(1)函數圖形：
1.在座標平面上，將合於y＝f( x )關係的所有點( x ，y)描繪出來所得到的圖形，
就是函數 f 的圖形。
2.畫函數時圖形時，只需畫出部分重要的點，再將各點連接起來即可。
(取得的點合適而且描的越多或越密，圖形的準確性越高)
【範例】：試畫出函數 y＝f( x )＝ x －2 的圖形。
解 ：
對函數 y＝f( x )＝ x －2 時的圖形，先找出兩組方程式的解為：
x 0 2
y －2 0
再將兩點描到座標平面上，再將兩點連接成一條 直線，則此直線即為函數 y＝f( x )＝ x －2 的圖形。
(2)線性函數圖形：
一次函數：
f( x )＝ ax ＋b， a ≠0 時，這種函數就叫做一次函數。(即y是 x 的一次函數) 例如：f( x )＝5 x ，g( x )＝50－3 x 都是一次函數；
10． 1
x ， x ， 2 200
x 和 x ＋3 x －1 都不是 x 的一次式，所以：g( x )＝10． 2 1 x 、 f( x )＝ x 、A( x )＝ 2 200
x 、H( x )＝ x ＋3 x －1，都不是 x 的一次函數。 2
※注意：當一次函數：y＝f( x )＝ ax ＋b 中的 x 值有限制的時候，其圖形為直線的 一部分，為一條線段或某些點。
【範例】：試畫出一次函數 y＝f( x )＝－2 x 的圖形。
解 ：
對函數 y＝f( x )＝－2 x 時的圖形，先找出兩組方程式的解為：
x －1 1
y 2 －2
再將兩點描到座標平面上，再將兩點連接成一條 直線，則此直線即為函數 y＝f( x )＝－2 的圖形。
x y
o
y＝ x－2
(0， 2) (0， －2)
x y
o y＝ －2x
(1， －2) (－1， 2)
【範例】：設一次函數 y＝f( x )＝4 x －5，且 1 £ x £ 3，請畫出它的圖形。
解 ：
取函數 y＝f( x )＝4 x －5 的兩組端點的對應值如下：
x 1 3
y －1 7
再將兩點描到座標平面上，再將兩點連接成一條 直線，則此直線即為函數 f( x )＝4 x －5 的圖形。
常數函數：
f( x )＝ ax ＋b中， a ＝0 時，f( x )＝b，這種函數就叫做常數函數。
例如：f( x )＝5，g( x )＝－2，f( x )＝0 都是常數函數，其圖形都是 x 軸或 與 x 軸平行的直線。
【範例】：試畫出常數函數 y＝f( x )＝3 的圖形。
解 ：
對函數 y＝f( x )＝3 時的圖形，先找出兩組方程式的解為：
x 0 2
y 3 3
再將兩點描到座標平面上，再將兩點連接成一條 直線，則此直線即為函數 y＝f( x )＝3 的圖形。
【範例】：下面的函數中，那些是一次函數？那些是常數函數？
(1)f( x )＝－5 (2)g( x )＝3 x －8 (3)A( x )＝2 x ＋4 2 (4)B( x )＝－1 解 ：
(1) f( x )＝－5 是常數函數。
(2) g( x )＝3 x －8 是一次函數。
(3) A( x )＝2 x ＋4 不是線性函數，它是二次函數。 2 (4) B( x )＝－1 是常數函數。
x y
o
(2， 3) y＝ 3 O
( 3，7 )
( 1，－1 ) x y
(3)一元二次多項式的函數圖形：
c bx ax x f
y = ( ) = 2 + + 的形式為所謂的二次函數，其中 a 、b、 c 為常數，但 a ¹ 0 。 例如： y = x 2 ， y = - 3 x 2 + 6 ， y = x 2 2 - 1 ， y = x 2 + 2 x + 1 皆是二次函數。
一元二次多項式的函數圖形，是開口向上或開口向下的拋物線圖形。
如下圖所示：
開口向上 開口向下
(4)絕對值的函數圖形：
例如：方程式y＝| x |的圖形，即為絕對值的函數圖形。
方程式y＝| x |，其圖形如下圖所示：
y是 x 的函數，也就是 y＝ f ( x )＝| x |。
(5)平方根與立方根的函數圖形：
例如：方程式y＝ x ，y＝－ x 的圖形，即為平方根的函數圖形。
方程式y＝ x ，y＝－ x ，其圖形如下圖所示：
y是 x 的函數，也就是 y＝ f ( x )＝ x ，y＝ f ( x )＝－ x 。
O x
y
y＝-a(x-h) +k 2
O x
y
y＝a(x-h) +k 2
x y
O
y ＝|x|
x y
y＝ x
x y
方程式 y＝ 3 x 以及 y＝ 3 - ＝－ x 3 x 的圖形，即為立方根的函數圖形。
方程式 y＝ 3 x 以及 y＝ 3 - ＝－ x 3 x ，其圖形如下圖所示：
y是 x 的函數，也就是 y＝ f ( x )＝ 3 x ，y＝ f ( x )＝－ 3 x 。
(6)不是函數的函數圖形：
如右圖所示，若方程式 y＝ f ( x )，
如果 x ＝ a 代入，會跑出兩個根(解)，則 此方程式不是函數。
若將方程式y＝ x ，y＝－ x 的函數圖形合併，使函數為y＝ ± x 。 則函數為 y＝ ± x 其圖形如下圖所示：
所以，y＝ ± x 不是一個函數。
x y
y＝ x 3
x y
y＝ 3 x
x y
O
＝ x a
y＝ f(x)
y＝ f(a) y ＝ f(a)
x y
O
y＝ + - x
【例題一】
下面函數中，有哪些是一次函數？哪些是常數函數？哪些是線性函數？
(1) f( x )＝12 (2) f( x )＝－ x －2 (3) f( x )＝3 x －1 (4) f( x )＝－1 (5) f( x )＝ x ＋1 (6) f( x )＝ 2 12
1
x + (7) f( x )＝0 解：
一次函數：(2) f( x )＝－ x －2、(3) f( x )＝3 x －1
常數函數：(1) f( x )＝12、(4) f( x )＝－1、(7) f( x )＝0 線性函數：(1)、(2)、(3)、(4)、(7)
(5) f( x )＝ x ＋1 (6) f( x )＝ 2 12 1
x + 不是線性函數。
【練習一】
下面函數中，有哪些是一次函數？
f( x )＝5 、 g( x )＝10 2 x ＋10 2 、 k( x )＝2 x －3 、 A( x )＝－2 解：
一次函數的是：g( x )＝10 2 x ＋10 2 、k( x )＝2 x －3。
f( x )＝5、A( x )＝－2 都是常數函數。
【例題二】
下列圖形中：(1) 線性函數圖形的是？ (2) 一次函數圖形的是？
(3) 常數函數圖形的是？ (4) 不是函數圖形的是？
(A) (B) (C) (D)
解：
常數函數的圖形式平行於 x 軸的直線，一次函數的圖形則是一條斜的直線。
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
【練習二】
下列圖形中：(1) 線性函數圖形的是？ (2) 一次函數圖形的是？
(3) 常數函數圖形的是？ (4) 不是函數圖形的是？
(A) (B) (C) (D)
解：
常數函數的圖形式平行於 x 軸的直線，一次函數的圖形則是一條斜的直線。
∴ (1) 線性函數的圖形是(B)和(C) (2) 一次函數圖形的是(C) (3) 常數函數圖形的是(B) (4) 不是函數圖形的是(D) (A)的圖形是二次函數的圖形。
【例題三】
請畫出下列函數的圖形： (1) f( x )＝5 (2) f( x )＝3 x －5 解：
(1) 先找出兩個函數值： (2) 先找出兩個函數值：
x 0 2 x 0 2
y 5 5 y －5 1
再畫出函數圖形： 再畫出函數圖形：
【練習三】
請畫出下列函數的圖形： (1) f( x )＝2 x －4 (2) f( x )＝－3 x ＋3 解：
(1) 先找出兩個函數值： (2) 先找出兩個函數值：
x 0 2 x 0 1
y －4 0 y 3 0
再畫出函數圖形： 再畫出函數圖形：
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
( 2，5 ) ( 0，5 )
f( x )＝5
O x
y
( 2，0)
( 0，－4 )
f( x )＝2x－4
O x
y
( 2，1 )
( 0，－5 ) f( x )＝2x－5
O x
y ( 0，3 )
( 1，0 )
f( x )＝2x－5
【例題四】
設一個線性函數 f 的圖形通過兩點 (2，4)、(3，5) 兩點：
(1) 求此線性函數 f。 (2) 如果(2 k－1，k＋3)為此線性函數圖形上一點，請求出 k 值。
解：
(1) 設線性函數為y＝f( x )＝ ax ＋b，將(2，4)、(3，5)兩點代入得：
î í ì
= +
= +
) 2 ( 5 3
) 1 ( 4 2
L L b a
b
a 將(2)－(1)得： a ＝1 代入(1)得：b＝2 所以此線性函數為：y＝f( x )＝ x ＋2
(2) 將(2k－1，k＋3)代入y＝f( x )＝ x ＋2 可得：k＋3＝2k－1＋2
∴ k＝2
答： (1) y＝f( x )＝ x ＋2 (2) k＝2
【練習四】
設一個線性函數 f 的圖形通過兩點 (0，－1)、(2，0) 兩點：
(1) 求此線性函數 f。 (2) 如果(2 k＋1，2k＋3)為此線性函數圖形上一點，請求出 k 值。
解：
(1) 設線性函數為y＝f( x )＝ ax ＋b，將(0，－1)、(2，0)兩點代入得：
a ＝ 2
1 ，b＝－1 所以此線性函數為：y＝f( x )＝
2
1 x －1
(2) 將(2k＋1，2k＋3)代入y＝f( x )＝
2
1 x －1 可得：2k＋3＝
2
1 (2k＋1)－1
∴ k＝－3 2
1 答： (1) y＝f( x )＝ x ＋2 (2) k＝－3 2 1
【例題五】
設兩線性函數 f( x )＝－2 x －2，g( x )＝ x ＋3，求：
(1) y＝f( x )與y＝g( x )的交點座標 A？ (2) y＝f( x )與y軸的交點座標 B？
(3) y＝g( x )與y軸的交點座標 C？ (4) △ABC 的面積。
解：
(1) 兩個函數的交點座標，即是兩函數的聯立方程式的解。
î í ì
+
= - -
=
) 2 ( 3
) 1 ( 2 2
L L x
y x
y 將(2)－(1)得： x ＝－
3
5 ，y＝ 3
4 ∴ A(－
3 5 ，
3 4 ) (2) 令 x ＝0 代入y＝－2 x －2 可得： y＝－2 ∴ B(0，－2)
(3) 令 x ＝0 代入y＝ x ＋3 可得： y＝3 ∴ C(0，3) (4) △ABC 的面積＝
2
1 ×|3－(－2)|×|－
3 5 |＝
6
25 (平方單位) x
y
( － ， ) 3 5
3 4
(0，－2) (0，3)
O
【練習五】
已知線性函數 f( x )＝－2 x ＋k 的圖形通過點(－1，6)，分別求出：
(1) k 值是多少？ (2) y＝f( x )的圖形與兩軸的交點座標是多少？
(3) y＝f( x )的圖形與兩軸所形成的三角形面積與周長為多少？
解：
(1) 將點(－1，6)代入y＝f( x )＝－2 x ＋k 可得：6＝－2．(－1)＋k ∴ k＝4 (2) 與 x 軸交點座標：令y＝0 代入y＝－2 x ＋4 可得： x ＝2 ∴( x ，y)＝(2，0)
與y軸交點座標：令 x ＝0 代入y＝－2 x ＋4 可得：y＝4 ∴( x ，y)＝(0，4) (3) 面積＝
2
1 × 2 × 4＝4(平方單位) 周長＝2＋4＋( 2 + 2 4 2 )＝6＋2 5
【例題六】
(1) 設函數y＝f( x )＝ ax ＋b的圖形平行 x 軸，並經過點(0，－3)，求 a 、b之值。
(2) 若一次函數的圖形通過(3，10)、(－1，8)兩點，請求出此一次函數。
解：
(1) 線性函數y＝f( x )＝ ax ＋b的圖形平行 x 軸，為一個常數函數的圖形。
∴令 a ＝0 代入可得：y＝b ∵ 經過點(0，－3) 則可得b＝－3
(2) 設一次函數為y＝f( x )＝ ax ＋b，∵此圖形經過(3，10)、(－1，8)兩點
∴ 代入可得 î í ì
+ -
= +
=
) 2 ( 8
) 1 ( 3
10
L L b a
b
a ， 將(1)－(2)可得： a ＝ 2
1 ，b＝ 2 17
則函數y＝f( x )＝
2 1 x ＋
2 17
【練習六】
若一次函數的圖形通過(5，9)、(1，－3)兩點，請求出此一次函數？
解：
設一次函數為y＝f( x )＝ ax ＋b，∵此圖形經過(5，9)、(1，－3)兩點
∴ 代入可得 î í ì
+
= -
+
=
) 2 ( 3
) 1 ( 5
9
L L b a
b
a ， 將(1)－(2)可得： a ＝3，b＝－6 則函數y＝f( x )＝3 x －6
答：出此一次函數為 f( x )＝3 x －6
x y
O (0，4)
(2，0)
f( x )＝－2x ＋4
【例題七】
原長 20 公分的彈簧掛上 x 公克的物體後，長度會變成y公分， x 與y的關係如下表：
x (公克) 0 1 2 3 4 5 … 9 ……
y(公分) 20 21.5 23 24.5 26 27.5 … k ……
已知 x 、y的關係為一個線性函數，請求出：
(1) x 、y的關係式為何？ (2) k 的值為多少公分
(3) 若掛一個物體時，彈簧的長度為 57.5 公分，請問此重物為多少公克？
解：
(1) 設y＝ ax ＋b，將 x ＝0，y＝20 以及 x ＝4，y＝26 代入可得：
î í ì
+
=
= b a b 4 26
20 可解得： a ＝1.5、b＝20 ∴ y＝1.5 x ＋20
(2) 將 x ＝9 代入y＝1.5 x ＋20 可得： y＝1.5．9＋20＝33.5 ∴ k＝33.5 (3) 將y＝57.5 代入y＝1.5 x ＋20 可得：57.5＝1.5 x ＋20 ∴ x ＝25 答：(1) x 、y的關係式：y＝1.5 x ＋20 (2) k＝33.5(公分) (3) 25 公克
【練習七】
琦琦原有存款 400 元，自五月一日起，每天從零用錢中拿出 5 元儲蓄，假設儲蓄 x 天，
琦琦總共有存款y元。請問：
(1) 請寫出 x 與y的關係式。 (2) 到同一年的六月六日為止，琦琦共有存款多少元？
(3) 如果琦琦總共有存款 1250 元，請問琦琦自五月一日起儲蓄了多少天？
(4) 如果琦琦希望在兩個月後的存款總金額達到 1000 元，則需改成每天儲蓄多少元？
解：
(1) 依題意可列出關係式：y＝5 x ＋400 (2) 自五月一日到六月六日共有 36 天，
∴ x ＝36 代入y＝5 x ＋400 可得： y＝5．36＋400＝580(元)
(3) 令y＝1250 代入y＝5 x ＋400 可得：1250＝5 x ＋400 ∴ x ＝170(天) (4) 設每天需要 a 元，兩個月後為 60 天
∴依題意可列式為： 1000＝60 a ＋400 則 a ＝10(元)
答： (1) y＝5 x ＋400 (2) 580(元) (3) 170(天) (4) 10(元)
【例題八】
有一線性函數 f( x )＝ ax ＋b的圖形通過點(3，－4)，並與 g( x )＝3 x －7 的圖形平行，
請求出 f( x )。
解：
∵ 線性函數 f( x )的圖形與 g( x )的圖形互相平行
∴ 直線y＝ ax ＋b會與y＝3 x －7 平行，可得：y＝3 x ＋b 將點(3，－4)代入y＝3 x ＋b可得：－4＝3．3＋b ∴ b＝－13 則y＝3 x －13
答： f( x )＝3 x －13
【練習八】
設一次函數y＝ ax ＋b的圖形通過(－2，3)，並與直線y＝4 x －3 的圖形平行，
請求出 a 、b的值？
解：
∵ 一次函數y＝ ax ＋b與直線y＝4 x －3 平行
∴ 一次函數y＝4 x ＋b
將點(－2，3)代入y＝4 x ＋b可得：3＝4．(－2)＋b ∴ b＝11 則y＝4 x ＋11
答： a ＝4 、 b＝11
