3-1 多項式的四則運算

第 章

03

式的運算

3-1 多項式的四則運算

重點一 多項式的基本概念

多項式的基本概念：

設a 、_n a_n−1、…、a 、₁ a 都是實數，₀ n為正整數或0，則形如 f x( )=a x_n ⁿ+a x_n−1 ⁿ⁻¹+ + a x a₁ + ₀， 稱 f x 為不定元( ) x的多項式。

1. a 稱為_k f x 中( ) x 項的係數，^k a 稱為 ( )₀ f x 的常數項。

2. 若a_n ≠ ，則稱 ( )0 f x 為n次多項式，_n為 f x 的次數( ) ，以deg ( )f x =n表示，此時a 為 ( )_n f x 的領導係數。

3. 若 f x( )= ，則稱 ( )a₀ f x 為常數多項式（多項式只有常數項，其他各項係數均為0）。

(1)若a₀ ≠ ，則稱 ( )0 f x 為零次多項式（其次數為0）。 f x( ) 3= 、 ( )f x = − 。 2 (2)若a₀ = ，則稱 ( )0 f x 為零多項式（無次數可言）。 f x( ) 0= 。

4. 升冪與降冪排列：

為了運算方便，通常我們將多項式中的每一項，按照x的次方，由大而小或者由小而大 排列。由大而小的排列稱為降冪排列，由小而大的排列稱為升冪排列。

5. 多項式的值：

將多項式 f x 中，指定一個實數( ) a為不定元_x的值，則所得的結果，稱為多項式 f x 在( ) x a= 的值，以 f a 來表示。( ) 設 f x( ) 2= x²− + ，則3x 4 f(1) 2 1= × − × + = 。 ² 3 1 4 3

小叮嚀

設_{f x( )=a xn} ⁿ_+an−1xⁿ⁻¹_{+ +} _{a x a1 + 0}，

例

例 例

小叮嚀

不定元x不能出現在「分母」、「根號」內、「絕對值」中。

3x²+ 2x−5、_(x+1)(x+2)、10 都是多項式。

 ₂³ 1

x + 、 x+3、_|x²_{+5x−2 |}均不是x的多項式。

例

小叮嚀

零次多項式與零多項式均為常數多項式。

下列哪些式子是x的多項式？

(A)x²+ 2x (B)3

x+ (C)1 x+ 2 (D)x³+| |x 。

(A)是多項式

(B)x在分母，不是多項式 (C)x在根號內，不是多項式 (D)x在絕對值中，不是多項式 故選(A)

下列哪些式子是x的多項式？

(A) 1 2 x x

+

+ (B)|x+ (C)1| x+ 1 (D) 2。

(A)x在分母，不是多項式 (B)x在絕對值中，不是多項式 (C)x在根號內，不是多項式 (D)是多項式

故選(D)

設 f x( ) 2= x⁴−3x²+5x+ ，試求： 7 (1)deg ( )f x (2)領導係數 (3)x 項係數 ³ (4)常數項。

(1) deg ( ) 4f x = (2)領導係數為 2 (3)x 項係數為 0 ³ (4)常數項為 7

設 f x( )= − +x³ 3x²+ ，試求： 4

(1)deg ( )f x (2)領導係數 (3)x 項係數 ² (4)常數項。

(1) deg ( ) 3f x = (2)領導係數為 1− (3)x 項係數為 3 ² (4)常數項為 4

設 f x( ) (= −a 2)x³+(2a b x+ ) ²+ +(a b x) − 為3 一次多項式，試求：

(1)a、_b之值 (2) ( )f x 的領導係數。

(1)∵ ( )f x 為一次多項式 ∴ 2 0

2 0

a a b

 − =

 + =

  a=2、_{b= −4} (2) ( ) (f x = +a b x) − 3

= − −2x 3

∴ f x 的領導係數為 2( ) −

設 f x( ) (= −a 2 )b x⁴+ −(b 2)x³+ −(a 1)x²+ ，5 若deg ( ) 2f x = ，試求：

(1)a、_b之值 (2) ( )f x 的領導係數。

(1)∵ deg ( ) 2f x = ∴ 2 0

2 0 a b b

 − =

 − =

  a=4、_b=2 (2) f x( ) (= −a 1)x²+ 5

=3x²+ 5

∴ f x 的領導係數為 3 ( )

演練

例題 1 多項式的定義 1

演練

例題 2 多項式的基本概念 2

演練

例題 3 多項式的基本概念 3

試 將 f x( ) 3= x² −4x³+ −7 2x+5x⁴ 依 降 冪 及 升冪方式重新排列。

降冪： f x( ) 5= x⁴−4x³+3x²−2x+ 7 升冪： f x( ) 7 2= − x+3x²−4x³+5x⁴

試 將 f x( )= − +x 4x³−2x²+3x⁴− 依 降 冪 及5 升冪方式重新排列。

降冪： f x( )=3x⁴+4x³−2x²− − x 5 升冪： f x( )= − − −5 x 2x²+4x³+3x⁴

設 f x( ) (= −a 2)x²+ +(b 3)x c+ − 為 零 多 項5 式，試求_a、_b、_c之值。

由零多項式的定義知：

2 0

a− = 、b+ =3 0、c− =5 0

∴ a=2、b= −3、c= 5

設 f x( ) (2= a+4)x² +(3b+6)x a b+ + 為零次 多項式，試求：

(1)a、_b之值 (2) ( )f x 。 (1)∵ ( )f x 為零次多項式

∴ 2a+ =4 0、3b+ =6 0  a= −2、b= −2 (2) ( ) ( 2) ( 2)f x = − + − = − 4

演練

例題 5 零多項式與零次多項式 5

演練

例題 ４ 升冪、降冪排列 ４

設 f x( )= x³−2x²+5x− ，試求 (1)6 f + f(0) ( 1)

+ − 之值。 f

(1) 1 2 5 6 2 f = − + − = −

(0) 6 f = −

( 1) 1 2 5 6 14 f − = − − − − = −

∴ f(1)+ f(0)+ − f( 1) = − + − + −( 2) ( 6) ( 14) = − 22

設 f x( ) 2= x³− +x² 3x k+ ，且 ( 2) 3f − = ，試求 k之值。

3 2

( 2) 2 ( 2) ( 2) 3 ( 2) 3 f − = × − − − + × − + = k

 − − − + =16 4 6 k 3

 k=29

設 f x 為二次多項式，且( ) f(1) 2= 、 (0) 3f = 、 ( 1) 6

f − = ，試求 (2)f 之值。

設 f x( )=ax²+bx c+

(1) 2

(0) 3

( 1) 6

f a b c

f c

f a b c

= + + =



 = =

 − = − + =



 a=1、b= −2、c=3

∴ f x( )=x²−2x+ 3

 f(2) 2= ²− × + = 2 2 3 3

設 f x 為 二 次 多 項 式 ， 且( ) f( 2) 3− = 、 (1) 6

f = 、 (2) 3f = ，試求 (0)f 之值。

設 f x( )=ax²+bx c+ ( 2) 4 2 3

(1) 6

(2) 4 2 3

f a b c

f a b c

f a b c

− = − + =



= + + =

 = + + =



 a= −1、b=0、c= 7

∴ f x( )= − + x² 7

 (0) 7f =

重點二 多項式的相等

多項式的相等：

設 f x( )=a x_n ⁿ+a x_n−1 ⁿ⁻¹+ + a x a₁ + ₀、g x( )=b x_m ^m+b x_m−1 ^m−1+ + b x b₁ + ₀為任意兩個非零多項 式，則 f x( )=g x( )⇔^{n m}= ，且a_n = 、b_m an₋1=bm₋1、…、a₁= 、b₁ a0 = 。 b0

小叮嚀

若兩多項式相等，則其次數相同且對應的同次方項係數皆相等。

演練

例題 6 多項式求值 6

演練

例題 7 多項式求值的應用 7

設 f x( ) (= +a 2)x²+3x+ + ， (c 1) ( ) 3 2 (2 1) 6

g x = x + b− x+ ，

若 f x( )=g x( )，試求_a、_b、_c之值。

∵ f x( )=g x( )

由多項式相等的定義知：

2 3

a+ = 、_{3 2= b−1}、_{c+ =1 6}

∴ a=1、_b=2、c= 5

設3x⁴+2x²+ = +1 (a 1)x⁴+ −(b 1)x³+ +(c 1)x² (d 3)x e

+ − + ，試求^{a b c d e}+ + + + 之值。

由多項式相等的定義知：

1 3

a+ = 、b− =1 0、c+ =1 2、d− =3 0、 1

e=

 a=2、b=1、c=1、d =3、e=1

∴ a b c d e+ + + + =8

重點三 多項式的加法與減法

多項式的加減法：

兩多項式相加或相減時，是把次數相同的單項係數相加或相減，即a x_k ^k+b x_k ^k =(a_k+b x_k) ^k， 計算的方式有橫式計算法、直式計算法、分離係數法。

( ) 2 2 3 5

f x = x + x+ ，g x( )=x²+ + x 1

(1)橫式計算法： f x( )+g x( ) (2= x²+3x+ +5) (x²+ + x 1) = +(2 1)x²+ +(3 1)x+ + (5 1) =3x²+4x+ 6

f x( )−g x( ) (2= x²+3x+ −5) (x²+ + x 1) = −(2 1)x²+ −(3 1)x+ − (5 1) =x²+2x+ 4

(2)直式計算法：

2 2 2

2 3 5

) 1

( ) ( ) 3 4 6

x x

x x

f x g x x x

+ + + + +

+ = + +

2 2 2

2 3 5

) 1

( ) ( ) 2 4

x x

x x

f x g x x x

+ +

− + +

− = + +

(3)分離係數法：

2

2 3 5 x x

+ +

常數 ²

2 3 5 x x

+ + 常數 例

演練

例題 8 多項式的相等 8

設兩多項式 f x( )= +x³ 2x²+3x+ 、 4

3 2

( ) 3 2

g x = − +x x − ，試求：

(1) ( )f x +g x( ) (2) ( )f x −g x( )。 (1) ( )f x +g x( )

=(x³+2x²+3x+ + − +4) ( x³ 3x²− 2) =5x²+3x+ 2

(2) 1 2 3 4 ) 1 3 0 2

2 1 3 6 + + +

− − + + −

− + +

∴ f x( )−g x( ) 2= x³− +x² 3x+ 6

設兩多項式 f x( )= − +3x 2x³− + 、 x² 5

3 2

( ) 5 6

g x = x − x x+ + ，試求：

(1) ( )f x +g x( ) (2) ( )f x −g x( )。 (1) ( )f x +g x( )

=(2x³− −x² 3x+ +5) (x³+x²−5x+ 6) =3x³−8x+ 11

(2) ( )f x −g x( )

=(2x³− −x² 3x+ −5) (x³+x²−5x+ 6) =x³−2x²+2x− 1

重點四 多項式的乘法

多項式的乘法：

1. 單項式的乘法規則：axⁿ×bx^m=abx^{n m+} 。

2. 多項式的乘法規則，是利用乘法對加法的分配律來計算。

3 3

(x +2x+3)(x+ =1) x x( + +1) 2 (x x+ +1) 3(x+ 1) =x⁴+ +x³ 2x²+2x+3x+ 3 =x⁴+ +x³ 2x²+5x+ 3

直式計算法 分離係數法

3 2

3 2

4 3 2

4 3 2

0 2 3

) 1

0 2 3

0 2 3

2 5 3

x x x

x

x x x

x x x x

x x x x

+ + +

× +

+ + +

+ + +

+ + + +

1 0 2 3

) 1 1

1 0 2 3 1 0 2 3 1 1 2 5 3

+ + +

× +

+ + + + + + + + + + 故(x³+2x+3)(x+ =1) x⁴+ +x³ 2x²+5x+ 3

例

小叮嚀

設f x( )、g x( )皆不為零多項式，若deg ( )f x =n，deg ( )g x =m， 則_{deg( ( )f x g x⋅ ( ))= +n m}。

演練

例題 9 多項式的加減法 9

設 f x( ) (= x³+3x+ 、 ( ) 22) g x = x+ ，試求 3 ( ) ( )

f x ×g x 。

1 0 3 2 2 3 3 0 9 6 2 0 6 4 2 3 6 13 6

+ + +

× + +

+ + + + + + + + + +

∴ f x( )×g x( ) 2= x⁴+3x³+6x²+13x+ 6

設 f x( ) 4= x³−5x+ 、1 g x( ) 2= x²− ，試求 3 ( ) ( )

f x ×g x 。 ( ) ( ) f x ×g x

3 2

(4x 5x 1)(2x 3)

= − + −

5 3 3 2

8x 12x 10x 15x 2x 3

= − − + + −

5 3 2

8x 22x 2x 15x 3

= − + + −

試 求 f x( ) (2= x³− +x² 2x+5)(x²− +x 3) 乘 開 後，x 項的係數為何？ ³

乘開後x 項有 ³

3 2 2

2x × + −3 ( x ) (× − +x) 2x x×

3 3 3 3

6x x 2x 9x

= + + =

∴ x 項的係數為 9 ³

試求(x⁴−3x²+2x−1)(x³−2x²+ 乘開後，1) x⁴ 項的係數為何？

4 2 3 2

(x −3x +2x−1)(x −2x + 1)

x 項係數為1 1 ( 3) ( 2) 2 14 × + − × − + × 1 6 2 9

= + + =

演練

例題 11 多項式乘法的應用 11

演練

例題 10 多項式的乘法 10

重點五 多項式的除法 1. 多項式的除法：

設 f x 、 ( )( ) g x 為兩多項式，且 ( ) 0g x ≠ ，則 ( )f x 除以 ( )g x ，我們以「 ( )f x ÷g x( )」來表 示，其中 f x 稱為被除式， ( )( ) g x 稱為除式。多項式的除法運算以直式運算（長除法）為 主。

2. 多項式的除法原理：

設 f x 、 ( )( ) g x 為 兩 多 項 式 ， 且 ( ) 0g x ≠ ， 則 恰 存 在 兩 多 項 式 ( )q x 和 ( )r x ， 滿 足 ( ) ( ) ( ) ( )

f x =g x q x +r x ，其中r x( ) 0= 或 deg ( ) deg ( )r x < g x 。

設 f x( )= +x³ 2x+ 、3 g x( )=x²+ + ，試求x 1 ( )

f x 除以 ( )g x 的商式及餘式。

2 3 2

3 2

2 2

1

1 0 2 3

3 1 2 4 x

x x x x x

x x x

x x

x x

x

−

+ + + + +

+ +

− + +

− − −

+ + 商式：x−1

餘式：2x+4

設 f x( ) 2= x⁴+3x³+4x²− + 、5x 6 g x( )=x²+ ，1 試求 f x 除以 ( )( ) g x 的商式及餘式。

2 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

2 0 2 3 2 5 3 0 3

2 8 6 2 0 2 8 4 + + + + − ++ +

+ ++ − + − ++ + + + +

− + 商式：2x²+3x+ 2 餘式：_{− +8x 4}

小叮嚀

(1)被除式=除式_×商式+餘式。

(2)deg( ( )f x ÷g x( )) deg ( ) deg ( )= f x − g x ，g x( ) 0≠ 。 小叮嚀

(1)在進行除法運算時，被除式、除式均須先按降冪排列，缺項時，以「0」補之。

(2)餘式的次數必須低於除式之次數或者餘式為 0。

演練

例題 12 多項式的除法 12

設 2x³+3x²+ + 除 以ax b x²+ + 之 餘 式 為x 1 3

x+ ，試求a、b之值。

2 1 1 1 1 2 3

2 2 2 1 ( 2)

1 1 1

( 3) ( 1)

a b

a b

a b

+ + ++ + + + + − ++ +

+ + +

+ − + −

∵ 餘式為x+3

∴ a− =3 1、_{b− =1 3}

 a=4、_b=4

設 f x( )=x³+px²+qx− ，3 g x( )=x²+ ，若1 ( )

f x 能被 ( )g x 整除，試求 p 、 q 之值。

1 3

1 0 1 1 3

1 0 1

( 1) 3

3 0 3

( 3) ( 1) 0

p q

p q

p q

+ + −+ + −

+ +

+ + − −

− − −

+ + + − −

∵ ( )f x 能被g x 整除 ( )

∴ r x( ) 0=

故p+ = 且3 0 q− = 1 0

 p= − 、3 q= 1

已知多項式 f x 除以( ) x²− − ，得商式x 2 ^x+¹， 餘式_2x−3，試求 f(3)之值。

由多項式除法原理知：

( ) ( 2 2)( 1) 2 3 f x = x − −x x+ + x−

∴ f(3) (3= ²− −3 2)(3 1) 2 3 3+ + × − =19

已知多項式 f x 除以( ) x²+ − ，得餘式為x 2 3x+2，試求 f(1)之值。

由多項式除法原理知：

( ) ( 2 2) ( ) 3 2 f x = x + −x q x + x+

∴ f(1) (1= ²+ −1 2) (1) 3 1 2q + × + 5=

演練

例題 13 多項式的除法 13

演練

例題 14 多項式的除法原理 14

重點六 綜合除法

1. 綜合除法：

兩個多項式相除，當除式為一次式，且領導係數為 1 時，則長除法可用一種更簡便的運 算方法，稱為綜合除法。

2. 綜合除法之運算步驟及注意事項：

(1)被除式按降冪排列，需注意缺項補 0。

(2)除式為x b− ，則右側應記為_b；除式為_{x b+} ，則右側記為_−b。

(3)先將被除式的領導係數往下移至商式的第一個位置，作為商式的領導係數。

(4)以商式的領導係數乘以記於右側之數，得積列於被除式第二項之下與被除式第二項相 加列於商式的第二個位置，即商式的第二項係數。

(5)重複(4)的演算步驟直到得到商式的所有項之係數及最後一項餘式為止。

(6)需注意的是：與長除法的差別，在於上下兩項數字要相加。

求x³+2x²+3x+ 除以4 ^x+¹的商式及餘式。

1 2 3 4 1 1 1 2 1 1 2 2

+ + + −

− − − + + +

商式：x²+ + ，餘式：2 x 2

利用綜合除法求2x³−5x²+ 除以 3 (1)x−2 (2)2x−1 的商式及餘式。

(1) 2 5 0 3 2 4 2 4 2 1 2 1

− + + + − −

− − −

商式：2x²− − ，餘式： 1x 2 −

(2) 1

2 5 0 3 2 1 2 1 2 2 4 2 2

1 2 1

− + + + − −

÷ − − +

− −

商式：x²−2x− ，餘式：2 1

利用綜合除法求x⁴+ −x³ 2x²+ 除以1 ^x+²的 商式及餘式。

1 1 2 0 1 2 2 2 0 0 1 1 0 0 1

+ − + + −

− + + +

− + + +

商式：x³− ，餘式：1 x² 例

商式 餘式

演練

例題 15 綜合除法 15

若x³+3x²−4x+ =1 a x( −1)³+b x( −1)² ( 1)

c x d

+ − + ，試求^a、_b、_c、_d之值。

1 3 4 1 1 1 4 0 1 4 0 1

1 5 5 1 5

1 1 6

d

c

b a

+ − + + + + + + + → + +

+ → +

+ + →

↓

∴ a=1、_b=6、c= 、5 d =1

若3x³+2x²+ + =x 6 a x( +1)³+b x( +1)² ( 1)

c x d

+ + + ，試求^a、_b、_c、_d之值。

3 2 1 6 1 3 1 2

4 3 1 2

3 4 6 3 4

3 3 7

d

c

b a

+ + + −

− + −

− + + →

− + + →

−

−

− →

↓

∴ a=3、_{b= −7}、_c=6、_{d =4} 演練

例題 16 綜合除法的應用（進階題） 16