2. 請在每一試題所屬頁面作答，若使用試題背面，請標示清楚。

國立成功大學 104 學年度 數學系 申請入學 試題

試題說明：

1. 本試題含十大題，總分 120 分。測驗時間：150 分鐘

2. 請在每一試題所屬頁面作答，若使用試題背面，請標示清楚。

3. 本考卷屬成大數學系機密，不得與本考卷合照打卡上傳 FB。

准考證號碼：

姓名：

3

8

1/11 1. (a) (4 分) 試說明 f(x)=x⁴ +5x³ +10x² +10x+5沒有整係數一次因式。

(b) (6 分) 試說明 f(x)=x⁴ +5x³ +10x² +10x+5沒有整係數二次因式。

2/11 2.(a)(4 分) 令(1+x)¹¹ =1+b₁x+b₂x² ++b₁₀x¹⁰ +x¹¹，試說明b₁,b₂,,b₁₀都是 11 的倍數。

(b)(6 分) 試求C₂₅¹⁰⁴除以 11 的餘數。

提示：C¹⁰⁴₂₅ 是(1+x)¹⁰⁴的展開式中的某一項係數。

可改寫(1+x)¹⁰⁴ =(1+x)⁵[(1+x)¹¹]⁹並利用(a)小題。

3/11 3. (a) (4 分)

0.5 2 ≤

≤ 2

(b) (6 分) 試畫出下列集合在平面直角座標中所描述的區域並計算其面積。

{

}

4/11 4. (10 分) 令 k 為正整數。

證明所有介於2^𝑘𝑘與2^𝑘𝑘+1之間的整數都可以寫成下列的二進位表示法 2^𝑘𝑘+ 𝑎𝑎_𝑘𝑘−12^𝑘𝑘−1+ ⋯ + 𝑎𝑎₁2 + 𝑎𝑎₀

其中𝑎𝑎𝑘𝑘−1, … , 𝑎𝑎1, 𝑎𝑎0為 0 或1，而且這樣的寫法只有一種可能。

提示: 對 k 作數學歸納法並利用除法原理。

5/11 5. 令空間向量a=(1, 4, 3)

，b=( 2,1, 2)

，c=( 3,1,1)

。

(a) (4 分) 試求 a

在 包含原點且平行 b

的直線 上的投影向量。

(b) (6 分) 試求 a

在 包含原點、 b 與 c

的平面 上的投影向量。

6/11 6. 四面體 ABCD 滿足AB=CD=4且AC=AD=BC=BD=8。

(a) (7 分) 試求四面體的體積。

(b) (8 分) 平面ABD與平面 ACD 的夾角為θ ，試求cos 。

θ

A

B

C

D

7/11 7. 令圓C:x²+ y²−4x−2y+4=0，伸縮矩陣 0

0 M r

r

 

=  

 ，旋轉矩陣 cos sin sin cos

N

θ θ

θ θ

 − 

=  

 。

(a)(3 分)令r= ，圓C 經過3 M 變換變成圓 'C ，試求圓C 的圓心與半徑。 ' (b)(3 分)令

3

θ

π

(c)(9 分)圓 C 經過矩陣 a b P b a

 − 

=  

 變換變成圓D：x²+ y² −2x−6y+c=0。 試求矩陣P及c。提示：計算 MN 並與P比較。

8/11 8. 考慮三角函數y

=

(

) = 2 cos( π

) + cos( 2 π

)

(a) (5 分) 找出函數 f

(x )

(b) (10 分) 找出函數 f

(x )

(c) (5 分) 若α 為 f

(

) = 0

sin( π α )

9/11 9. (5 分) 這裡有兩張撲克牌，第一張牌是正常的，一面是 Ace，一面是牌的背面；而第二張 牌因為印刷錯誤所以兩面都是背面。將這兩張牌置入一不透光的袋子中，抽出一張只看一面，

如果此面是 Ace 就重抽，如果抽出來是「牌背花樣」就放在桌上，這時翻開另一面是 Ace 的話 就算贏。請問在這樣的遊戲過程中，獲勝的機率是多少？不能只寫出答案，需要寫出理由及計 算過程。

第一張牌正面 第一張牌背面 第二張牌正面 第二張牌背面 A

A

10/11 10. 來源：http://www.appledaily.com.tw/realtimenews/article/new/20150323/579239/

3/23 日的蘋果新聞中提到：「這波東北季風原本可望為石 門水庫帶來些許雨量，但截至今上午 10 時止，累積降雨量仍 為零，直至中午水庫才開始降雨，較大的雨勢讓民眾期盼能為 水庫帶來進帳，雨勢雖然不小，但截至下午 3 時為止，累積雨 量只有 9 毫米，可帶來 150 萬噸的進水量，可供應 2 天用水量，

但雨勢持續降下，希望降雨量至少可以累積超過 20 毫米，讓 進水量多增加 600 萬噸」。

(a)(5 分) 內文中「累積雨量 9 毫米可帶來 150 萬噸的進 水量，而累積雨量 20 毫米進水量多增加 600 萬噸」， 請問上述引號中的文字有給你任何違和感(覺得奇怪

的地方)嗎？如果有請描述。如果沒有，請給它一個合理的說明。

(b)(10 分) 參考下圖與公式，把水庫想像成一個直圓錐(當然水庫不會是直圓錐狀)，截 至今上午 10 時水庫高度為 h ，雨勢過後，若累積雨量 10 毫米(代表水位上升 1 公分) 將可帶來 150 萬噸的進水量，若累積雨量 20 毫米(代表水位上升 2 公分)可帶來 600 萬噸的進水量。請從上述條件求出 h 值。(圖中m為半徑 r 與高度 h 的比值)

2

2 3

1

3 3

V = πr h= m πh

mh r=

h

11/11

這份考卷 為多位 老師嘔心 瀝血之 作。 出題 的時間 絕對超過 大家寫 考卷的時 間。因 為我們希 望 除了 考試之外 ，

大家 能夠 關心國 家，關懷 社會 ， 實乃 生活 中 處處 都有 數學 啊！

http://mandymeimei.pixnet.net/blog/post/26948665-夏季省水大作戰！節水 36 計