2.1 333ᦲᦲᦲ

2.1 導 導 導函 函 函數 數 數







習題解答 2.1.2.



在日常應用中, 1 的單位需要考慮, 例如假設貨物 1 箱內裝 10 個. 這時 C(x₀+ 1)− C(x0) 的成本變化, 到底是 1 個還是 1 箱呢？因此, 敘述時都會隱含著「每增加 1 個, 成本變化 多少」, 或「每增加 1 箱, 成本變化多少」, 這時正確的記法就是 ^C(x0+1)₁^−C(x0) 了, 隱含 了單位的意義.







習題解答 2.1.3.



相當於說明邊際成本不等於邊際收益, 則淨利不可能最大: 假設如果邊際成本大於邊際 收益, 則稍微降低成本, 總淨利會越多；如果邊際成本少於邊際收益, 則稍微增加成本, 總淨利還會更多；所以這都表示此時的總淨利不是最大.







習題解答 2.1.4.



因為斜率是無窮大, 故可定義為 0. 這表示需求量固定, 和價格無關. 譬如某人特別喜歡 某種茶飲料, 不管價格多少都會喝. 因此價格的變化對他的需求意願毫無影響, 所以此飲 料對這個人的需求彈性是 0.







習題解答 2.1.5.



(f (x)± g(x))^′(a) = lim

x→a

f (x)± g(x) − (f(a) ± g(a)) x− a

= lim

x→a(f (x)− f(a)

x− a ±g(x)− g(a) x− a )

= lim

x→a

f (x)− f(a) x− a ± lim_x

→a

g(x)− g(a) x− a

= f^′(a)± g^′(a)







習題解答 2.1.6.



g(x)· 1

g(x) = 1 ⇒ (g(x) · 1

g(x))^′= 1^′= 0

⇒ g^′(x)· 1

g(x) + g(x)· ( 1 g(x))^′= 0

⇒ g(x) · ( 1

g(x))^′= −g^′(x) g(x)

⇒ ( 1

g(x))^′= −g^′(x) (g(x))²

2.1. 導函數 17







習題解答 2.1.7.



(f (x)

g(x))^′ = (f (x)· 1

g(x))^′= f^′(x)· 1

g(x) + f (x)· −g^′(x) (g(x))²

= f^′(x)g(x)− f(x)g^′(x) (g(x))²







習題解答 2.1.8.



(1) (x³)^′= (x²· x)^′= (x²)^′· x + x²· 1 = 2x · x + x²= 3x² (2) (4x²+ 3x + 2)^′= 4(x²)^′+ 3(x)^′+ 0 = 4· 2x + 3 = 8x + 3 (3) ( 1

x²)^′= −(x²)^′

(x²)² = −2x x⁴ =− 2

x³ (4)

(x− 1

x²+ 1)^′ = ((x− 1) · 1 x²+ 1)^′

= (x− 1)^′· 1

x²+ 1+ (x− 1) · ( 1 x²+ 1)^′

= 1· 1

x²+ 1+ (x− 1) · (x²+ 1)^′ (x²+ 1)²

= (x²+ 1)− (2x²− 2x) (x²+ 1)²

= −x²+ 2x + 1 (x²+ 1)²







習題解答 2.1.9.



(1) y^′= (x²)^′= 2x, 在 x = 1 的切線方程式:

y = y^′(1)(x− 1) + y(1) = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1 (2) y^′= (x³)^′= 3x², 在 x = 1 的切線方程式:

y = y^′(1)(x− 1) + y(1) = 3(x − 1) + 1 = 3x − 2 (3) y^′= (x +1

x)^′= 1 + (1

x)^′= 1− 1

x², 在 x = 1 的切線方程式:

y = y^′(1)(x− 1) + y(1) = 0 + 2 = 2

2.1. 導函數 17







習題解答 2.1.7.



(f (x)

g(x))^′ = (f (x)· 1

g(x))^′= f^′(x)· 1

g(x) + f (x)· −g^′(x) (g(x))²

= f^′(x)g(x)− f(x)g^′(x) (g(x))²







習題解答 2.1.8.



(1) (x³)^′= (x²· x)^′= (x²)^′· x + x²· 1 = 2x · x + x²= 3x² (2) (4x²+ 3x + 2)^′= 4(x²)^′+ 3(x)^′+ 0 = 4· 2x + 3 = 8x + 3 (3) ( 1

x²)^′= −(x²)^′

(x²)² = −2x x⁴ =− 2

x³ (4)

(x− 1

x²+ 1)^′ = ((x− 1) · 1 x²+ 1)^′

= (x− 1)^′· 1

x²+ 1+ (x− 1) · ( 1 x²+ 1)^′

= 1· 1

x²+ 1+ (x− 1) · (x²+ 1)^′ (x²+ 1)²

= (x²+ 1)− (2x²− 2x) (x²+ 1)²

= −x²+ 2x + 1 (x²+ 1)²







習題解答 2.1.9.



(1) y^′= (x²)^′= 2x, 在 x = 1 的切線方程式:

y = y^′(1)(x− 1) + y(1) = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1 (2) y^′= (x³)^′= 3x², 在 x = 1 的切線方程式:

y = y^′(1)(x− 1) + y(1) = 3(x − 1) + 1 = 3x − 2 (3) y^′= (x +1

x)^′= 1 + (1

x)^′= 1− 1

x², 在 x = 1 的切線方程式:

y = y^′(1)(x− 1) + y(1) = 0 + 2 = 2

1

18 第 2 章 微分







習題解答 2.1.10.



v(t) = s^′(t) = 0 + (0 + v0)−1

2g(t²)^′= v0− gt a(t) = v^′(t) = 0− (0 + g) = −g







習題解答 2.1.11.



(1) 當 n = 1 時, ((f (x)))^′= 1· (f(x))⁰· f^′(x) = f^′(x), 原式成立.

(2) 設當 n = k 時, 原式成立, 即 ((f (x))^k)^′= k· (f(x))^k−1· f^′(x).

(3) 當 n = k + 1 時,

左式 = ((f(x))^k+1)^′

= ((f (x))^k· f(x))^′

= ((f (x))^k)^′· f(x) + (f(x))^k· f^′(x)

= k· (f(x))^k−1· f^′(x)· f(x) + (f(x))^k· f^′(x)

= k· (f(x))^k· f^′(x) + (f (x))^k· f^′(x)

= (k + 1)· f(x))^k· f^′(x)

= 右式 故得證.







習題解答 2.1.12.



(1) PD(x)

x · 1

|P_D^′(x)| = k− λx x · 1

λ= k λ·1

x− 1 (2) PS(x)

x · 1

|P_S^′(x)| = λx x ·1

λ= 1







習題解答 2.1.13.



考慮向量

(x(t0+ ∆t), y(t0+ ∆t))− (x(t0), y(t0)) = (x(t0+ ∆t)− x(t0), y(t0+ ∆t)− y(t0)) 這是過這兩點割線的方向向量, 因此向量

1

∆t(x(t₀+ ∆t)− x(t0), y(t₀+ ∆t)− y(t0))

= (x(t0+ ∆t)− x(t0)

∆t ,y(t0+ ∆t)− y(t0)

∆t )

2.1. 導函數 19

也可以描述此割線的方向. 現讓 ∆t → 0, 則割線趨近於過 (x(t0), y(t0)) 點的切線, 而且 此切線的方向是

∆tlim→0(x(t0+ ∆t)− x(t0)

∆t ,y(t0+ ∆t))− y(t0)

∆t )

= ( lim

∆t→0

x(t0+ ∆t)− x(t0)

∆t , lim

∆t→0

y(t0+ ∆t))− y(t0)

∆t )

= (x^′(t0), y^′(t0))

故切向量 (x^′(t₀), y^′(t₀)) 與過 (x(t₀), y(t₀)) 點的切線同向.







習題解答 2.1.14.



因為 (t)²= (t²), 所以 (t², t) 是 y²= x 的參數式. 計算得 (t², t)^′= (2t, 1).

(1) 此曲線在 t = −2 的切線方向向量為 (−4, 1), 切線方程式為 y− y(−2) = 1

−4(x− x(−2)) ⇒ y + 2 = −1 4(x− 4)

⇒ y = −1 4x− 1

(2) 此曲線在 t = 0 的切線方向向量為 (0, 1), 切線方向垂直於 x-軸, 故方程式為

x = x(0) ⇒ x = 0

2.1.2 一些基本函數的導函數







習題解答 2.1.15.



(anxⁿ+· · · + a2x²+ a1x + a0)^′

= (a_nxⁿ)^′+· · · + (a2x²)^′+ (a₁x)^′+ (a₀)^′

= an(xⁿ)^′+· · · + a2(x²)^′+ a1(x)^′+ 0

= n· anxⁿ⁻¹+· · · + 2a2x + a1







習題解答 2.1.16.



第一種作法:

(x⁻ⁿ)^′= ( 1

xⁿ)^′= 1^′· xⁿ− 1 · (xⁿ)^′

(xⁿ)² = −n · xⁿ⁻¹

x²ⁿ = (−n) · x⁻ⁿ⁻¹

2.1. 導函數 19

也可以描述此割線的方向. 現讓 ∆t → 0, 則割線趨近於過 (x(t0), y(t0)) 點的切線, 而且 此切線的方向是

∆tlim→0(x(t₀+ ∆t)− x(t0)

∆t ,y(t₀+ ∆t))− y(t0)

∆t )

= ( lim

∆t→0

x(t0+ ∆t)− x(t0)

∆t , lim

∆t→0

y(t0+ ∆t))− y(t0)

∆t )

= (x^′(t0), y^′(t0))

故切向量 (x^′(t0), y^′(t0)) 與過 (x(t0), y(t0)) 點的切線同向.







習題解答 2.1.14.



因為 (t)²= (t²), 所以 (t², t) 是 y²= x 的參數式. 計算得 (t², t)^′= (2t, 1).

(1) 此曲線在 t = −2 的切線方向向量為 (−4, 1), 切線方程式為

y− y(−2) = 1

−4(x− x(−2)) ⇒ y + 2 = −1 4(x− 4)

⇒ y = −1 4x− 1

(2) 此曲線在 t = 0 的切線方向向量為 (0, 1), 切線方向垂直於 x-軸, 故方程式為 x = x(0) ⇒ x = 0

2.1.2 一些基本函數的導函數







習題解答 2.1.15.



(anxⁿ+· · · + a2x²+ a1x + a0)^′

= (anxⁿ)^′+· · · + (a2x²)^′+ (a1x)^′+ (a0)^′

= an(xⁿ)^′+· · · + a2(x²)^′+ a1(x)^′+ 0

= n· anxⁿ⁻¹+· · · + 2a2x + a₁







習題解答 2.1.16.



第一種作法:

(x⁻ⁿ)^′= ( 1

xⁿ)^′= 1^′· xⁿ− 1 · (xⁿ)^′

(xⁿ)² = −n · xⁿ⁻¹

x²ⁿ = (−n) · x⁻ⁿ⁻¹

2

第二種作法: 因為 xⁿ· x⁻ⁿ= 1, 所以

(xⁿ· x⁻ⁿ)^′= (1)^′= 0

⇒ (xⁿ)^′· x⁻ⁿ+ xⁿ· (x⁻ⁿ)^′= 0

⇒ (x⁻ⁿ)^′=−(n · xⁿ⁻¹· x⁻ⁿ)· 1 xⁿ

⇒ (x⁻ⁿ)^′= (−n) · 1

x· xⁿ = (−n) · x⁻ⁿ⁻¹ 第三種作法: 利用極限定義, 如第一章 lim

x→a

xⁿ− aⁿ

x− a 的作法.







習題解答 2.1.17.



(1) (x³+ x

x² )^′= (x + 1

x)^′= 1− 1 x² (2) ( x

x²+ 1)^′= x^′· (x²+ 1)− x · (x²+ 1)^′

(x²+ 1)² = x²+ 1− 2x²

(x²+ 1)² = 1− x² (x²+ 1)² (3) (x²+ 1

x²− 1)^′= 2x(x²− 1) − 2x(x²+ 1)

(x²− 1)² = −4x (x²− 1)²







習題解答 2.1.18.



(1) 利用 (x¹³)³= x, 則

((x¹³)³)^′= x^′ ⇒ 3 · (x¹³)²· (x¹³)^′= 1 ⇒ (x¹³)^′= 1

3· (x¹³)² = 1 3x⁻²³ (2) 利用 (x²³)³= x², 則

((x²³)³)^′= (x²)^′ ⇒ 3 · (x²³)²· (x²³)^′= 2x ⇒ (x²³)^′= 2x 3· (x²³)² = 2

3x⁻¹³







習題解答 2.1.19.



(1) (tan x)^′= (sin x

cos x)^′= (sin x)^′cos x − sin x(cos x)^′

cos²x = sin²x + cos²x

cos²x = sec²x (2) (cot x)^′= (cos x

sin x)^′= (cos x)^′sin x − cos x(sin x)^′

sin²x = −(sin²x + cos²x)

sin²x =− csc²x (3) (sec x)^′= ( 1

cos x)^′= 1^′· cos x − 1 · (cos x)^′

cos²x = −(− sin x)

cos²x = sec x tan x (4) (csc x)^′= ( 1

sin x)^′= 1^′· sin x − 1 · (sin x)^′

sin²x = − cos x

sin²x =− csc x cot x







習題解答 2.1.20.



(log_ax)^′= (ln x

ln a)^′= 1 (ln a)x

2.1. 導函數 21







習題解答 2.1.21.



(1) ( 1

1 + x²)^′= −1 · (1 + x²)^′

(1 + x²)² = −2x (1 + x²)² (2) (x²− x + 1

x²+ x + 1)^′= (2x− 1)(x²+ x + 1)− (2x + 1)(x²− x + 1)

(x²+ x + 1)² = 2(x²− 1) (x²+ x + 1)² (3) ( sin x

1 + cos x)^′= (sin x)^′(1 + cos x)− sin x(1 + cos x)^′

(1 + cos x)² = cos x + 1

(1 + cos x)² = 1 1 + cos x (4) (sin x · ln x)^′= (sin x)^′· ln x + sin x · (ln x)^′= cos x· ln x +sin x

x (5) (ln(2^xx²))^′= (x ln 2 + 2 ln x)^′= ln 2 + 2

x (6)

(log₂x

x² )^′ = (

ln x ln 2

x²)^′= 1

ln 2·(ln x)^′x²− ln x(x²)^′ (x²)²

= 1

ln 2·

x²

x − 2x ln x x⁴

= 1

ln 2·1− 2 ln x

x³ (或

ln 21 − 2 log2x x³ )







習題解答 2.1.22.



利用 (x^1p)^p= x, 則

((x^1p)^p)^′= x^′ ⇒ p· (x^1p)^p−1· (x^p1)^′= 1 ⇒ (x^1p)^′= 1

p· (x^1p)^p−1 = 1 p· x^1p−1







習題解答 2.1.23.



利用 (x^qp)^p= x^q, 則

((x^qp)^p)^′= (x^q)^′⇒ p · (x^qp)^p−1· (x^qp)^′= qx^q−1⇒ (x^qp)^′= qx^q−1 p· (x^qp)^p−1 = q

px^qp−1







習題解答 2.1.24.



上一題已證明 r > 0 的情況, 現考慮 r = −s 的情況, 其中 s ∈ Q 且 s > 0.

(x^r)^′= ( 1

x^s)^′= −(x^s)^′

(x^s)² = −s · x^s−1

x^2s = (−s)x^−s−1= rx^r−1

2.1. 導函數 21







習題解答 2.1.21.



(1) ( 1

1 + x²)^′= −1 · (1 + x²)^′

(1 + x²)² = −2x (1 + x²)² (2) (x²− x + 1

x²+ x + 1)^′= (2x− 1)(x²+ x + 1)− (2x + 1)(x²− x + 1)

(x²+ x + 1)² = 2(x²− 1) (x²+ x + 1)² (3) ( sin x

1 + cos x)^′= (sin x)^′(1 + cos x)− sin x(1 + cos x)^′

(1 + cos x)² = cos x + 1

(1 + cos x)² = 1 1 + cos x (4) (sin x · ln x)^′= (sin x)^′· ln x + sin x · (ln x)^′= cos x· ln x +sin x

x (5) (ln(2^xx²))^′= (x ln 2 + 2 ln x)^′= ln 2 + 2

x (6)

(log₂x

x² )^′ = (

ln x ln 2

x²)^′= 1

ln 2·(ln x)^′x²− ln x(x²)^′ (x²)²

= 1

ln 2·

x²

x − 2x ln x x⁴

= 1

ln 2·1− 2 ln x

x³ (或

1

ln 2− 2 log2x x³ )







習題解答 2.1.22.



利用 (x^1p)^p= x, 則

((x^1p)^p)^′= x^′ ⇒ p· (x^1p)^p−1· (x^p1)^′= 1 ⇒ (x^1p)^′= 1 p· (x^1p)^p−1

= 1 p· x^1p−1







習題解答 2.1.23.



利用 (x^qp)^p= x^q, 則

((x^qp)^p)^′= (x^q)^′⇒ p · (x^qp)^p−1· (x^qp)^′= qx^q−1⇒ (x^qp)^′= qx^q−1 p· (x^qp)^p−1 = q

px^qp−1







習題解答 2.1.24.



上一題已證明 r > 0 的情況, 現考慮 r = −s 的情況, 其中 s ∈ Q 且 s > 0.

(x^r)^′= ( 1

x^s)^′= −(x^s)^′

(x^s)² = −s · x^s−1

x^2s = (−s)x^−s−1= rx^r−1

2.1. 導函數 21







習題解答 2.1.21.



(1) ( 1

1 + x²)^′= −1 · (1 + x²)^′

(1 + x²)² = −2x (1 + x²)² (2) (x²− x + 1

x²+ x + 1)^′= (2x− 1)(x²+ x + 1)− (2x + 1)(x²− x + 1)

(x²+ x + 1)² = 2(x²− 1) (x²+ x + 1)² (3) ( sin x

1 + cos x)^′= (sin x)^′(1 + cos x)− sin x(1 + cos x)^′

(1 + cos x)² = cos x + 1

(1 + cos x)² = 1 1 + cos x (4) (sin x · ln x)^′= (sin x)^′· ln x + sin x · (ln x)^′= cos x· ln x +sin x

x (5) (ln(2^xx²))^′= (x ln 2 + 2 ln x)^′= ln 2 + 2

(6) x

(log₂x

x² )^′ = (

ln x ln 2

x²)^′= 1

ln 2·(ln x)^′x²− ln x(x²)^′ (x²)²

= 1

ln 2·

x²

x − 2x ln x x⁴

= 1

ln 2·1− 2 ln x

x³ (或

ln 21 − 2 log2x x³ )







習題解答 2.1.22.



利用 (x^1p)^p= x, 則

((x^1p)^p)^′= x^′ ⇒ p· (x^1p)^p−1· (x^p1)^′= 1 ⇒ (x^1p)^′= 1

p· (x^1p)^p−1 = 1 p· x^1p−1







習題解答 2.1.23.



利用 (x^qp)^p= x^q, 則

((x^qp)^p)^′= (x^q)^′⇒ p · (x^qp)^p−1· (x^qp)^′= qx^q−1⇒ (x^qp)^′= qx^q−1 p· (x^qp)^p−1 = q

px^qp−1







習題解答 2.1.24.



上一題已證明 r > 0 的情況, 現考慮 r = −s 的情況, 其中 s ∈ Q 且 s > 0.

(x^r)^′= ( 1

x^s)^′= −(x^s)^′

(x^s)² = −s · x^s−1

x^2s = (−s)x^−s−1= rx^r−1

2.1. 導函數 21







習題解答 2.1.21.



(1) ( 1

1 + x²)^′= −1 · (1 + x²)^′

(1 + x²)² = −2x (1 + x²)² (2) (x²− x + 1

x²+ x + 1)^′= (2x− 1)(x²+ x + 1)− (2x + 1)(x²− x + 1)

(x²+ x + 1)² = 2(x²− 1) (x²+ x + 1)² (3) ( sin x

1 + cos x)^′= (sin x)^′(1 + cos x)− sin x(1 + cos x)^′

(1 + cos x)² = cos x + 1

(1 + cos x)² = 1 1 + cos x (4) (sin x · ln x)^′= (sin x)^′· ln x + sin x · (ln x)^′= cos x· ln x +sin x

x (5) (ln(2^xx²))^′= (x ln 2 + 2 ln x)^′= ln 2 + 2

x (6)

(log₂x

x² )^′ = (

ln x ln 2

x²)^′= 1

ln 2·(ln x)^′x²− ln x(x²)^′ (x²)²

= 1

ln 2·

x²

x − 2x ln x x⁴

= 1

ln 2·1− 2 ln x

x³ (或

ln 21 − 2 log2x x³ )







習題解答 2.1.22.



利用 (x^1p)^p= x, 則

((x^1p)^p)^′= x^′ ⇒ p· (x^1p)^p−1· (x^p1)^′= 1 ⇒ (x^1p)^′= 1 p· (x^1p)^p−1

= 1 p· x^1p−1







習題解答 2.1.23.



利用 (x^qp)^p= x^q, 則

((x^qp)^p)^′= (x^q)^′⇒ p · (x^qp)^p−1· (x^qp)^′= qx^q−1⇒ (x^qp)^′= qx^q−1 p· (x^qp)^p−1 = q

px^qp−1







習題解答 2.1.24.



上一題已證明 r > 0 的情況, 現考慮 r = −s 的情況, 其中 s ∈ Q 且 s > 0.

(x^r)^′= ( 1

x^s)^′= −(x^s)^′

(x^s)² = −s · x^s−1

x^2s = (−s)x^−s−1= rx^r−1

2.1. 導函數 21







習題解答 2.1.21.



(1) ( 1

1 + x²)^′= −1 · (1 + x²)^′

(1 + x²)² = −2x (1 + x²)² (2) (x²− x + 1

x²+ x + 1)^′= (2x− 1)(x²+ x + 1)− (2x + 1)(x²− x + 1)

(x²+ x + 1)² = 2(x²− 1) (x²+ x + 1)² (3) ( sin x

1 + cos x)^′= (sin x)^′(1 + cos x)− sin x(1 + cos x)^′

(1 + cos x)² = cos x + 1

(1 + cos x)² = 1 1 + cos x (4) (sin x · ln x)^′= (sin x)^′· ln x + sin x · (ln x)^′= cos x· ln x +sin x

x (5) (ln(2^xx²))^′= (x ln 2 + 2 ln x)^′= ln 2 + 2

x (6)

(log₂x

x² )^′ = (

ln x ln 2

x²)^′= 1

ln 2·(ln x)^′x²− ln x(x²)^′ (x²)²

= 1

ln 2·

x²

x − 2x ln x x⁴

= 1

ln 2·1− 2 ln x

x³ (或

ln 21 − 2 log2x x³ )







習題解答 2.1.22.



利用 (x^1p)^p= x, 則

((x^1p)^p)^′= x^′ ⇒ p· (x^1p)^p−1· (x^p1)^′= 1 ⇒ (x^1p)^′= 1 p· (x^1p)^p−1

= 1 p· x^1p−1







習題解答 2.1.23.



利用 (x^qp)^p= x^q, 則

((x^qp)^p)^′= (x^q)^′⇒ p · (x^qp)^p−1· (x^qp)^′= qx^q−1⇒ (x^qp)^′= qx^q−1 p· (x^qp)^p−1 = q

px^qp−1







習題解答 2.1.24.



上一題已證明 r > 0 的情況, 現考慮 r = −s 的情況, 其中 s ∈ Q 且 s > 0.

(x^r)^′= ( 1

x^s)^′= −(x^s)^′

(x^s)² = −s · x^s−1

x^2s = (−s)x^−s−1= rx^r−1

22 第 2 章 微分







習題解答 2.1.25.



(1) (sin 2x)^′ = (2 sin x cos x)^′ = 2((sin x)^′cos x + sin x(cos x)^′) = 2(cos²x− sin²x) = 2 cos 2x

(2) (cos 2x)^′= (cos²x−sin²x)^′= 2 cos x(cos x)^′−2 sin x(sin x)^′=−4 sin x cos x = −2 sin 2x

(3) (tan 2x)^′= (sin 2x

cos 2x)^′= 2 cos²2x + 2 sin²2x (cos 2x)² = 2

cos²2x = 2(sec²2x)







習題解答 2.1.26.



n = 1 成立, 設 n = k 成立, 即 (sin kx)^′= k cos kx 且 (cos kx)^′=−k sin kx, 當 n = k + 1 (sin(k + 1)x)^′ = (sin(kx + x))^′

= (sin kx cos x + cos kx sin x)^′

= k cos kx cos x− sin kx sin x − k sin kx sin x + cos kx cos x

= (k + 1)(cos kx cos x− sin kx sin x)

= (k + 1) cos(k + 1)x (cos(k + 1)x)^′ = (cos(kx + x))^′

= (cos kx cos x− sin kx sin x)^′

= −k sin kx cos x − cos kx sin x − k cos kx sin x − sin kx cos x

= −(k + 1)(sin kx cos x + cos kx sin x)

= −(k + 1) sin(k + 1)x 得證







習題解答 2.1.27.



(ln ax)^′ = (ln a + ln x)^′= 1 x (ln xⁿ)^′ = (n ln x)^′= n

x







習題解答 2.1.28.



(1) 設 y = x 切 y = ln x + η 於 (a, a) 點, 但 y^′ = (ln x + η)^′ = ¹_x, 因此過 (a, a) 點切線 y = x 的斜率為

1

a = 1⇒ a = 1

2.1. 導函數 23

但 (a, a) = (1, 1) 點在 y = ln x + η 上, 因此

1 = ln 1 + η ⇒ η = 1

(2) 設 y = αx 切 y = ln x 於 (a, ln a) 點, 但 y^′ = (ln x)^′ = _x¹, 因此過 (a, ln a) 點切線 y = αx 的斜率為

1

a = α⇒ a = 1 α 但 (a, ln a) = (1

α, ln(1

α)) 點在 y = αx 上, 因此 ln(1

α) = α· 1

α = 1 ⇒ − ln α = 1 ⇒ α = e⁻¹







習題解答 2.1.29.



因為 (x¹³)^′= ¹₃x⁻²³. 因此 lim

x→0(x¹³)^′=∞. 這表示在 x = 0 的切線垂直於 x-軸, 因此切 線為 x = 0.

2.1.3 連鎖法則與反函數的導數







習題解答 2.1.30.



設 g(x) = xⁿ, 則 g^′(x) = nxⁿ⁻¹

(f (x)ⁿ)^′= (g(f (x)))^′= g^′(f (x))· f^′(x) = n(f (x))ⁿ⁻¹· f^′(x) 得證.







習題解答 2.1.31.



(1) 設 f (x) = sin x, g(x) = 2x, 則原式:

(sin 2x)^′= (f (g(x)))^′= f^′(g(x))· g^′(x) = cos 2x· 2 = 2 cos 2x (2) 設 f (x) = cos x, g(x) = 2x, 則原式:

(cos 2x)^′= (f (g(x)))^′= f^′(g(x))· g^′(x) =− sin 2x · 2 = 2(− sin 2x) (3) 設 f (x) = tan x, g(x) = 2x, 則原式:

(tan 2x)^′= (f (g(x)))^′= f^′(g(x))· g^′(x) = sec²2x· 2 = 2(sec²2x)

3

24 第 2 章 微分







習題解答 2.1.32.



(tan⁻¹x)^′= 1

tan^′(tan⁻¹x) = 1

(sec(tan⁻¹x))² = 1 (√

1 + x²)² = 1 1 + x² 因為 cot x⁻¹= π

2 − tan⁻¹x, (cot x⁻¹)^′=−(tan⁻¹x)^′=− 1 1 + x². (sec⁻¹x)^′= 1

sec^′(sec⁻¹x) = 1

sec(sec⁻¹x)· tan(sec⁻¹x) 由第一章習題知

1

sec(sec⁻¹x)· tan(sec⁻¹x) =





 1 x√

x²− 1, x≥ 1 1

x(−√

x²− 1), x≤ −1 因此

1

sec(sec⁻¹x)· tan(sec⁻¹x) = 1

|x|√ x²− 1







習題解答 2.1.33.



(a^x)^′= 1

log^′_a(a^x)= 1

ln a·a1 ^x

= ln a· a^x







習題解答 2.1.34.



(1)

( 1

(1 + x²)¹² )_′

= −1

2 · 1

(1 + x²)³² · 2x = −x (1 + x²)³² (2) (√

(x²+ x + 1))^′ = ¹₂· (x²+ x + 1)⁻¹² · (2x + 1) (3)

(e^x− e^−x

e^x+ e^−x)^′ = [e^x− e^−x· (−1)](e^x+ e^−x)− (e^x− e^−x)[e^x+ e^−x· (−1)]

(e^x+ e^−x)²

= (e^x+ e^−x)²− (e^x− e^−x)²

(e^x+ e^−x)² = 4 (e^x+ e^−x)² (4) (sin(2^x))^′= cos(2^x)· (2^x)^′= cos(2^x)· 2^x· ln 2

(5) (sin(cos x))^′= cos(cos x)· (cos x)^′= cos(cos x)(− sin x) (6) (e^sin−1x)^′= e^sin−1x· (sin⁻¹x)^′= e^sin−1x· 1

√1− x²

24 第 2 章 微分







習題解答 2.1.32.



(tan⁻¹x)^′= 1

tan^′(tan⁻¹x) = 1

(sec(tan⁻¹x))² = 1 (√

1 + x²)² = 1 1 + x² 因為 cot x⁻¹= π

2 − tan⁻¹x, (cot x⁻¹)^′=−(tan⁻¹x)^′=− 1 1 + x². (sec⁻¹x)^′= 1

sec^′(sec⁻¹x) = 1

sec(sec⁻¹x)· tan(sec⁻¹x) 由第一章習題知

1

sec(sec⁻¹x)· tan(sec⁻¹x) =





 1 x√

x²− 1, x≥ 1 1

x(−√

x²− 1), x≤ −1 因此

1

sec(sec⁻¹x)· tan(sec⁻¹x) = 1

|x|√ x²− 1







習題解答 2.1.33.



(a^x)^′= 1

log^′_a(a^x)= 1

ln a·a1 ^x

= ln a· a^x







習題解答 2.1.34.



(1)

( 1

(1 + x²)¹² )_′

= −1

2 · 1

(1 + x²)³² · 2x = −x (1 + x²)³² (2) (√

(x²+ x + 1))^′ = ¹₂· (x²+ x + 1)⁻¹² · (2x + 1) (3)

(e^x− e^−x

e^x+ e^−x)^′ = [e^x− e^−x· (−1)](e^x+ e^−x)− (e^x− e^−x)[e^x+ e^−x· (−1)]

(e^x+ e^−x)²

= (e^x+ e^−x)²− (e^x− e^−x)²

(e^x+ e^−x)² = 4 (e^x+ e^−x)² (4) (sin(2^x))^′= cos(2^x)· (2^x)^′= cos(2^x)· 2^x· ln 2

(5) (sin(cos x))^′= cos(cos x)· (cos x)^′= cos(cos x)(− sin x) (6) (e^sin−1x)^′= e^sin−1x· (sin⁻¹x)^′= e^sin−1x· 1

√1− x²

24 第 2 章 微分







習題解答 2.1.32.



(tan⁻¹x)^′= 1

tan^′(tan⁻¹x) = 1

(sec(tan⁻¹x))² = 1 (√

1 + x²)² = 1 1 + x² 因為 cot x⁻¹= π

2 − tan⁻¹x, (cot x⁻¹)^′=−(tan⁻¹x)^′=− 1 1 + x². (sec⁻¹x)^′= 1

sec^′(sec⁻¹x) = 1

sec(sec⁻¹x)· tan(sec⁻¹x) 由第一章習題知

1

sec(sec⁻¹x)· tan(sec⁻¹x) =





 1 x√

x²− 1, x≥ 1 1

x(−√

x²− 1), x≤ −1 因此

1

sec(sec⁻¹x)· tan(sec⁻¹x) = 1

|x|√ x²− 1







習題解答 2.1.33.



(a^x)^′= 1

log^′_a(a^x)= 1

1 ln a·a^x

= ln a· a^x







習題解答 2.1.34.



(1)

( 1

(1 + x²)¹² )_′

= −1

2 · 1

(1 + x²)³² · 2x = −x (1 + x²)³² (2) (√

(x²+ x + 1))^′ = ¹₂· (x²+ x + 1)⁻¹² · (2x + 1) (3)

(e^x− e^−x

e^x+ e^−x)^′ = [e^x− e^−x· (−1)](e^x+ e^−x)− (e^x− e^−x)[e^x+ e^−x· (−1)]

(e^x+ e^−x)²

= (e^x+ e^−x)²− (e^x− e^−x)²

(e^x+ e^−x)² = 4 (e^x+ e^−x)² (4) (sin(2^x))^′= cos(2^x)· (2^x)^′= cos(2^x)· 2^x· ln 2

(5) (sin(cos x))^′= cos(cos x)· (cos x)^′= cos(cos x)(− sin x) (6) (e^sin−1x)^′= e^sin−1x· (sin⁻¹x)^′= e^sin−1x· 1

√1− x²

24 第 2 章 微分







習題解答 2.1.32.



(tan⁻¹x)^′= 1

tan^′(tan⁻¹x) = 1

(sec(tan⁻¹x))² = 1 (√

1 + x²)² = 1 1 + x² 因為 cot x⁻¹= π

2 − tan⁻¹x, (cot x⁻¹)^′=−(tan⁻¹x)^′=− 1 1 + x². (sec⁻¹x)^′= 1

sec^′(sec⁻¹x) = 1

sec(sec⁻¹x)· tan(sec⁻¹x) 由第一章習題知

1

sec(sec⁻¹x)· tan(sec⁻¹x) =





 1 x√

x²− 1, x≥ 1 1

x(−√

x²− 1), x≤ −1 因此

1

sec(sec⁻¹x)· tan(sec⁻¹x) = 1

|x|√ x²− 1







習題解答 2.1.33.



(a^x)^′= 1

log^′_a(a^x)= 1

1 ln a·a^x

= ln a· a^x







習題解答 2.1.34.



(1)

( 1

(1 + x²)¹² )_′

= −1

2 · 1

(1 + x²)³² · 2x = −x (1 + x²)³² (2) (√

(x²+ x + 1))^′ = ¹₂· (x²+ x + 1)⁻¹² · (2x + 1) (3)

(e^x− e^−x

e^x+ e^−x)^′ = [e^x− e^−x· (−1)](e^x+ e^−x)− (e^x− e^−x)[e^x+ e^−x· (−1)]

(e^x+ e^−x)²

= (e^x+ e^−x)²− (e^x− e^−x)²

(e^x+ e^−x)² = 4 (e^x+ e^−x)² (4) (sin(2^x))^′= cos(2^x)· (2^x)^′= cos(2^x)· 2^x· ln 2

(5) (sin(cos x))^′= cos(cos x)· (cos x)^′= cos(cos x)(− sin x) (6) (e^sin−1x)^′= e^sin−1x· (sin⁻¹x)^′= e^sin−1x· 1

√1− x²

24 第 2 章 微分







習題解答 2.1.32.



(tan⁻¹x)^′= 1

tan^′(tan⁻¹x) = 1

(sec(tan⁻¹x))² = 1 (√

1 + x²)² = 1 1 + x² 因為 cot x⁻¹= π

2 − tan⁻¹x, (cot x⁻¹)^′=−(tan⁻¹x)^′=− 1 1 + x². (sec⁻¹x)^′= 1

sec^′(sec⁻¹x) = 1

sec(sec⁻¹x)· tan(sec⁻¹x) 由第一章習題知

1

sec(sec⁻¹x)· tan(sec⁻¹x) =





 1 x√

x²− 1, x≥ 1 1

x(−√

x²− 1), x≤ −1 因此

1

sec(sec⁻¹x)· tan(sec⁻¹x) = 1

|x|√ x²− 1







習題解答 2.1.33.



(a^x)^′= 1

log^′_a(a^x)= 1

ln a·a1 ^x

= ln a· a^x







習題解答 2.1.34.



(1)

( 1

(1 + x²)¹² )_′

= −1

2 · 1

(1 + x²)³² · 2x = −x (1 + x²)³² (2) (√

(x²+ x + 1))^′ = ¹₂· (x²+ x + 1)⁻¹² · (2x + 1) (3)

(e^x− e^−x

e^x+ e^−x)^′ = [e^x− e^−x· (−1)](e^x+ e^−x)− (e^x− e^−x)[e^x+ e^−x· (−1)]

(e^x+ e^−x)²

= (e^x+ e^−x)²− (e^x− e^−x)²

(e^x+ e^−x)² = 4 (e^x+ e^−x)² (4) (sin(2^x))^′= cos(2^x)· (2^x)^′= cos(2^x)· 2^x· ln 2

(5) (sin(cos x))^′= cos(cos x)· (cos x)^′= cos(cos x)(− sin x) (6) (e^sin−1x)^′= e^sin−1x· (sin⁻¹x)^′= e^sin−1x· 1

√1− x²

2.1. 導函數 25

(7)

(ln(√

1 + x²+ x))^′ = 1

√1 + x²+ x· (√

1 + x²+ x)^′

= 1

√1 + x²+ x· (1

2· 2x

√1 + x²+ 1 )

= 1

√1 + x²+ x·x +√ 1 + x²

√1 + x² = 1

√1 + x²

(8) (

sin( x

√x + 1) )_′

= cos x

√x + 1· ( x

√x + 1)^′

= cos( x

√x + 1)·(x + 1)¹² −¹₂x(x + 1)⁻¹² x + 1

= cos( x

√x + 1)· (x + 1)⁻³² · (1 +x 2) (9) (√

1 + tan(x²))_′

= sec²(x²)· 2x 2√

1 + tan(x²)= x sec²(x²)

√1 + tan(x²)







習題解答 2.1.35.



(f (x)^g(x))^′ = (eg(x) ln f (x))^′

= (g(x) ln f (x))^′· (eg(x) ln f (x))

= (

g^′(x) ln f (x) + g(x)·f^′(x) f (x)

)

· f(x)^g(x)

= ln f (x)· f(x)^g(x)· g^′(x) + g(x)· f(x)^g(x)−1· f^′(x)







習題解答 2.1.36.



(1) (x^x)^′= x· x^x−1· (x)^′+ ln x· x^x· (x)^′= x^x+ ln x· x^x= (1 + ln x)x^x (2)

((sin x)^{cos x})^′ = cos x· (sin x)^{cos x−1}(sin x)^′+ ln sin x· (sin x)^{cos x}· (cos x)^′

= cos²x· (sin x)^{cos x−1}− ln sin x · (sin x)^{cos x+1} (3)

(x^{ln x})^′ = ln x· x^{ln x−1}· (x)^′+ ln x· x^{ln x}· (ln x)^′

= ln x· x^{ln x−1}+ ln x· x^{ln x}·_x¹

= 2 ln x· x^{ln x−1}

4

(7)

(ln(√

1 + x²+ x))^′ = 1

√1 + x²+ x· (√

1 + x²+ x)^′

= 1

√1 + x²+ x· (1

2· 2x

√1 + x²+ 1 )

= 1

√1 + x²+ x·x +√ 1 + x²

√1 + x² = 1

√1 + x²

(8) (

sin( x

√x + 1) )_′

= cos x

√x + 1· ( x

√x + 1)^′

= cos( x

√x + 1)·(x + 1)¹² −¹₂x(x + 1)⁻¹² x + 1

= cos( x

√x + 1)· (x + 1)⁻³² · (1 +x 2) (9) (√

1 + tan(x²))_′

= sec²(x²)· 2x 2√

1 + tan(x²)= x sec²(x²)

√1 + tan(x²)







習題解答 2.1.35.



(f (x)^g(x))^′ = (eg(x) ln f (x))^′

= (g(x) ln f (x))^′· (eg(x) ln f (x))

= (

g^′(x) ln f (x) + g(x)·f^′(x) f (x)

)

· f(x)^g(x)

= ln f (x)· f(x)^g(x)· g^′(x) + g(x)· f(x)^g(x)−1· f^′(x)







習題解答 2.1.36.



(1) (x^x)^′= x· x^x−1· (x)^′+ ln x· x^x· (x)^′= x^x+ ln x· x^x= (1 + ln x)x^x (2)

((sin x)^{cos x})^′ = cos x· (sin x)^{cos x−1}(sin x)^′+ ln sin x· (sin x)^{cos x}· (cos x)^′

= cos²x· (sin x)^{cos x−1}− ln sin x · (sin x)^{cos x+1} (3)

(x^{ln x})^′ = ln x· x^{ln x−1}· (x)^′+ ln x· x^{ln x}· (ln x)^′

= ln x· x^{ln x−1}+ ln x· x^{ln x}·_x¹

= 2 ln x· x^{ln x−1}

26 第 2 章 微分







習題解答 2.1.37.



(x^α)^′= (e^{α ln x})^′= (α ln x)^′· e^{α ln x}= α

xx^α= αx^α−1







習題解答 2.1.38.



(ln f (x))^′= f^′(x)

f (x) ⇒ f^′(x) = f (x)· (ln f(x))^′ 但

ln f (x) = m1ln f1(x) + m₂ln f2(x) +· · · + mkln fk(x) =

∑k i=1

(m_i· ln fi(x))

所以

f^′(x) = f (x)· (

∑k i=1

(mi· ln fi(x)))^′= f (x)· (

∑k i=1

(mi·f_i^′(x) fi(x)))







習題解答 2.1.39.



(1) f (x) = (x− 1)³·√

(x²+ x + 1)

(x + 1)⁵ = (x− 1)³· (x²+ x + 1)¹² · (x + 1)⁻⁵ 對數微分得,

f^′(x) = (x− 1)³·√

(x²+ x + 1) (x + 1)⁵ ·

( 3· 1

x− 1+1

2 · 2x + 1

x²+ x + 1− 5 · 1 x + 1

)

(2) f (x) =√

x²− 1 · e^x2 · sec⁵x = (x²− 1)¹²· (e^x)¹²· (sec x)⁵ 對數微分得,

f^′(x) =√

x²− 1 · e^x2 · sec⁵x· (1

2· 2x x²− 1+ 1

2· 1 + 5 · tan x )

(3) f (x) = ³

√x(x− 2)

x²+ 1 = x¹³ · (x − 2)¹³ · (x²+ 1)⁻¹³ 由對數微分得,

f^′(x) = ³

√x(x− 2) x²+ 1 ·1

3· (1

x+ 1

x− 2− 2x x²+ 1

)







習題解答 2.1.40.



(1) 因為 f (x) 在 x = x(t0) = a 的切線斜率為 f^′(a), 因此切線之方向向量可取為 (1, f^′(a)), 由前面習題知：

(x^′(t0), y^′(t0)) = λ· (1, f^′(a))

26 第 2 章 微分







習題解答 2.1.37.



(x^α)^′= (e^{α ln x})^′= (α ln x)^′· e^{α ln x}= α

xx^α= αx^α−1







習題解答 2.1.38.



(ln f (x))^′= f^′(x)

f (x) ⇒ f^′(x) = f (x)· (ln f(x))^′ 但

ln f (x) = m1ln f1(x) + m₂ln f2(x) +· · · + mkln fk(x) =

∑k i=1

(m_i· ln fi(x))

所以

f^′(x) = f (x)· (

∑k i=1

(m_i· ln fi(x)))^′= f (x)· (

∑k i=1

(m_i·f_i^′(x) fi(x)))







習題解答 2.1.39.



(1) f (x) = (x− 1)³·√

(x²+ x + 1)

(x + 1)⁵ = (x− 1)³· (x²+ x + 1)¹² · (x + 1)⁻⁵ 對數微分得,

f^′(x) = (x− 1)³·√

(x²+ x + 1) (x + 1)⁵ ·

( 3· 1

x− 1+1

2 · 2x + 1

x²+ x + 1− 5 · 1 x + 1

)

(2) f (x) =√

x²− 1 · e^x2 · sec⁵x = (x²− 1)¹²· (e^x)¹²· (sec x)⁵ 對數微分得,

f^′(x) =√

x²− 1 · e^x2 · sec⁵x· (1

2· 2x x²− 1+ 1

2· 1 + 5 · tan x )

(3) f (x) = ³

√x(x− 2)

x²+ 1 = x¹³ · (x − 2)¹³ · (x²+ 1)⁻¹³ 由對數微分得,

f^′(x) = ³

√x(x− 2) x²+ 1 ·1

3· (1

x+ 1

x− 2− 2x x²+ 1

)







習題解答 2.1.40.



(1) 因為 f (x) 在 x = x(t0) = a 的切線斜率為 f^′(a), 因此切線之方向向量可取為 (1, f^′(a)), 由前面習題知：

(x^′(t0), y^′(t0)) = λ· (1, f^′(a))

5