1.3 555333ᦲᦲᦲ

1.3 反 反 反函 函 函數 數 數

1.3. 反函數 5





 習題解答 1.2.8.

(5) (6) (4) (2) (3) (1)

1.3 反函數





 習題解答 1.3.1.

(1) 1 − 1 ⇒ y = b 與 f(x) 的函數圖形頂多只交於一點：

若 y = b 與 f(x) 的函數圖形的交點多於一點, 這表示有相異兩點 x₁ 與 x₂ 滿足 f (x1) = b = f (x2), 這違反了 1− 1 性質.

(2) y = b 與 f (x) 的函數圖形頂多只交於一點 ⇒ 1 − 1：

若 y = f(x) 違反 1 − 1 性質, 這表示有某兩相異點 x = p 和 x = q, 其函數值 相 等 f(p) = f(q), 若 令 b 為 此 函 數 值 f(p), 則 y = b 與 y = f(x) 的 圖 形 交 於 (p, f (p)) = (p, b) 和 (q, f (q)) = (q, b) 兩點, 違反了 y = b 與 f (x) 的函數圖形頂多只交 於一點的假設.





 習題解答 1.3.2.

左、右兩圖是 1 − 1；中圖不是 1 − 1.





 習題解答 1.3.3.

(1) f (1) = 0 = f (−1), 所以 y = f(x) = x⁴− 1 不是 1 − 1 函數.

(2) 設 a, b 滿足 a³+ 2a + 1 = b³+ 2b + 1, 則

a³− b³+ 2(a− b) = 0 ⇒ (a − b)(a²+ ab + b²+ 2) = 0

⇒ a = b 或 a²+ ab + b²+ 2 = 0

但 a²+ ab + b²+ 2 = (a +^b₂)²+ ³₄b²+ 2 > 0, 除非 a = b = 0. 所以無論如何皆推得得 a = b, 因此 y = x³+ 2x + 1 是 1− 1 函數.

(3) f (0) = 0 = f (π), 所以 y = f (x) = sin x 不是 1 − 1 函數.

(4) f (1) = log 2 = f (−1), 所以 y = f(x) = log(x²+ 1) 不是 1− 1 函數.

(5) 設 a, b 滿足 2^a− 2^−a= 2^b− 2^−b, 則

2^a− 2^b+ (₂¹b −₂^1a) = 0 ⇒ (2^a− 2^b)(1 +₂a¹·2^b) = 0

⇒ 2^a= 2^b (��1 +₂a¹·2^b > 0)

⇒ a = b 因此 y = 2^x− 2^−x 是 1 − 1 函數.

1

6 第 1 章 基本函數與極限

(6) f (1) = 2¹₂ = f (−1), 所以 y = f(x) = 2^x+ 2^−x 不是 1 − 1 函數.





 習題解答 1.3.4.

設 f : A → B 是 1 − 1 函數, 其中 B 是值域 {f(x)|x ∈ A}, 即所有 f(x) 取值的集合. 現 定義 g : B → A, 其中對 b ∈ B 且 f(a) = b, 取 g(b) = a. 由於 f 是 1 − 1, g 的取值是唯 一的, 因此 g 是函數.

由 g 的定義, 顯然 g(f(x)) = x 且 f(g(x)) = x, 故知 f 和 g 互為反函數.





 習題解答 1.3.5.

(1) 當 |a| ≤ 1, 若 −^π₂ ≤ θ ≤ ^π₂ 且 sin θ = a, 則 sin(−θ) = −a.

由此得 sin⁻¹(−a) = −θ = − sin⁻¹a. 因為 a 任取, 所以可改寫成 x 得 sin⁻¹(−x) = − sin⁻¹(x)

(2) 當 |a| ≤ 1, 若 0 ≤ θ ≤ π 且 cos θ = a, 則 cos(π − θ) = −a.

由此得 cos⁻¹(−a) = π − θ = π − cos⁻¹a, 亦即 cos⁻¹(a) + cos⁻¹(−a) = π.

因為 a 任取, 所以可改寫成 x 得

cos⁻¹(x) + cos⁻¹(−x) = π





 習題解答 1.3.6.

當 −1 ≤ x ≤ 0, 由上一習題知, sin⁻¹x =− sin⁻¹(−x), cos⁻¹x = π− cos⁻¹(−x), 由此得 sin⁻¹x + cos⁻¹x =− sin⁻¹(−x) + π − cos⁻¹(−x) = π −π

2 = π 2





 習題解答 1.3.7. (1) 若 x ∈ [−π

2 + 2nπ,π

2 + 2nπ], 則 2nπ− x ∈ [−π 2,π

2]. 所以

2nπ− x = sin⁻¹(sin(2nπ− x)) = − sin⁻¹(sin x)

⇒ x − sin⁻¹(sin x) = (2n)· π (2) 若 x ∈ [−π

2 + (2n + 1)π,π

2 + (2n + 1)π], 則 (2n + 1)π− x ∈ [−π 2,π

2]. 所以 (2n + 1)π− x = sin⁻¹(sin((2n + 1)π− x)) = sin⁻¹(sin x)

⇒ x + sin⁻¹(sin x) = (2n + 1)· π

6 第 1 章 基本函數與極限

(6) f (1) = 2¹₂ = f (−1), 所以 y = f(x) = 2^x+ 2^−x 不是 1 − 1 函數.





 習題解答 1.3.4.

設 f : A → B 是 1 − 1 函數, 其中 B 是值域 {f(x)|x ∈ A}, 即所有 f(x) 取值的集合. 現 定義 g : B → A, 其中對 b ∈ B 且 f(a) = b, 取 g(b) = a. 由於 f 是 1 − 1, g 的取值是唯 一的, 因此 g 是函數.

由 g 的定義, 顯然 g(f(x)) = x 且 f(g(x)) = x, 故知 f 和 g 互為反函數.





 習題解答 1.3.5.

(1) 當 |a| ≤ 1, 若 −^π2 ≤ θ ≤ ^π₂ 且 sin θ = a, 則 sin(−θ) = −a.

由此得 sin⁻¹(−a) = −θ = − sin⁻¹a. 因為 a 任取, 所以可改寫成 x 得 sin⁻¹(−x) = − sin⁻¹(x)

(2) 當 |a| ≤ 1, 若 0 ≤ θ ≤ π 且 cos θ = a, 則 cos(π − θ) = −a.

由此得 cos⁻¹(−a) = π − θ = π − cos⁻¹a, 亦即 cos⁻¹(a) + cos⁻¹(−a) = π.

因為 a 任取, 所以可改寫成 x 得

cos⁻¹(x) + cos⁻¹(−x) = π





 習題解答 1.3.6.

當 −1 ≤ x ≤ 0, 由上一習題知, sin⁻¹x =− sin⁻¹(−x), cos⁻¹x = π− cos⁻¹(−x), 由此得 sin⁻¹x + cos⁻¹x =− sin⁻¹(−x) + π − cos⁻¹(−x) = π −π

2 = π 2





 習題解答 1.3.7. (1) 若 x ∈ [−π

2 + 2nπ,π

2 + 2nπ], 則 2nπ− x ∈ [−π 2,π

2]. 所以

2nπ− x = sin⁻¹(sin(2nπ− x)) = − sin⁻¹(sin x)

⇒ x − sin⁻¹(sin x) = (2n)· π (2) 若 x ∈ [−π

2 + (2n + 1)π,π

2 + (2n + 1)π], 則 (2n + 1)π− x ∈ [−π 2,π

2]. 所以 (2n + 1)π− x = sin⁻¹(sin((2n + 1)π− x)) = sin⁻¹(sin x)

⇒ x + sin⁻¹(sin x) = (2n + 1)· π

1.3. 反函數 7





 習題解答 1.3.8.

(1) 當 0 ≤ x, 這是銳角範圍, 做為補角 tan⁻¹x + cot⁻¹x = ^π₂ 當然成立. 當 x ≤ 0, 由反三 角函數的定義可知, tan⁻¹x =− tan⁻¹(−x), cot⁻¹x = π− cot⁻¹(−x), 由此得

tan⁻¹x + cot⁻¹x =− tan⁻¹(−x) + π − cot⁻¹(−x) = π −π 2 = π

2 (2) 證明類似, 當 1 ≤ x, 這是銳角範圍, 做為補角 sec⁻¹x + csc⁻¹x = ^π₂ 當然成立.

當 x ≤ −1, 由反三角函數的定義可知, csc⁻¹x =− csc⁻¹(−x), sec⁻¹x = π−sec⁻¹(−x), 由此得

csc⁻¹x + sec⁻¹x =− csc⁻¹(−x) + π − sec⁻¹(−x) = π −π 2 = π

2





 習題解答 1.3.9.

x 代入 cos⁻¹(x) 得

(sin(cos⁻¹x))²+ (cos(cos⁻¹x))²= 1 ⇒ sin(cos⁻¹x) =±√ 1− x² 但 cos⁻¹x 取值在 0 到 π 之間, sin 之值為正, 因此 sin(cos⁻¹x) =√

1− x².





 習題解答 1.3.10. (1) sin⁻¹sin(3

4π) = sin⁻¹ 1

√2 = π 4 (2) cos⁻¹sin(3

4π) = cos⁻¹ 1

√2 = π 4 (3) sin cos⁻¹( 1

√2) = sinπ 4 = 1

√2 (4) sin cos⁻¹(1

10) = sin θ =

√99

10 , 其中 0 < θ < π

2, 且 cos θ = 1 10. (5) 由於 tan⁻¹x 的取值∈ (−π

2,π

2), 因此 sec tan⁻¹x 的值必為正, 但

1 + tan²x = sec²x ⇒ (sec tan⁻¹x)²= 1 + (tan tan⁻¹x)²= 1 + x²

⇒ sec tan⁻¹x =√ 1 + x² (6) 當 x ≥ 1, sec⁻¹x 的取值 ∈ [0,π

2), 因此 tan sec⁻¹x 的值必≥ 0, 但

1 + tan²x = sec²x ⇒ (tan tan⁻¹x)²= (sec sec⁻¹x)²− 1 = x²− 1

⇒ tan sec⁻¹x =√ x²− 1 當 x ≤ −1, sec⁻¹x 的取值∈ (π

2, π], 因此 tan sec⁻¹x 的值必≤ 0, 同上 (tan tan⁻¹x)²= (sec sec⁻¹x)²− 1 = x²− 1 ⇒ tan sec⁻¹x =−√

x²− 1

1.3. 反函數 7





 習題解答 1.3.8.

(1) 當 0 ≤ x, 這是銳角範圍, 做為補角 tan⁻¹x + cot⁻¹x = ^π₂ 當然成立. 當 x ≤ 0, 由反三 角函數的定義可知, tan⁻¹x =− tan⁻¹(−x), cot⁻¹x = π− cot⁻¹(−x), 由此得

tan⁻¹x + cot⁻¹x =− tan⁻¹(−x) + π − cot⁻¹(−x) = π −π 2 = π

2 (2) 證明類似, 當 1 ≤ x, 這是銳角範圍, 做為補角 sec⁻¹x + csc⁻¹x = ^π₂ 當然成立.

當 x ≤ −1, 由反三角函數的定義可知, csc⁻¹x =− csc⁻¹(−x), sec⁻¹x = π−sec⁻¹(−x), 由此得

csc⁻¹x + sec⁻¹x =− csc⁻¹(−x) + π − sec⁻¹(−x) = π −π 2 = π

2





 習題解答 1.3.9.

x 代入 cos⁻¹(x) 得

(sin(cos⁻¹x))²+ (cos(cos⁻¹x))²= 1 ⇒ sin(cos⁻¹x) =±√ 1− x² 但 cos⁻¹x 取值在 0 到 π 之間, sin 之值為正, 因此 sin(cos⁻¹x) =√

1− x².





 習題解答 1.3.10. (1) sin⁻¹sin(3

4π) = sin⁻¹ 1

√2 = π 4 (2) cos⁻¹sin(3

4π) = cos⁻¹ 1

√2 = π 4 (3) sin cos⁻¹( 1

√2) = sinπ 4 = 1

√2 (4) sin cos⁻¹(1

10) = sin θ =

√99

10 , 其中 0 < θ < π

2, 且 cos θ = 1 10. (5) 由於 tan⁻¹x 的取值∈ (−π

2,π

2), 因此 sec tan⁻¹x 的值必為正, 但

1 + tan²x = sec²x ⇒ (sec tan⁻¹x)²= 1 + (tan tan⁻¹x)²= 1 + x²

⇒ sec tan⁻¹x =√ 1 + x² (6) 當 x ≥ 1, sec⁻¹x 的取值 ∈ [0,π

2), 因此 tan sec⁻¹x 的值必≥ 0, 但

1 + tan²x = sec²x ⇒ (tan tan⁻¹x)²= (sec sec⁻¹x)²− 1 = x²− 1

⇒ tan sec⁻¹x =√ x²− 1 當 x ≤ −1, sec⁻¹x 的取值∈ (π

2, π], 因此 tan sec⁻¹x 的值必≤ 0, 同上 (tan tan⁻¹x)²= (sec sec⁻¹x)²− 1 = x²− 1 ⇒ tan sec⁻¹x =−√

x²− 1

2

1.3. 反函數 7





 習題解答 1.3.8.

(1) 當 0 ≤ x, 這是銳角範圍, 做為補角 tan⁻¹x + cot⁻¹x = ^π₂ 當然成立. 當 x ≤ 0, 由反三 角函數的定義可知, tan⁻¹x =− tan⁻¹(−x), cot⁻¹x = π− cot⁻¹(−x), 由此得

tan⁻¹x + cot⁻¹x =− tan⁻¹(−x) + π − cot⁻¹(−x) = π −π 2 = π

2 (2) 證明類似, 當 1 ≤ x, 這是銳角範圍, 做為補角 sec⁻¹x + csc⁻¹x = ^π₂ 當然成立.

當 x ≤ −1, 由反三角函數的定義可知, csc⁻¹x =− csc⁻¹(−x), sec⁻¹x = π−sec⁻¹(−x), 由此得

csc⁻¹x + sec⁻¹x =− csc⁻¹(−x) + π − sec⁻¹(−x) = π −π 2 = π

2





 習題解答 1.3.9.

x 代入 cos⁻¹(x) 得

(sin(cos⁻¹x))²+ (cos(cos⁻¹x))²= 1 ⇒ sin(cos⁻¹x) =±√ 1− x² 但 cos⁻¹x 取值在 0 到 π 之間, sin 之值為正, 因此 sin(cos⁻¹x) =√

1− x².





 習題解答 1.3.10. (1) sin⁻¹sin(3

4π) = sin⁻¹ 1

√2 = π 4 (2) cos⁻¹sin(3

4π) = cos⁻¹ 1

√2 = π 4 (3) sin cos⁻¹( 1

√2) = sinπ 4 = 1

√2 (4) sin cos⁻¹(1

10) = sin θ =

√99

10 , 其中 0 < θ < π

2, 且 cos θ = 1 10. (5) 由於 tan⁻¹x 的取值∈ (−π

2,π

2), 因此 sec tan⁻¹x 的值必為正, 但

1 + tan²x = sec²x ⇒ (sec tan⁻¹x)²= 1 + (tan tan⁻¹x)²= 1 + x²

⇒ sec tan⁻¹x =√ 1 + x² (6) 當 x ≥ 1, sec⁻¹x 的取值 ∈ [0,π

2), 因此 tan sec⁻¹x 的值必≥ 0, 但

1 + tan²x = sec²x ⇒ (tan tan⁻¹x)²= (sec sec⁻¹x)²− 1 = x²− 1

⇒ tan sec⁻¹x =√ x²− 1 當 x ≤ −1, sec⁻¹x 的取值∈ (π

2, π], 因此 tan sec⁻¹x 的值必≤ 0, 同上 (tan tan⁻¹x)²= (sec sec⁻¹x)²− 1 = x²− 1 ⇒ tan sec⁻¹x =−√

x²− 1

3