第二章 极限与连续

微积分

第二章 极限与连续

• 数列极限

• 函数极限

• 变量极限

• 无穷大与无穷小

• 极限的运算法则

• 两个重要的极限

• 函数的连续性

微积分

2.4 无穷大量与无穷小量 一 . 无穷小量

定义 1 ：以 0 为极限的变量 , 称为无穷小量（无穷 小）。

定义 2 ： >0, 某个时刻，在此时刻以后，

|y|<  , 恒成立 .

则称 y 在此变化过程为无穷小量（无穷小）

。

微积分

无穷小量

注意 （ 1 ）无穷小是变量 , 不能与很小的数混 淆 ;（ 2 ）零是可以作为无穷小的唯一的数 .

对于 x→x₀ ：

|<

对于 x→

∞

微积分

无穷小量

例如：

. 0

sin tan

, cos 1

, tan ,

sin

2

,

时的无穷小量 都是 





x

x x

x x

x x

.

arctan , 2

1 ,

2

时的无穷小量

都是





 

x

x x e

x



微积分

2

:

证 必要性 ^{lim ( ) ,}

0

A x

x f

x 

设  令 (x)  f (x)  A, ,

0 )

( lim

0



  x

x

则有 x  f (x)  A  (x).

充分性 ^{设 f (x)  A  (x),}

, )

( 是当 ₀时的无穷小 其中  x x  x

)) (

( lim )

( lim

0 0

x A

x

f x x x

x   



则  lim ( )

0

x A  x x 

   A.

定理1

lim ( ) ( ) ( ),

0

x A

x f

A x

x

f

x    



其中

(x )

x x

微积分

意义（ 1 ）将一般极限问题转化为特殊极限问题 ( 无穷小 );

).

( ,

) (

) (

2

x A

x f

x x

f



附近的近似表达 在

）给出了函数

（



3

定理 2 在同一过程中 , 有限个无穷小的代数和仍 是无穷小 .

证 设及是当x  时的两个无穷小, 使得

, 0 ,

0 ,

0  ₁  ₂ 





 N N

微积分

2;

1

 



 时恒有

当 x N ;

2 2

 



 时恒有 当 x N

}, ,

max{N₁ N₂ N 

取 _当 ^x  ^N_时^,_恒有













 2 2

 

   , )

(

0  









 x

注意　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 . 是无穷小，

时 例如 n n1

, ,  

. 1 1

不是无穷小 之和为

个 但n n

微积分

定理 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证 设函数u在U ⁰( x₀,₁)内有界，

.

0 ,

0 ,

0 _{1 0 1}

M u

x x

M

















 恒有

时 使得当

则

0时的无穷小, 是当

又设 x  x

.

0 ,

0 ,

0 _{2 0 2}

M

x x

 

























恒有

时 使得当

微积分

推论 1 在同一过程中 , 有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小 .

推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小 .

}, ,

min{₁ ₂



取  则当 0  x  x₀  时,恒有









 u

u  M  M  , .

0时, 为无穷小

当   

 x x u

x x x x

x 1

arctan 1 ,

sin ,

0

,

例如  _{都是无穷小}

微积分

二 . 无穷大量 二 . 无穷大量

定义 1 ：绝对值无限增大的变量称为无穷大量 . 定义 2 ： E>0, 某个时刻，在此时刻以后，

|y|>E, 恒成立 .

则称 y 在此变化过程为无穷大量（无穷大）

。

记为： lim

y

∞

正无穷大

limy=+∞

limy=-∞

微积分

无穷大量

对于 x→x₀ ：

|<

∞

.  



( ) lim

0

x

x

f

x









( ) lim f x

x

微积分

特殊情形：正无穷大，负无穷大．

) )

( lim

( )

( lim

) (

)

( ^{0 0}

















f x f x

x x x x x

x 或

注意 （ 1 ）无穷大是变量 , 不能与很大的数混淆

;

（ 3 ）无穷大是一种特殊的无界变量 , 但是 无界变量未必是无穷大 .

. )

( lim

2

0

认为极限存在

）切勿将

（  

 f x

x x

微积分

x

y x 1

1 sin



. ,

sin 1 , 1

0 ,

但不是无穷大 是一个无界变量

时 当

例如 x  y  x x

) , 3 , 2 , 1 , 0 (

2 2 ) 1

1

(  

 



 k

k x_k

取

2 , 2

)

( 





 k x

y _k 当k充分大时, y(x_k )  M. )

, 3 , 2 , 1 , 0 2 (

) 1 2

(   



  k

x_k k 取

,

,  

 x_k k 充分大时

当





  k k

x

y( _k ) 2 sin2

但  0 M . ^{不是无穷大．}

无界，

微积分

1 . lim 1

1  





x

例

证  M  ^0. , 1

1 M

x  要使 

1 ,

1 M

x  

只要 1 ,

 M 取 

1 , 1

0 时

当  x     M . 1

1 M

x 

就有  .

1 lim 1

1  

 

 x

x

.

) ( ,

) ( lim

: ₀

0

的图形的铅直渐近线

是函数 则直线

如果

定义 f x x x y f x

x

x    



1 1

  y x

微积分

三、无穷小与无穷大的关系

定理 在同一过程中 , 无穷大的倒数为无穷小 ; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大 .

证

lim ( ) .

0





f x

x

设 x

1, )

(

0 ,

0 ,

0 ₀

 























x f

x x

恒有

时 使得当

) . (

1

x

即

f

0时 为无穷小

当x  x f x



微积分

. 0 )

( ,

0 )

( lim

,

0





f x

f x

x

x 且

设 反之

1 , )

(

0 ,

0 ,

0 ₀

x M f

x x

M























恒有

时 使得当

) . (

1 M

x

f 

从而 ) .

( , 1

0时 为无穷大

当x  x f x



, 0 )

( x  由于 f

意义 关于无穷大的讨论 , 都可归结为关于无穷 小的讨论 .

微积分

四 . 无穷小量的阶 四 . 无穷小量的阶

例如 , 1 .

sin ,

sin ,

, ,

0时 ^{2 2} 都是无穷小 当x  x x x x x

观 察 各 极 限

x x

x 3

lim

2

0  0, x²比 x3 要快得多;

x x

x

lim sin

0  1, sin x与x大致相同 ;

2 2

0

sin 1 lim x

x x

x ^x x

sin 1 lim0

 不存在. 不可比 . 极限不同 , 反映了趋向于零的“快慢”程度不同 .

微积分

定义： , 是相同一过程的两个无穷小量 . 如果 :

).

(

. ,

0 lim

) 1 (







 



 o



记

较高阶的无穷小量 是比

则称

.

~ ,

1

. ,

0 lim

) 2 (











 



记 是等价的无穷小量

与 时，则称

当

是同阶的无穷小量 与

则称





 c

c

微积分

).

(

. ,

lim )

3 (







 



 O



 则称 是比 较低阶的无穷小量

. ,

0 lim

) 4 (

阶无穷小量 相比是

与

则称 k

k

c







 _{ }

微积分

例 1 _证明^:_当^{x  0}_时^{,4x tan3 x}_为^x_{的四阶无穷小}^.

解 ₄

3 0

tan lim 4

x

x x

x

3

0 tan )

( lim

4 x

x

x

  4,

. tan

4 ,

0时 ³ 为 的四阶无穷小 故当x  x x x

例 2 当x  0时,求 tan x  sin x关于x的阶数.

解 ₃

0

sin lim tan

x

x x

x



  tan 1 cos ) (

lim ₂

0 x

x x

x

x

 

  ,

2

 1

. sin

tan x  x为x的三阶无穷小



微积分

常用等价无穷小 : 当 x ⁰时^,

2 .

~ 1 cos

1 ,

~ 1 ,

~ ) 1

ln(

,

~ arctan

,

~ tan

,

~ arcsin

,

~ sin

x2

x x

e x

x

x x

x x

x x

x x

x  



x

x 2

~ 1 1

1   x

x n

n 1

~ 1 1   x

x)^ 1 ~  1

(  

注 ^1. 上述 10 个等价无穷小（包括反、对、幂

、指、三）必须熟练掌握 都成立 换成

将 ( ) 0 .

2 x  xf 

微积分

用等价无穷小可给出函数的近似表达式 : ,

1 lim 



  lim  0,







  即     o(),

().







 o

于是有 同理也有    o( ) 一般地有  ~       o( )

即

α

β



α

β

例如 , ^{sin x  x  o(x),} ( ).

2 1 1

cos x   x²  o x²

微积分

等价无穷小替换

定理 ( 等价无穷小替换定理 )

. lim

lim ,

lim

~ ,

~ 









 





 

 



 

 且 存在 则

设

证 

lim  lim( )



 



 



 



 



 



 lim  lim lim lim .



 

意义

求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子 或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单 的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代 换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换

。

微积分

例 3

.

cos 1

2 lim tan

2

0

x

x

x^ 

求

解

, tan 2 ~ 2 .

2

~ 1 cos

1 ,

0 x x

x x

x

2 2

0

2 1

) 2 lim (

x x

 x

原式 

8 .

注意 不能滥用等价无穷小代换 .

对于代数和中各无穷小不能分别替换 .

等价关系具有：自反性，对称性，传递性

微积分

例 4

.

2 sin

sin lim tan

0

x

x x

x

 求 

解 当 

x 0

, tan x ~ x , sin x ~ x .

0

( 2 )

lim x x x

x

 

原式



0 .

错

解 _{当 x 0时,} sin 2x ~ 2x,

) cos 1

( tan sin

tan x  x  x  x

,

2

~ 1 x

3 3

0

( 2 2 ) 1 lim x

x

 x

原式

.

16



1

微积分

例 5 .

3 sin

1 cos

5 lim tan

0 x

x x

x



 求 

解 _^{tan x  5x  o(x), sin 3x  3x  o(x),} ).

2 ( cos 1

1  x  x²  o x²

) ( 3

) 2 (

) 1 ( 5

lim

2 2

0 x o x

x o x

x o x

x 





  原式 

x x

o x

x x o

x x o

x ( )

3

) (

2 1 )

5 ( lim

2

0 





 

 .

3

 5

微积分

例 6 求

) 1

ln(

) cos 1

(

cos 1 sin

lim

2

0 x x

x x x

x  





解一

x x x

x x x

x

x ln(1 )

) cos 1

(

cos 1 sin

lim0  

  原式 

1 2

0 1



 

2

 1

解二 x x

x x x

x  

 

 (1 cos ) cos 1 sin

lim

2

原式 0



 

 

 1 )

sin cos cos (

1 lim 1

0 x x

x x x

x 2

 1

微积分

解三







 

 

 



 

 x x

x x x

x x

I x

x

cos 1 )

1 ln(

cos 1

1 )

1 ln(

) cos 1

( lim sin

0

0 2 1

1 2

1   

 2

 1

例 7 求 ¹

3

1 ( 1)

) 1 (

) 1 )(

1

lim ( _

 







n

n

x x

x x

x 

解 令u  x  1 则x  1 u 得 由(1 u)^  1 ~ u

微积分

1 3

0

) 1 1

( )

1 1

)(

1 1

lim( _













  _n ⁿ

u u

u u

I u 

0 1

1 3

1 2

1

lim _







  _n

u u

n u u

u 

! 1

 n

关于 1^∞ 型极限的求法

)

)] (

( [

lim f x ^{g x} lim f (x)  1, lim g(x)  

)

)] (

( [

lim f x ^{g x}  lime^{g(x)ln f (x)}

) ( ln ) (

limg x f x

 e

微积分

) (

1

)]

1 )

( ( 1

lim ln[

) ( ln ) ( lim

x g

x x f

f x

g  



) (

1

1 )

lim (

x g

x

f 

  lim g(x)[ f (x)  1]

)

)] (

( [

lim f x ^{g x}  e^{limg(x)[ f (x)1]}

微积分

五 . 小结

1 、主要内容 :

两个定义 ; 四个定理 ; 三个推论 2 、几点注意 :.

无穷小与无穷大是相对于过程而言的 .

（ 1 ） 无穷小（ 大）是变量 , 不能与很小（大）的数 混淆，零是唯一的无穷小的数；

（ 2 ）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小

；（ 3 ） 无界变量未必是无穷大 .

微积分

思考题

若

f ( x )  0

f x A

x







( )

lim

问：能否保证有

A  0

微积分

思考题解答

不能保证 .

例

f x 1 x )

(

1 0

)

(

x x f

 

 ( ) lim f x

x 1 0.

lim  



 A

x

x

微积分

一、填空题 :

1、凡无穷小量皆以________为极限.

. )

(

, __________

2

的水平渐近线

是函数 直线

条件下

、在

x f y

c y





. ) 0 lim

(

, )

( _______

) ( lim 3

0 0

















x x x

x f x A f x A

其中

、

. ______

, )

( ,

4

是无穷小 则

是无穷大 若

、在同一过程中 f x

. 10 ,

,

2 , 1

0 :

 4

 



y x

x y x

x

能使 应满足什么条件

问 是无穷大

函数 时

当 二、根据定义证明

练 习 题

微积分

. ,

0

, ]

1 , 0 1 (

1 sin

这个函数不是无穷大 时

但当 上无界

在区间 三、证明函数





 x

x y x

微积分

一、1、0； 2、 f x C

xx 





 ( )

lim ；

3、； 4、

) ( 1

x

f .

二、 10 2

0 ₄1

 

 x .

练习题答案

微积分

1.

反映了同一过程中 , 两无穷小趋于零的速度 快慢 , 但并不是所有的无穷小都可进行比较 .高 ( 低 ) 阶无穷小 ; 等价无穷小 ; 无穷小

2.

求极限的又一种方法 , 注意适用条件 .

微积分思考题

任何两个无穷小量都可以比较吗？

思考题解答

不能． 例当 时x  

1 , )

( x x

f

x x x

g sin )

(

但 





( ) ) lim (

x f

x g

x x

xlim sin



 不存在且不为无穷大

故当 时x  

f ( x )

g ( x )