0 , 吃完飯後時針與分針的夾角仍為 55 0 ,請問小明出去多久?
(已知小明出門的時間不超過 1 小時) 。
【解答】 假設出去 X 分鐘
∴分針走了 6X 0 (1 分鐘 6 0 ),時針走了 6X 0 ×
1
12
=0.5X 0∴6X 0 +55 0 +(55 0 -0.5X) 0 =360 0 X=45
5
11
分鐘。12 1
2
3
4 6 5 7 8 9
10 11
0.5×30 O
【範例一】 【練習一】
平面上相異 10 點,至多可決定幾條直線? ㄧ平面相異 n 點至多可決定 36 條直線,
則 n=_____。
【範例二】 【練習二】
兩平行線,
L
上有相異三點,V
上有相異五 點,則此八點可決定多少線段?兩條高速公路上分別有三個及五個交流道,
若想在這些交流道之間做一些直達便道,那 麼需要幾條直達便道呢?
A B C
X Y Z W U 北一高
北二高
【範例三】 【練習三】
3 點 30 分兩針之夾角為幾度? 4 點 42 分兩針之夾角為幾度?
【範例四】
一角比其補角的 3 倍多 24 0 ,求此角的對頂角 度數。
【練習四】
∠A 的 2 倍與∠B 的 5 倍互補,且∠A+∠B
=60 度,求∠A、∠B 的度數。
生活中的平面圖形:
三角形、四邊形及圓形是生活中最常見的平面圖形,這一節我們將討 論有關這些圖形的基本性質。三角形:一個三角形有三個頂點、三個邊和三個角。
等腰三角形:有兩邊等長的三角形。如下圖,其中等長的兩邊叫做腰,另一邊叫做底邊 或底,與底邊相對的角叫做頂角,其餘的兩個角都叫做底角。
等邊三角形:三邊都等長的三角形,叫做正三角形。如下圖,每個正三角形也都是等腰 三角形。
直角三角形:有一個角是直角的三角形。如下圖,其中直角所對的邊叫做斜邊,其餘兩 邊叫做股。
等腰三角形 正三角形 直角三角形
銳角三角形:三內角皆為銳角的三角形,稱為銳角三角形。如下圖。
鈍角三角形:三角形其中一內角為鈍角的三角形,稱為鈍角三角形。如下圖。
銳角三角形 鈍角三角形
四邊形:一個四邊形有四個頂點、四個邊和四個角。
長方形:四個角都是直角的四邊形,叫做長方形,也稱做矩形。如下圖,
長方形相對的兩邊都等長。
正方形:四邊都等長的長方形,如右圖;正方形也是長方形的一種。
腰 腰
底邊 頂角
底角 底角
股
股
斜邊
平行四邊形:兩雙對邊分別平行的四邊形,如下圖, AB // CD , AD // BC 。
平行四邊形有以下重要性質,後面章節我們會一一證明,現在我們先來了解一些性質:
l 平行四邊形ABCD,兩組對邊分別相等,即 AB = CD , AD = BC 。 l 平行四邊形ABCD,兩組對角分別相等,即∠A=∠C,∠B=∠D。
l 平行四邊形ABCD,兩條對角線互相平分,即 OA = OC , OB = OD 。 菱形:四邊都相等的四邊形,如下圖, AB BC CD DA = = = 。
菱形有以下性質,後面章節我們會一一證明,現在我們先來了解這些性質:
l 兩對角線互相垂直,即 AC ^ BD 。
l 兩對角線互相平分,即 OA = OC 、 OB = OD 。
箏形:兩雙鄰邊分別相等的四邊形,如下圖, AB AD = , BC CD = 。
梯形:只有一雙對邊平行,另ㄧ雙對邊不平行的四邊形,如下圖, AD // BC 。 由定義可知,平行四邊形、菱形、長方形和正方形都不是梯形。
A
B C
D
O
A
B O D
C
A
B C
D A
B O D
C
對角線:四邊形中,不相鄰的兩個頂點的連線叫做它的對角線。每一個四邊形都有兩條 對角線。四邊形的每一條對角線都把這個四邊形分割成兩個三角形,如下圖。
我們可以利用四邊形的對角線性質來簡單的判別某些四邊形:
a.對角線互相平分的四邊形必為平行四邊形。
b.對角線互相平分且相等的四邊形必為矩形。
c.對角線互相平分且垂直的四邊形必為菱形。
d.對角線互相平分且垂直、相等的四邊形必為正方形。
關係如下圖:
四邊形的包含關係
:由各種四邊形的定義來看,如下圖,可以歸納出四邊形彼此間的關係。上圖中大範圍包含小範圍,大範圍有的性質,小範圍必定有其性質。反之,小範圍有 的性質,大範圍不一定有其性質。
像是平行四邊形有三項性質:(1)兩雙對邊相等。
(2)兩雙對角相等。
(3)兩對角線互相平分。
則菱形、長方形、正方形皆有上列性質。
同理,箏形的兩雙鄰邊分別相等,對角線互相垂直,菱形與正方形也有同性質;菱形 任一對角線會平分其頂角,兩對角線互相垂直平分,正方形亦有相同性質;長方行四個角 皆為直角,對角線互相平分且相等,正方形亦會有相同性質;反之,正方形對角線互相垂 直,長方形則沒有此性質。正方形對角線等長,菱形及箏形則沒有此性質。
對 角 對 線
線 角
對 角
線 三角形
三角形
四邊形
平行四邊形
長方形 正方形
菱形
箏形 梯形
平行四邊形
長方形
正方形
菱形
圓:在平面上與一固定點的距離等於一固定長度的所有點所組成的圖形。如下圖,
固定點叫做圓心,固定長度叫做半徑。圓心與圓上任意點所連的線段也叫做半徑。
弦:圓上任意兩點所連的線段。
如下圖,如果一弦恰好通過圓心,它就是直徑,所以直徑也是一弦。
弧:一弦把圓分為兩部分,每一部分都叫做弧。
如下圖,大於半圓的弧叫做優弧;小於半圓的弧叫做劣弧。
弓形:圓的一弦和其所對的一弧所組成的圖形。如右圖。
扇形:圓的兩半徑和其所夾的弧所組成的圖形。如下圖。
圓形周長及面積的計算公式:若圓形半徑=r,則圓形周長=2
p
r ,圓形面積=p
r 2 。 扇形周長及面積的計算公式:如右圖,若扇形半徑=r,圓心角=n o ,則 扇形周長=(2
p
r ×o o
n
360 )+ 2r , 圓形面積=
p
r 2 ×o o
n 360 。
劣弧
優弧
弦 弦
直徑 圓心 半徑
半徑
弓形 弓形
扇形 扇形
r
n
o有關簡單幾何圖形的應用
【範例】如右圖,求灰色面積部分的周長及面積。
【解答】周長= 大弧長 + 小弧長 + 2 ×半徑差
=
o o
120
360 × 9 × 2 ×
p
+o o
120
360 × 5 × 2 ×
p
+ 2 × (9-5)=
3
28 p +8 (公分)
面積= 大扇形面積 - 小扇形面積
=
o o
120
360 × 9 × 9 ×
p
-o o
120
360 × 5 × 5 ×
p
=
3
56 p (平方公分)
【範例】一圓上有相異 6 點:A、B、C、D、E、F,任意兩點成一弦,問此 6 點共可 連成幾條弦?
【解答】自 A 點出發,可得 AB 、 AC 、 AD 、 AE 、 AF 共 5 條。
自 B 點出發,可得 BC 、 BD 、 BE 、 BF 共 4 條。
自 C 點出發,可得 CD 、 CE 、 CF 共 3 條。
自 D 點出發,可得 DE 、 DF 共 2 條。
自 E 點出發,可得 EF 共 1 條。
∴共 5+4+3+2+1=15 條。
【範例】一圓上有相異 6 點,問此 6 點共可決定幾個弧?
【解答】因為 1 條弦可決定 2 個弧,
所以由上題範例可知此 6 點共可決定 15 × 2 = 30 個弧。
【範例一】 【練習一】
一圓上有相異 8 點,任意兩點成一弦,問此 8 點共可連成幾條弦?
一圓上有相異 10 點,問此 10 點共可決定幾 個弧?
120 9公分 5公分
oA
B
C
D
E
F
O A
B
A
B C
D
E
【範例二】 【練習二】
一圓直徑 12 公分,將其對摺 3 次,求:
(1)摺痕將此圓分成幾等分?
(2)最後所得扇形面積
將一圓對摺 4 次,問:
(1)摺痕將此圓分成幾等分?
(2)最後所得扇形面積與圓面積的比?
【範例三】 【練習三】
求此斜線部份的周長及面積。 如右圖,此圓半徑為 2 公分,求此斜線部分 周長及面積。
【範例四】 【練習四】
如右圖,分別以 A、B、C、D、E 為頂點的 三角形有哪些?
如右圖,請問其中共有多少個正方形?
60 10公分 6公分
O A
B
o
認識柱體與錐體:在日常生活中,我們可以看到許多簡單的立體圖形,例如:正方體、
長方體、角柱、角錐及球……等,其中由多邊形的平面所圍成的立體 圖形叫做多面體。在多面體中,圍成此多面體的各多邊形,其相鄰兩 個面的交線叫做邊或棱,邊的交點叫做頂點。
1. 長方體:
(1) 由 6 個長方形的面所圍成的立體圖形,如下圖。
(2) 有 8 個頂點,12 個邊與 6 個面。
(3) 每個面都是長方形,其中上、下兩面全等,左、右兩面全等,前、後兩面全等。
(4) 相鄰的兩邊一定互相垂直,相鄰的面也一定互相垂直。
2. 正方體:
(1) 由 6 個全等的正方形所圍成的立體圖形,如下圖。
(2) 有 12 個等長的邊,8 個頂點與 6 個面。
兩平面垂直:長方體中相鄰的兩邊會互相垂直,而它相鄰的兩個面,我們稱為兩個互 相垂直的平面。我們要檢驗兩個相交平面是否互相垂直時,可以用長方 體來檢驗。將一個長方體緊靠這兩個相交平面,如果長方體的兩面和被 量測的兩平面重合時,我們就說這兩個平面互相垂直。
頂點
邊 面
頂點 邊
面 面 頂點
頂點
頂點
上底
下底 側面
頂點
頂點 邊
展開圖
展開圖
兩平面不垂直
空隙 兩平面不垂直
空隙
兩平面不垂直
3. 角柱:角柱是由兩個全等多邊形的底面(或簡稱為底),和一些 長方形的側面所組成的立體圖形。如果一個角柱的兩個底 都是 n 邊形,稱這個角柱為 n 角柱,它有 n 個側面。
(1)直角柱:每個側面都和底面垂直的角柱,叫做直角柱。
(2)斜角柱:如果側面和底面不垂直的角柱,叫做斜角柱。
(3)正 n 角柱:若一個 n 角柱的底面是正多邊形,則稱為正 n 角柱。
(4)在國中數學中,所說的角柱,通常是指直角柱。
【範例】觀察右圖的直五角柱,回答下列問題:
(1) 此五角柱共有多少個面?它們分別是什麼形狀?
(2) 此五角柱共有多少個邊?共有多少個頂點?
【解答】(1) 共有 7 個面,其中 2 個全等底面是五邊形,
5 個側面是長方形。
(2) 上、下兩個底面各是 5 個邊,側面除了底面重複的邊外,尚有 5 個邊,
所以共有 15 個邊。
上、下兩個底面各是 5 個頂點,所以共有 10 個頂點。
【範例】填填看:下列角柱各有多少個頂點?多少個邊?多少個面?
4. 角錐:角錐是由一個多邊形的底面,和一些三角形的側面 所組成的立體圖形。如果一個角錐的底都是 n 邊形,
稱這個角錐為 n 角錐,它有 n 個側面。
(1)直角錐:每個側面是等腰三角形的角錐,叫做直角錐。
(2)正 n 角錐:若一個 n 角錐的底面是正多邊形,且每個側面 都是等腰三角形,則稱為正 n 角柱。
(3)在國中數學中,所說的角錐,通常是指正角錐。
三角柱
四角柱 五角柱 正六角柱 斜角柱 斜角柱
展開圖
底面 側面
底面
側面
角柱 頂點數 邊數 面數 六角柱 12 18 8 七角柱 14 21 9
側面
底面
【範例】一個正六角錐共有多少個頂點?多少個邊?多少個面?
【解答】正六角錐的底面有 6 個頂點,加上錐頂,共有 7 個頂點。
正六角錐的底面有 6 個邊,加上側面的 6 個邊,共有 12 個邊。
正六角錐有 1 個底面和 6 個側面,共有 7 個面。
【範例】填填看:下列角錐各有多少個頂點?多少個邊?多少個面?
圖形 頂點數 邊數 面數
三角錐 4 6 4
四角錐 5 8 5
五角錐 6 10 6
六角錐 7 12 7
5. 圓柱:圓柱是由兩個等圓形的底面,和一個側面所構成的立體圖形。
圓柱沒有頂點與邊,側面可以展開成一個長方形,其一邊長為底圓的圓周長,
另ㄧ邊長為柱高。
(1)直圓柱:兩底圓心的連線與兩底的所有半徑都垂直的圓柱。
(2)國中數學中,只討論直圓柱。
【範例】如右圖,計算圓柱側面展開後的周長。(單位:公分)
【解答】 ( 2 ´5 ´
p
+ 10 ) ´ 2 = 20p
+ 20 (公分)三角錐 四角錐 五角錐
四角錐
展開圖
上底
下底 柱 側面 高
圓周長
柱高 上底
側面
下底 展開圖
5 10
6. 圓錐:圓錐是由一個圓形的底面、一個頂點和一個側面所構成的立體圖形。
圓柱沒有邊,側面可以展開成一個弧長等於底圓圓周長的扇形。
(1)直圓柱:頂點與底圓心的連線與底的所有半徑都垂直的圓錐。
(2)國中數學中,只討論直圓錐。
表面積與體積計算:
1. 長方體:長、寬、高各為 a、b、c 的長方體,
表面積=2(ab+bc+ca),
體積=abc。
2. 正方體:邊長為 a 的正方體,表面積=6a 2 ,體積=a 3 。
【範例】求右圖中,長方體的表面積與體積各為多少?
【解答】
表面積= 2 × (長×寬+寬×高+長×高)
= 2 × (5 × 3 + 3 × 1 + 5 × 1)
= 46 (cm 2 )
體積=長×寬×高=5 × 3 × 1 = 15 (cm 3 )
【範例】求右圖中,正方體的表面積與體積為多少?
【解答】
表面積 = 6 × 10 × 10 = 600 (cm 2 ) 體積 = 10 × 10 × 10 = 1000 (cm 3 )
3.角柱:表面積=(底面積)×2+(側面積),體積=底面積×高。
【範例】求右圖中立體圖形的表面積與體積?
【解答】
底面積=8 × 5 ×
2 1
=20側面長方形面積=6 × 12 + 8 × 12 + 8 × 12 = 264 表面積= 2 × 底面積 + 側面長方形面積
= 2×20+264=304(cm 2 )
體積 = 底面積 × 高=20 × 12 = 240 (cm 3 )
頂點
高 側面
底面 展開圖
1cm
5cm 3cm
10cm
12cm 5cm
8c m 8cm 6cm
a a
a a
b
c
4.角錐:表面積=(底面積)+(側面積)。
【範例】右圖是一個四角錐的玩具金字塔,其底面是邊長 6 公分 正方形,四個側面是腰長 5 公分的等腰三角形,求此四 角錐的表面積與體積?
【解答】等腰三角形的高=
5
2- 3
2= 4
側面三角形面積=2
1
×6×4=12 底面積=6 × 6=36表面積 = 底面積 + 4×側面三角形面積
= 36 + 4 × 12= 36 + 48 = 84 (cm 2 ) 5. 圓柱:底面半徑為 r,高為 h,
表面積=2 × 底面積+圓柱側面積
=2
p
r 2 +2p
rh 體積=底面積×高=p
r 2 h【範例】求右圖圓柱的表面積與體積?
【解答】底面積=6 × 6 ×
p
=36p
圓柱側面積=長方形面積= 2 × 6 ×
p
× 20 = 240p
表面積= 2 × 底面積+圓柱側面積= 2 × 36
p
+ 240p
= 312 (cm 2 ) 體積=36p
× 20 = 720p
(cm 3 )6. 圓錐:
case 1:底面半徑為 r,扇形半徑為 a,
表面積=底面積+側面積(扇形)
= p
p p p
a a r
r 2
2
2
2
+ ´
【說明】因圓錐展開後的扇形弧長=底面圓周長=2r
p
, 所以扇形的度數為p p
a r 2 2
。case 2:底面半徑為 r,高為 h,
則扇形半徑為
r +
2h
2 ,表面積=底面積+側面積(扇形)
=
( )
p p p
p
2 2 2 2
2 2
2 2
h r h r
r r
+
´ +
+
20cm 12cm
5公分 5公分
6公分
h r
圓周長
=2 r h r
p
r h
r a
r a
r
2
2
h
r +
【範例】如右圖,求此圓錐的表面積。(單位:公分)
【解答】圓錐展開後的扇形弧長占圓周的
2 1 20 2
10
2 =
´
´
p p故側面積=20 2 ×
2
1
=200p
表面積=底面積+側面積=10×10×
p
+200p
=300p
(cm )
2【範例一】
在下面的四個圖中,哪些是正確的正方體展開圖?請在( )內打ˇ:
(1) (2) (3) (4)
( ) ( ) ( ) ( )
【練習一】
下圖哪幾個圖形是圓柱體的展開圖?( )。
(1) (2) (3) (4)
【範例二】
圖(一)是由白色紙拼成的立體圖形,將此立體圖形中的兩面塗上顏色,
如圖(二)所示。下列四個圖形中哪一個是圖(二)的展開圖?
(A) (B)
(C) (D)
20
10
圖(一) 圖(二)
【練習二】
(1)右圖為一立體圖形,則下列(A)~(D)四個平面圖形中,何者為此 立體圖形所對應的展開圖?( )。
(A) (B) (C) (D)
【範例三】 【練習三】
如下圖,下半部邊長為 6 公分的正方體,上半 部是腰長 5 公分的正四角錐,求此多面體的表 面積。
如下圖,求此多面體的表面積。
【範例四】 【練習四】
如下圖,求五角柱形的工具箱體積。 如圖所示,工具箱的蓋子是圓柱的一半,盒 身是長方體,求工具箱體積。
5cm 5cm
6cm
5cm 10cm
6cm
40公分 20公分
20公分 10公分
8cm 4cm
8cm
20公分
【範例五】 【練習五】
下圖是一個圓錐側面展開後的扇形。
(1)求此扇形兩半徑所夾的圓心角度數。
(2)求此圓錐的底面積。
(3)求此圓錐的表面積。
如圖示,已知圓 O 的半徑為 5 公分,扇形 OAB 的面積恰為圓面積的
5
1
。求:(1)扇形 OAB 的面積為多少平方公分?
(2)扇形 OAB 兩半徑所夾的圓心角為多少 度?
(3)扇形 OAB 的弧長為多少公分?
【範例六】 【練習六】
逢甲茶行賣出一罐茶葉,店員 用一張包裝紙包裝側面,左右 重疊 3 公分,再用包裝繩如包 裝,打結處是 15 公分。
(1)求包裝紙的長、寬各多少公分?
(2)需要繩子多少公分?(
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以 3.14 代入)玲玲將一個圓柱體半徑為 5 公 分,柱高為 20 公分的果凍筒,
放在一個長方體的盒子裡,盒 子,盒子至少還有多少空間?
(
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以 3.14 代入) 12cm25cm