6.4 二 二 二重 重 重積 積 積 分 分 分之 之 之變 變 變數 數 數變 變 變換 換 換
214 第 6 章 多變數函數的積分
6.4 二重積分之變數變換
6.4.1 單變數變數變換之重新解釋 6.4.2 雙變數的變數變換
習題解答 6.4.1.(1)
x = u + v
y = v ⇔
u = x− y v = y
所以 u = C 對應到 x − y = C; v = C 對 應到 y = C. 答案如右上圖.
(2) 由 (1), u + v = 1 對應到 x = 1.
(3) 由 (1), x2+y2= 1 對應到 (u+v)2+v2= 1, 展開得 u2+ 2uv + 2v2= 1. (這是一個斜 橢圓)
(4) 由前對應可得: 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1 對 應到 0 ≤ x − y ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 (如右下 圖).
−2 −1 0 1 2
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
X Y
u=−1 u=0
u=1
v=1
v=0
v=−1
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
X Y
u=1 u=0
v=1
v=0
習題解答 6.4.2.r = 1 是單位圓; r = 0 是原點 (極點); θ = 0 是x-軸 �; θ =π2 是 y-軸 �. 所以區域
0≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π 2
⇔ 0 ≤ x2+ y2≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 即在第一象限的 14 圓. 如右圖.
−0.5 0 0.5 1 1.5
−0.5 0 0.5 1 1.5
X Y
θ = 0 θ=π/2
r=1
習題解答 6.4.3.(1) 直接將參數式代到變數變換式得
F (2 + t, 2− t) = ((2 + t)2− (2 − t)2, (2 + t)(2− t)) = (8t, 4 − t2)
6.4. 二重積分之變數變換 215
(2) (2, 2) 相當於 t = 0, F (2, 2) = (0, 4), 以參數式計算該點的切向量為 ((8t)′, (4− t2)′) = (8,−2t), 代 t = 0 得切向量 (8, 0), 故切線方程為 y = 4.
(3) 利用線性逼近如下
F (u + h, v + k) = (x(u + h, v + k), y(u + h, v + k))
≈ (x(u, v) +∂x
∂uh +∂x
∂vk, y(u, v) +∂y
∂uh +∂y
∂vk)
= (u2− v2+ 2uh− 2vk, uv + vh + uk)
將本來直線參數式運用於 (2, 2) 點附近, 代入 (u, v) = (2, 2), h = t, v = −t 於上式得,
F (2 + t, 2− t) ≈ (0 + 4t − (−4t), 4 + 2t − 2t) = (8t, 4) 這正是切線 y = 4 的參數式.
6.4.3 二重積分的變數變換
習題解答 6.4.4.取坐標變換如下
u = xy v = xy ⇔
x =√
uv y =√u
v
區域邊界的曲線對應如下：
xy = 1, xy = 9 y = x, y = 2x ⇔
u = 1, u = 9 v = 1, v = 2 再計算 J(u, v) 如下：
J(u, v) =
∂x
∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
=
1 2√
uv
√v 2√
u
−
√u 2v√ v
√u 2√
v
= 1 4v+ 1
4v = 1 2v
原積分經變數變換後得 ˆ 9
1
ˆ 2 1
(√ u +√
2v)· 1
2v dv du = ˆ 9
1
√u 2 ln v 2
1+√ 2v
2
1du
= ˆ 9
1
ln 2 2
√u + (2−√
2) du =ln 2 2 ·2
3u32 91+ (2−√
2)(9− 1)
= 26
3 ln 2 + 16 − 8√ 2
1
Ω 為 y = x, y = x− 1, y = x2, y = x2+ 1 所圍成的區域. 依題意取坐標變換如下
u = x− y v = y− x2 ⇔
x = 2(u + v) y = u + 2v 區域邊界的曲線對應如下：
y = x, y = x− 1 y = x2, y = x2+ 1 ⇔
u = 0, u = 1 v = 0, v = 1 再計算 J(u, v) 如下：
J(u, v) =
∂x
∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
=
2 1 2 2 = 2
原積分經變數變換後得 ˆ 1
0
ˆ 1 0
√u· 2 dv du = 2 ˆ 1
0
√u du· ˆ 1
0
dv = 2·2 3u32
1
0· 1 = 4
3 習題解答 6.4.6.原區域為 1 ≤ u ≤ 2, 2u − 2 ≤ v ≤ u. 依題意取坐標變換如下
x = v− u + 1 y = v− 2u ⇔
u = x− y − 1 v = 2x− y − 2 區域邊界的曲線對應如下：
u = 1, v = 2u− 2
v = u ⇔
y = x− 2, y = −2 x = 1
再計算 J(x, y) 如下：
J(x, y) =
∂x
∂u
∂y
∂x ∂u
∂v
∂y
∂v
=
1 2
−1 −1 = 1
原積分經變數變換後得 ˆ 1
0
ˆ x−2
−2
ex2· 1 dy dx = ˆ 1
0
xex2du = ex2 2
1
0= e− 1 2
6.4. 二重積分之變數變換 217
習題解答 6.4.7.依題意, 取坐標變換如下
x = u− 2v y = 3u + v ⇔
u =2y + x 7 v = y− 3x
7 區域邊界的曲線對應如下：
2u + 3v = 0, 2u + v = 0
u− 2v = 1 ⇔
y = x, y = 0 x = 1 再計算 J(u, v) 如下：
J(x, y) =
∂x
∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
=
1 7 −3 2 7 7
1 7
= 1 7
原積分經變數變換後得
ˆ 1
0
ˆ x
0
(√
x +√y)·1
7 dv dx = 1 7
ˆ 1
0
x32 +(2y32 3 ) x0dx
= 1 7
ˆ 1 0
5
3x32 dx = 1 7·5
3·2 5x52 1
0= 2 21
習題解答 6.4.8.依題意取坐標變換如下
218 第 6 章 多變數函數的積分
習題解答 6.4.9.依題意取坐標變換如下
u = y− x v = 2x + y ⇔
x = v− u 3 u = 2u + v
3 區域邊界的曲線對應如下：
y− x = 1, y − x = 2
2x + y = 0, 2x + y = 2 ⇔
u = 1, u = 2 v = 0, v = 2 再計算 J(u, v) 如下：
J(u, v) =
∂x
∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
=
−1 3
2 1 3 3
1 3
=−1 3
原積分經變數變換後得 ˆ 2 1
ˆ 2 0
1· −1
3
dv du = 1
3· (2 − 1) · (2 − 0) = 2 3
習題解答 6.4.10.依題意取坐標變換如下
u = a1x + b1y v = a2x + b2y ⇔
x = b2u− b1v
∆ u = −a2u + a1v
∆ 其中 ∆ = a1b2− a2b1. 而區域邊界的曲線對應如下：
a1x + b1y = c11, a1x + b1y = c12
a2x + b2y = c21, a2x + b2y = c22
⇔
u = c11, u = c12
v = c21, v = c22
再計算 J(u, v) 如下：
J(u, v) =
∂x
∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
=
−b2
∆
−a2
∆
−b1
∆ a1
∆
= a1b2− a2b1
∆2 = 1
∆
原積分經變數變換後得 ˆ c12
c11
ˆ c22 c21
1· 1
∆
dv du = 1
|∆|· (c12− c11)· (c21− c22)
218 第 6 章 多變數函數的積分
習題解答 6.4.9.依題意取坐標變換如下
u = y− x v = 2x + y ⇔
x = v− u 3 u = 2u + v
3 區域邊界的曲線對應如下：
y− x = 1, y − x = 2
2x + y = 0, 2x + y = 2 ⇔
u = 1, u = 2 v = 0, v = 2 再計算 J(u, v) 如下：
J(u, v) =
∂x
∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
=
−1 3
2 3 1 3
1 3
=−1 3
原積分經變數變換後得 ˆ 2 1
ˆ 2 0
1· −1
3
dv du = 1
3· (2 − 1) · (2 − 0) = 2 3
習題解答 6.4.10.依題意取坐標變換如下
u = a1x + b1y v = a2x + b2y ⇔
x = b2u− b1v
∆ u = −a2u + a1v
∆ 其中 ∆ = a1b2− a2b1. 而區域邊界的曲線對應如下：
a1x + b1y = c11, a1x + b1y = c12
a2x + b2y = c21, a2x + b2y = c22
⇔
u = c11, u = c12
v = c21, v = c22
再計算 J(u, v) 如下：
J(u, v) =
∂x
∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
=
−b2
∆
−a2
∆
−b1
∆ a1
∆
= a1b2− a2b1
∆2 = 1
∆
原積分經變數變換後得 ˆ c12
c11
ˆ c22 c21
1· 1
∆
dv du = 1
|∆|· (c12− c11)· (c21− c22)
3
x2+ y2≤ R2 ⇔ 0≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ R 則原積分變為
ˆ 2π
0
ˆ R
0
r2(cos2θ− sin2θ)· r dr dθ = ˆ 2π
0 cos 2θ dθ · ˆ R
0
r3dr 但
ˆ 2π
0
cos 2θ dθ = sin 2θ 2
2π
0 = 0 所以
ˆ ˆ
x2+y2≤R2
x2− y2dA = 0 = (πR2)· f(0, 0) (2) 用類似極坐標的坐標變換:
x = 1 + r cos θ, y = r sin θ 則積分範圍對應如下
(x− 1)2+ y2≤ R2 ⇔ 0≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ R 再計算 J(r, θ) 如下：
J(r, θ) =
∂x
∂r
∂y
∂r
∂x
∂θ
∂y
∂θ
=
cos θ sin θ
−r sin θ r cos θ = r
原積分變為
ˆ 2π 0
ˆ R 0
((1 + r cos θ)2− (r sin θ)2)
· r dr dθ
= ˆ 2π
0
ˆ R 0
(1 + 2r cos θ + r2cos 2θ)
· r dr dθ
= ˆ 2π
0
ˆ R 0
r dr dθ (cos θ, cos 2θ 對 θ 積分為 0)
= ˆ 2π
0
dθ· ˆ R
0
r dr = πR2= πR2· f(1, 0) (3) 用類似極坐標的坐標變換:
x = α + r cos θ, y = β + r sin θ
220 第 6 章 多變數函數的積分
則積分範圍對應如下
(x− α)2+ (y− β)2≤ R2 ⇔ 0≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ R 再計算 J(r, θ) 如下：
J(r, θ) =
∂x
∂r
∂y
∂r
∂x
∂θ
∂y
∂θ
=
cos θ sin θ
−r sin θ r cos θ = r
原積分變為 ˆ 2π
0
ˆ R 0
((α + r cos θ)2− (β + r sin θ)2)
· r dr dθ
= ˆ 2π
0
ˆ R
0
(α2− β2+ 2αr cos θ− 2βr sin θ + r2cos 2θ)
· r dr dθ
= (α2− β2) ˆ 2π
0
ˆ R
0
r dr dθ (cos θ, sin θ, cos 2θ 對 θ 積分為 0)
= (α2− β2) ˆ 2π
0
dθ· ˆ R
0
r dr = πR2(α2− β2) = πR2· f(α, β)
習題解答 6.4.12.用上題的類似極坐標坐標變換:
x = α + r cos θ, y = β + r sin θ
已知積分範圍對應如下
(x− α)2+ (y− β)2≤ R2 ⇔ 0≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ R 且 J(r, θ) = r, 原積分變為
ˆ 2π 0
ˆ R 0
(α + r cos θ)· (β + r sin θ) · r dr dθ
= ˆ 2π
0
ˆ R 0
(αβ + αr sin θ + βr cos θ +r2 2 sin 2θ)
· r dr dθ
= (αβ) ˆ 2π
0
ˆ R 0
r dr dθ (cos θ, sin θ, sin 2θ 對 θ 積分為 0)
= (αβ) ˆ 2π
0
dθ· ˆ R
0
r dr = πR2(αβ) = πR2· f(α, β)
