四邊形的包含關係

直線 曲線 

B 

A  C 

點、線、角 ：

在探討幾何學之前，我們必須先瞭解構成平面圖形的基本元素－點、 線、角。

點：點是幾何學中所討論的最基本圖形。

點僅用來表示事物所在的位置，而不考慮它的形狀與大小。

線：線可以想成是筆尖在紙上連續移動時所經過的路線，因此線是沒有寬窄的。

線可以分為曲線與直線，如下圖。

直線：通過兩點用直尺所畫出來的線，也就是說:兩點決定一直線；

「 « 」符號是表示直線可以向兩邊無限延伸，所以直線是不談長短的。

線段：直線 AB 在  A  點與  B  點之間的部分就稱為線段。

角：兩線段 AB 與 AC 相交於 A 點形成一個角，如右圖。

記作∠BAC 或∠A。

若角的度數＞90 ⁰ ，我們稱這個角為鈍角，如下圖的∠A。

若角的度數＝90 ⁰ ，我們稱這個角為直角，如下圖的∠B。

若角的度數＜90 ⁰ ，我們稱這個角為銳角，如下圖的∠C。

圖示 記法 讀法

●  A  點 A 或 A 點 點 A 或 A 點

圖示 記法

直線 L  直線 L 

L 

A  B 

AB 

^直線AB 

圖示 記法 讀法 

A  B 

AB 

或 BA  線段 AB 或線段 BA 

A  B  C

1 

2  4  3 

A 

B 

C  D 

E 

A 

E 

D  B 

C 

互補：若兩個角的和是一個平角(180 ⁰ )，我們稱這兩個角互補，如圖，∠1＋∠2＝ 180  ， ⁰  故我們稱∠1 與∠2 互補。

互餘：若兩個角的和是一個直角，我們稱這兩個角互餘，如圖，∠1＋∠2＝90 ⁰ ， 故我們稱∠1 與∠2 互餘。

對頂角：兩直線相交會形成兩組對頂角。如右圖，∠1 與∠2 為對頂角，

∠3 與∠4 亦為對頂角。

※對頂角相等，即∠1＝∠2；∠3＝∠4

【證明】： ∵∠1＋∠3＝180 ⁰  又∠3＋∠2＝180 ⁰ 

∴∠1＝180 ⁰ －∠3＝∠2

有關點線角的應用：

我們已經知道兩點可以決定一條直線，接著要來討論平面上相異的點

決定線段數目及角度等相關問題。

【範例】上相異 5 點 A、B、C、D、E，

（1）至多可決定幾條直線?

（2）至少可決定幾條直線?

【解答】 (1)自A點出發，可得 AB 、 AC 、 AD 、 AE 共 4 條。

自B點出發，可得 BC 、 BD 、 BE 共 3 條。

自C點出發，可得 CD 、 CE 共 2 條。

自D點出發，可得 DE 共 1 條。

自E點出發，均已連線故 0 條。

∴共 4＋3＋2＋1＋0＝10 條。

(2)當 5 點共線時，可決定最少的 1 條直線。

結論：平面上相異 n 點，至多可決定  2 

)  1  ( - n 

n  條直線；至少可決定 1 條直線(n 點共線時)。

1 2

1 2

O  A 

E  C  B 

D  L 

V 

A  B  C 

X  Y  Z  W 

【範例】平行線，L 上有相異三點，V 上有相異四點，除 L、V 外，

由上述七點可決定多少線段？

【解答】 （1）由 A 出發可決定： 

AX 、 AY 、 AZ 、 AW 共4條。

（2）由B出發可決定： 

BX 、 BY 、 BZ 、 BW 共4條。

（3）由C出發可決定： 

CX 、 CY 、 CZ 、 CW 共4條。

∴總共 4＋4＋4＝4×3＝12。

【範例】如圖，算一算總共幾個角？

【解答】 （1）以 OA 邊算起有： 

AOB

Ð 、 Ð AOC 、 Ð AOD 、 Ð AOE 共 4 個。

（2）以 OB 邊算起有： 

BOC

Ð 、 Ð BOD 、 Ð BOE 共 3 個。

（3）以 OC 邊算起有： 

COD

Ð 、 Ð COE 共 2 個。

（4）以 OD 邊算起有：  Ð DOE 共1個。∴總共  6  2 

)  1  4  (  1  4  2  3 

4 ´ + =

= + +

+ 個。

【範例】已知∠1＝（45－a）度，∠2 與∠1 互補，求∠2？

【解答】∠2＝180 ⁰ －∠1

＝180 ⁰ －（45－a） ⁰ 

＝（135＋a） ⁰ 

L 

V 

A  B  C 

X  Y  Z  W 

O  A 

E  C  B 

D

12  1 

2 

3 

4  6  5 

7  8  9 

10  11

O

A C B

D

?

11 12 1

2

3

4 6 5

7 8 9

10

55 ⁰

11 12 1

2

3

4 6 5 7 8 9

10

6X ⁰  6x 

【範例】 AB 與 CD 交於 O 點，已知 2∠AOC＋3∠BOD＝ 350  ，則∠COB＝？ ⁰ 

【解答】 ∵∠AOC＝∠BOD(對頂角相等） 。

∴2∠AOC＋3∠BOD＝350 ⁰ ， 5∠AOC＝350 ⁰ 

∴∠AOC＝ 350 ⁰ ¸ 5 = 70 ⁰  故∠COB＝180 ⁰ －70 ⁰ ＝ 110 ⁰ 

【範例】9 點 30 分時，分針與時針的夾角為幾度？

【解答】 時針 1 小時走  12  360 ⁰ 

＝ 30 ⁰  時針 1 分鐘走 

60  30 ⁰ 

＝0.5 ⁰  分針 1 分鐘走 

60  360 ⁰ 

＝ 6 ⁰ 

∴夾角＝ 0 . 5 ⁰ ×30＋ 90  ＝ ⁰  105 ⁰ 

【範例】12 點多，小明外出吃午餐，出門前發現時針與分針的夾角為 55 ⁰ ， 吃完飯後時針與分針的夾角仍為 55 ⁰ ，請問小明出去多久？

（已知小明出門的時間不超過 1 小時） 。

【解答】 假設出去 X 分鐘

∴分針走了 6X ⁰  (1 分鐘 6 ⁰ )，時針走了 6X ⁰ × ¹ 

12 ＝0.5X ⁰ 

∴6X ⁰ ＋55 ⁰ ＋（55 ⁰ －0.5X） ⁰ ＝360 ⁰  X＝45 ⁵ 

11 分鐘。 

12  1 

2 

3 

4  6  5  7  8  9 

10  11 

0.5×30 ^O

【範例一】 【練習一】

平面上相異 10 點，至多可決定幾條直線?

解: ∵平面上相異 n 點，至多可決定  2 

)  1  ( - n  n 

條直線

∴ ^{10(10 1)}  2

- ＝ ^{10 9}  2

´ ＝45（條）

ㄧ平面相異 n 點至多可決定 36 條直線，

則 n＝_____。

解:  ^{( 1)}  2  n´ n -

＝36 Þ n ² －n＝72 n ² －n－72＝0

(n－9)(n＋8)＝0 Þ n＝9，－8(不合)

【範例二】 【練習二】

兩平行線，L上有相異三點，V 上有相異五 點，則此八點可決定多少線段？

解:5×3＝15

兩條高速公路上分別有三個及五個交流道，

若想在這些交流道之間做一些直達便道，那 麼需要幾條直達便道呢？ 

A  B  C 

X  Y  Z  W  U  北一高

北二高

總共5 5 5+ + = ´ = 5 3 15 條

【範例三】 【練習三】

3 點 30 分兩針之夾角為幾度？ 4 點 42 分兩針之夾角為幾度？

解:90 ⁰ －0.5 ⁰ ×30＝75 ⁰  解(42－20)×6 ⁰ －42×0.5 ⁰ ＝111 ⁰ 

【範例四】

一角比其補角的 3 倍多 24 ⁰ ，求此角的對頂角 度數。

解:設此角為 x ⁰ ，其補角為 180－x ⁰  x＝3(180－x)＋24 

x＝540－3x＋24  4x＝564 Þ x＝141 ⁰  答: 此角為 141 ⁰ 

【練習四】

∠A 的 2 倍與∠B 的 5 倍互補，且∠A＋∠B 

＝60 度，求∠A、∠B 的度數。

解:設∠A＝x ⁰ ，∠B＝y ⁰  60 (1)  2 5 180 (2)  x y 

x y + = ì í

+ = î

L L L 

(1)×5 Þ 5x+5y＝300L  (3)  (3)­(2) Þ 3x＝120

Þ x＝40L  (4) 

(4)代入(1) Þ y＝20  答: ∠A＝40 ⁰ ，∠B＝20 ⁰ 

A B C D E

P Q R

生活中的平面圖形：

三角形、四邊形及圓形是生活中最常見的平面圖形，這一節我們將討 論有關這些圖形的基本性質。

三角形：一個三角形有三個頂點、三個邊和三個角。

等腰三角形：有兩邊等長的三角形。如下圖，其中等長的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊 或底，與底邊相對的角叫做頂角，其餘的兩個角都叫做底角。

等邊三角形：三邊都等長的三角形，叫做正三角形。如下圖，每個正三角形也都是等腰 三角形。

直角三角形：有一個角是直角的三角形。如下圖，其中直角所對的邊叫做斜邊，其餘兩 邊叫做股。

等腰三角形 正三角形 直角三角形

銳角三角形：三內角皆為銳角的三角形，稱為銳角三角形。如下圖。

鈍角三角形：三角形其中一內角為鈍角的三角形，稱為鈍角三角形。如下圖。

銳角三角形 鈍角三角形

四邊形：一個四邊形有四個頂點、四個邊和四個角。

長方形：四個角都是直角的四邊形，叫做長方形，也稱做矩形。如下圖，

長方形相對的兩邊都等長。

正方形：四邊都等長的長方形，如右圖；正方形也是長方形的一種。

腰 腰

底邊 頂角

底角 底角

股

股 斜邊

平行四邊形：兩雙對邊分別平行的四邊形，如下圖， AB // CD ， AD // BC 。

平行四邊形有以下重要性質，後面章節我們會一一證明，現在我們先來了解一些性質：

l 平行四邊形ABCD，兩組對邊分別相等，即 AB = CD ， AD = BC 。 l 平行四邊形ABCD，兩組對角分別相等，即∠A＝∠C，∠B＝∠D。

l 平行四邊形ABCD，兩條對角線互相平分，即 OA = OC ， OB = OD 。 菱形：四邊都相等的四邊形，如下圖， AB BC CD DA = = = 。

菱形有以下性質，後面章節我們會一一證明，現在我們先來了解這些性質：

l 兩對角線互相垂直，即 AC ^ BD 。

l 兩對角線互相平分，即 OA = OC 、 OB = OD 。

箏形：兩雙鄰邊分別相等的四邊形，如下圖， AB AD = ， BC CD = 。

梯形：只有一雙對邊平行，另ㄧ雙對邊不平行的四邊形，如下圖， AD // BC 。 由定義可知，平行四邊形、菱形、長方形和正方形都不是梯形。 

A 

B  C 

D 

O 

A 

B  O  D 

C 

A 

B  C 

D  A 

B  O  D 

C

對角線：四邊形中，不相鄰的兩個頂點的連線叫做它的對角線。每一個四邊形都有兩條 對角線。四邊形的每一條對角線都把這個四邊形分割成兩個三角形，如下圖。

我們可以利用四邊形的對角線性質來簡單的判別某些四邊形：

a.對角線互相平分的四邊形必為平行四邊形。

b.對角線互相平分且相等的四邊形必為矩形。

c.對角線互相平分且垂直的四邊形必為菱形。

d.對角線互相平分且垂直、相等的四邊形必為正方形。

關係如下圖：

四邊形的包含關係

：由各種四邊形的定義來看，如下圖，可以歸納出四邊形彼此間的關係。

上圖中大範圍包含小範圍，大範圍有的性質，小範圍必定有其性質。反之，小範圍有 的性質，大範圍不一定有其性質。

像是平行四邊形有三項性質：（1）兩雙對邊相等。

（2）兩雙對角相等。

（3）兩對角線互相平分。

則菱形、長方形、正方形皆有上列性質。

同理，箏形的兩雙鄰邊分別相等，對角線互相垂直，菱形與正方形也有同性質；菱形 任一對角線會平分其頂角，兩對角線互相垂直平分，正方形亦有相同性質；長方行四個角 皆為直角，對角線互相平分且相等，正方形亦會有相同性質；反之，正方形對角線互相垂 直，長方形則沒有此性質。正方形對角線等長，菱形及箏形則沒有此性質。

對 角 對 線

線 角

對 角

線 三角形

三角形

四邊形

平行四邊形

長方形 正方形

菱形

箏形 梯形

平行四邊形

長方形

正方形 菱形

圓：在平面上與一固定點的距離等於一固定長度的所有點所組成的圖形。如下圖，

固定點叫做圓心，固定長度叫做半徑。圓心與圓上任意點所連的線段也叫做半徑。

弦：圓上任意兩點所連的線段。

如下圖，如果一弦恰好通過圓心，它就是直徑，所以直徑也是一弦。

弧：一弦把圓分為兩部分，每一部分都叫做弧。

如下圖，大於半圓的弧叫做優弧；小於半圓的弧叫做劣弧。

弓形：圓的一弦和其所對的一弧所組成的圖形。如右圖。

扇形：圓的兩半徑和其所夾的弧所組成的圖形。如下圖。

圓形周長及面積的計算公式：若圓形半徑＝r，則圓形周長＝2

p

r ，圓形面積＝

p

r ² 。 扇形周長及面積的計算公式：

如右圖，若扇形半徑＝r，圓心角＝n ^o ，則 扇形周長＝（2

p

r × 

o  o 

n

360  ）＋ 2r ， 圓形面積＝

p

r ²  × 

o  o 

n 360  。

劣弧

優弧

弦 弦

直徑 圓心 半徑

半徑

弓形 弓形

扇形 扇形 

r  n ^o

有關簡單幾何圖形的應用

【範例】如右圖，求灰色面積部分的周長及面積。

【解答】周長＝ 大弧長 ＋ 小弧長 ＋ 2 ×半徑差

＝ 

o  o 

120 

360  × 9 × 2 ×

p

＋ 

o  o 

120 

360  × 5 × 2 ×

p

＋ 2 × (9－5)

＝  3 

28

p

＋8 （公分）

面積＝ 大扇形面積 － 小扇形面積

＝ 

o  o 

120 

360  × 9 × 9 ×

p

－ 

o  o 

120 

360  × 5 × 5 ×

p

＝  3 

56

p

（平方公分）

【範例】一圓上有相異 6 點：A、B、C、D、E、F，任意兩點成一弦，問此 6 點共可 連成幾條弦？

【解答】自 A 點出發，可得 AB 、 AC 、 AD 、 AE 、 AF 共 5 條。

自 B 點出發，可得 BC 、 BD 、 BE 、 BF 共 4 條。

自 C 點出發，可得 CD 、 CE 、 CF 共 3 條。

自 D 點出發，可得 DE 、 DF 共 2 條。

自 E 點出發，可得 EF 共 1 條。

∴共 5＋4＋3＋2＋1＝15 條。

【範例】一圓上有相異 6 點，問此 6 點共可決定幾個弧？

【解答】因為 1 條弦可決定 2 個弧，

所以由上題範例可知此 6 點共可決定 15 × 2 ＝ 30 個弧。

【範例一】 【練習一】

一圓上有相異 8 點，任意兩點成一弦，問此 8 點共可連成幾條弦？

解答:7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（條）

一圓上有相異 10 點，問此 10 點共可決定幾 個弧？

解答: 可決定 9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1

＝45（條弦）

可決定 45×2＝90 個弧 120

9公分 5公分 ^o 

A 

B 

C 

D 

E  F

O  A 

B 

A 

B  C 

D 

E 

【範例二】 【練習二】

一圓直徑 12 公分，將其對摺 3 次，求：

(1)摺痕將此圓分成幾等分?

(2)最後所得扇形面積 解答: (1) 2 ³ ＝ 8

(2)  ¹ 

8  × 6 × 6 ×

p

＝  ⁹  2

p

將一圓對摺 4 次，問：

(1)摺痕將此圓分成幾等分?

(2)最後所得扇形面積與圓面積的比？

解答:(1)2 ⁴ ＝ 16 (2)  ¹ 

16 

【範例三】 【練習三】

求此斜線部份的周長及面積。

周長＝ 

o  o 

60 

360  ×10×2×

p

＋ 

o  o 

60 

360  ×6×2×

p

＋2×(10－6)

＝ ¹⁶ 

3

p

＋8 面積＝ 

o  o 

60 

360  ×10×10×

p

－ 

o  o 

60 

360  ×6×6×

p

＝ ³²  3

p

如右圖，此圓半徑為 2 公分，求此斜線部分 周長及面積。

周長＝AB＋ AB 

＝ 

o  o 

90 

360  ×2×2×

p

＋  2²+ 2 ² 

＝

p

＋2  2  面積＝  ₀ 

0 

360 

90  ×2×2×

p

－ ¹ 

2 ×2×2＝

p

－2

【範例四】 【練習四】

如右圖，分別以 A、B、C、D、E 為頂點的 三角形有哪些?

解答: 

ΔAED、ΔBEC  ΔABE、ΔDEC  ΔABD、ΔADC  ΔABC、ΔDBC 

如右圖，請問其中共有多少個正方形？

解答:

方格面積 1×1 有 4×4＝16 個，

方格面積 2×2 有 3×3＝9 個，

方格面積 3×3 有 2×2＝4 個，

方格面積 4×4 有 1×1＝1 個，

所以共 30 個。

60 10公分 6公分

O A

B

o

認識柱體與錐體：在日常生活中，我們可以看到許多簡單的立體圖形，例如：正方體、

長方體、角柱、角錐及球……等，其中由多邊形的平面所圍成的立體 圖形叫做多面體。在多面體中，圍成此多面體的各多邊形，其相鄰兩 個面的交線叫做邊或棱，邊的交點叫做頂點。

1. 長方體：

(1) 由 6 個長方形的面所圍成的立體圖形，如下圖。

(2) 有 8 個頂點，12 個邊與 6 個面。

(3) 每個面都是長方形，其中上、下兩面全等，左、右兩面全等，前、後兩面全等。

(4) 相鄰的兩邊一定互相垂直，相鄰的面也一定互相垂直。

2. 正方體：

(1) 由 6 個全等的正方形所圍成的立體圖形，如下圖。

(2) 有 12 個等長的邊，8 個頂點與 6 個面。

兩平面垂直：長方體中相鄰的兩邊會互相垂直，而它相鄰的兩個面，我們稱為兩個互 相垂直的平面。我們要檢驗兩個相交平面是否互相垂直時，可以用長方 體來檢驗。將一個長方體緊靠這兩個相交平面，如果長方體的兩面和被 量測的兩平面重合時，我們就說這兩個平面互相垂直。

頂點

邊 面

頂點 邊

面 面 頂點

頂點

頂點

上底

下底 側面

頂點

頂點 邊

展開圖

展開圖

兩平面不垂直

空隙 兩平面不垂直

空隙

兩平面不垂直

3. 角柱：角柱是由兩個全等多邊形的底面(或簡稱為底)，和一些 長方形的側面所組成的立體圖形。如果一個角柱的兩個底 都是 n 邊形，稱這個角柱為 n 角柱，它有 n 個側面。

(1)直角柱：每個側面都和底面垂直的角柱，叫做直角柱。

(2)斜角柱：如果側面和底面不垂直的角柱，叫做斜角柱。

(3)正 n 角柱：若一個 n 角柱的底面是正多邊形，則稱為正 n 角柱。

(4)在國中數學中，所說的角柱，通常是指直角柱。

【範例】觀察右圖的直五角柱，回答下列問題：

(1) 此五角柱共有多少個面？它們分別是什麼形狀？

(2) 此五角柱共有多少個邊？共有多少個頂點？

【解答】(1) 共有 7 個面，其中 2 個全等底面是五邊形，

5 個側面是長方形。

(2) 上、下兩個底面各是 5 個邊，側面除了底面重複的邊外，尚有 5 個邊，

所以共有 15 個邊。

上、下兩個底面各是 5 個頂點，所以共有 10 個頂點。

【範例】填填看：下列角柱各有多少個頂點？多少個邊？多少個面？

4. 角錐：角錐是由一個多邊形的底面，和一些三角形的側面 所組成的立體圖形。如果一個角錐的底都是 n 邊形，

稱這個角錐為 n 角錐，它有 n 個側面。

(1)直角錐：每個側面是等腰三角形的角錐，叫做直角錐。

(2)正 n 角錐：若一個 n 角錐的底面是正多邊形，且每個側面 都是等腰三角形，則稱為正 n 角柱。

(3)在國中數學中，所說的角錐，通常是指正角錐。

三角柱

四角柱 五角柱 正六角柱 _斜角柱 斜角柱

展開圖

底面 側面

底面

側面

角柱 頂點數 邊數 面數 六角柱 12 18 8 七角柱 14 21 9

側面

底面

【範例】一個正六角錐共有多少個頂點？多少個邊？多少個面？

【解答】正六角錐的底面有 6 個頂點，加上錐頂，共有 7 個頂點。

正六角錐的底面有 6 個邊，加上側面的 6 個邊，共有 12 個邊。

正六角錐有 1 個底面和 6 個側面，共有 7 個面。

【範例】填填看：下列角錐各有多少個頂點？多少個邊？多少個面？

圖形 頂點數 邊數 面數

三角錐 4 6 4

四角錐 5 8 5

五角錐 6 10 6

六角錐 7 12 7

5. 圓柱：圓柱是由兩個等圓形的底面，和一個側面所構成的立體圖形。

圓柱沒有頂點與邊，側面可以展開成一個長方形，其一邊長為底圓的圓周長，

另ㄧ邊長為柱高。

(1)直圓柱：兩底圓心的連線與兩底的所有半徑都垂直的圓柱。

(2)國中數學中，只討論直圓柱。

【範例】如右圖，計算圓柱側面展開後的周長。(單位：公分)

【解答】 ( 2 ´5 ´

p

+ 10 ) ´ 2 = 20 

p

+ 20 (公分)

三角錐 四角錐 _五角錐

四角錐

展開圖

上底

下底 柱 側面 高

圓周長

柱高 上底

側面

下底 展開圖

5 10

6. 圓錐：圓錐是由一個圓形的底面、一個頂點和一個側面所構成的立體圖形。

圓柱沒有邊，側面可以展開成一個弧長等於底圓圓周長的扇形。

(1)直圓柱：頂點與底圓心的連線與底的所有半徑都垂直的圓錐。

(2)國中數學中，只討論直圓錐。

表面積與體積計算：

1. 長方體：長、寬、高各為 a、b、c 的長方體，

表面積＝2(ab＋bc＋ca)，

體積＝abc。

2. 正方體：邊長為 a 的正方體，表面積＝6a ² ，體積＝a ³ 。

【範例】求右圖中，長方體的表面積與體積各為多少？

【解答】

表面積＝ 2 × (長×寬＋寬×高＋長×高)

＝ 2 × (5 × 3 ＋ 3 × 1 ＋ 5 × 1)

＝ 46 (cm ² )

體積＝長×寬×高＝5 × 3 × 1 ＝ 15 (cm ³ )

【範例】求右圖中，正方體的表面積與體積為多少？

【解答】

表面積 ＝ 6 × 10 × 10 ＝ 600 (cm ² ) 體積 ＝ 10 × 10 × 10 ＝ 1000 (cm ³ )

3.角柱：表面積＝(底面積)×2＋(側面積)，體積＝底面積×高。

【範例】求右圖中立體圖形的表面積與體積？

【解答】

底面積＝8 × 5 ×  2  1 ＝20

側面長方形面積＝6 × 12 ＋ 8 × 12 ＋ 8 × 12 ＝ 264 表面積＝ 2 × 底面積 ＋ 側面長方形面積

＝ 2×20＋264＝304(cm ² )

體積 ＝ 底面積 × 高＝20 × 12 ＝ 240 (cm ³ )

頂點

高 側面

底面 展開圖

1cm

5cm 3cm

10cm

12cm 5cm

8c m 8cm 6cm

a a

a a

b c

4.角錐：表面積＝(底面積)＋(側面積)。

【範例】右圖是一個四角錐的玩具金字塔，其底面是邊長 6 公分 正方形，四個側面是腰長 5 公分的等腰三角形，求此四 角錐的表面積與體積？

【解答】等腰三角形的高＝  5 ² - 3 ²  = 4  側面三角形面積＝ 

2 

1  ×6×4＝12 底面積＝6 × 6＝36

表面積 ＝ 底面積 ＋ 4×側面三角形面積

＝ 36 ＋ 4 × 12＝ 36 ＋ 48 ＝ 84 (cm ² ) 5. 圓柱：底面半徑為 r，高為 h，

表面積＝2 × 底面積＋圓柱側面積

＝2

p

r ² ＋2

p

rh 體積＝底面積×高＝

p

r ² h

【範例】求右圖圓柱的表面積與體積？

【解答】底面積＝6 × 6 ×

p

＝36

p

圓柱側面積＝長方形面積

＝ 2 × 6 ×

p

× 20 ＝ 240

p

表面積＝ 2 × 底面積＋圓柱側面積

＝ 2 × 36

p

＋ 240

p

＝ 312 (cm ² ) 體積＝36

p

× 20 ＝ 720

p

(cm ³ )

6. 圓錐：

case 1：底面半徑為 r，扇形半徑為 a，

表面積＝底面積＋側面積(扇形)

＝ p

p p p 

a  a  r 

r  2 

2  2 

2 + ´

【說明】因圓錐展開後的扇形弧長＝底面圓周長＝2r

p

， 所以扇形的度數為

p p a  r 2  2  。

case 2：底面半徑為 r，高為 h，

則扇形半徑為  r + ²  h ² ，

表面積＝底面積＋側面積(扇形)

＝

( )

p p p

p

 

2  2  2  2 

2  2 

2  2 

h  r  h  r 

r  r

+

´ +

+

20cm 12cm 5公分 5公分

6公分

h r

圓周長

=2 r h r

p

r h

r a

r a

r 

2 

2  h 

r +

【範例】如右圖，求此圓錐的表面積。(單位：公分)

【解答】圓錐展開後的扇形弧長占圓周的 

2  1  20  2 

10 

2 =

´

´ p p

故側面積＝20 ² ×  2 

1 ＝200

p

表面積＝底面積＋側面積＝10×10×

p

＋200

p

＝300

p

( cm  ) ² 

【範例一】

在下面的四個圖中，哪些是正確的正方體展開圖？請在（ ）內打ˇ：

(1) (2) (3) (4)

（ ˇ ） （ ˇ ） （ ） （ ）

【練習一】

下圖哪幾個圖形是圓柱體的展開圖？（ (1) 、(3) ）。

(1) (2) (3) (4)

【範例二】

圖(一)是由白色紙拼成的立體圖形，將此立體圖形中的兩面塗上顏色，

如圖(二)所示。下列四個圖形中哪一個是圖(二)的展開圖？

(A) (B)

(C) (D)

解答：

因為兩個顏色有交點，且有顏色三角形在正方形的右邊，所以選(A)。

20

10

圖(一) 圖(二)

【練習二】

(1)右圖為一立體圖形，則下列(A)～(D)四個平面圖形中，何者為此 立體圖形所對應的展開圖？（ (B) ）。

(A) (B) (C) (D)

【範例三】 【練習三】

如下圖，下半部邊長為 6 公分的正方體，上半 部是腰長 5 公分的正四角錐，求此多面體的表 面積。

解答：

正四角錐之側面為等腰三角形，

其高＝  5 - ²  3 ² ＝4

表面積＝5×正方形面積＋4×等腰三角形面積

＝5×6×6＋4× 

2  1 ×4×6

＝180＋48

＝228(平方公分)

如下圖，求此多面體的表面積。

解答：

展開後扇形弧長＝2×5×

p

＝10

p

占圓周的 

2  1  10 

2 

10 =

´

´ p

p

圓錐側面積＝10×10×

p

×  2 

1 ＝50

p

圓柱表面積＝5×5×

p

＋10

p

×6＝85

p

表面積＝50

p

＋85

p

＝135

p

(平方公分)

【範例四】 【練習四】

如下圖，求五角柱形的工具箱體積。

解答：

工具箱是五角柱，可切成三角柱和四角柱。

三角柱的體積＝（20×10÷2）×40＝4000 四角柱的體積＝（20×20）×40＝16000 工具箱體積＝三角柱的體積＋四角柱的體積

＝4000＋16000

＝200000(立方公分)

如圖所示，工具箱的蓋子是圓柱的一半，盒 身是長方體，求工具箱體積。

解答：

半圓柱的體積＝ 

2 

1 ×4×4×

p

×20＝160

p

長方體＝8×8×20＝1280

工具箱體積＝1280＋160

p

(立方公分)

5cm 5cm

6cm

5

3 4 3

5cm 10cm

6cm

40公分 20公分

20公分 10公分

8cm 4cm

8cm

20公分

【範例五】 【練習五】

下圖是一個圓錐側面展開後的扇形。

(1)求此扇形兩半徑所夾的圓心角度數。

(2)求此圓錐的底面積。

(3)求此圓錐的表面積。

解答：

(1) 360 ^o  120 ^o 3 

2 

2 ´ =

´

´ p p

(2)設底圓半徑＝r，

則 2×r×

p

＝2

p

，r＝1

圓錐的底面積＝1×1×

p

＝

p

(平方單位) (3)圓錐的表面積＝3×3×

p

× _o

o 

360  120  ＋

p

＝4

p

(平方單位)

如圖示，已知圓 O 的半徑為 5 公分，扇形 OAB 的面積恰為圓面積的 

5 

1 。求：

(1)扇形 OAB 的面積為多少平方公分？

(2)扇形 OAB 兩半徑所夾的圓心角為多少 度？

(3)扇形 OAB 的弧長為多少公分？

解答：

(1)扇形面積＝ 

5 

1 ×5×5×

p

＝5

p

(平方公分)

(2)  5  360 ´ ^o 1 ＝ 72 ^o 

(3)2×5×

p

×  5 

1 ＝2

p

(公分)

【範例六】 【練習六】

逢甲茶行賣出一罐茶葉，店員 用一張包裝紙包裝側面，左右 重疊 3 公分，再用包裝繩如包 裝，打結處是 15 公分。

(1)求包裝紙的長、寬各多少公分？

(2)需要繩子多少公分？(

p

以 3.14 代入) 解答：

(1)長＝12×3.14＋3

＝37.68＋3＝40.68(公分) 寬＝25 公分

(2)37.68＋12×4＋25×4＋15

＝37.68＋48＋100＋15

＝200.68(公分)

玲玲將一個圓柱體半徑為 5 公 分，柱高為 20 公分的果凍筒，

放在一個長方體的盒子裡，盒 子，盒子至少還有多少空間？

(

p

以 3.14 代入) 解答：

∵長方形的底面積為一正方形，

邊長為 10 公分

∴長方形體積＝10×10×20＝2000(立方公 分)

圓柱體的體積＝

p

×5×5×20＝3.14×500

＝1570(立方公分)

∴2000－1570＝430(立方公分) 12cm

25cm 3

弧長=2

p

^O

5公分

A B