3-3 對 數

3-3 對 數

（每題 5 分﹐共 30 分）

1. 試求下列各式的值：

(1) log 4 log 5 2 log

₁₀

−

₁₀

+

₁₀

125 ﹒ (2) ¹ log 3 log 15

³

log 50

³

3 − + ﹒

解：

^(1)原式=log 4 log 5 log 12510 − 10 + 10 ₁₀ 1 ₁₀

log (4 125) log 100 2

= × ×5 = = ﹒

(2)原式 1

(log 3 log15 log 50)

=3 − + 1 1 1 ₁₀ 1

log(3 50) log 10

3 15 3 3

= × × = = ﹒

2. 試求下列各式的值：

(1) (log 27)(log 32) ﹒

_{2 9}

(2) log (log 9) log (log 4)

_{4 2}

+

_{4 3}

﹒

解：

^(1)原式 log 27 log 32 3log 3 5log 2 15 log 2 log 9 log 2 2 log 3 2

= ⋅ = ⋅ = ﹒

(2)原式=log (log 9) (log 4)4

[

2 ⋅ 3

]

﹐ 而 log29·log34 2 log 3 2 log 2

log 2 log 3 4

= ⋅ = ﹐原式=log 4 1₄ = ﹒

3. 試求

^{4 3 25}

1 1

log log

2log 2 2 4

4

⁻

+ 9 − 5 的值﹒

解：

^{原式=4log414 +9log312 −5log2514 ( )1 log 44 ( )1 log 93 ( )1 log255}

4 2 4

= + − 1 1 1

4 4 2 0

= + − = ﹒

4. 設 2

^a

= ﹐ 7 log 3

₇

= ﹐試以 a﹐b 表示 b log 63 ﹒

₉₈

解：

^{由 2a= 得7} log 72 = ﹐

a

又log 3₇ = 得

b

log 3₂ =

ab

﹐

2

2 2 2 2

98 2

2 2 2

log 63 log (3 7) 2 log 3 log 7 2 log 63

log 98 log (2 7 ) 1 2 log 7 1 2

× + +

= = = =

× + +

ab a a

﹒

5. 已知 a﹐b﹐c 均為正整數﹐且

270 270 270

log 2 log 3 log 5 2

a + b + c = ﹐試求 a 值﹒

解：

log2702^a+log2703^b+log2705^c = ﹒ 2

2

270 270

log (2^a⋅ ⋅3 5 )^{b c} =log 270 ﹒

2 2 2 4 2

2^a⋅ ⋅ = ⋅ ⋅3 5^{b c} (2 3 5) =2 ⋅ ⋅ ﹐得3 5

a

= ﹒2

6. 設 a﹐b 為正實數﹐已知 log

₇

a = ﹐ 11 log

₇

b = 13 ﹐則 log (

₇

a b + 的值最接近下 ) 列哪個選項？(1)12 (2)13 (3)14 (4)23 (5)24﹒

解：

log7

a

= ﹐得11

a

=7¹¹﹐log₇

b

= ﹐得13

b

=7¹³﹐ 又

a

+ =

b

7¹¹+7¹³=7 (1 49)¹¹ + =7¹¹⋅50≈7¹³﹐ 得log (₇

a

+

b

)≈log 7₇ ¹³=13﹐故選(2)﹒

（每題 5 分﹐共 30 分）

1. 已知 log 2 ≈ 0.3010 ﹐ log 3 0.4771 ≈ ﹐則下列何者為正數？

(1) log 3 1

2

− (2) log 2 1

3

− (3)

¹

log 3 (4)

2 1 3

log 1 2 ﹒ 解：

^{因log 32 =log 3}_{log 2}^{≈1.59﹐log 23 =log 2}_{log 3}^≈0.63,

(1)log 3 1 0.592 − ≈ > ﹒ 0 (2)log 2 1₃ − ≈ −0.37< ﹒ 0

(3) ^{1 2}

2

log 3= −log 3≈ −1.59<0﹒

(4) 1 3

3

log 1 log 2 0.63 0

2= ≈ > ﹒故選(1)(4)﹒

2. 在坐標平面上﹐設 P 為 y = − + ( x 1)( x − 圖形上的一點﹐若 P 的 x 坐標為 2) log

₃

10﹐試問 P 的位置在哪一象限？(1)一 (2)二 (3)三 (4)四 (5)不一定﹒

解：

因點 P 的 x 坐標為log 10₃ > ﹐ 2

且 y 坐標為

y

= −(log 10 1)(log 10₃ + ₃ − < ﹐ 2) 0 知點 P 在第四象限﹐故選(4)﹒

3. 設 log

_a

α = log

_b

β = log

_ab

10 ﹐已知 α β ≠ ﹐試問 αβ 的值﹒

解：

^{設 log}a

α

=^logb

β

=^log ab¹⁰= ﹐

k a

k

α

= ﹐

β

=

b

^k﹐10 ( ) ( )²

k

ab

k

ab

= = ﹐

得

^αβ

⁼

^{a b}

^{k k =(}

^ab

^{)k =[}

( ) ^ab

^{2k]2=102 =100﹒}

4. 設 a﹐b 為大於 1 的實數﹐若 (log 2 log 2)

_a

+

_b

= 4 log 2

_ab

﹐試求 log

_a

b 的值﹒

解：

^{log 2 log 2 4 log 2 4 log 2} log +log = ⋅log = ⋅log log

+

a b ab a b

﹐

log log 4

(log )(log ) log log

b a

a b a b

+ =

+ ﹐

整理得(log

a

−log )

b

²= ﹐由 log0

a

=log

b

得 log_a

b

=1﹒

5. 下表是函數 f x ( ) = + b log

_a

x 的四個函數值：

x 0.25 2 4 8

f (x) n m 10 n − m + 4

試求 a﹐b 的值﹒

解：

^{依序代入得 log 1}4

10 log 4

a

a

n b n b

 = +



 − = +



log 2

4 log 8

a a

m b

m b

 = +

 + = +

 2 log 2

10 2 log 2

a a

n b n b

 = −

 − = +

 ﹐ log 2

4 3log 2

a a

m b

m b

 = +

 + = +

 ﹐得

b

= ﹐5

a

= 2﹒

6. 解對數方程式：

(1) log (3 )

₂

x = log (

₂

x + ﹒ 2) (2) log (

₂

x − + 2) log (

₂

x − = ﹒ 3) 1

解：

⁽¹⁾log (3 )2

x

=log (₂

x

+ ﹐即 32)

x

= + > ﹐得

x

2 0

x

= ﹒ 1 (2)首先

x

− > ﹐2 0

x

− > ﹐即3 0

x

>3﹐

又log [(₂

x

−2)(

x

−3)]=log 2₂ ﹐

得 (

x

−2)(

x

− = ﹐整理得 (3) 2

x

−1)(

x

−4)= ﹐但0

x

> ﹐故3

x

= ﹒ 4

（每題 8 分﹐共 40 分）

1. 小康想使用三個 2 與數學符號來表示一實數﹐試問 log

₂

log

₂

2 所表示的 實數﹒

解：

^{因 2 =[(2 ) ]12 12 12 =218﹐所求實數為} 2 2 ¹⁸ 2

log log 2 log 1 3

= 8= − ﹒

2. 聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特（W/m

²

）來衡量﹐一般人能感覺出聲 音的最小強度為 I

0

= 10

⁻¹²

（W/m

²

）；當測得的聲音強度為 I（W/m

²

）時﹐所 產生的噪音分貝數 d 為

0

( ) 10 log I d I = ⋅ I ﹒

……(1)

……(3)

……(2)

……(4)

(1)一蚊子振動翅膀測得的聲音強度為 10

⁻¹²

（W/m

²

）﹐求其產生的噪音分貝數﹒

(2)汽車製造廠測試發現﹐某新車以每小時 60 公里速度行駛時﹐測得的聲音 強度為 10

⁻⁴

（W/m

²

）﹐試問此聲音強度產生的噪音為多少分貝？

(3)棒球比賽場中﹐若一支瓦斯汽笛獨鳴﹐測得的噪音為 70 分貝﹐則百支瓦 斯汽笛同時同地合鳴﹐被測得的噪音大約為多少分貝？ 【93 指考乙】

解：

^由題意得 (1)

12

1 12

( ) 10 log10 10 log1 0

d I

10

−

= ⋅ − = ⋅ = （分貝）﹒

(2)

4

8

2 12

( ) 10 log10 10 log10 80

d I

10

−

= ⋅ − = = （分貝）﹒

(3)70 10 log ₁₂ 10

I

= ⋅ − ﹐得

I

=10⁻⁵﹒100

I

=10⁻³﹐ 則

3

9 12

10 log10 10 log10 90 10

−

− = ⋅ = （分貝）﹒

3. 班佛法則：銀行存款首位數字為 a 的比例約有 log(1 + ¹ )

a ﹐例如存款金額為 43210 元的首位數字為 4﹐所有首位數字為 4 的存款所占比例約 log(1 ¹ )

+ 4 ﹐請 根據班佛法則﹐估計銀行存款的首位數字為 3 或 4 或 5 的人約有多少比例？

(1)20% (2)30% (3)40% (4)50% (5)60%﹒

解：

首位數字為 3﹐4﹐5 所占比例分別為 1

log(1 )

+3 ﹐ 1

log(1 )

+4 ﹐ 1

log(1 ) +5 ﹐

所占比例和為 4 5 6 4 5 6

log log log log( ) log 2 0.3010 30%

3+ 4+ 5 = 3× ×4 5 = ≈ ≈ ﹐故選(2)﹒

4. 根據統計資料﹐在 A 鎮當某件訊息發布後﹐t 小時之內聽到該訊息的人口是 全鎮人口的 l 00(1 2 ) −

^−kt

%﹐其中 k 是某個大於 0 的常數﹒今有某訊息﹐假設 在發布後 3 小時之內已經有 70%的人口聽到該訊息﹒又設最快要 T 小時後﹐

有 99％的人口聽到該訊息﹐則 T 最接近下列哪一個選項？ 【92 學測】

(1)5 小時 (2)7 ¹

2 小時 (3)9 小時 (4)11 ¹

2 小時 (5)13 小時﹒

解：

^{100(1 23 ) 70} 100(1 2 ) 99

−

−

 − =



− =



k

Tk ﹐得

2 3 0.3 2 0.01

k Tk

−

−

 =



 = ﹐即 ²

2

3 log 0.3 log 0.01

k

Tk

− =

− = ﹐

相除 ²

2

log 0.01 log 0.01 3 log 0.3 log 0.3 3.82

T =

= ≈ ﹐知

T

≈11.5﹐故選(4)﹒

5. 經由觀測與計算得知﹐某行星繞著一固定的恆星運動的主週期 T﹐與運行的 軌跡半徑 R﹐會滿足克卜勒行星運動第三定律﹐即滿足下列的數學關係式：

3

8

2

R = ⋅ T ﹐若已知 log R

₂

= X ﹐ log T

₂

= ﹐試問 Y X = 6 時﹐ Y = 2 ﹒ 解：

^由log R2 = ﹐

X R

=2^X﹐知

X

= 時﹐6

R

=64﹐

3

8 2

R

= ⋅

T

﹐知

R

=64時﹐

3

64= ⋅8 T2﹐得

T

= ﹐ 4

Y

=log₂

T

﹐知

Y

=log 4₂ = ﹒2