2.4 ===ᵨᵨᵨ


???333ᦲᦲᦲᙔᙔᙔ

2.4 應 應 應用 用 用： ： ：描 描 描述 述 述函 函 函數 數 數圖 圖 圖形 形 形

2.4. 應用: 描述函數圖形 45

2.4 應用: 描述函數圖形

2.4.1 函數的特徵









(1) 遞增：x > 1, −1 < x < 0; 遞減：x < −1, 0 < x < 1; 在 x = 0 有極大值; 在 x = −1, 1 有極小值.

(2) 遞增：x > 0; 遞減：x < 0; 無極大值; 在 x = 0 有極小值.

(3) 全部遞增；無極大極小值.

(4) 遞增：x > 2, 0 < x < 1; 遞減：x < 0, 1 < x < 2; 無極大值; 在 x = 0, 2 有極小值.

(5) 遞增：x > 0; 遞減：x < 0; 在 x = 0 有極小值.

(6) 遞增：x > 1; 遞減：0 < x < 1; 在 x = 1 有極小值.

(7) 遞增：x > 0; 遞減：x < 0; 在 x = 0 有極小值.

(8) 遞增：√

2nπ <|x| <√

2nπ + π; 遞減：√

2nπ + π <|x| <√

2nπ + 2π;

在 x =√

2nπ + π,−√

2nπ + 2π 有極大值; 在 x =√

2nπ + 2π,−√

2nπ + π 有極小值.

注意：x = 0 非極值. 以上 n = 0, 1, 2, · · · 為非負整數.









這三種情況的候選點都是 x = 0, 而且在該點的二階導數都是 0. 很明顯 y = x⁴≥ 0 在 x = 0 是極小值；y =−x⁴≤ 0 在 x = 0 是極小值, 而 y = x³在 x > 0 時為正, x < 0 時 為負, 因此在 x = 0 非極大值也非極小值.









回顧需求彈性的定義是

PD(x)

x · 1

|P_D^′(x)| =−PD(x) x · 1

P_D^′ (x) 其中用到 P_D^′(x) < 0 的假設.

Q^′(x) < 0 ⇔ P_D^′ (x)· x + PD(x) < 0

��xP_D^′(x)

⇔ 1 +PD(x) x · 1

P_D^′(x) > 0 (因為 xP_D^′ (x) < 0)

⇔ −PD(x) x · 1

P_D^′(x) < 1

1

46 第 2 章 微分









f^′′(x) = (x(x− 1)(x + 1))^′= (x³− x)^′= 3x²− 1 = 0 ⇒ x = ± 1

√3 凹向上 : x <− 1

√3, x > 1

√3 凹向下 : − 1

√3 < x < 1

√3 反曲點 : x =± 1

√3 (2)

f^′′(x) = (x (x− 1)²)^′= (x− 1)²+ 2x(x− 1) = (x − 1)(3x − 1) = 0 ⇒ x = 1, 1 3 凹向上 : x < 1

3, x > 1

凹向下 : 1

3 < x < 1 反曲點 : x = 1, 1

3 (3)

f^′′(x) = (x²(x−1)²)^′= 2x(x−1)²+2x²(x−1) = 2x(x−1)(2x−1) = 0 ⇒ x = 0, 1 2, 1 凹向上 : 0 < x < 1

2, x > 1 凹向下 : x < 0, 1

2 < x < 1 反曲點 : x = 0, 1

2, 1 (4)

f^′′(x) = (x(x− 2)

x− 1 )^′= 2(x− 1)²− x(x − 2)

(x− 1)² = (x− 1)²+ 1

(x− 1)² = 0⇒ 無解 凹向上： x̸= 1

凹向下： 無

反曲點： 無

(5)

f^′′(x) = ( x

1 + x²)^′= 1 + x²− 2x²

(1 + x²)² = 1− x²

(1 + x²)² = 0⇒ x = ±1 凹向上 : −1 < x < 1

凹向下 : x <−1, x > 1 反曲點 : x =±1

2.4. 應用: 描述函數圖形 47

(6)

f^′′(x) = (ln x)^′= 1

x = 0⇒ 無解 凹向上 : x > 0

凹向下 : 無

反曲點 : 無

注意 f^′(x) = ln x 已限制 x > 0.

(7)

f^′′(x) = (tan⁻¹x)^′= 1

1 + x² = 0⇒ 無解 凹向上 : x∈ R

凹向下 : 無

反曲點 : 無









令 g(x) = f^′(x), 則 g(x) 就 是 f (x) 的 導 函 數, 也 就 是 切 線 斜 率 函 數. 依 題 意 知 g^′(a) = f^′′(a) > 0, 因此在 a 附近 g(x) 遞增, 亦即切線斜率遞增.









第一種作法: 假設一階逼近誤差式

f (x) = f (a) + f^′(a)(x− a) +f^′′(ξ)

2! x²> 0, ξ 在 a 與 x 之間 但 y = L(x) = f(a) + f^′(a)(x− a) 即 f(x) 在 x = a 的切線, 上式表示

f (x) = L(x) +f^′′(ξ)

2! x² ⇒ f (x) > L(x), � x ̸= a 由於 a 可任取, 這表示 f(x) 的函數圖形會落在它任何一條切線的上半邊.

第二種作法 f^′′(x) > 0 表示 f^′(x) 遞增. 現考慮 x = a 上的切線函數 y = L(x) = f (a) + f^′(a)(x− a), 並令 g(x) = f(x) − L(x), 其中 g^′(a) = f^′(a)− L^′(a) = f^′(a)− f^′(a) = 0.

由題意知, 我們希望證明 g(x) > 0, x ̸= a. 但由 f^′(x) 遞增可知:





x > a ⇒ f^′(x) > f^′(a) ⇒ g^′(a) > 0 x < a ⇒ f^′(x) < f^′(a) ⇒ g^′(a) < 0 由極值一階測試知 g(a) = 0 為最小值, 因此 g(x) > 0, x ̸= a.

注意：若讀者仍然擔心 g(x) 有其他零點, 可用平均值定理說明此不可能.

2.4. 應用: 描述函數圖形 47

(6)

f^′′(x) = (ln x)^′= 1

x = 0⇒ 無解 凹向上 : x > 0

凹向下 : 無

反曲點 : 無

注意 f^′(x) = ln x 已限制 x > 0.

(7)

f^′′(x) = (tan⁻¹x)^′= 1

1 + x² = 0⇒ 無解 凹向上 : x∈ R

凹向下 : 無

反曲點 : 無









令 g(x) = f^′(x), 則 g(x) 就 是 f (x) 的 導 函 數, 也 就 是 切 線 斜 率 函 數. 依 題 意 知 g^′(a) = f^′′(a) > 0, 因此在 a 附近 g(x) 遞增, 亦即切線斜率遞增.









第一種作法: 假設一階逼近誤差式

f (x) = f (a) + f^′(a)(x− a) +f^′′(ξ)

2! x²> 0, ξ 在 a 與 x 之間 但 y = L(x) = f(a) + f^′(a)(x− a) 即 f(x) 在 x = a 的切線, 上式表示

f (x) = L(x) +f^′′(ξ)

2! x² ⇒ f (x) > L(x), � x ̸= a 由於 a 可任取, 這表示 f(x) 的函數圖形會落在它任何一條切線的上半邊.

第二種作法 f^′′(x) > 0 表示 f^′(x) 遞增. 現考慮 x = a 上的切線函數 y = L(x) = f (a) + f^′(a)(x− a), 並令 g(x) = f(x) − L(x), 其中 g^′(a) = f^′(a)− L^′(a) = f^′(a)− f^′(a) = 0.

由題意知, 我們希望證明 g(x) > 0, x ̸= a. 但由 f^′(x) 遞增可知:





x > a ⇒ f^′(x) > f^′(a) ⇒ g^′(a) > 0 x < a ⇒ f^′(x) < f^′(a) ⇒ g^′(a) < 0 由極值一階測試知 g(a) = 0 為最小值, 因此 g(x) > 0, x ̸= a.

注意：若讀者仍然擔心 g(x) 有其他零點, 可用平均值定理說明此不可能.

2.4. 應用: 描述函數圖形 49









由題意得

m = lim

x→∞

√3

1− x³ x = lim

x→∞

3

√1

x³− 1 = −1 k = lim

x→∞(√³

1− x³+ x)

= lim

x→∞

(x +√³

1− x³)(x²− x√³

1− x³+√³

(1− x³)²) x²− x√³

1− x³+√³

(1− x³)²

= lim

x→∞

x³+ 1− x³ x²− x√³

1− x³+√³

(1− x³)²

= lim

x→∞

1 x²

1−√³

1

x³ − 1 +√³

(_x¹3 − 1)²

= 0

1 + 1 + 1 = 0 y =−x 為斜漸近線. 同理, 可證明 x → −∞ 時, 結果也是 y = −x 為斜漸近線.









例如 f(x) =√ x. lim

x→∞f^′(x) = lim

x→∞

1

2√x = 0. 但 lim

x→∞(√

x− 0 · x) = ∞.









y = 3x⁷− 4x⁶+ 1

y^′ = 21x⁶− 24⁵= 3x⁵(7x− 8) = 0 ⇒ x = 0, 8 7 y^′′ = 126x⁵− 120x⁴= 0⇒ x = 0, 20

21 1. 遞增: x < 0, ⁸₇< x.

2. 遞減: 0 < x < ⁸₇. 3. 凹向上: ²⁰₂₁ < x.

4. 凹向下: x < .

5. 極值: 極大值: f (0) = 1; 極小值:

f (⁸₇)≈ −0.27.

6. 反曲點: (²⁰₂₁, f (²⁰₂₁))≈ (²⁰₂₁, 0.15).

7. 漸近線: 高次多項式無漸近線.

−0.5 0 0.5 1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

X Y

3

2.4. 應用: 描述函數圖形 49









由題意得

m = lim

x→∞

√3

1− x³ x = lim

x→∞

3

√1

x³− 1 = −1 k = lim

x→∞(√³

1− x³+ x)

= lim

x→∞

(x +√³

1− x³)(x²− x√³

1− x³+√³

(1− x³)²) x²− x√³

1− x³+√³

(1− x³)²

= lim

x→∞

x³+ 1− x³ x²− x√³

1− x³+√³

(1− x³)²

= lim

x→∞

1 x²

1−√³

1

x³ − 1 +√³

(_x¹3 − 1)²

= 0

1 + 1 + 1 = 0 y =−x 為斜漸近線. 同理, 可證明 x → −∞ 時, 結果也是 y = −x 為斜漸近線.









例如 f(x) =√ x. lim

x→∞f^′(x) = lim

x→∞

1

2√x = 0. 但 lim

x→∞(√

x− 0 · x) = ∞.









y = 3x⁷− 4x⁶+ 1

y^′ = 21x⁶− 24⁵= 3x⁵(7x− 8) = 0 ⇒ x = 0, 8 7 y^′′ = 126x⁵− 120x⁴= 0⇒ x = 0, 20

21 1. 遞增: x < 0, ⁸₇< x.

2. 遞減: 0 < x < ⁸₇. 3. 凹向上: ²⁰₂₁ < x.

4. 凹向下: x < .

5. 極值: 極大值: f (0) = 1; 極小值:

f (⁸₇)≈ −0.27.

6. 反曲點: (²⁰₂₁, f (²⁰₂₁))≈ (²⁰₂₁, 0.15).

7. 漸近線: 高次多項式無漸近線.

−0.5 0 0.5 1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

X

Y

50 第 2 章 微分

(2)

y = x⁵− 6x + 5

y^′ = 5x⁴− 6 = 0 ⇒ x = ±(6 5)¹⁴ y^′′ = 20x³= 0 ⇒ x = 0

1. 遞增: x < −(⁶₅)¹⁴, (⁶₅)¹⁴ < x.

2. 遞減: −(⁶₅)¹⁴ < x < (⁶₅)¹⁴. 3. 凹向上: 0 < x.

4. 凹向下: x < 0.

5. 極值: 極大值: f (−(⁶₅)¹⁴) ≈ 10.02;

極小值: f((⁶₅)¹⁴)≈ −0.02.

6. 反曲點: (0, f (0)) = (0, 5).

7. 漸近線: 高次多項式無漸近線.

−2 −1 0 1 2

−10

−5 0 5 10 15 20

X Y

(3)

y = x⁶+ x²− 2

y^′ = 6x⁵+ 2x = 0 ⇒ x = 0 y^′′ = 30x⁴+ 2 > 0

1. 對稱性: 對 y-軸對稱.

2. 遞增: 0 < x; 遞減: x < 0.

3. 凹性: 恆凹向上.

4. 極 值: 無 極 大 值; 極 小 值: f (0) =

−2.

5. 反曲點: 無.

6. 漸近線: 高次多項式無漸近線.

−1 −0.5 0 0.5 1

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1

X Y

5

2.4. 應用: 描述函數圖形 51

(4)

y = y = x + 1

x² = x³+ 1

x² = 0→ x = −1 y^′ = 1− 2

x³ = 0 ⇒ x = 2¹³ y^′′ = 6

x⁴ = 0 ⇒ 無解 1. 根: x = −1.

2. 遞增: x < 0, 2¹³ < x; 遞減: 0 < x < 2¹³. 3. 凹向上: x ̸= 0; 凹向下: 無.

4. 無極大值; 極小值: f (2¹³) = ³₂2¹³. 5. 反曲點: 無.

6. 垂直漸近線:

xlim→0⁺(x + 1

x²) = lim

x→0⁻(x + 1 x²) =∞ x = 0 為垂直漸近線.

−5 0 5

−5

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

X Y

7. 斜漸近線: y = x + 1

x², 但 lim

x→±∞

1

x² = 0, 所以 y = x 為左右兩測的斜漸近線.

(5)

y = x²+ 1

x = x³+ 1

x = 0⇒ x = −1 y^′ = 2x− 1

x² = 0 ⇒ x =(1 2

)¹₃

y^′′ = 2 + 2

x³ = 0 ⇒ x = −1 1. 對稱性: 對 y-軸對稱.

2. 根: x = −1.

3. 遞增: (₁

2

)¹₃

< x; 遞減: x < 0, 0 < x <(₁

2

)¹₃ .

4. 凹向上: x < −1, 0 < x; 凹向下: −1 < x < 0.

5. 無極大值; 極小值: f ((₁

2

)¹₃

) = ³₄4¹³. 6. 反曲點: (−1, 0).

7. x = 0 是垂直漸近線, 無其他漸近線. ^{−4−4 −2 0 2 4}

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5 6

X Y

52 第 2 章 微分

(6)

y = x(x− 2)

x− 1 = 0⇒ x = 0, 2 y^′ = x²− 2x + 2

(x− 1)² > 0 y^′′ = −2

(x− 1)³

1. 根: x = 0, 2.

2. 遞增: x ̸= 1.

3. 凹向上: x < 1, 凹向下: −1 < x.

4. 極值: 無.

5. 反曲點: 無.

6. 漸近線:

−6 −4 −2 0 2 4 6

−6

−4

−2 0 2 4 6

X Y

· lim

x→1⁺ =−∞, lim

x→1⁻ =∞, x = 1 為垂直漸近線.

· ^x(x_x−1⁻²⁾ = x− 1 +_x⁻¹₋₁, 不論 x → ±∞, 知 y = x − 1 為斜漸近線.

(7)

y = ln(x²+ 1) = 0⇒ x = 0 y^′ = 2x

x²+ 1 = 0⇒ x = 0 y^′′ = 2(1− x²)

(x²+ 1)² = 0⇒ x = ±1

1. 對稱性: 對 y-軸對稱.

2. 根: x = 0.

3. 遞增: 0 < x.

4. 遞減: x < 0.

5. 凹向上: −1 < x < 1.

6. 凹向下: x < −1, 1 < x.

7. 無極大值; 極小值: f (0) = 0.

8. 反曲點: (−1, ln 2), (1, ln 2). −6−6 −4 −2 0 2 4 6

−4

−2 0 2 4 6

X Y

7

2.4. 應用: 描述函數圖形 53

(8)

y = ln(1 + x)− x = 0 ⇒ x = 0 y^′ = 1

x + 1− 1 = − x

x + 1 = 0⇒ x = 0 y^′′ = − 1

(x + 1)² < 0 1. 根: x = 0.

2. 遞增: −1 < x < 0.

3. 遞減: 0 < x.

4. 凹向下: −1 < x, 無反曲點.

5. 漸近線: 因為

x→−1lim⁺ ln(x + 1) − x = −∞

x =−1 是垂直漸近線. 又本題無斜漸近線 (較難說明, 需用第四章的概念).

−1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1 0 1

X Y

(9)

y = ln(1 + x²)− x = 0 ⇒ x = 0 y^′ = 2x

1 + x² − 1 = −(x− 1)² 1 + x² ≤ 0 y^′′ = −2 ·(x− 1)(x + 1)

(x²+ 1)² = 0⇒ x = ±1 1. 根: x = 0.

2. 遞減: x ∈ R.

3. 凹向上: −1 < x < 1.

4. 凹向下: x < −1, 1 < x.

5. 無極值.

6. 反曲點: (−1, 1+ln 2), (1, −1+ln 2). ^{−5 0 5}

−5

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

X Y

54 第 2 章 微分









1. 圖形對 x-軸 �, y-軸 �, y = x, 原點都對稱.

2. 對 x⁴+ y⁴ = 1 微分, 得 4x³+ 4y³y^′ = 0 ⇒ y^′ = −^x_y³3, 所以在第一、三象限遞 減, 在第二、四象限遞增. y^′ = 0⇒ x = 0, 由一階測試知, 在 (0, 1) 為極大值, 在 (0,−1) 為極小值. 在 (±1, 0) 有垂直切線.

3. 再做微分得

12x²+ 12y²(y^′)²+ 4y³y^′′= 0 ⇒ 12x²+ 12y²(x⁶

y⁶) + 4y³y^′′= 0

⇒ 12x²· 1

y⁴+ 4y³y^′′= 0 由此得 y^′′=−3^x_y²⁷, 當 y > 0 凹向下; y < 0 凹向上.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

X Y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1 0 1 2 3

X Y

(2) (圖形如上右圖).

1. 對 x³−y³= 1 微分, 得 3x²−3y²y^′= 0⇒ y^′= ^x_y²2, 所以圖形遞增. y^′= 0⇒ x = 0, 在 (1, 0) 有垂直切線.

2. 再做微分得

6x− 6y(y^′)²− 3y²y^′′= 0 ⇒ 6x − 6y ·x⁴

y⁴ − 3y²y^′′= 0

⇒ 6x ·−1

y³ − 3y²y^′′= 0 由此得 y^′′=−2_y^x5, 在第一、三象限凹向下, 在第二、四象限凹向上.

3. 漸近線

y =√³

1 + x³= x³

√ 1 + 1

x³

x→±∞

≈ x(1 + 1

3x²) = x + 1 3x² 故有斜漸進線 y = x.

9

2.4. 應用: 描述函數圖形 55

(3) (圖形如下左圖).

1. 圖形對 x-軸 �對稱. 底下只考慮 y ≥ 0 部分.

2. 因為 y²= x(x− 1)(x − 2), 在 x < −1, 0 < x < 1 時無圖形, 且圖形過 (−1, 0), (0, 0),(1, 0) 點.

3. 對 y² = x³− x 微分, 得 2yy^′ = 3x²− 1 ⇒ y^′ = ^3x_2y²⁻¹ = 0⇒ x = ±^√1₃, 所以在

√1

3 < 1 < x 與−1 < x < −^√1₃ 時遞增, 在 −^√1₃ < x < 0 時遞減. 由一階測試知在 x =−^√1₃ 為極大值. 當 y = 0 時有垂直切線.

3. 再做微分得 2(y^′)²+ 2yy^′′= 6x, 所以

2(3x²− 1)²

4y² + 2yy^′′= 6x⇒ y^′′= 3x⁴− 6x²− 1 4y³ 由 y^′′= 0⇒ x²= ³⁺²₃^√3(負不合), 則 x =

√3+2√ 3

3 > 1 (負不合), 在 x >

√3+2√ 3 3

凹向上, 不然都凹向下.

−2 −1 0 1 2 3 4

−3

−2

−1 0 1 2 3

X Y

−1 0 1 2 3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

X Y

(4) (圖形如上右圖).

1. 圖形對 x-軸 �對稱. 底下只考慮 y ≥ 0 部分.

2. 因為 x³+ x = x(x²+ 1), 而 y²≥ 0, 所以在 x < 0 時無圖形, 且圖形過 (0, 0) 點.

3. 對 y²= x³+ x 微分, 得 2yy^′= 3x²+ 1⇒ y^′ = ^3x_2y²⁺¹ = 0, 圖形在 0 < x 時皆遞 增, 無極值. y = 0 時有垂直切線.

4. 再做微分得 2(y^′)²+ 2yy^′′= 6x, 所以

2(3x²+ 1)²

4y² + 2yy^′′= 6x⇒ y^′′= 3x⁴+ 6x²− 1 4y³ 由 y^′′= 0⇒ x²= ⁻³⁺²₃^√3 (負不合), 則 x =

√−3+2√ 3

3 (負不合), 在 x >

√−3+2√ 3 3

凹向上, 反之凹向下.

56 第 2 章 微分









(1)

−2 −1 0 1 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

X Y

(2)

−2 −1 0 1 2

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

X Y

(3)

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

X Y

(4)

−2 −1 0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 5

X Y

(5)

−5 0 5

−5

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

X Y

(6)

−3 −2 −1 0 1 2 3

−2

−1 0 1 2 3 4

X Y









顯然常數函數 y = 0 滿足 y^′(x) =−2y(x) 的關係式. 如果 y(x) ̸= 0,

(1) 當 y(x) > 0 時, y^′(x) =−2y(x) < 0, 所以 y(x) 遞減; 同理 y(x) < 0 時, y(x) 遞增.

(2) 又 y^′′(x) = (y^′(x))^′ = −2y^′(x) = 4y(x), 所以當 y(x) > 0 時, y(x) 凹

向上; y(x) < 0 時, y(x) 凹向下. −2−2 −1 0 1 2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

X Y

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