一維量子系統中的新混沌現象

成大研發快訊 第八卷 第二期 - 2009年三月二十七日 [ http://research.ncku.edu.tw/re/articles/c/20090327/2.html ]

一維量子系統中的新混沌現象

楊憲東

*

_、魏嘉宏

國立成功大學工學院航空太空工程學系 [email protected]

Chaos, Solitons & Fractals, Vol. 37, pp. 988-1001, 2008 (SCI, Mathematics, Interdisciplinary Application, 2/74, IF=3.025)

混

沌現象描述的是非線性系統受到一個極微小的擾動後，造成了後續 不可預期的巨大影響。在諸多此種現象中，最耳熟能詳的莫過於蝴蝶效 應：一隻蝴蝶翅膀的舞動，卻造成幾千公里外的一場大風暴。已知的混沌 現象均發生於由牛頓力學所操控的巨觀系統；至於微觀的量子系統中是否 存在有混沌現象，仍有諸多爭議。爭議的來源主要是量子系統的演變，長 久以來不能表成為時間的動態，以致於無法實際定義何謂是初始擾動所造 成的遠端時間影響。本研究解決了現有量子系統中描述混沌現象的困難， 統一了描述微觀與巨觀混沌現象的非線性動力學。這背後的學理基礎是源 自作者所建立的複數力學(complex mechanics)。該力學將牛頓力學與量 子力學整合在複數空間之中，這使得量子系統的混沌現象可用複數型式的 牛頓力學來加以描述，這意謂量子混沌現象實際上是發生於複數空間之 中。根據龐克萊-班德森(Poincar-Bendixson)理論[1]，一個三維以上的巨 觀非線性系統才可能表現出混沌現象。對於一維度的量子系統，一般皆認 為混沌現象是不可能存在的[2,3]。在本篇研究中，吾人發現若將量子運動的描述由實數空間拓展到複數空 間，則一維量子系統確實可以展現出混沌特性。同時，由於複數軌跡中的實部與虛部會互相影響，吾人發現 了一種新的，且只存在於量子系統中的混沌現象，稱為強混沌(strong chaos)，此現象描述即使可量測的實部 初始條件沒有任何擾動，但是系統的演化仍會呈現出混沌現象。巨觀系統中的混沌是極微小的擾動可造成系 統巨大的變動；然而量子系統中的混沌是縱使沒有任何擾動，系統仍會自發性地產生大變動。這是學術界首 次發表量子系統會自發性地產生劇變的行為。 根據複數力學或稱量子漢米爾頓力學[4-8]，量子系統的漢米爾頓量(Hamiltonian)可以寫成 (1) 其中 就是所謂的量子位勢 (2) 這是由量子系統的波函數Ψ所決定的位勢能，以複數形式存在，並導致一個作用在粒子上的複數位勢場，此可 視為量子運動必須進入複數空間的主因。然而，即使粒子的運動存在於複數空間，對於觀測者而言，只有實 部的物理量是可被量測的；而混沌行為即是從實部位置xR(t)的觀察中所發現的。 在量子漢米爾頓力學的架構下，處於量子態Ψ下的量子運動方程式可導出為: (3)

上式右邊所出現的純虛數i，說明粒子是在複數空間中運動。上面的運動方程式取決於系統所處的量子態Ψ； 於不同的量子態中，運動方程式也不同。同樣是一維系統，有些量子態會呈現混沌現象，有些則否。 對於一個給定的位置x(0)=xR(0)+ixI(0)，方程式(4)可以決定唯一的一條複數軌跡。但是在複數空間的軌跡唯 一性，並不代表在實數空間就是如此，因為在複數空間不同的點，卻可能被投影到相同的實數位置上。藉由 固定初始位置的實部為 ，並令虛部xI(0)自由變化，吾人可以定義出ㄧ個複數軌跡集合。這些軌跡 都是從相同的實數位置 出發，因為只有實部xR(t)可以被量測出來。這就解釋了費因曼(Feynman) 所發現的源自相同起始點的多路徑現象[7]。然而，若從複數空間觀察之，因為只有一條軌跡從特定的初始位 置x(0)=xR(0)+ixI(0)出發，所以是看不到多路徑現象的。古典混沌的分析方法是去考慮軌跡xR(t)對於初始條 件的微變量 的敏感度，量子混沌與之明顯的差異是，即使微變量 為零，軌跡xR(t)仍然 會因xI(0)的差異進而導致發散，我們稱此現象為強混沌。 一維度的簡諧運動，不管是在古典或量子力學的研究方法上，均認為是不具混沌現象的。然而考慮到量子力 學的多路徑現象，我們發現混沌現象的確存在於一維度的簡諧振子系統中。考慮二次位勢場V(x)=kx2_/2，其 相對應的薛丁格方程式所對應的特徵函數為: (4) 其中 , ，而 是n階赫米特(Hermite)多項式。對於(3)式所描述的一維量子系統而 言，當量子態恰處於簡諧振子的特徵態時，即Ψ=Ψn，其在複數空間的運動方程式可由(4)式代入(3)式而得到 為 (5) 在此方程式之中，時間t不直接出現，故稱為自發性(autonomous)方程式。若將(5)式分解成實部及虛部，則 (5)式等義於二個實係數的自發性方程式。數值計算的結果顯示由(5)式所得到的軌跡x(t)存在著規律性，而無 法呈現出混沌現象[8]。 根據龐克萊-班德森理論，對於命定性系統(deterministic system)能表現出混沌現象的最低要求為必須具有兩 個以上的非自發性(non-autonomous)方程式。吾人發現，只要量子系統處於由兩個以上的特徵態所組成的糾 纏態(entangled state)中，則描述該量子系統的運動方程式(3)恰好可拆解為兩個純實數的非自發性方程式。為 説明此結果，吾人考慮下列之糾纏態波函數 (6) 其對應的運動方程式(3)可表示如下: (7) 雖然此系統滿足龐克萊-班德森理論的最低要求，可寫成兩個非自發性實係數微分方程式(若將時間變數 視為 獨立變數，則為三個自發性方程)，但透過圖1a的軌跡與圖1b 的頻譜分析之觀察發現，軌跡具有明顯的週期 性，且頻譜分布集中在三個顯著的頻率上，可以說明此動態不具混沌性質。

圖1 不呈現混沌現象的一維動態系統 然而，吾人若考慮另一種波函數的組合 (8) 則在設定初始位置 時，吾人可看到一條瀰漫於一個特定複數平面區間的軌跡，如圖2a所示， 若對此軌跡做頻譜分析，吾人可觀察到混沌現象的另一個基本特徵：寬廣的頻譜分布(圖2b)。接著，吾人畫 出當軌跡穿越 時，粒子的實數位置 與實部速度 的分布圖，稱為龐克萊截面(圖2c)，其分布型態 也說明了混沌現象的存在。 圖2 量度混沌現象的四種指標

因，就是(1)式中額外出現的量子位勢 。將第(8)式的波函數代入第(2)式中，我們得到此量子態中的量子位 勢場： (9) 接著，吾人結合古典位勢V(x)=kx2_{/2與量子位勢 ，而形成總位勢。量子簡諧振子乃受到此總位勢的作} 用而運動。觀察總位勢的實部分布圖(2d)，我們可以發現一系列劇烈而顯著的起伏，當粒子的運動途徑觸及 這些凸起的位勢障時，很容易因為接觸點的微小差異而引起路徑的明顯偏離現象，進而產生所觀察到的混沌 行為。另一方面，ㄧ個遠離 軸區域運動的質點因為遭遇較平緩的總位勢，將會呈現規則性的運動。這解釋 了為何某些區域的初始條件會引起混沌現象，而其他的區域則呈現規則的運動，這主要是與量子位勢的分佈 相關。 在進一步說明何謂強混沌現象前，吾人須先簡單介紹一種對混沌量化的指標:李氏指數。其最主要的功能乃用 來量測軌跡的發散性。對於一個如(3)式的ㄧ維度量子系統 (10) 給定x0為初始位置，而x為一個鄰近位置，令x0(t)與x(t)為分別從x0與x出發的軌跡，所謂的混沌分析就是去檢 視兩條軌跡間的距離s相對於時間的變化情形，其中s (t)= x (t)-x0(t)。因為x很接近x0，因此我們可以應用泰 勒展開式來得到 的一階近似式 (11) s(t)的解是一個簡單的指數時間函數 (12) 其中λ就是所謂的李氏指數，可以用來當作一個說明s(t)相對於時間是成長或萎縮的有效指標，如果λ是正的， s(t)將具有指數成長的特性，即兩條軌跡將會發散呈現混沌現象；相反的，若為負，則兩條軌跡收斂。 巨觀系統的混沌現象是考慮軌跡xR(t)對於初始條件微小變異 的敏感度；而當 時，巨 觀混沌便不具意義，因為對於巨觀系統而言，若 ，則由第(12)式知， (13) 然而，對於量子系統而言，渾沌可以發生在最極端的條件 之下，亦即初始條件沒有任何微變量，軌 跡依然可能自發性地一分為二，且逐漸遠離發散，這種形式的混沌現象吾人稱之為強混沌。強混沌現象是由 量子系統中的多路徑現象所引起，因為從相同的初始位置 ，有無限多的可能軌跡由此出發。產生 多路徑現象的內部機制可以由圖3加以說明，其中我們可以看到無限多的實部軌跡由固定的實數初始位置xR (0)，及變化的虛部初始位置xI(0)出發。透過實部動態與虛部動態的交互作用，一個特殊的xI(0)將產生一條相 對的實數軌跡xR(t)。由於虛部動態xI(t)的不可觀測性，所有這一類的軌跡，當從實數空間來看時，都是從相 同的位置出發的，因而產生所謂的多路徑行為。

在強混沌中的核心問題就在分析軌跡發散性，並加以量化，而李氏指數是最適合的工具，吾人必須特別注意 的是，只有軌跡的實部xR(t)可以被量測到，因此我們必須將xR(t)視為僅有的實驗資料來定義李氏指數。以實 驗數據計算李氏指數的方法，歷來已有許多的討論[9]，在此，吾人以 為初始條件，並考慮處 於第(8)式量子態的簡諧振子系統，模擬得出一條軌跡 。然後計算此軌跡上每一個取樣點的局部李氏指 數，並定義其平均值為全域李氏指數σ(N)，其中N為取樣點總數。結果顯示在圖4中，正的σ(N)證實了 的混沌行為。 在本研究中，我們分析了複數空間中的量子混沌現象，並說明了量子混沌與多路徑現象其實都是源自於複數 運動投影到實數空間所造成的現象。藉由描述複數空間中的量子混沌，我們發現一種新的混沌行為，稱為強 混沌。古典混沌是用來分析兩條出發於相近初始位置的鄰近軌跡之發散性，而強混沌是量子系統所獨有，即 使所有軌跡都是出發於相同的初始位置，軌跡仍然會自發性地分岔且逐漸發散遠離。在這裡，我們使用了許 多量化指標證實混沌效應的確存在於一維量子系統，如龐克萊平面，頻譜分析與李氏指數。我們也發現，ㄧ 維系統中量子混沌的出現與複數漢米爾頓量中的量子位勢有強烈的關係，在量子位勢不明顯的區域，即使是 同一個量子態，混沌現象也會跟著消失，這跟所研究的軌跡是從哪一個區域的初始位置出發有關。如果選定 的初始位置導致軌跡ㄧ直在量子位勢起伏強烈的區域環繞，則因為強大的量子力作用，粒子的運動將相當的 不規則，而呈現混沌現象。相反的，遠離量子位勢之軌跡，因為粒子所遭遇的位勢變化相當和緩，軌跡呈現 規則性。因此，混沌現象的出現與初始條件也具有明顯的關連性。 圖3 多路徑現象的產生機制 圖4 李氏指數的計算結果 本研究群目前透過複數力學，將過去牛頓力學之經驗，直接地應用在量子尺度問題上，如量子點、量子井、 電子通道、氫分子離子、氨分子以及氫原子電子能階躍遷之控制等之工程分析與應用，可提供更逼近於真實 量子運動情況之分析與預測，以期提供奈米科技、量子元件之應用、量子資訊、量子計算之研究等未來量子 工程所需之理論分析。複數力學除了在理論架構上與牛頓力學的哲理相容，為神秘量子效應提出工程解釋 外，更引領科技進步的腳步，突破過去工程力學無法跨入量子系統的瓶頸。 參考文獻

[1] Gutzwiller M.C. Chaos in classical and quantum systems. Springer-Verlag, Berlin, 1990.

[2] Ashkenazy Y., Horwitz L.P., Levitan J., Lewkowitz M., and Rothchild Y. Chaoticlike Behavior in a Quantum System without Classical Counterpart. Physical Review Letters 1995;75:1070-1073.

[3] Parmenter R.H. and Valentine R.W. Deterministic chaos and the causal interpretation of quantum mechanics. Physics Letters A 1995;210:1-8.

[4] Yang C.D. Quantum Hamilton mechanics: Hamilton equations of quantum motion, origin of quantum operators, and proof of quantization axiom. Annals of Physics 2006;321:2876-2926.

[5] Yang, C.D., Han S.Y., and Hsiao, F.B. Nonlinear Dynamics Governing Quantum Transition Behavior. International Journal of Nonlinear Science, and Numerical Simulation 2007;8(3):397-412.

[6] Yang C.D. Wave-particle duality in complex space. Annals of Physics 2005;319:444– 470. [7] Yang C.D. and Wei C.H. Parameterization of all path integral trajectories,” Chaos, Solitons and

[8] Yang C.D. Modeling quantum harmonic oscillator in complex domain. Chaos, Solitons and Fractals 2006;30:342-362.

[9] Eckmann J.P., Kamphorst S.O., Ruelle D., and Ciliberto S. Lyapunov exponents from time series. Physical Review A 1986;34(6):4971-4979.