3-4 對 數 函 數

3-4 對 數 函 數

（每題 5 分﹐共 30 分）

1. 右圖為

y

=log₂

x

﹐ ₁

2

log

y

=

x

﹐

y

=log₃

x

與 ₁

3

log

y

=

x

的 部分圖形﹒

(1)請判別

y

=log₃

x

的圖形為 B ﹒ (2)四數log 2 ﹐_{2 1}

2

log 2 ﹐log 2 ﹐_{3 1}

3

log 2 中﹐最小的數為 ₁

2

log 2 ﹒ 解：^{(1)因x> 時﹐1} log2x>log3x> ﹐知0 y=log₃x的圖形為 B﹒

(2)因x> 時﹐1 _{2 3 1 1}

3 2

log x>log x> >0 log x>log x﹐知最小的數為 ₁

2

log 2 ﹒ 2. 對數函數

g x

( )=log₁₀

x

且

a > 0

﹐

b > 0

﹐下列何者正確？

(1) (

g ab

)=

g a

( )+

g b

( ) (2) (

g ab

)=

g a

( )⋅

g b

( ) (3) (

g a b

+ =)

g a

( )+

g b

( ) (4) (

g a b

+ =)

g a g b

( )⋅ ( )﹒

解：g ab( )=log10ab=log10a+log10b=g a( )+g b( )﹐g a( +b)=log (₁₀ a+ ﹐ b) 知 (g ab)=g a( )+g b( )﹐故選(1)﹒

3. 函數

f x

( )= +

a

log_b

x

圖形通過點 (1, 2) ﹐其對稱於

y = x

的函數

y

=

h x

( )的圖形 通過 (4,16) ﹐試問 a﹐b 的值﹒

解：^{y= f x( )與y=h x( )的圖形對稱於 y= ﹐ x}

由y= f x( )圖形過點 (1, 2) 得 2= +a log 1_b ﹐知a= ﹐ 2

由y=h x( )圖形過點 (4,16) ﹐表示y= f x( )圖形過點 (16, 4) ﹐

得 4= +a log 16_b = +2 log 16_b ﹐得 log 16 2_b = ﹐知b= ﹐即4 a= ﹐2 b= ﹒ 4 4. 直線

y

= − 與下列哪一個函數的圖形恰相交二點？

x

1

(1)

y

=2^x (2) 1 ( )2

y

= x (3)

y

=log₂

x

(4) ₁

2

log

y

=

x

﹒ 解：^分別作y= − 的圖形與各選項中的圖形﹐ ^{x 1}

得y=log₂x與y= − 恰相交二點﹐ x 1 故選(3)﹒

5. (1)試求

y

=log₂

x

與 y= − 兩圖形交點的個數﹒

x

(2)試求方程式

x

+log₂

x

= 實數解的個數﹒ 0

解：^(1)作y=log2x與 y= − 的圖形﹐兩圖形有一個交點﹒ x (2)交點的 x 坐標即方程式的解﹐知恰有一實數解﹒

6. 試求

y

=2 log₃

x

與

y

=log (2₃

x

+ 兩圖形交點的坐標﹒ 3) 解：^{首先x> ﹐ 20 x+ > ﹐得3 0 x> ﹐ 0}

由2 log₃x=log (2₃ x+ ﹐即3) log₃x²=log (2₃ x+ ﹐ 3) 得x² =2x+ ﹐得 (3 x+1)(x− = ﹐ 3) 0

但x> 得0 x= ﹐又3 y=2 log 3₃ = ﹐得交點的坐標 (3,2) ﹒ 2

（每題 5 分﹐共 30 分）

1. 解對數不等式：

(1)log (3 )2

x

>log (2

x

+ ﹒ 2) (2)log (2

x

− +2) log (2

x

− < ﹒ 3) 1 解：^{(1) 3x}> + > ﹐得^{x 2 0} x> ﹒ 1

(2)首先x− > ﹐2 0 x− > ﹐即3 0 x> ﹐ 3 又log [(₂ x−2)(x−3)]<log 2₂ ﹐

得 (x−2)(x− < ﹐整理得 (3) 2 x−1)(x− < ﹐但4) 0 x> ﹐知 33 < < ﹒ x 4

2. 在坐標平面上﹐將

y

=log₄

x

的圖形沿 x 軸方向右移 3 單位得到第二個圖形﹐

今有一直線

x = k

與此二圖形分別交於 A﹐B 兩點﹐且

AB

= ﹐試問 k 值﹒ 1 解：y=log4x的圖形沿 x 軸方向右移 3 單位﹐

得y=log (₄ x− ﹐依題意知3) log₄k−log (₄ k− = ﹐3) 1 k>3﹐ 即log₄ log 4₄

3 k

k =

− ﹐ 4

3 k

k =

− ﹐得k= ﹒ 4

3. 若

y

=2^x與

y

= − 相交於點 ( , 22

x A

α −α)﹐

y

=log₂

x

與

y

= − 相交於點2

x

( , 2β −β)

B

﹐試求α β+ 的值？

解：^{因y= 與2x} y=log2x的圖形對稱於 y= ﹐ x 知 A 與 B 的中點為M(1,1)﹐ 1

2

α β

+ = ﹐得

α β

+ = ﹒2

4. 試解不等式2 log (₃

x

− <4) log (₃

x

− ﹒ 2) 解：log (3 x−4)²<log (3 x− ﹐ 2)

得

2

4 0 2 0

( 4) 2

x x

x x

 − >

 − >

 − < −



﹐ 4 2

3 6

x x

x

 >

 >

 < <



﹐知 4< < ﹒ x 6

5. 已知

f x

( )=9 log(

x

+1)與

y = x

的圖形相交於原點與 (9,9) ﹐試觀察

y

=

f x

( )與

y = x

的函數圖形﹐並判斷下列選項何者正確？

(1) ( 0.5)

f

− > −0.5 (2) (7.2) 7.2

f

> (3) (10) 10

f

>

解：

知(1) ( 0.5)f − < −0.5﹐(2) (7.2) 7.2f > ﹐(3) (10) 10f < ﹐故選(2)﹒

6. 設 a 為大於 1 的實數﹐函數

f x

( )=

a

^x﹐ ( ) log

g x

= _a

x

﹐若直線

y

=5

x

與

y

=

f x

( ) 的圖形有兩個交點﹐試問直線

¹

y = 5 x

與

y

=

g x

( )兩圖形交點個數﹒

解：^{y=5x與 1}

y=5x對稱於直線 y= ﹐ x ( )

y= f x 與y=g x( )也對稱於直線 y= ﹐ x

知 1

y=5x與y=g x 兩圖形也是有兩個交點﹒ ( )

（每題 8 分﹐共 40 分）

1. 將 1 萬元存入某銀行﹐已知定存的年利率為 2%﹐每半年複利一次﹐試問需 多少年後﹐本利和才能超過 2 萬元﹒（ log1.01 0.0043≈ ）

解：定存的年利率為 2％﹐存款 n 年﹐

因每半年複利一次﹐得每期的利率為 1%﹐期數為 2n﹐

得10000× (1+1%) ≥²ⁿ 20000﹐即(1.01)²ⁿ ≥ ﹐ 2 由log(1.01)²ⁿ≥log 2﹐ 2 0.0043 0.3010n⋅ ≥ ﹐ 0.3010

0.0086 35

n≥ ≈ （年）﹒

2. 某行政院長提出知識經濟﹐喊出 10 年內要讓臺灣 double（加倍）﹐一般小市 民希望第 11 年開始的薪水加倍﹐如果每年調薪 a%﹐其中 a 為整數﹐欲達成 小市民的希望﹐那麼 a 的最小值為 8 ﹒（參考數值： log 2 0.3010≈ ）

x

= 1 2 3 4 5 6 7 8 9

log(1 0.01 )+

x

≈ 0.0043 0.0086 0.0128 0.0170 0.0212 0.0253 0.0294 0.0334 0.0374

解：設原薪資為 A﹐滿足

10 10

(1 %) 2 (1 %) 2 10 log(1 %) log 2 log(1 %) 0.03010

A +a ≥ A⇒ +a ≥ ⇒ +a ≥ ⇒ +a ≥ ﹐

由附表知 log1.07 0.0294≈ ﹐ log1.08 0.0334≈ ﹐知 a 的最小整數值為 8﹒

3. 某甲在股票市場買進賣出頻繁﹐假設每星期結算都損失該星期初資金的 1%﹐

而第 n 星期結束後﹐資金總損失已超過原始資金的一半﹐則 n 的最小值為 69 ﹒（已知 log 9.9 0.9956≈ ）

解：設原始資金為 P﹐n 個星期後資金為 A﹐

則A=P(1 0.01)− ⁿ﹐ 1 (0.99)

2 A n

P = < ﹐ log0.99 log0.5n <

log 2

68.41 (log 9.9) 1

n −

⇒ > ≈

− ﹐得n≥69﹒

4. 統計學家克利夫蘭對人體的眼睛詳細研究後發現：我們的眼睛看到圖形面積 的大小與此圖形實際面積的 0.7 次方成正比﹒例如：大圖形是小圖形的 3 倍﹐

眼睛感覺到的只有3 （約 2.16）倍﹒觀察某個國家地圖﹐感覺全國面積約^0.7 為某縣面積的 10 倍﹐試問這國家的實際面積大約是該縣面積的幾倍？

（已知 log 2 0.3010≈ ﹐ log 3 0.4771≈ ﹐ log 7 0.8451≈ ）

(1)18 倍 (2)21 倍 (3)24 倍 (4)27 倍 (5)36 倍﹒ 【93 指考乙】

解：設實際面積為 k 倍﹐由題意知k^0.7 =10﹒ 因logk^0.7 =log10﹐得 0.7 logk = ﹐ 1

logk=1.4286≈0.4771× 3 = 3log3 =log27﹐得k≈27﹐故選(4)﹒

5. 有研究機構想將世界各國依照其面積大小為等級的標準﹐右表所列的 6 個國 家的面積（單位：千平方公里）﹒且以冰島為基準﹐

用對數函數 ( )

f x 來計算各國的面積等級

0

( ) 5 log(

A

)

f A

=

A

﹐ 其中

A 是冰島面積﹐A 是該國面積﹒

₀ 試問面積等級大於 10 的國家有

1

個﹒

解：設等級為 10 的國家﹐其面積 A﹐

10 5log( ) 103

= A ﹐

得 10²

103A = ﹐知A=10300﹐ 因面積大於 10300 的國家只有俄羅斯﹒

國家 面積 冰島 103 德國 357 埃及 1001 澳洲 7687 美國 9827 俄羅斯 17075