孤立 波 (Soliton) 淺談
林琦焜
「Yang-Mills方程式是非線性的, 因此 不可能得其精確解(exact solution)。」
這樣的敘述似乎是極具說服力, 尤其對 一個曾經修過常微分方程的人而言。 如果諸 位還有印象的話, 當不難憶起這樣的經驗。
“通常只有在線性常係數微分方程, 才可 得其一般解 (general solution)”。
這論述當然是對的, 但不要忘了, 誠如生 命的歷程一般, 許多時候, “特例”、“例外”, 反 而較常規來得有意思。 其中相散波 (disper- sive wave) 就是這樣一個例子。
首 先 我 們 解 釋 一 下“相 散 (disper- sion)”是什麼? 在水中, 不同頻率的波以 不同的速度前進, 因為沒有什麼東西可以 把這些不同的頻率一把抓在一起, 因此基 本上, 複雜的波形會一路改變其形狀; 它的 波峰漸漸達到最高點, 然後超越波的主體。
波浪會碎成較小的擾動, 最終則變為一團 紊流 (turbulence)。 此現象我們稱之為相 散(dispersion)。
要談孤立子(soliton); 任何的描寫都遠 不及最初見證者的聲音, 來得那麼真實與直 接。 那是遠在 150 年前即 1834 年 8 月的某一 天, 蘇格蘭造船工程師 John. Scott Rus- sell, 是日沿著愛丁堡的聯合運河策馬前進,
突然間:
「我正觀察一艘小船由兩匹馬沿著狹窄水 道的兩側拉著, 快速前進。 此時, 船突然 停止, 然而船欲靜而水不止。 小船在水道 中所排開的水。 沿著船首聚集經過一陣狂 亂之後, 突然離小船而往前邁進, 其外型 看似一巨大的突起物, 圓滾滾, 平滑又形 狀分明的水峰。 它持續地沿著水道前行, 而且其外形與速度並無明顯地改變。 我騎 著馬追逐它, 當超越它時, 水峰仍以時速8 到 10 哩的速度翻騰前進, 且保持著它起 初的形狀, 大約是 30 呎長 1.5 呎高。 然後 其高度漸漸降低。 再追了 1-2 哩後, 它在 蜿蜒的水道中消失。」
實際上, Russell 發現這種不尋常的波, 為什 麼不尋常呢? 主要是這種波浪在行進的途中, 保持穩定的速度和形狀, 它不會散裂成水面 上漂動的浮沫, 也不會分流成許多更小的波, 不會失去其能量, 而只是向前奔流。 今目我們 稱之為“孤立子”(Soliton, solitary wave), 它讓 Russell 終其一生著迷且投入, 後來也 成為他對船體龍骨革命性設計的重要根據。
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註: (*) Soliton亦可稱“孤立波”。 因有粒子行為,所以被取名-ton, -ton是用在粒子之語根。
在 Russell 去世十年後, 荷蘭數學家 D.
J. Korteweg 和 G. deVries二人在推導淺 水波方程 (shallow water wave) 的過程中, 僅考慮相散 (dispersion) 而忽略能量的消散 (dissipation) 而得著名的 KdV 方程
ut+ uux+ uxxx = 0 (1)
其中 (
t: 時間變數 x: 空間座標
KdV方程是一非線性偏微分方程, 因此 要求得其解, 並不是件輕省容易的事, 由其歷 史發展吾人可見, 事實上是艱辛的過程, 這姑 且不談, 對任一個未知的非線性偏微分方程。
我們總是可以先看看它的行徑波 (travelling wave) 解。 所謂的行徑波即是解的形態如下。
u(x, t) = f (ξ), ξ= x − ct (2) 其意義就是“隨波逐流”, 即變換為以速度為 c 前進的座標系統, ξ = x − ct, 在這變換 下, 波看起來似乎是不動的。 底下我們將看到 經過這變換, KdV方程將變為一常微分方程。
事實上, 將 (2) 代入 (1) 得
−cf′+ f f′+ f′′′ = 0 (3) 積分一次之後
−cf + 1
2f2+ f′′ = A (4) 其中 A 為任意常數。 將f′視為積分因子
f′f′′ = Af′+ cf f′−1 2f2f1,
1 2(f′)2
′
= (Af )′+ (c
2f2)′− (1 6f3)′ 再次積分得
(f′)2 = 2Af + cf2− 1
3f3+ B (5) 其中 B 為第二個任意常數。
在此我們考慮邊界值為
f, f′, f′′−→ 0 當 ξ −→ ±∞ (6) 條件 (6) 實際上就是在描述孤立子 (Soli- ton)。 在這條件下, 可得
A= B = 0. (7) 因此
(f′)2 = f2(c − 1
3f) (8) (8) 式要有意義, 當然要要求
3c − f ≥ 0 將 (8) 改寫為
Z df
f(c − 13f)12 = ±
Z
dξ (9) 令 f = 3c sech2θ
則其解為
f(x − ct) = 3c sech2[1 2
√c(x − ct − x0)]
(10)
其中x0為任意積分常數。 另外關於正負符號 的選取, 那是多餘的, 因為對我們的解而言, 它是一個偶函數。(如果x0= 0)。
其實這也說明了 Russell 發現的波, 實 際上是 KdV 方程式的一個解, 但這事件, 並 沒有帶來太大之衝擊, 頂多只是認為孤立子 (Soliton) 是個有用的工具吧了! 有更長的 一段時間孤立波被視為在處理二維非線性波 時偶然冒出來一支不重要的外來語。 卻不知 後來它在物理學, 數學上佔了一席之地。
KdV方程式證實了 Russell 對兩個孤 立子碰撞時的觀察, 即
“一個高, 薄呈駝峰狀的孤立子, 會追上 它較矮胖的兄弟後, 這兩個波相會之後合而 為一。 經過一陣混亂之後, 這個合而為一的 波又彼此分開, 較快較高的那道波以原有的 速度前進, 漸漸將較矮胖的波遠遠地拋在腦 後。”
圖1 S. Russell’s 的孤立子隨即分解為兩個 孤立子, 振幅大的移動速度快, 最終遠離振幅 少 (長的矮的)。
圖2 兩個孤立波在時間 (a) t = t; (b) t = t2 > t1; (c) t = t3 > t2; (d) t = t4 > t3 之交會情形。
在兩道孤立子交會之處, 我們無法去分 辨二者, 但交會過後, 兩波又重新出現, 一 付若無其事之態。 這是否意味著在非線性的 耦合作用下存有某種“記憶”, 使它們能記起 碰撞前的模樣, 這實在是件非比尋常的事實。
然而孤立波引起人們的注意, 卻得等到 1965 年, 由著名的物理學家費米 (Fermi) 在數 學家 Ulam 和 Pasta 的協助下, 在 Los Alamos 進行關於金屬內部的振動: 為了觀
察晶格 (lattice) 中所有振動模式之間分享能 量的方式。 為了以數學方式表達其關係式他 們必須加入一個微不足道的非線性項, 此項 對應於振態的交互作用。 實際上, 他們所用的 數學模型正是離散形的 KdV 方程。 值得一 提的是若沒有該非線性項。 那麼在這個模型 中“能量”便無法互通有無。 實驗的結果, 這個 微小的非線性項。 控制了整個系統, 把它從一 個線性行為良好的晶格搖身一變而為“孤立 子”的競技場。 更重要的是在這裡面並沒有所 謂的“能量等分”(eguipartition of energy)。
根據此原則, 如果所有熱能要指定給某 一特定晶格振動模式的話, 那麼很快地這份 能量將會擴散出去而且均勻地分佈於每個晶 格中。 費米等人也是如此相信, 而最初的數據 也是這樣顯示, 但隨著時間的前進, 令人震撼 的現象產生, 即能量並沒有被均勻分享, 反而 是集中在其中一個振態。 這個實驗再次說明 非線性晶格具有某種“記憶”, 這是在“線性系 統”不可能發生的。 故事並沒有因此而結束。
真正開啟孤立波的新紀元當屬 1965 年, 由二位普林斯頓的物理學家, 應用數學家 (讀 物理的說, 他們是物理學家, 學數學的則說他 們是應用數學家) M. Kruskal 與 N. Za- lusky。 他們考慮 KdV 方程的起初−邊界 值問題 (邊界為週期邊界)
(ut+ uux+ δ2uxxx= 0
u(x, 0) = cos(πx) 0 ≤ x ≤ 2.
(11) 並要求對所有的時刻 t
u, ux, uxx為在 [0, 2]上的週期函數 (12)
他們選取δ = 0.022。 所得的解如圖所 示。
圖3. M. Kruskal 與 N. Zabusky 所得 Kdv。
(1) (虛線) 表時間t = 0 之解 (2) (斷線) 表時間t = π1 之解 (3) (實線) 表時間t = 3.6π 之解
隨著時間的演進餘弦波開始擠壓且幾乎 產生截波 (shock wave), 就在此時戲的主角 換為相散項 (dispersion term), (δ2uxxx), 縱使渺小, 但卻不是微不足道, 反而是舉足輕 重且在某種意義下與非線性項兩者之間有著 巧妙的平衡關係。 實際上是這樣的, 其解漸演 變為一列由八個像 sech 函數組成的波, 而在 這當中速度快 (即長得較高) 的波, 總是可以 追上速度慢 (較矮) 的波, 好像是高的波吞下 矮的波, 但後來又把它吐出來一般。 但最令人 震撼的倒是再經過長一點的時間後, 原先最 起初的餘弦波又出現了! 這個例子就是典型 的回歸論(recurrence)。
兩年之後, M Kruskal, J. Green, C Gardener 與 R. Miura 四人找到 KdV 方 程, 這不尋常性質的理論基礎, 他們的想法如 下:
為了方便我們將 KdV 方程式寫為
ut− 6uux+ uxxx= 0 (13) Miura 考慮這樣的變換
u= v2+ vx (14) 有時, 我們也稱這變換為 Miura 變換, 如 果讀者曾修過常微分方程的話, 不難看出, 若 將u當做已知, 而視 (14) 為v的微分方程。 其 實它是v的一個 Ricatti 微分方程。 這件事實 將為我們開啟解 KdV 方程之鑰。 將 (14) 式 直接代入 (13), 可得
(2v + ∂
∂x)(vt− 6v2vx+ vxxx) = 0 (15) 這件事告訴我們若v為 mKdV 方程的解,
vt− 6v2vx+ vxxx= 0 (16) 那麼經過 Miura 變換 (14) 所得的u會是 KdV 方程的解。 因此整個問題的關鍵, 便在 (14) 式。 關於 Ricatti 方程式, 可利用底下 的變換將之化為一線性微分方程
v = Ψx
Ψ,Ψ 6= 0 (17) 因此 (14) 式成為
Ψxx− uΨ = 0 (18) 不失一般性, 可將 (18) 再改寫為
Ψxx+ (λ − u)Ψ = 0 (19)
啊哈! 我們再一次回到常微分程的理論, 也願 意提醒讀者“常微分方程當然是有用, 且很有 用的數學。”
(19) 式, 就是一個 Sturm-Liouville 方 程; 其中λ是其固有值, u可視為位能 (poten- tial), 如果讀者對物理學有興趣, 我們也可給 (19) 式, 量子力學的解釋, 即它是一個位能 為u, 能量為λ的穩定, 線性 Schr¨odinger 方 程。 為著方便我們將兩者寫在一起, 以利比較
(ut− 6uux+ uxxx= 0 (KdV)
Ψxx+ (λ − u)Ψ = 0 (Schr¨odinger) (20) 由上式知位能 (potential)u 之演進, 乃是依 KdV 方程而來, 但對 Schr¨odinger 方程而 言。 它是個與時間 t 無關的微分方程, 所以 我們自然要問, “λ 與 u 是怎樣演化的?” 我 們分別對 Schr¨odinger 方程取 x- 微分與 t- 微分, 得
(Ψxxx− uxΨ + (λ − u)Ψx = 0 Ψxxt+ (λt− ut)Ψ + (λ − u)Ψt= 0
(21) 其中u滿足 KdV 方程。 直接計算 (複雜) 可 得
λtΨ2+ ∂
∂x(ΨRx− ΨxR) = 0 (22) 其中
R(x, t) ≡ Ψt+ uxΨ − 2(u + 2λ)Ψx (23) 由 (22) 式知如果Ψ是平方可積, 且當x在無 窮遠為 0 的話, 可得
λt = 0 (24)
這件事實告訴我們, 當u(x, t)隨著時間的演 化, 所得的離散值譜 (discrete spectrum) 基 本上是不隨時間改變。 這相當於告訴我們 (9) 式之固有值 (離散)
λn<0, n = 1, 2, · · · N 是運動常數 (contant of motion)
現在由 (22) 式可得
ΨRx− Ψx = D
∂
∂x(R
Ψ) = ΨRx− ΨxR Ψ2 = D
Ψ2 所以Ψt+uxΨ−2(u+2λ)Ψx= cΨ+DΨ
Z 1 Ψ2dx 因為Ψ在無窮遠處為 0, 所以D = 0。
Ψt = (c − ux)Ψ + 4(λ + u
2)Ψx (25) 這告訴我們什麼呢? 就是將原先非線性 的 KdV 方程式
ut− 6uux+ uxxx= 0 轉換為二個“線性”微分方程
(Ψxx+ (λ − u)Ψ = 0
Ψt = (c − ux)Ψ + 4(λ + u2)Ψx (26) 的可積條件。
令S(t)為 (26) 解Ψ之 漸 近 資 料 (asymptotic data), 意即在時間t的散射 值 (scattering data), 要提的是S(t)並不 難解, 因為 (26) 為一線性微分方程。 整個的 圖畫就是 KdV 方程的起值u(x, 0) 直接轉換 起初的散射值S(0)。 而由微分方程 (26) 可
得S(t)之值, 因此如果存在有逆變換, 我們便 可求得 KdV 方程式的解, u(x, t), 整個概念 就是所謂的逆散射變換 (inverse scattering transform)。
圖 4
圖 5
整個上面所談的過程, 與我們在解線性 偏微分方程時。 用富氏變換是相似的。 茲以 KdV 方程式的線性化方程來討論。
ut+ ux+ uxxx= 0 (27) 其富氏變換 (Fourier transform) 為
u(k, t) =b 1 2π
Z ∞
−∞
u(x, t)e−ikxdx (28) 且u滿足下面之微分方程b
∂tub+ i(k − k3)ub = 0 (29) 再取逆變換 (inverse transform) 得
u(x, t) =
Z ∞
−∞
u(k, t)eb ikxdk (30) 在此
A(k) =u(k, 0) =b 1 2π
Z ∞
−∞
u(x, 0)e−ikxdx (31)
相似於起初的散射值。 而u(k, t)之值則可由b (29) 式所決定。 其實, 在線性的時候, 逆散 射變換就是富氏變換。
以上所言就是 M. Kruskal 等人 所發展出來的逆散射變換理論。 它告訴我 們, KdV方程之孤立波的演化是由線性 Schr¨odinger 方程所描述。 他們還證明 KdV 方程有無窮多個守恆量。
孤立子之存在, 並沒有限制在水波, 甚 至在量子力學亦有相同的性質, 這是 1971 年 前蘇聯學者 V. Zakharov 和 A. Sha- bat發現的。 他們證明了一維空間的非線性 Schr¨odinger 方程
ut+ |u|2ux+ uxx = 0 (32) 有著與 KdV 方程相同的性質。
近年來這一類的方程式 (我們稱之為非 線性可積系統 (nonlinear integrable sys- tem) 如雨後春筍般地成長, 更因為與黎曼面 (Rie- mamn surface)、 代數幾何、 拓撲學 (topology) 等數學有相關連, 我們更可稱之 為非線性可積系統的數學理論。
孤立子不僅在水中產生, 也在大氣層中 發生, 某些冷氣團本身就是孤立波。 但也許 最為人熟知的孤立波是在木星上, 我們稱之 為大紅班 (great red spot) 就是一種孤 立子, 孤立子渦流也可在超流體(superfluid helium) 中發現, 這是一種可以高速流動而 不產生紊流的流體。 此處形成的不是磁通量 的渦旋, 而是轉動的超流體形成瘦長圓柱狀 或條狀的形狀。 它們會在超流體狀態下, 造出
令人好奇的花樣。 另外在醫學上探討神經系 統, 都可發現孤立子的芳蹤。
在場論 (field theory) 中與孤立子連 結的問題中, 第一也是最複雜的, 則當屬相 對不變量 (relativistic invariants) 的發現。
所謂相對不變是指經過羅倫茲變換 (Lorentz transformation) 之後, 仍保持原來的形像。
到目前為此所知道的可積系統 (integr- able system) 大部份都是在1 + 1維 (一 維空間, 一維時間), 但像在場論而言, 它是 個3 + 1維的 Minkowski 空間; 因此這確實 是一大難題與限制。 雖如此, 1 + 1維仍是我 們瞭解3 + 1維之起步。
除了 KdV 方程, 非線性 Schr¨odinger 方程外最為人所知的可積系統, 就算是 Sine- Gorden 方程
utt− uxx = sin u (33) 由於這個偏微分方程的完全可積性, 且其解 牽涉到稱為扭結 (kinks) 和反扭結 (anti kinks) 的東西, 當兩個扭結孤立波碰撞時會 互相排斥, 兩個反扭結碰撞時亦然; 但是一 個扭結和一個反扭結則彼此吸引, 這情形就 好像是電荷相反的基本粒子一般。 這引導人 們進而研究自發性對稱解體 (spontaneous symmetry-breaking) 的作用, 以瞭解不同 真空狀態彼此間如何轉換, 但更重要的倒是 明白如何量化1 + 1可積系統的理論。 Yang- Mills也有可能是一個可積系統, 但到目前為 止這還只是猜測 (conjecture) 而已。
孤立波之存在並沒有被限制在可積系 統。 例如在場論中其 Lagrangian 為
L(ϕ) = (∂tϕ)2+ (∂xϕ)2− v(ϕ) (34)
其中v(φ)為位能 (potential), 就我們 所知之一情形, 當
v(ϕ) = µ2
2 ϕ2+ λ
4ϕ4 (35) 時, 就存在有孤立波解, 但明顯地這並不 是個可積系統。
孤立 子 產 生 在 具 自 發 性 對 稱 解 體 (spontaneous symmetry-breaking) 之理 論, 而他們的性質則與規範場 (gauge field), 空間的拓撲結構相關聯。 孤立子理論之應用 也導致在研究真空狀態的結構 (stucture of vacumms) 等皆有重大發現。 一連串有趣的 問題正接踵而至, 而他們與最先端的科學是
這麼靠近, 實在還沒成熟到可以作一般性的 說明。
參考資料
1. J. Briggs & F. D. Peat, Turbulent Mir- ror, Harper Collins Publishers, Inc., 1989.
2. 王文彥譯, 渾沌魔鏡, 牛頓出版社, 1993, (1 之中譯本)
3. P. G. Drazin, & R. S. Johnson, Solitons:
an introduction, Cambridge University Press, 1990.
—本文作者任教於國立成功大學數學系—
