Basic Logic

Basic Logic

其實學習數學就像學習新的語言. ㄧ些名詞的定義就像 “單字” 一樣, 而邏輯 logic 就好 比是將這些單字組合成一個句子所需的 “文法”. ㄧ般同學在學習邏輯時, 會不自覺地將ㄧ些 邏輯規則以背誦的方式記憶, 這會造成以後學習上許多的障礙. 其實這些規則應該是潛意識 內的直覺, 這樣學習數學才能通行無阻.

在數學中能明確知道對或錯的論述我們稱之為 statement. 例如 2 > 0 是一個 statement, 3 < 2 也是一個 statement 但 x > 0 就不是一個 statement (除非我們知道 x 是什麼).

1.1. Connectives

數個 statements 可以組合成一個 statement, 連接這些 statements 的就是所謂 connec- tives. 我們要探討經由 connectives 連結成的 statement 其對或錯的情形.

1.1.1. And. 首先介紹的便是 “and” 這一個 connective. 這一個 connective 應該是大家 最容易理解的一個. 若 P 和 Q 皆為 statement, 我們用 P∧ Q 表示「P and Q」這一個 statement. P∧ Q 什麼時候是對的什麼時候是錯的呢? 按照字面的意義 “and” 就是 “且” 的 意思, 就如同習慣用語當 P 而且 Q 都是對時我們才能說 P∧ Q 是對的, 而只要 P 和 Q 其 中有一個是錯的, 我們便會說 P∧ Q 是錯的. 例如「2 > 0 and 2 < 7」是對的, 而「2 > 0 且 2 > 7」便是錯的.

我們可利用所謂的真值表 truth table 來表示用 connectives 連結兩個 statements 後其 對錯的情況. 我們用 T 表示對 (true), F 表示錯 (false). 所以我們有以下的 truth table.

P Q P∧ Q T T T T F F F T F F F F

基本上 Truth table 就是將 P, Q 每個可能對錯的情況列出, 然後由 P, Q 所對應的情況, 寫下它們連接後的對錯情況. 例如上表第三橫排為 P 為 T, Q 為 F 故寫下 P∧ Q 為 F.

1

很容易發現不管 P, Q 的對錯情況如何 P∧Q 和 Q∧P 的對錯情形皆相同. 也就是說 P∧Q 和 Q∧ P 在邏輯上是相等的. 我們稱它們為 logically equivalent.

Truth table 可以幫助我們判斷許多 statements 用 connectives 連接起來後其對錯的情 況, 例如 (P∧ Q) ∧ R 的 truth table 為

P Q R P∧ Q (P ∧ Q) ∧ R

T T T T T

T F T F F

F T T F F

F F T F F

T T F T F

T F F F F

F T F F F

F F F F F

Question 1.1. 你會列出 P∧ (Q ∧ R) 的 truth table 嗎?

注意 (P∧ Q) ∧ R 和 P ∧ (Q ∧ R) 在意義上是不ㄧ樣的. (P ∧ Q) ∧ R 是先探討 P ∧ Q 的對錯 再和 R 連結; 而 P∧ (Q ∧ R) 是先探討 Q ∧ R 的對錯再和 P 連結. 不過從它們的 truth table 我們知道 (P∧ Q) ∧ R 和 P ∧ (Q ∧ R) 為 logically equivalent.

1.1.2. Or. 當 P 和 Q 皆為 statement, 我們用 P∨ Q 表示「P or Q」這一個 statement. 按 照字面的意義 “or” 就是 “或” 的意思. 不過在我們日常用語中 “或” 有兩種用法: 例如在速 食店點套餐, 飲料可以選擇「可樂或果汁」. 這裡的 “或” 表示二者擇ㄧ, 你不可以兩個都選;

而遊樂園購票時規定「六歲以下或身高 105 公分以下」才可購買兒童票. 這裡的 “或” 表示 六歲以下和身高 105 公分以下二者有一個成立就可以, 並不排除六歲以下且身高 105 公分 以下同時成立的情況. 在數學邏輯上, “or” 指的是後面那種說法, 也就是說當 P 和 Q 其中 有一個是對的 P∨ Q 便是對的 (並不排除 P 和 Q 皆為對的情況). 換言之, 只有當 P 和 Q 都 是錯的, P∨ Q 才是錯的.

例如, 「4 < 5 or 4 < 3」這個 statement 是對的, 因為 4 < 5 是對的. 而「4 > 5 or 4 > 6」

這個 statement 便是錯的, 因為二者皆不成立. 要注意「4 < 5 or 4 > 3」這個 statement 依 然是對的, 雖然你會認為用 and 比較好, 不過在邏輯上它依然是對的, 千萬別搞錯.

我們有以下關於 P∨ Q 的 truth table.

P Q P∨ Q T T T T F T F T T F F F

Question 1.2. P∨ Q 和 Q ∨ P 是否為 logically equivalent? (P ∨ Q) ∨ R 和 P ∨ (Q ∨ R) 是否 為 logically equivalent?

既然 and, or 皆為 connectives, 我們可以將其混合使用. 例如當 P, Q, R 為 statements 我們可以考慮如 (P∧ Q) ∨ R, (P ∨ Q) ∧ R,... 等形式的 statements. 如何判定它們的對錯

呢? 例如 (P∧ Q) ∨ R 是對的就必須 (P ∧ Q) 或 R 其中一個是對的. 所以只要是 R 是對的, (P∧ Q) ∨ R 就ㄧ定對, 而若 R 是錯的那就必須 P,Q 皆對, (P ∧ Q) ∨ R 才會是對的. 注意, 千 萬不要誤以為 (P∧ Q) ∨ R 和 P ∧ (Q ∨ R) 是 logically equivalent. 很顯然的 P ∧ (Q ∨ R) 是對 的就必須 P 和 Q∨ R 皆為對的. 例如當 R 是對的時, 不管 Q 為對或錯 Q ∨ R 皆為對, 但還 必須 P 為對才可得到 P∧ (Q ∨ R) 是對的. 這和只要是 R 是對的, (P ∧ Q) ∨ R 就ㄧ定對不同, 所以 (P∧ Q) ∨ R 和 P ∧ (Q ∨ R) 不是 logically equivalent. 當然我們也可利用以下的 truth table 判定它們不是 logically equivalent.

P Q R P∧ Q (P ∧ Q) ∨ R

T T T T T

T F T F T

F T T F T

F F T F T

T T F T T

T F F F F

F T F F F

F F F F F

P Q R Q∨ R P ∧ (Q ∨ R)

T T T T T

T F T T T

F T T T F

F F T T F

T T F T T

T F F F F

F T F T F

F F F F F

另ㄧ方面, 利用以下 (P∨ R) ∧ (Q ∨ R) 的 truth table, 不難發現 (P ∧ Q) ∨ R 和 (P ∨ R) ∧ (Q∨ R) 為 logically equivalent.

P Q R P∨ R Q ∨ R (P ∨ R) ∧ (Q ∨ R)

T T T T T T

T F T T T T

F T T T T T

F F T T T T

T T F T T T

T F F T F F

F T F F T F

F F F F F F

Question 1.3. 試利用 truth table 檢查 (P∨ Q) ∧ R 和 (P ∧ R) ∨ (Q ∧ R) 是否為 logically equivalent.

我們可以利用 truth table 檢驗一些表示法是否為 logically equivalent. 在一些有關 logic 的書也會有一些 logical equivalences 的列表讓大家檢驗. 不過這些都是為了讓大家熟悉這 些 connectives 以及 truth table 的運用. 除了以後和論證有關的 logical equivalences 我們需 要注意且會特別提醒大家要熟悉, 一般來說大家不必花時間於記憶這些 logical equivalences.

最後提醒ㄧ下和 “or” 有關的數學符號 ≥ 和 ≤. 在數學上 x ≥ y 表示 x > y or x = y, 所 以 4≥ 3 這一個 statement 按照 or 的邏輯規則是對的. 同理 4 ≤ 5, 也是對的.

1.1.3. If - Then. 這是一個數學定理裡常見的 connective 但又是許多同學不甚了解而經 常誤解的 connective, 請務必弄清楚. 當 P 和 Q 皆為 statement, 我們用 P⇒ Q 表示「if P then Q」這一個 statement, 即「若 P 則 Q」的意思. 要注意 P⇒ Q 在數學上的意涵與純粹 邏輯上有所不同. 主要的區別是, 數學上 P⇒ Q 較常表達的是 P,Q 之間的因果關係 (也就是 說 P, Q 通常是相關的). 這裡 P, Q 通常不是 statement, 而是如「x 為實數」這樣的 “性質”.

而邏輯上將⇒ 看成是一個 connective 可以連結任意的 P,Q (即使它們毫無關係). 例如數學 上我們有 “if x > 3 then x²> 9” 這樣的 statement (注意 x > 3 和 x²> 9 皆不是 statement, 但用 if-then 連結後, 它是一個 statement). x > 3 和 x²> 9 是有關係的. 而在邏輯上在我們 有 “if 3 > 2 then 2 is even” 這樣的 statement (即使 3 > 2 和 2 為偶數是沒有關係的). 在探 討 P⇒ Q 在邏輯上對錯的情況之前, 我們先強調它在數學理論以及推理與論證上的意涵.

在數學上, 當我們說「if P then Q」意即 “當 P 成立時, Q 一定成立”. (注意: 為了區別 性質與 statement, 我們說一個性質成不成立, 而不用對錯這樣的說法.) 這裡要強調的是, 當 我們說 if P then Q 表示我們僅知道如果 P 成立, 則可確定 Q 一定成立. 如果 P 不成立, 是 無法知道 Q 是否成立. 所以在數學上要論述「if P then Q」我們只關心當 P 成立時, Q 是否 也成立這樣的 “因果關係”, 不必在意 P 不成立的情況. 這一點和邏輯上的「if P then Q」看 成 P, Q 這兩個 statements 的 connective 相當的不同, 因為既然要讓「if P then Q」成為一 個 statement, 就必須明定 P, Q 在任何的對錯情況時 P⇒ Q 的對錯情況. 另外我們也要強調 P⇒ Q 和 Q ⇒ P 在數學上是完全不一樣的. 有許多同學會誤以為可由 P ⇒ Q 推得 Q ⇒ P.

這是不對的, 事實上 P⇒ Q 僅表示由 P 成立可推得 Q 成立, 但不表示當 P 不成立時不會使 得 Q 成立. 例如我們知道 if x > 3 then x²≥ 9, 但這並不表示當 x ≤ 3 時不會使得 x²≥ 9. 也 就是說我們無法由 Q 成立得到 P 成立. 總而言之, P⇒ Q 並不能確保 Q ⇒ P. 等一下我們 定義「if P then Q」在邏輯上的對錯情況時, 我們也會發現 P⇒ Q 和 Q ⇒ P 在邏輯上也不 是 equivalent.

Question 1.4. 如果我們知道 P 成立則 Q 成立. 那麼當我們發現 Q 不成立時, 是否可以斷 言 P 也不成立?

現在我們來看在邏輯上如何定義 P⇒ Q 的對錯情況. 從前面數學上的意義來看, 當 P,Q 為 statements 時, 如果 P 是對的且 Q 是對的, 那麼並未違背 P⇒ Q 的說法, 所以在這種情 況我們定 P⇒ Q 為對. 但若 P 是對的而 Q 是錯的, 那麼就違背 P ⇒ Q 的說法, 所以在這種 情況我們定 P⇒ Q 為錯. 但是若 P 是錯的, 如何定 P ⇒ Q 的對錯呢? 由於 P ⇒ Q 並未論及 當 P 是錯時, Q 會如何, 所以當 P 是錯時, 不管 Q 的對錯都未違背前述 P⇒ Q 的說法, 所 以此時我們都定義 P⇒ Q 為對. 例如 2 > 3 是錯的且 2²> 9 是錯的, 但這並不違背前面所 提 if x > 3 then x²> 9 這一個對的 statement. 另一方面,−4 > 3 是錯的, 但 (−4)²> 9 是對 的, 也不違背前述 if x > 3 then x²> 9 這一個對的 statement. 總而言之, 關於 P⇒ Q 我們 有以下的 truth table.

P Q P⇒ Q T T T T F F F T T F F T

Question 1.5. 試利用 truth table 判斷 Q⇒ P 和 P ⇒ Q 是否為 logically equivalent?

(P⇒ Q) ⇒ R 是否和 P ⇒ (Q ⇒ R) 為 logically equivalent?

或許有些同學對 P⇒ Q 的對錯情況為何這麼定義仍有疑慮, 在我們介紹 “if and only if”

這個 connective 時會再進一步說明.

最後我們補充 P⇒ Q 在英文上的幾種說法. 除了「if P then Q」外, 還有

• 「Q if P」

• 「P implies Q」

• 「P is sufficient for Q」(意即 P 成立足以使得 Q 成立)

• 「Q is necessary for P」(意即需要 Q 成立才有可能使得 P 成立)

• 「P only if Q」(意即只有當 Q 成立時 P 才可能成立)

• 「Q whenever P」(意即每當 P 成立時 Q 都會成立)

1.1.4. If and Only If. 當我們將 P⇒ Q 和 Q ⇒ P 用 and 連接時, 即 (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P), 我們稱之為 “P if and only if Q”, 用 P⇔ Q 來表示.

我們依然先探討在數學上 P⇔ Q 的意義. 依定義在數學上我們說 P ⇔ Q 表示 P ⇒ Q 且 Q⇒ P. 也就是說若 P 成立則 Q 一定成立, 另一方面若 Q 成立則 P 一定成立. 因此 P,Q 有一個成立時另一個一定也成立. 換言之, P⇔ Q 表示若 Q 成立則 P 一定成立而且只有當 Q 成立時才會使得 P 成立 (否則會造成 P 成立但 Q 不成立的情況). 這也是在中文我們將 P⇔ Q 稱之為 “P 若且唯若 Q ” (或 P 當且僅當 Q) 的原因.

現在我們來看在邏輯上 P⇔ Q 的對錯情況. 從前面數學上的意義來看, 我們可以知道 P⇔ Q 表示 P 對則 Q 且 Q 對則 P 對. 不會有一對一錯的情況. 因此若 P,Q 有一個錯則另 一個一定也是錯的. 也就是說在邏輯上 P⇔ Q 是對的表示 P 和 Q 必須是同時是對的或同 時是錯的. 所以我們有以下關於關於 P⇔ Q 的 truth table.

P Q P⇔ Q T T T T F F F T F F F T

Question 1.6. 試利用 P⇒ Q 以及 Q ⇒ P 的 truth table 寫下 P ⇔ Q 的 truth table.

Question 1.7. P⇔ Q 和 Q ⇔ P 是否為 logically equivalent? (P ⇔ Q) ⇔ R 和 P ⇔ (Q ⇔ R) 是否為 logically equivalent?

邏輯上 P⇔ Q 對錯的情況, 和數學上的情況很一致, 大家應該覺得較為自然. 現在我們 利用 P⇔ Q 來解釋為何邏輯上只要 P 是錯的, 不管 Q 的對錯, P ⇒ Q 都定義為對的. 當 然了, 因為 (P⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P) 就是 P ⇔ Q, 所以當 P,Q 皆為錯時, 為了讓 P ⇔ Q 為對, 我 們當然要定義 P⇒ Q 和 Q ⇒ P 為對. 所以當 P,Q 皆為錯時, 我們定義 P ⇒ Q 為對. 至於 P 錯 Q 對的情形, 由於此時 Q⇒ P 為錯, 不管 P ⇒ Q 怎麼定都可以使得 P ⇔ Q 為錯. 然 而此時若 P⇒ Q 定為錯, 將會導致 P ⇒ Q, Q ⇒ P 和 P ⇔ Q 皆有相同的 truth table (亦即 equivalent), 此和前述數學上不能由 P⇒ Q 推得 Q ⇒ P 相違背, 所以當 P 錯 Q 對的情形, 我們依然定義 P⇒ Q 為對.

最後我們補充 P⇔ Q 在英文上的幾種說法. 除了「P if and only if Q」外, 還有

• 「P iff Q」

• 「P is equivalent to Q」

• 「P is necessary and sufficient for Q」

1.2. Logical Equivalence and Tautology

前面我們介紹過 logical equivalence 的概念. 我們可以利用 logical equivalence 的一些 規則推導出更多的 logical equivalences. 這樣的好處是不必每次都用 Truth table 來探討有 關 logical equivalence 的問題.

首先我們再釐清一個說法. 當 P, Q 是確定的 statements 時, P∧ Q 和 Q ∧ P 也會是確定 的 statements (也就是說它們對錯的情況已經固定), 所以此時說 P∧ Q 和 Q ∧ P 是 logically equivalent 並不是很恰當. 事實上我們是將 P, Q 看成變數一樣, 它們可以用任意的 statement 取代, 所以此時 P∧ Q 的對錯會因為 P,Q 的不同而有所不同, 故此時說 P ∧ Q 是 statement 也不恰當. 為了方便起見, 這裡 (指的是本講義) 當 P, Q 是可變動的情況之下, 我們便稱它們 利用 connectives 連結起來的結果為 “statement form”, 例如我們會說 P∧ Q 和 Q ∧ P 這兩 個 statement forms 為 logically equivalent. 另外我們用 “∼” 來表示兩個 statement forms 為 logically equivalent, 例如我們有 (P∧ Q) ∼ (Q ∧ P).

第一個常見的 logical equivalence 的使用規則是: 我們可以將 logically equivalent 的 兩個 statement forms 其中同一個變數用其他的 statement form 取代, 仍可得到 logical equivalence. 例如已知 (P∧ Q) ∼ (Q ∧ P), 我們可將 P 用 P ⇒ Q 取代得

((P⇒ Q) ∧ Q) ∼ (Q ∧ (P ⇒ Q)).

這個規則的原因很簡單, 因為既然 logically equivalent 的 statement forms 有相同的 truth table, 我們將其中某個變數任意變換當然最後所得新的 statement forms 仍會有相同的 truth table. 同樣的道理, 我們可以將其中某個變數用兩個 (或好幾個) logically equivalent 的 statement forms 取代, 最後所得新的 statement forms 仍為 logically equivalent. 例如已 知 (P∧ Q) ∼ (Q ∧ P) 以及 (R ∨ S) ∼ (S ∨ R), 所以可以將 (P ∧ Q) ∼ (Q ∧ P) 左邊的 P 用 R ∨ S 取代, 而右邊的 P 用 S∨ R 取代得

((R∨ S) ∧ Q) ∼ (Q ∧ (S ∨ R)).

還有一個常用的規則是, 如果兩個 statement forms A, B 是 logically equivalent 而 B 和 另一個 statement form C 也是 logically equivalent, 那麼 A 和 C 也是 logically equivalent.

例如我們有 ((P∧ Q) ∨ R) ∼ ((Q ∧ P) ∨ R), 也有 ((Q ∧ P) ∨ R) ∼ (R ∨ (Q ∧ P)), 故可得 ((P∧ Q) ∨ R) ∼ (R ∨ (Q ∧ P)).

這個規則會成立的原因仍然由 truth table 的全等可以得到.

利 用 這 些 規 則 我 們 可 以 不 必 藉 由 truth table 很 容 易 推 得 一 些 statement forms 為 logically equivalent. 簡單來說我們可以將 logically equivalent 如 “等號” 一樣運用. 我們前

面學過的 logical equivalences, 例如∧ 的交換性和 ∨ 的交換性, 即

(P∧ Q) ∼ (Q ∧ P), (P ∨ Q) ∼ (Q ∨ P) (1.1) 以及∧ 的結合性和 ∨ 的結合性, 即

((P∧ Q) ∧ R) ∼ (P ∧ (Q ∧ R)), ((P ∨ Q) ∨ R) ∼ (P ∨ (Q ∨ R)) (1.2) 還有∧,∨ 之間的分配性質, 即

((P∧ Q) ∨ R) ∼ ((P ∨ R) ∧ (Q ∨ R)), ((P ∨ Q) ∧ R) ∼ ((P ∧ R) ∨ (Q ∧ R)) (1.3) 都是常用來幫助我們推導許多 logical equivalences 的工具.

Example 1.2.1. 考 慮 (P∧ Q) ∨ (P ∨ Q) 這一個 statement form. 利用式子 (1.3) 中的 ((P∧ Q) ∨ R) ∼ ((P ∨ R) ∧ (Q ∨ R)), 將 R 用 P ∨ Q 取代, 我們有

(P∧ Q) ∨ (P ∨ Q) ∼ ((P ∨ (P ∨ Q)) ∧ (Q ∨ (P ∨ Q))). (1.4) 再由 (P∨ (P ∨ Q)) ∼ ((P ∨ P) ∨ Q) 以及 (Q ∨ (P ∨ Q)) ∼ (Q ∨ (Q ∨ P)) ∼ ((Q ∨ Q) ∨ P) 得

((P∨ (P ∨ Q)) ∧ (Q ∨ (P ∨ Q)) ∼ (((P ∨ P) ∨ Q) ∧ ((Q ∨ Q) ∨ P)). (1.5) 很容易檢查 (P∨ P) ∼ P 以及 (Q ∧ Q) ∼ Q, 故知

(((P∨ P) ∨ Q) ∧ ((Q ∨ Q) ∨ P)) ∼ ((P ∨ Q) ∧ (Q ∨ P)) ∼ (P ∨ Q). (1.6) 最後連結式子 (1.4), (1.5), (1.6), 得

((P∧ Q) ∨ (P ∨ Q)) ∼ (P ∨ Q).

當一個 statement form 其 truth table 在任何情況之下皆為對, 我們稱此 statement form 為 tautology. 意即它是重複多餘的. 例如 P⇔ P 的 truth table 為

P P⇔ P

T T

F T

,

故 P⇔ P 為 tautology.

Question 1.8. P⇒ P 是否為 tautology? P ⇒ (P ⇒ P) 是否為 tautology?

Tautology 雖然有重複多餘的意思, 但它在邏輯上仍是有意思的. 它可以幫我們用另一 種方法來詮釋 logically equivalent. 當兩個 statement forms A, B 為 logically equivalent 時, 因為 A, B 的對錯情況一致, 我們有 A⇔ B 恆為對. 意即 A ⇔ B 為 tautology. 反之, 當 A ⇔ B 為 tautology 時, 由於 A, B 的對錯情形一致, 它們有相同的 truth table. 意即 A∼ B. 我們有 以下的性質.

Proposition 1.2.2. 假設 A, B 為兩個 statement forms. 則 A 和 B 為 logically equivalent 等同於 A⇔ B 為 tautology.

其實在前面的說明中, 我們先假設 A∼ B 成立推得 A ⇔ B 為 tautology (即若 A ∼ B 則 A⇔ B 為 tautology), 後又由 A ⇔ B 為 tautology 推得 A ∼ B. 故 Proposition 1.2.2 可以說 成 A∼ B 若且唯若 A ⇔ B 為 tautology.

Question 1.9. 假設 A, B 為兩個 statement forms. 若 A∼ B 可否推得 A ⇒ B 為 tautology?

若 A⇒ B 為 tautology 可否推得 A ∼ B?

Question 1.10. 假設 A, B,C 為 statement forms. 若 A⇔ B 和 B ⇔ C 皆為 tautology, 是否 可推得 A⇔ C 為 tautology?

和 tautology 相反的是所謂的 contradiction (矛盾). 它指的是一個 statement form 在任 何情況之下皆為錯的. 關於 contradiction, 我們會在下一節介紹 “not” 之後再探討.

Question 1.11. 假設 A, B 為 statement forms.

(1) 若 A 為 tautology, 試說明 (A∧ B) ∼ B 並說明 A ∨ B 為 tautology.

(2) 若 A 為 contradiction, 試說明 (A∨ B) ∼ B 並說明 A ∧ B 為 contradiction.

1.3. Not and Contradiction

我們介紹 “not” 以及和 not 有關的 equivalences. 本節內容分量比前面幾節重, 而且許 多情形很可能和你的直覺不同. 希望大家能好好熟習, 糾正錯誤的直覺, 而將正確觀念成為 你的本能反應而不是盲目地記誦.

Not 有否定和相反的意思, 給定一個 statement P, 我們用¬P, 來表示 not P, 一般稱為

“非 P”. 它的定義就是當 P 為對時, ¬P 就為錯. 反之, 當 P 為錯時, ¬P 就為對. 所以我們有 以下¬P 的 truth table.

P ¬P T F F T

.

利用這個定義, 我們馬上有

P∼ ¬(¬P). (1.7)

Not P 雖然定義簡單, 但是對於由許多 connectives 連結的 statement 取 not 之後, 其 對錯狀況就較複雜了. 例如 ¬(P ∧ Q), 或許很多人會誤以為是 (¬P) ∧ (¬Q), 不過檢查一下 truth table 可得

P Q P∧ Q ¬(P ∧ Q)

T T T F

T F F T

F T F T

F F F T

P Q ¬P ¬Q (¬P) ∧ (¬Q)

T T F F F

T F F T F

F T T F F

F F T T T

很明顯看出, 在 P 對 Q 錯或 P 錯 Q 對時,¬(P ∧ Q) 和 (¬P) ∧ (¬Q) 是不同的. 事實上, 利用 truth table, 我們可得

¬(P ∧ Q) ∼ (¬P) ∨ (¬Q). (1.8)