第二章 文獻探討
2-1 幾何教學相關文獻探討
2-1-1 幾何教學方式
幾何能力的培養可以幫助人們更嚴謹的描述事物、提升空間感、增進數學能 力…等。因此，協助學生幾何能力的發展是一個重要的課題。但是國內外對於幾 何教學方式的施行卻是不盡理想，幾何課程時常被用以機械式的教學，一個幾何 概念的建立，是經由多次的操作與測量而來，學生必須經過不斷的觀察、分析與 推理，但是學生往往被簡單的告知結果，這種情形是相當不妥的。國內的學生在 學習幾何時，教師時常要求學生記憶許多抽象公式，而學生無法透過推理建立自 己的幾何概念（譚寧君，民 82）。國外的學生在學習幾何時，教師大都著重於要 求學生列出幾何形狀的定義與屬性（Battisa，2001），這些幾何教學的方式都阻 礙了學生分析推理的能力。
因此，幾何教學的方式勢必要做些調整。學習幾何時，幫助學生列出圖形屬 性與幾何公式並不是首要的工作。Battisa（2002）指出，學生對於幾何形狀的 認識應該使用一個「圖形屬性概念系統」（Property-based conceptual system）
的方式來瞭解圖形，圖形屬性概念系統的學習方式是指，引導學生使用圖形概 念，如：邊、角、長度、同餘、全等、平行…等概念，去描述和分析所見的幾何 圖形。學習幾何應該讓學生們主動參與學習，並且在圖形屬性概念系統上發展幾 何概念，而不是去要求學生去強記資料。
目前，關於幾何學習的研究報告多數認為由學生主動建構幾何概念是最有效 的學習方式（van Hiele，2003;Battista，2001;Clements，2000）。幾何課程必 須早期介入學生的學習之中（Douglas H. Clements，2000），兒童天生對於幾何 就會產生興趣，幾何能力的發展會改良學生的數學能力（Enrique Ortiz，1994）。
國外幾何課程的進行多數都採用遊戲式的教學方式，藉此引起學生的學習動機，
期盼主動參與學習。Pierre M. van Hiele（2003）也提到：幾何概念發展是由 遊戲中開始的（geometry begins with play）。多數學者皆建議將建構式的教學 應用在幾何學習之中。因此，教導者必須瞭解學生幾何思考發展的模式，進而設 計教材、改進教法，引導學生們建立正確的幾何觀念，培養更為完備的幾何思考 方式。
2-1-2 幾何思考的發展模式
關於幾何思考的發展模式一直不斷有學者提出相關的研究，早期 Piaget
（1967）的主要論點為：幾何概念的發展是遵循拓樸幾何（Topology Geometry）、
投影幾何（Projective Geometry）、歐氏幾何（Euclidean Geometry）的發展路 線，Piaget 認為幼兒在數學上是無能的，他指出兒童必須等到七歲左右才可以由 不同的觀點去觀察事物，而且學前兒童亦無法運用自然世界中的參考架構，如：
水平軸與垂直軸（地面、牆面與旗杆等），用以研判物體在空間中的相關位置
（Piaget & Inhelder,1967）。
Piaget 的觀點提出之後，有許多研究駁斥他的論點，有學者研究發現拓樸幾 何概念並不一定先於投影幾何、歐氏幾何概念而發展（Martin,1976），也有學者 更進一步證實學前兒童已經萌發一些歐氏幾何的概念、展現歐氏幾何的能力
（Rosser , Campbell & Horan, 1986），甚至有研究指出嬰幼兒在熟悉的環境中 比不熟悉的環境中較容易使用外在參照來判斷空間關係（Acrecolo,1978），三歲 幼兒能在室內依地圖推論某物在室內的位置（Acrecolo & Bluestein,1978）。有 太多的研究皆否定 Piaget 的論點，Dodwell（1971）也指出 Piaget 對於幾何認 知的發展所提出的解釋太過於簡化。
在幾何教學領域中最重要的研究報告該屬 van Hiele 的幾何思考發展模式。
Pierre Marie van Hiele 與 Dina van Hiele Geldof 夫婦是荷蘭的數學教育者，
他們在教導學生幾何課程時，發現學生無法對圖形下定義，是由於學生幾何思考 的成熟度不足所致，於是他們便開始著手於學生幾何思考的相關研究，之後就提
出幾何思考的發展模式。
Piaget（1967）認為學生的幾何思考發展，生物成熟度（biological development）的因素勝過於學習過程（Learning processing）的影響。van Hiele
（1986）則是採取相反的立場，他認為數學能力的發展與年齡的成熟度無關，真 正影響幾何思考發展的因素是教學的方式，兒童天生即具有些許概念理解的能 力，而這些能力是脆弱的，就像 Vygosky(1978)所指---近側發展區(The zone of Proximal development)中的能力一樣，屬於成熟過程中，但卻尚未完全成熟，
教學應該在發展之前進行，不能等待其自我發展(Vygosky,1978)，學生幾何能力 的發展必須經過一套循序漸進的引導方式，於是 van Hiele 在進行教學實驗研究 後提出了幾何思考層級論。
2-1-3 van Hiele 的幾何思考模式
van Hiele 提出幾何思考的相關研究報告後，蘇俄隨即在 1960 年根據其理論 修訂幾何相關課程，之後美國對 van Hiele 的貢獻也相當感興趣，在 1976 年之 後相關研究就不斷的增加中（譚寧君，民 82）。van Hiele 提出的研究在最近二 十年間一直被美國學習者採用（Sang Sook Choi-Koh , 2001），全美數學教師協 會（NCTM，1989）也已經將其理論緊密的與教學應用互相結合，至今大部分關於 幾何教學的研究都可以看見 van Hiele 的理論，由此可知 van Hiele 的理論在幾 何教學有相當關鍵性的影響。
van Hiele 的理論提出後，就不斷引起學者們熱烈的研究討論並且加以詮釋 改良應用在各項幾何教學研究中（Hoffer,1983 ; Bruni & Seidentenstein,1990 ; van De Walle,1990 ; Clement & Battista,1992 ; Battista,2002），許多學者 也都已經驗證過 van Hiele 幾何思考的發展模式（Fuys, Geddes, Lovett &
Tischler,1988 ; Usiskin,1982），其理論已經成為多數人所認同的想法。
Battista（2002）也指出，學生對於二維圖形的思考模式最好的描述是 van Hiele 的幾何思考發展理論。
根據 van Hiele 的理論，學生的幾何思考方式會在不同的層級之間移動
（Clements and Battista , 1992），幾何課程的教導者必須瞭解每個思考層級 的內容，用來協助學生發展有意義的學習，van Hiele 的幾何思考發展模式包含 了五個層級 — 辨認（Recognition）、分析（Analysis）、推理（ordering）、演 繹（Deduction）與嚴密性（Rigor）（van Hiele,1986），每一個層級都有特定的 思考方式，教師在進行幾何教學時，必須先瞭解學生的思考層級，再採取對應的 引導方式，這五個幾何思考層級是由 van Hiele Geldof 經由教學實驗所獲得的 結果。學生在發展幾何概念時會由辨認階段（Recognition）逐漸往嚴密性階段
（Rigor）發展，而且學生會依照這五個層級循序發展。關於 van Hiele 幾何思 考的發展階層，許多學者在面對不同的幾何教學研究時，都會引用其理論再加上 些許的調整（Sang Sook Choi-Koh,2001 ; Battisa , 2001 ; 譚寧君，民 82）， 雖然每個人研究做法不盡相同，但整體概念皆符合 van Hiele 幾何思考層級的主 要觀點。
2-1-4 幾何思考層級論的特性（Properties of the Model）
van Hiele 幾何思考層級論具有一些特性，Crowley（1987）歸納出幾何思考 層級論的特性，分為連續性（sequential）、進展性（advancement）、內因性與 外因性（Intrinsic and Extrinsic）、語言性（Linguistics）、不配合性
（Mismatch），這些特性可以提供幾何課程教導者在設計教學模式時的依據。
關於幾何思考層級論的具體敘述如下（Crowley，1987）： 1. 連續性（sequential）
每個幾何思考的發展層次有其順序關係，在某一特定層次發展若要成功則必 須先掌握前一個層次的概念與思考方式。而且沒有任何一種教學方式可以讓 學生跳過某一層級的思考發展直接進到下一層級。
2. 進展性（advancement）
由某一層級進階到下一層級必須經由教導來發展幾何概念，而非經由年齡熟 度的因素而造成，當學生在某一層級無法瞭解概念時，是由於學生在這一層 級思考的成熟度不足所致，因此必須繼續進行該層級的概念，不宜強迫灌輸 下一層次的概念。
3. 內因性與外因性（Intrinsic and Extrinsic）
某一層級所原有的（inherent）思考方式，將成為後面層級研究的工具，學 生會將之前所有層級的思考方式逐漸內化，形成完備的概念。例如：開始學 習幾何時，學生會以視覺外觀把長方形與正方形視為兩種不同的圖形，這就 是外因性。隨著概念的成熟，漸漸了解圖形的屬性定義，學生就能分析歸納 正方形是長方形的一種，經由內化形成較為完備的幾何概念，這就是內因性。
4. 語言性（Linguistics）
每一層級都有自己的語言或符號，這些語言符號在這一層是正確的，但到了 下一層可能就需要修正，例如：對剛開始學習幾何的學生而言，正方形與平 行四邊形是兩種不同概念的名詞，但是到了較進階的層級，正方形對學生而 言，也可能表示為平行四邊形的概念。
5. 不配合性（Mismatch）
實施幾何教學要注意學生已經發展到哪一層級，若學生屬於某一層級但是教 學設計卻著重於另一個層級，這時候所預期的教學歷程或教學效果就不會呈 現。尤其是教學內容、教學材料與專有名詞，屬於比學習者更高層級的情況 時，不配合性的現象會更為嚴重。
2-1-5 Battista 幾何思考階層
關於 van Hiele 幾何思考層級論，在 Usiskin（1982）的研究中發現有 9%∼
34%的中學生無法顯露 van Hiele 理論中最基本的層級，也就是無法辨識圖形。
因此，Clements & Battista（1991）提出了前辨認層級（Pre-recognition）。 另外一方面，Usiskin（1982）針對 14∼17 歲的中學生進行研究，結果發現：van Hiele 的最高層級（Rigor），不是不存在就是不可測驗的。
有鑑於部分學生達不到 van Hiele 幾何思考層級理論的最基本層級，加上 van Hiele 幾何思考層級理論中最高層級的不可測驗性與不存在說，於是 Battista 在 2001 年進行小學學童幾何教學研究時，對 van Hiele 的幾何思考層級理論做了些 許的調整（Battista，2001）：
層級 0 － 圖形辨認階段（Pre-recognition）：
在這個階段的學生無法辨識任何幾何形狀，幾何圖形對學生而言並不具備任 何意義，因為他們從來沒有試著去觀察幾何形狀與注意幾何圖形在視覺上的特 徵，同時也不知道幾何基本名詞的意思。
因此，教師必須引導學生認識簡單的幾何形狀，透過基本幾何圖形輪廓的觀 察，學習以視覺來辨識圖形，並且認識幾何名詞，了解名詞所代表的意義。
層級 1 － 視覺聯想階段（Visual）：
在此階段的學生能以幾何圖形的視覺外觀來辨識形狀的種類，了解並能夠使 用基本的幾何名詞，學生推理形狀是以視覺輪廓特徵為主，而不是以正規的幾何 概念來分析、判斷。
進行幾何教學時，可以利用生活物件引導學生，如：告訴學生”門是長方 形”、”球是圓形”…等。學生辨認一個長方形的幾何圖形時，是因為它看起來 像一扇門；辨識一個圓形的幾何形狀是因為它看起來像一顆球，利用視覺相似來 辨識它們。因此教師可以用學生可以認知的物件來引導學生更瞭解形狀。
層級 2 － 描述、分析階段（Descriptive / Analytic）：
在此階段的學生已經可以注意到幾何圖形的屬性，如：邊、角關係，在辨識 圖形時已經開始學習使用正規的幾何概念來描述圖形中各部分的空間關係，例 如：學生在描述正方形時，可以說出正方形是由四個直角與四個等長的邊所構 成，甚至可以清楚指出四個邊的空間關係。
因此，教師必須引導學生更進一步去注意幾何圖形的屬性，分析圖形中各部 分的空間關係，而不再只是注意幾何形狀的視覺外觀。
層級 3 － 抽象、關連階段（Abstract / Relational）：
在此階段的學生已經可以從幾何的屬性去判斷幾何圖形，他們已經清楚幾何 形狀的定義與屬性，瞭解圖形的充要條件與必要條件，此時學生可以對幾何圖形 做有意義的分類，並且更有邏輯的思考圖形、歸類形狀，例如：學生可以分辨出 正方形是屬於菱形的一種，因為正方形的定義符合菱形的定義。
因此，教師不僅要引導學生認識圖形的屬性定義，更要引導學生能夠將幾何 圖形做出正確的辨識、分類動作。
層級 4 － 正規理論階段（Formal axiomatic）：
在這個階段學生不只瞭解幾何屬性、公理，甚至能夠對幾何定理做證明、推 理、演繹…等動作，通常此階段概念發展的課程會放在高中的幾何課程來實施。
在 Battista（2001）對美國小學學童的教學實驗中，並沒有進行這個階段的 教學處理，他認為學生在這方面的先備知識與經驗稍嫌不足，
2-2 電腦多媒體輔助教學相關文獻探討
2-2-1 電腦輔助教學系統（Computer Assisted Instruction，CAI）
電腦科技與日常生活已經密不可分，資訊技能的運用早已成為現代國民必備 的重要知能。由於電腦資訊的蓬勃發展，傳統學習型態即將面臨重大的變革，電 腦輔助教學（Computer Assisted Instruction，CAI）在教育上已經被廣泛的討 論，尤其是多媒體的應用更成為學習的重要趨勢之一。
在教學的過程中，適應學生們的個別差異，並且對學生的反應與回答給予立 即增強或是立即糾正，這是相當理想的教學方式，但是在一般的學校教育中，並 不一定能夠達到這樣的理想教學方式，每位老師所要面對的是數十位同學，要使 老師的教學適應每位學生，並根據學生反應立即給予適當的回饋（Feedback）， 是很困難的。電腦輔助教學系統可以達到一對一教學，配合學生程度與學習速 度，針對學生的回答，立即給予回饋。
電腦輔助教學（CAI）的優點之一，便是能夠模仿一對一教學的方式幫助學 生學習，並且達到適應個別差異與立即增強的效果，使學生按照自己的步調學 習，電腦輔助教學可以分為練習式、教導式、模擬式與遊戲式，它可以使學習趣 味化（朱經民，民 76）。
電腦輔助教學（CAI）融合了教育工學與電腦科技，用來協助教師教學與學 生學習，並且達到適應個別化差異以及因材施教的個別化教育理想，此一價值亦 早已為國內學者所認同（李進寶，民 72，陳昭雄，民 77）
2-2-2 多媒體電腦輔助教學系統（Multimedia CAI）
在學習的過程中，人類接收訊息的方式以視、聽為最重要的感官，因此，在 教學的過程中，為了增進教師的教學效果並且促進學生學習成效，視聽媒體的運 用格外受到重視，透過多媒體電腦輔助教學，可以營造多元刺激學習的情境，將 有助於學生發揮自我潛能與創意，獲得最佳的學習效果。
周惠文（民 84）曾討論到，電腦多媒體輔助教學系統與傳統的電腦輔助教學 系統其最大的不同，仍在於除了以文字為主要的表達工具之外，還提供豐富的圖 形(graphic)、聲音(sound)、音樂(music)、動畫(animation)、影像(image)、
影片(vedio)等多媒體資源，以提高學生學習的動機與興趣，加深學習的印象與 效果，進而獲致更佳的教學效果。吳宗立（民 87）亦表示，電腦科技結合了多種 靜態（文字、圖片、影像）、動態（語音、音樂、動畫）的視聽媒體，形成電腦 多媒體系統，必將成為學習的利器。
進行幾何教學時，必須提供豐富與刺激性的環境以回應支持兒童的興趣與能 力，使正在發展的能力得以充分發揮，類似所謂的「鷹架式」教學支持（Bruner，
1964），在此本研究認為利用多媒體電腦輔助學習系統可以根據「鷹架式」教學 原則來設計。
鷹架式教學具體的教學原則為：
1. 生活化 2. 遊戲化 3. 具體化 4. 直覺化 5. 解題化 6. 互動化
多媒體的目的在於提供充分的溝通，並且適應學習認知上的個別差異，用最 佳的呈現方式將教材的內容表達出來（陳明溥，民 81），多媒體可以使抽象的概 念更為具體的表現出來，使學生更容易掌握其要旨，這是多媒體在教育上另一個 有力的特點（周惠文，民 84）。因此，應用多媒體電腦輔助教學，藉著多元媒體 的刺激與學習情境的互動，將更有助於教學品質的提升。
多媒體 CAI 所具有優勢的教學效益（吳宗立，民 87）： 1. 激發學習興趣
2. 順應個別差異 3. 適時評鑑回饋 4. 豐富學習內容 5. 多元互動情境 6. 增進創造思考 7. 建立學習自信
