從「聯考試題」談「數學」

(1)

從「聯考試題」談「數學」

羅添壽

今年聯考數學科試題, 由於命題教授, 精心設計, 用心良苦, 然缺失不少, 可說叫好不叫座。

今筆者提出一些值得探討的問題與建議。

(A) 自然組方面

(1) 理科數學微積分僅佔 5 分, 影響課堂上「教與學」的意願甚鉅。

自然組各冊配分如下:

冊數一二三四理科 (上) 理科 (下) 配分 25 30(20) 20 10 5(15) 10

(註): 若將填充題 6 歸成第二冊, 則今年微積分僅考 5 分, 理科數學共佔 15 分, 且其計算要詳盡, 否則不易得分, 如此造成學生對理科數學學習情緒低落, 社會組學生跨組夢必將死灰復燃, 易造成學生投機取巧的心態, 不可不慎也。

(2) 單一選擇題 (二) 試題中一些敘述與命題方式皆不適當。

題目: 考慮一次方程式組 M

t

"

x y

#

=

"

a b

#

, 其中 M

t

=

"

t 1

3 − t t + 1

# "

1 2

t+ 3 t + 1

#

, t 為實數。

6. 使此方程組恆有解的充分且必要條件為何?

(A) t 6= 5 (B) t 6= 1 (C) t 6∈ {1, 5} (D) t 6∈ {1, −3, 5} (E) t 6∈ {−3, 1}

若 t = 0, a = 0, b = −1, 則

9. x = (A)

¹ ₃

(B) −

¹ ₅

(C)

₁₅ ¹

(D) 1 (E) 0 10. y = (A)

¹ ₃

(B) −

¹ 5

(C)

₁₅ ¹

(D) 1 (E) 0

說明: (1) 第 6 小題學生作答時可試將 t = 1, −3, 5 反代檢查, 故命題方式不當。

(2) 第 9、10 兩小題為不可分割的試題, 故不宜分開計分, 否則有鼓勵猜答之嫌疑。

(3) 填充題第 (1) 題為考古題, 有接受訓練的學生, 不必思考, 即可速解求出。

1

(2)

題目: 設一圓與直線 2x − 5y − 6 = 0 及 2x − 5y + 10 = 0 都相切, 且圓心在直線 x− 2y + 2 = 0 上, 則此圓的方程式為。

註: 此題為67 夜甲乙丙丁, 74 乙丁組考過之形式; 故一些學生可速解求出。

. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. ..

... . . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . ..

L

₁

: 2x−5y+10=0

...

L

₂

: 2x−5y−6=0

... .

... x−2y+2=0 O

.. . . .. . . . .. . .. .. . . . .. . . .. .. . . .. . . . .. . . .. .. . . . .. . . .. .. . . .. . . .. . . . .. . . . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . . .. . . . . .. . . .. . .. . .. . . .. . . . .. .. . . .. . . . .. . .. . .. . . .. . . . .. . . . . .. . . .. . . .. .. . . . .. . . .. .. . . .. . . . .. . . .. .. . . . .. . . .. .. . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .

L: 2x−5y+2=0

速解: 因為

(

L

₁

: 2x − 5y + 10 = 0

L

₂

: 2x − 5y − 6 = 0 為兩平行切線

所以圓心O落在L

1

, L

₂

之中間線 L : 2x − 5y + 10 − 6 2 = 0上又O在 x − 2y + 2 = 0 上故

(

2x − 5y + 2 = 0 x− 2y + 2 = 0 ⇒

(

x= −6

y= −2 所以O(−6, −2) 又 r = d(o, L

1

) = | − 12 + 10 + 10|√

29 = 8

√29 所以(x + 6)

²

+ (y + 2)

²

= 64

29 為所求

註: 一般解法略

(4) 填充題第 (6) 題不宜以填充題形式命題, 否則難以鑑別學生真正的程度。

題目: 設

¹ _p

+

_3q ¹

= 12, 其中 p, q 為正數, 則 3 log¹

3 p+ log¹

3 q 的最大值為 , 此時 (p, q) = 。

法則: 設 m, p, n, q, r, s 皆為正數, mp + nq = k (定數), 求 p

^r

, q

^s

之最大值。

此試題死背下列過程即可。

當

^mp

r

=

^nq _s

=

^mp+nq _r+s

=

_r+s ^k

時, 得 p =

_m(r+s) ^rk

, q =

_n(r+s) ^sk

, 代入 p

^r

· q

^s

即得最大值。

特解: (1) 因為3 log¹

3 p+ log¹

3 q= log¹

3 p

³

+ log¹

3 q= log¹

3 p

³

q = log

₃ _p ¹

3

q

= log

₃

(

¹ _p

)

³

(

¹ _q

)

¹

, (2) 此題即己知

¹ _p

+

_3q ¹

= 12, p, q 為正數, 求 (

¹ _p

)

³

·

¹ _q

之最大值

(3)

故當

1 p

3

=

1 3q

1

=

1 p

+

_3q¹

4

=

¹² ₄

= 3 即 p =

¹ ₉

, q =

¹ ₉

代入 (

¹ _p

)

³

·

¹ q

中,

得 (

¹ _p

)

³

·

¹ _q

= 9

⁴

= 3

⁸

所以 log

₃ _p ¹

³

_q

= log

₃

3

⁸

= 8 為最大值且 (p, q) = (

¹ ₉

,

¹ ₉

)。

註: 此種解法, 學生們不一定了解, 甚至 3 log¹

3 p+ log¹

3 q 是發生最大或最小值皆不知道, 但是還是答對得分。

(5) 計算題四 (1) 超過課本教材範圍, 如此教師無法控制教材內容, 學生不易準備, 有助長補習之風。

題目: 考慮函數 f (x) = cos 2x + 4 sin

²

x− cos x − 2 (1) 解方程式 f (x) = 0。

(2) 在 0 ≤ x ≤ 2π 的條件下, 解不等式 f(x) > 0。

解: (1) cos 2x + 4 sin

²

x− cos x − 2 = 0

⇒ 2 cos

²

−1 + 4(1 − cos

²

x) − cos x − 2 = 0

⇒ 2 cos

²

x+ cos x − 1 = 0

⇒ (2 cos x − 1)(cos x + 1) = 0

⇒ cos x = 1

2 或 − 1 所以x = 2nπ ± π

3 或 x= (2n + 1)π, n∈ Z

註: 此一般解因教材未提, 故很多考生不會表達其解, 很可惜。

(2) f (x) > 0 由 (1) 得 (2 cos x − 1)(cos x + 1) > 0 所以 − 1 < cos x <

¹ ₂

但 0 ≤ x ≤ 2π 所以

^π ₃

< x <

⁵ ₃

π, 但 x 6= π。

...

_π

... x

3

. .. . .. ..

π 2

. .. . .. ..

π

... . . . .. .. ...

. .. . .. ..

3 2

π

⁵ ₃

π

. .. . .. ..

2π

. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. ... .. .. . .. .. . .. .. .

y 1

1 2

^.^.^.^.^.^.^.^.

0

−1^.^.^.^.^.^.^.^.

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. ..

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. ...

註: 第(2) 小題命題很好, 可惜教材未提及, 但 x 有範圍, 故考生表達其解, 該較沒問題。

(B) 社會組方面

(4)

(1) 試題很靈活, 但沒有簡易試題, 對社會組學生來說易造成放棄數學的學生增加。今年數學試題選擇題, 填充題的第 1 題均必須好好的運算, 易造成心理恐懼而失常。故筆者建議第 1 題最好安排簡易試題, 讓每位學生心平氣和的應考, 考出真正的實力。

例如考: (1) 計算 sin

²

30

^◦

+ sin

²

40

^◦

+ sin

²

50

^◦

= Ans:

⁵ ₄

(2) 求 11

⁵

− 4 · 11

⁴

− 72 · 11

³

− 56 · 11

²

+ 15 · 11 + 7 之值 Ans: 51 讓學生有基本分數可得。

(2) 拋物線的切線課本未提, 有補充的學校較佔便宜。

題目: 己知拋物線 Γ 之頂點為 (2, 2), 準線為 x = 1, Γ 為通過點 (0, 3) 之直線, 其斜率大於 0, 且 L 與 Γ 有唯一之交點 Q, 試求 L 之斜率及 Q 點之坐標。

.

...x

.. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . ... .. . .. .. .. . .. .. .

y

. . .. .. ...

Q(6, 6)

. . .. ..

...A(2, 2)

. . .. .. ...

B(1, 2)

. . . .. . ...

(0, 3) y= 2

0

... .

. . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. .. . .. .. . . .. .. . .. .. .. . . .. . . .. .. . .. . .. . .. .. .. .. .. . .. . .. .. . . .. .. . .. .. .. .. . . .. .. .. . . .. .

...

x= 1

... ..

.. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . . .. .. . .. .. .. . . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. .. .

解: (1) 令拋物線 Γ : (y − 2)

²

= 4c(x − 2)

因為AB = c = 1 所以Γ : (y − 2)

²

= 4(x − 2) (2) 令切線 L : y = mx + 3 代入 Γ 中

得 (mx + 1)

²

= 4(x − 2) ⇒ m

²

x

²

+ 2(m − 2)x + 9 = 0 · · · ·(∗) 因為相切所以 (∗) 有重根所以判別式= 4(m − 2)

²

− 36m

²

= 0

所以2m

²

+ m − 1 = 0 所以m =

¹ ₂

或 − 1 但 m > 0 所以m =

¹ ₂

代入 (∗) 得

^x ₄

² − 3x + 9 = 0 所以(−6)

²

= 0 所以x = 6, y = 6 得 Q(6, 6)

(C) 建議:

1. 聯考帶動數學教育的走向, 聯考如何考, 學生就如何聽, 與聯考無關的講解, 學生就不看不聽, 如“點至直線或平面的距離” “正餘弦定理” · · · 的證明, 這些定理教師辛苦講解與證明,

(5)

但學生們認為聯考不考, 希望教師多講一些試題, 應付聯考, 如此的導向, 不是很殘忍嗎?

故希望命題教授注重課堂上簡易證明題的命題。

2. 請命題教授對試題的安排由淺入深合理化, 如此才能真正測出學生的程度。

—本文作者任教於台南縣新化高中—

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