3-5 指 數 、 對 數 的 應 用

第三章 指數函數與對數函數

3-5 指 數 、 對 數 的 應 用

（每題 5 分﹐共 30 分）

1. 請用常用對數表求出下列的值：

(1)log 1.47﹒ (2)log 1.476﹒

解：

(1)由對數表看出 log1.47=0.1673﹒

(2)由內插法： 6

log1.476 0.1673 0.0030 0.1691

= + ×10 = ﹒

2. 請用常用對數表求出下列真數的值：

(1)

logx=0.1614

﹒ (2)

logx=0.1635

﹒ 解：

^{(1)由表看出x=1.45﹒ 內插法}

(2) 7

log 0.1635 0.1614 0.0021 0.1614 0.0030 log1.457

= = + = + ×10 =

x ﹐知x=1.457﹒

3. 已知

log1.74≈0.2405

﹐

log1.75≈0.2430

﹐試求：

(1)log 1.744﹒ (2)log 17440﹒ (3)log 0.01744﹒

解：

(1) log1.744 0.2405 0.0025 4 0.2415

= + × =

10 ﹒

(2)17440 1.744 10= × ⁴﹐ log17440 4 log1.744 4.2415= + = ﹒

(3)0.01744 1.744 10= × ⁻²﹐ log 0.01744= − +2 log1.744= − +2 0.2415= −1.7585﹒

4. 將

3¹⁰⁰

展開後是幾位數？（

log 3≈0.4771

）

解：

^{因log 3100 =100log 3≈47+0.71﹐首數47=log1047﹐} 尾數 0.71 log b= ﹐ 1≤ <b 10﹐

100 47 47

log 3 =log10 +logb=log(b×10 )﹐

100 47

3 = ×b 10 ﹐ 1≤ <b 10﹐知3¹⁰⁰是 48 位數﹒

5. 將

( )^{3 100}

5

表成小數﹐則小數點後第幾位開始出現不為 0 的數字？

解：

^{因log( )3 100} 100 log( ) 100(log 3 log 5)³ 22.19 23 0.81

5 = 5 = − = − = − + ﹐

首數− =23 log10⁻²³﹐尾數 0.81 log b= ﹐ 1≤ <b 10﹐

第三章 指數函數與對數函數

81

100 23

log( )3 log10 log log

5 = ⁻ + b= b×10 ﹐1⁻²³ ≤ <b 10﹐ 3 ^{100 23}

( ) 10

5 = ×b ⁻ ﹐ 知小數點以下第 23 位開始出現不為 0 的數字﹒

6. 有一等比數列﹐首項 a

₁

= 12 ﹐公比

r= −2

﹐前 n 項的和 S

_n

= 516 ﹐試求此等比 數列的項數 n﹒

解：

^{1(1 )} 1

= −

−

n n

a r

S r 知 12

516 4[1 ( 2) ]

1 ( 2)

n

[1− (−2) ] n

= = − −

− − ﹐由 ( 2)− ⁿ = −128﹐得n= ﹒ 7

（每題 6 分﹐共 30 分）

1. 已知

₁₀^2.6464_≈443

﹐

₁₀^2.6474_≈444

﹐若

₁₀^x ₌₄₄₃₇

﹐試求 x 值（取近似值到小數 點以下第四位）

解：

^{log 443≈2.6464}得 log 4.43 0.6464≈ ﹐ log 444≈2.6474得 log 4.44 0.6474≈ ﹐ 由內插法得 log 4.437 0.6471≈ ﹐

10^x ≈4437知x≈log 4437= +3 log 4.437≈3.6471﹒

2. 滿足 100 ≤ (1.5)

ⁿ

≤ 500 的正整數 n﹐試問 n 有多少個？

解：

^{100 ( )3 500} 2

≤ n ≤ ﹐ 2 log3 log 500

n 2

≤ ≤ ﹐

2≤n(0.1761)≤2.6990﹐ 11.35…≤ n ≤ 15.32…﹐

12

n= ﹐13﹐14﹐15﹐共 4 個﹒

3. 若

2⁵⁰+3⁵⁰

的科學記號為

a×10ⁿ

﹐其中 n 為整數且 1 ≤ < a 10 ﹐試問 a 的整數部 分為

7

﹐n 值為

23

﹒

解：

^{log 250=50 log 2× =50}× 0.3010 =15 + 0.0500 ﹐ 由log 2 的首數為 15﹐尾數為 0.0500﹐ ⁵⁰ 知2 是 16 位數﹐最高位數字是 1﹐ ⁵⁰

log 350=50 log 3× ≈50 0.4771 23 0.8550× = + ﹐ 由log 3 的首數為 23﹐尾數為 0.8550﹐ ⁵⁰ 知3 是 24 位數﹐最高位數字是 7﹐ ⁵⁰

第三章 指數函數與對數函數

得2⁵⁰+3⁵⁰是 24 位數﹐最高位數字是 7﹒

4. 有一規則的數列：4﹐5﹐7﹐11﹐19﹐35﹐67﹐…﹐已知

a_n+1−a_n =2ⁿ⁻¹

﹐試求 第 n 項 a ﹒

_n

解：

an= + + + …^{4 1 2} +2ⁿ⁻²（n≥2）= +4 2ⁿ⁻¹−1= +3 2ⁿ⁻¹﹒

5. 設 a ﹐

₁

a ﹐

₂

a3

﹐…﹐ a 是一等比數列﹐其首項

₁₀

a

₁

> 且公比 1

r>1

﹒坐標平面 上有一質點 M 自原點

(0, 0)

出發﹐依以下規則連續移動十次：第一次移動往 右 log a 單位﹐第二次移動向上

₁

log a 單位﹐第三次移動往右

₂

log a 單位﹐第四

₃

次移動向上 log a 單位﹐依此類推直到第十次；即第 2

₄

k − 1 次的移動是往右

2 1

log a

_k−

單位﹐接著第 2k 次的移動是向上 log a 單位﹒已知經過這十次的移

_2k

動後﹐該質點 M 停在點

(5 5 log 2, 5 ¹⁵log 2)

+ + 2

的位置上﹐試問首項 a 與公比 r

₁

組成的序對 ( , ) a r 為以下哪一選項？

₁

【96 指考甲】

(1)

( 2, 2)

(2)

(2 2, 5)

(3)

(2, 2)

(4)

(5, 5)

(5)

(5, 2)

﹒ 解：

^因loga_k =log(a r1⋅ ^k−1)=loga1+(k−1) logr

1 3 5 7 9

log log log log log x= a + a + a + a + a ﹐ 得5 5log 2+ =5loga₁+20 logr……○¹

2 4 6 8 10

log log log log log y= a + a + a + a + a ﹐

得 15 ₁

5 log 2 5log 25log

2 a r

+ = + ……○²

由○¹ ﹐○² 得r= 2﹐a₁= ﹐故選(5)﹒ 5

（每題 5 分﹐共 40 分）

1. 小熹想把厚度為 0.01 公分的一大張紙對折 30 次﹐假設小熹能辦到﹐試問折 完的厚度最接近下列哪一個選項？

(1)1 公尺 (2)10 公尺 (3)1 公里 (4)10 公里 (5)100 公里﹒

解：

^{厚度為0.01 2× 30﹐由log 230=30 log 2⋅ ≈ ﹐知9 230≈109﹒}

得厚度為0.01 10× ⁹公分=10 公分 =⁷ 10 公尺 = 100 公里﹐故選(5)﹒ ⁵

2. 在 1999 年 6 月 1 日數學家利用超級電腦驗證出 2

^6972593

− 是一個質數﹐若想 1

要列印出此質數﹐至少需要多少張 A4 紙？假設每張 A4 紙可列印出 3000 個

數字﹐在下列選項中﹐選出最接近的張數﹒（ log 2

₁₀

≈ 0.3010 ）

第三章 指數函數與對數函數

83 (1)50 (2)100 (3)200 (4)500 (5)700﹒

解：

^{log 26972593} =6972593 log 2⋅ ≈2098750.493﹐

知2^6972593為 2098751 位數﹐由 2098751 3000 700÷ ≈ ﹐故選(5)﹒

3. 天文學中是根據肉眼觀測星球的亮度來定義其星等；若織女星的亮度為

F₀

﹐ 則一顆亮度為 F 的星星﹐其等第定為

₁₀

0

2.5 log F

m= − F

﹐稱為 m 等星﹐則 1 等星的亮度是 6 等星亮度的

100

倍﹒

解：

^{由 1 等星：}1= −2.5(log10F1−log10F0)﹐ 6 等星：6= −2.5(log₁₀F₆−log₁₀F₀)﹐ 相減得− = −5 2.5(log₁₀F₁−log₁₀F₆)﹐ ₁₀ ¹

6

2 log F

= F ﹐得 ¹

6

F 100

F = ﹐F₁=100F₆﹒

4. 目前國際使用芮氏規模來表示地震強度﹒設

E r( )

為地震芮氏規模 r 時﹐震

央所釋放出來的能量﹐r 與

E r( )

的關係如下：

log ( )E r =5.24 1.44+ r

﹐ (1)某次地震其芮氏規模為 4﹐試問震央所釋放的能量

E(4)

為多少？

10¹¹

(2)試問芮氏規模 6 的地震﹐其震央所釋放的能量是芮氏規模 4 的地震震央所

釋放能量之

758

倍（整數倍以下捨去﹐已知

10^1.44 ≈27.54

） ﹒ 【90 指考乙】

解：

(1) log (4)E =5.24 1.44 4 11+ × = ﹐得E(4) 10= ¹¹﹒ (2) log (6)E =5.24 1.44 6 13.88+ × = ﹒

log (6) log (6) log (4) 2.88 (4)

E E E

E = − = (6) ^{2.88 1.44 2 2}

10 (10 ) (27.54) 758 (4)

E

⇒ E = = = ≈ ﹒

5. 數學教科書所附的對數表中﹐

log 4.34=0.6375

﹐

log 4.35=0.6385

﹒根據

log 4.34

和

log 4.35

的查表值以內插法求

log 4.342

﹐設求得的值為 p﹐則下列哪一個選

項是正確的？

(1)

¹(0.6375 0.6385)

p= 2 +

(2)

p=0.2 0.6375 0.8 0.6385× + ×

(3)

p=0.8 0.6375 0.2 0.6385× + ×

(4)

p=0.6375 0.002+

(5)

p=0.6385 0.002−

﹒ 【98 指考甲】

解：

^{由內插法： 0.6375 4.342 4.34 0.2} 0.6385 0.6375 4.35 4.34

p− −

= =

− − ﹐

p=0.6375 0.2(0.6385 0.6375)+ − ﹐

p=0.8 0.6375 0.2 0.6385× + × 或p=0.6375 0.0002+ ﹒ 故選(3)﹒