對數

對數

主題一 常用對數

1. 對數的定義

指數是一種數的表示方式，所以對於任何正實數而言，都可以用指數的形式來表示。而 10 是生活上常用的進位方式，因此可以很自然的以「10^x」來表示。

例如：1＝10⁰、100＝10²、0.1＝10^-1

思考看看：

(1) 50 可不可用 10^x來表示？

(2) 如果可以，那 x 應該是多少？

當 a＞0，則 a＝10^x  x＝log₁₀

a ， 通常簡略記成 x＝log a

2. 重要觀念 (1) log 1＝0

(2) 當 a＞1，則 log a＞0 (3) 當 0＜a＜1，則 log a＜0 (4) 10^{log a}＝a

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1. 以對數表示下列各式中 x 的值：(1) 10^x＝0.001 (2) 10^x＝2 (3) 10^x＝101

2. 求出下列各對數的值：(1) log 0.01 (2) log 1

1000 (3) log 10000 (4) log 10 10 1 10 50 100

10⁰ 10¹ 10²

3. 設 a＞0，且 log_a1000＝2，則 a＝？

4. 設 a＝log 2，b＝log 3，c＝log 7，則(1) 10^2a＝？ (2) 10^2b＋c＝？ (3) 10^a＋b＋c＝？

主題二 對數的運算 1. 加減法

log₁₀r＋log₁₀s＝log₁₀rs log₁₀r－log₁₀s＝log₁₀ r

s 2. 次方提出

rn 10m

log ＝

m

n log₁₀r

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1. 計算下列各式的値：(1)log 8 log 25 log 2₁₀  ₁₀  ₁₀ (2)log10150－2log103log106

2. 設 a、b、c 為正實數，若 log a＝1

2 ，log b＝ 3，log c＝－1

2 ，求 log (abc)＝？

3. 設log 3₁₀ a、log 5₁₀ b，將下列各式用a、b表示：

(1)log102 (2)log1015 (3)log1025 (4)log1045 (5) 3 log105

4. 國際上使用芮氏規模來表示地震的強度。設 E(M) (單位：爾格)為地震芮氏規模 M 時 所釋放出來的能量，M 與 E(M)的關係如下：

『log10E M 11.8 1.5 M 』 某次地震其芮氏規模為 4，試問：

(1)其震央所釋放的能量 E(4)為多少？

(2)如果芮氏規模 a 之地震所釋放的能量是芮氏規模 4 之 1000 倍，則 a 大約是多少？

1. 常用對數

log₁₀1＝ log₁₀2＝ log₁₀3＝ log₁₀4＝ log₁₀5＝

log₁₀6＝ log₁₀7＝ log₁₀8＝ log₁₀9＝ log₁₀10＝

2. 科學記號

設 a 是一個正數，可用科學記號表示成a b 10ⁿ，其中1 b 10且 n 是整數。

則 log a＝

3. 位數估算

設1 b 10且 n 是整數 (1) 10¹為 2 位數

10²為 3 位數 10³為 4 位數 10⁴為 5 位數

(2) 10^-1從小數點後第 1 位始不為 0 10^-2從小數點後第 2 位始不為 0 10^-3從小數點後第 3 位始不為 0 10^-4從小數點後第 4 位始不為 0

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1. 試計算 (1) 10⁴為幾位數？ (2) 10^10.9為幾位數？

(3) 10^-5從小數點後第幾位始不為 0？ (4) 10^-7.7從小數點後第幾位始不為 0？

⇒ 10ⁿ為 位數，又 10^n＋b為 位數。

⇒ 10^{- n}從小數點後第 位始不為 0 10^{- ( n+b)}從小數點後第 位始不為 0

2. 試估算：(1) 2²⁰¹⁹為幾位數？ (2) 12¹⁰⁰為幾位數？

3. 試估算 6^-50小數點後連續出現幾個 0？

○進 高 手 過 招 ○階

1. 將5 乘開後是幾位數？ 又其最高位數字為何？ ⁶⁰

2. 已知 23⁵⁰是 69 位數，則 23²⁵是幾位數？

3. 若正實數x y, 滿足log₁₀x2.8，log₁₀ y5.6，則log (₁₀ x²y)最接近下列哪一個選項的 值？ (1) 2.8 (2) 5.6 (3)5.9 (4)8.4 (5)11.2 (101 年學測)