勾股定理證明-G253

(1)

勾股定理證明-G253

【作輔助圖】

1. 直角三角形ABC作 CA 延長線上一點 D 使 AD CB 。 2. 以 CD 為邊向下作正方形CDEF 。

3. 過 A 作AB 垂直線，交 DE 於 G ，過 G 作 AG 垂直線，交 EF 於 H ，連 HB 。 4. 過 A 作 AC 垂直線，過 B 作 CB 垂直線，交於 I ；同理作出 , ,J K L 。

A B

C

D

E

F

G H

I

J K L

【求證過程】

不難看出輔助圖中的幾個直角三角形全等，在給出證明之後，也可以得知四邊形 ABHG 是正方形。再利用大的正方形的面積的兩種算法，就可以整理得到畢氏定理關 係式。

1. 不難看出 ABC  GAD HGE BHG，以下我們給出證明：

首先考慮 ABC  GAD是因為

90 ,

BCA ADG

   

且

, BC AD 又

90 ,

CAB DAG DGA

     

所以

ABC GAD

   (AAS 全等).

接著考慮 GAD  HGE，以下是證明：

因為

(2)

90 ,

GDA HEG

   

並且

90 ,

AGD AGD HGE

     

以及

( )

, AD CD CA

DE DG CDEF ABC GAD GE

 

    



正方形以及所以可以得到

GAD HGE

   (ASA 全等).

同理即可以證明 HGE  BHG，綜合以上就可以得到 . ABC GAD HGE BHG

      

2. 不難看出四邊形ABHG 是正方形，以下我們給出證明：

因為有上述的全等條件

, ABC GAD HGE BHG

      

所以

, ABBH HGGA 又

90 , BAG AGH GHB HBA

       

所以有四邊都等長，四個角都直角得到四邊形 ABHG 是正方形。

3. 接著由於大正方形的面積有兩個算法：

 

²

2 2 2

2 , CDEF CD  CABC b a  ab

2 1 2

4 4 2 ,

CDEF  ABHG  ABC c  2abc  ab 比較整理後可得

2 2 2

. c a b 此即為畢氏定理關係式。

(3)

【註與心得】

1. 來源：此證明是來自中國的證明，出自《周髀算經》，成書於公元前1 世紀，記載公元前11 世紀周公與商高的問答。上圖即為三國時代趙爽的《弦圖》。收錄在Loomis 的《勾股定理》中幾何篇的編號第 253 號

2. 心得：若是知道了這張圖及這個定理被知悉的年代，會令人好奇在千年之前的人們對數學的認識有著什麼樣的認識？在教學時只要給學生看看這張圖，順便談談這一段故事，順便談談中國數學與西方數學的差異，相信會有不錯的效果。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

● ● ●

4. 補充：在數學能力指標中，有著這麼一項：

C-R-04：能知道數學在促進人類文化發展上的具體例子。

在距今二千至三千年前的東方人是這樣看勾股定理，有別於西方歐氏幾何體系所要求。由一個定理證明，一個例子就可以引起學生的好奇心，探索數學發展史中東方世界佔有什麼樣的角色。