1654 r = ‧ a a a a a nn -+ 1

(1)

高中數學(2) 2-1 數列 1

習題習題習題

習題 2-1 解答解答解答解答一

一一

一﹑基本題基本題基本題基本題

1. 寫出以下各數列的前 6 項：

(1) 〈5n－3〉

(2)

n

²

− + n 1

(3)

( 1) 1 2

n n

− +

解解解

解 (1) 2﹐7﹐12﹐17﹐22﹐27 (2) 1﹐3﹐7﹐13﹐21﹐31 (3) 0﹐1﹐0﹐1﹐0﹐1

2. (1) 等差數列

a

_n 為 1﹐4﹐7﹐…。回答下列問題：

① 試求第 40 項

② 寫出數列

a

_n 的遞迴式

(2) 等差數列

a

_n 中﹐a₁=77﹐且 a_n =a_n₋₁−5, n≥2。試求 a ₄₀

解解解

解 (1) 等差數列

a

_n ：1﹐4﹐7﹐…的首項 a₁=1﹐公差 d＝3

① 第 40 項 a₄₀ = +1 ( 40 1) 3 118− × =

②

a

_n 的遞迴式為 ¹

1

1,

3, 2

n n

a

a a

₋

n

=

 

= + ≥

 。

(2) 由 a_n =a_n₋₁−5 得公差 d = −a_n a_n₋₁= −5﹐因此

40 1 ( 40 1) 77 39 ( 5 ) 118 a = +a − × =d + × − = −

3. (1) 等比數列首項為 2﹐公比為－3﹐試寫出其第 n 項

(2) 等比數列

a

_n 中﹐a1＝16﹐且 a_n =ra_n₋₁, n≥2。若 a₄ =54 且 r 為正實數﹐試求其公比 r

解解

解解 (1)

a

_n

= 2 ‧ ( 3) −

ⁿ⁻¹

(2) 因為

a

₄

= a r

₁ ³

= 16 r

³﹐ 所以

16 r

³

= 54

^﹐得 ³ ²⁷

r = 8 ﹐因此 3 r= 2

(2)

高中數學(2) 2-1 數列 2

4. 蜜蜂哥哥用牙籤排成正六邊形﹐且邊與邊緊靠在一起﹐排成如下圖形：

(1) 若排成 10 個正六邊形﹐則總共用了多少根牙籤？

(2) 若蜜蜂哥哥總共用了 201 根牙籤排成上圖﹐則他共排出了幾個正六邊形？

解解解

解 (1) 6＋5×9＝51（根）

(2) 201 6

1 40

5− + = （個）

5. 第 1 天獲得 3 元﹐第 2 天獲得 9 元﹐第 3 天獲得 27 元﹐每天所獲得的錢為前一天的 3 倍﹐如此進行﹐試問第 19 天所獲得的錢最接近一百萬﹑一千萬﹑一億﹐還是十億？

解解

解解第 19 天獲得

3

¹⁹

= 1162261467

^{﹐最接近十億。}^{（利用計算機按} ^﹐ ^﹐ ^﹐ ^﹐ ^）

二二

二二﹑進階題進階題進階題進階題

6. 試寫出以下各數列的一般項 a ： _n (1) 等差數列 1﹐5﹐9﹐13﹐17﹐…

(2) 等比數列

4 4 4 4

4, , , , ,

3 9 27 81

^…

(3)

1 1 1 1 1

, , , , ,

2 5 8 11 14

− − −

…（分母是等差﹐每項正負號交錯）

解解解

解 (1) a_n = +1 (n− × =1) 4 4n−3 (2)

1 1

4 3

n

an

 −

=  

‧ 

(3) 1 ( 1)

( 1) 2 ( 1) 3 3 1

n n

an

n n

= − = −

+ − × −

‧

7. 試用數學歸納法證明：1 21 21 2+ + ++ + ++ + +LLL… (((nn− + +− + +− + +1)1)1) nn (((nn− + + + =− + + + =− + + + =1)1)1) …LLL 2 12 12 1 nn² 對所有正整數 n 均成立

證證證

證 (1) n＝1 時﹐左式＝1＝1²＝右式﹐原式成立

(2) 設 n＝k 時﹐原式成立﹐即 1＋2＋…＋（k－1）＋k＋（k－1）＋…＋2＋1＝

k

² 則 n＝k＋1 時﹐

左式＝1＋2＋…＋（k－1）＋k＋（k＋1）＋k＋（k－1）＋…＋2＋1

＝k²+(k+ +1) k

＝(k+1)²

＝右式﹐

所以 n＝k＋1 時﹐原式亦成立 故由數學歸納法得證

(3)

高中數學(2) 2-1 數列 3

8. 用黑﹑白小正方形依照如下的規律拼成若干圖形

…

設 a 是第 n 圖中的白色正方形個數 _n

(1) 試求 a a₁, ₂, a₃, a ₄ (2) 設 n≥2﹐求出 a 與 _n a_n₋₁ 之間的關係 (3) 寫出數列

a

_n 的遞迴式 (4) 試求一般項 a _n

解解解

解 (1) a₁=8﹐a₂ =12﹐a₃=16﹐a₄ =20

(2) 由觀察圖形得知﹐第 n 圖的四個邊比第 n－1 圖的四個邊都增加 1 個白色正方形﹐

共增加 4 個﹐所以 a_n =a_n₋₁+4, n≥2

(3) 由(1) ﹑(2) 得知〈an〉的遞迴式為 ¹

1

8,

4, 2

n n

a

a a

₋

n

=

 

= + ≥

 。

(4) 由(3)知

a

_n 為等差數列﹐a₁ =8﹐d＝4﹐所以 a_n = +8 (n− × =1) 4 4n+4

9. (1) 等差數列

a

_n 中﹐已知 a₃+a₁₁ =40 且公差不為 0﹐若 a₆+ =a_k 40﹐則 k＝？

(2) 等比數列

a

_n 中﹐已知公比是正數﹐且 a a a_{1 2 3} =8﹐a a a_{2 3 4} =64﹐試求其首項與公比。

解解

解解 (1) 設等差數列

a

_n 的公差為 d﹐且 d ≠0﹐ 則由 a₃+a₁₁ =40= +a₆ a_k﹐

得 a₁+2d+a₁+10d = +a₁ 5d+ +a₁ (k−1)d﹐

化簡得 12d＝（k＋4）d﹐因為 d ≠0﹐所以 k＋4＝12﹐得 k＝8

(2) 設公比為 r﹐

由 ^{2 3 4}

1 2 3

64 8 a a a

a a a = ﹐得 ⁴

1

a 8

a = ﹐所以

r

³

= 8

﹐因為公比為正數﹐所以 r＝2 又

a a a

_{1 2 3}

= r r

₁^{3 3}

= 8

^{﹐r＝2 代入得} a1=1。故首項為 1﹐公比為 2

(4)

高中數學(2) 2-1 數列 4

三三

三三﹑挑戰題挑戰題挑戰題挑戰題

10. (1) 設數列

a

_n 滿足遞迴式

1

1 1 , 2

n

a

a n

a₋

= −



 = − ≥



﹐試求 a₂₀₀

(2) 承(1) ﹐若 a₁ = −2﹐其餘條件不變﹐試求 a₂₀₀

解解解

解 (1) 由

a

_n 的遞迴式

1

1,

1 1 , 2,

n

a

a n

a₋

= −



 = − ≥

 得 a₁= −1﹐

2

1 1 2 a = − 1=

− ﹐

3

1 1 1 2 2 a = − = ﹐

4

1 1 1 1 2

a = − = − ﹐

5

1 1 2 a = − 1=

− ﹐ a6＝1－1

2＝1 2﹐ :

知

a

_n 每 3 個一循環﹐而 200＝3×66＋2﹐所以 a₂₀₀= =a₂ 2

(2) 承(1) 若 a₁ = −2﹐其餘條件不變﹐則

1 2

a = − ﹐ ₂ 1 3

1 2 2 a = − =

− ﹐ ₃ 1 1

1 3 3 2 a = − =

4

1 1 2 1 3

a = − = − ﹐ ₅ 1 3 1 2 2 a = − =

− ﹐ ₆ 1 1

1 3 3 2

a = − = ﹐…

也是 3 個一循環﹐所以 ₂₀₀ ₂ 3 a = =a 2