a a a − 1 2 2 − 2 2 i − 2 − 2 2

高雄市明誠中學 高一數學複習測驗 日期：95.10.05 班級 普一 班

範

圍 1-4 複數

座號

姓 名 一、選擇題 (每題 5 分)

1. 下列各式何者正確？

(A) 6= − ×2 − (B)3 − = − 2 × 3 (C)6 2 3

− = 2 3

− (D) 2 3

− = − 2 3

−

【解答】(D)

【詳解】

(A) − ×2 − =3 2

i

× 3

i

= 6i²= − 6 ，故 6 ≠ − ×2 − 3 (B) − =6 6 ，− 2 × 3 = − 6 ，故

i

− ≠ − 2 × 3 6

(C) 3 3

2 = 2× −1

− =

i

2 3 ，

2 3

− =

i

23 = ₂ 2

3

i

i

．． = 2 3

−

i = − i

2 3

(D)由(C)可知 2 3

− =

i

2 3 ，−

2 3

− = − ( −

i

2

3 ) =

i

2 3 ，故

2 3

− = − 2 3

− 2. 設a，b均為非零的實數，下列何者成立？（其中i = − ） 1

(A)

a

² = a (B) − = a i (C) a ． b = ab (D)

a b a =

b

a

(E) i⁸³ = − i

【解答】(E)

【詳解】

(A)∵

a

² = | a | ∴

a

² = a不真

(B)∵ 當a < 0 時， a i = ( − i)i = −

a

− ∴

a

− = a i不恆真

a

(C)當a < 0，b < 0 時， a ． b= − ab ∴

a b

= ab 不恆真 (D)當a > 0，b < 0 時，

b a = − b a

∴

b a = b

a

不恆真

(E)∵ i⁴ = 1 ∴ i⁸³ = i³ = − i為真 3. 下列敘述何者正確？

(A)若z = a + bi為複數，則b為z之虛部 (B)若a + bi = 0，則a = b = 0 (C)若a²

> b

²，則a²

− b

² > 0 (D)若a²

− b

² > 0，則a²

> b

²

【解答】(C)

【詳解】

(A)若z = a + bi為複數且a，b ∈ R，則b才為z之虛部，故(A)不正確 (B)若a + bi = 0 且a，b ∈ R，則a = b = 0，故(B)不正確

(C)若a²

> b

²，則a²

− b

² > 0 成立，故(C)正確

(D)若a²

− b

² > 0 且a²，b²

∈ R，則a

²

> b

²，故(D)不正確 4. (複選)設 a，b，c，d ∈ R，z ∈ C，

ω =

2 3 1+ i

− ，則下列何者正確？

(A) a − bi 之虛部為 b (B) a + bi = c + di ⇔ a = c，b = d (C) a + b

ω = c + d ω

⇔ a = c，b = d (D) a + bz = c + dz ⇔ a = c，b = d (E)若 ab > 0，a + b < 0，則 a < 0，b < 0

【解答】(B)(C)(E)

【詳解】

(A) a − bi = a + (− b)i 之虛部為 − b (B)恆成立

(C)當

ω

為任意虛數時，a + b

ω = c + d ω

⇔ a = c，b = d (D)必須 z 為虛數時才成立

(E)已知 a，b ∈ R ∴ a + b < 0，ab > 0，恆得 a < 0，b < 0 5. (複選)設

α

，

β

，

γ

為複數，則下列何者為真？

(A)若

α + β

，

β + γ

，

γ + α ∈ R，則 α

，

β

，

γ ∈ R (B)若 α

²

+ β

² = 0，則

α = 0， β = 0

(C)若

α

．

β = 0，則 α = 0 或 β = 0 (D)若 α

．

β

．

γ ∈ R，則 α

，

β

，

γ

∈ R (E)以上皆非

【解答】(A)(C)

【詳解】

(A)由實數加法乘法封閉性知

α =

2

1[(

α + β

) − (

β + γ

) + (

γ + α

)] ∈ R ∴

α

，

β

，

γ ∈ R為真

(B)若

α = 1， β = i，則 α

²

+ β

² = 0，但

α ≠ 0， β ≠ 0 ∴ (B)不真

(C)若

α = a + bi， β = c + di，a，b，c，d ∈ R

若

α

．

β = 0，則(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i = 0 ⇒ ac − bd = 0，ad + bc = 0

∴ (a²

+ b

²) (c²

+ d

²) = a² (c²

+ d

²) + b² (c²

+ d

²) = a²

c

²

+ a

²

d

²

+ b

²

c

²

+ b

²

d

²

= (a²

c

²

− 2acbd + b

²

d

²) + (a²

d

²

+ 2adbc + b

²

c

²) = (ac − bd) ² + (ad + bc) ² = 0 + 0 = 0 ⇒ a²

+ b

² = 0 或c²

+ d

² = 0

∵

a，b，c，d ∈ R ∴ a = b = 0 或c = d = 0，故 α = 0 或 β = 0 ∴ (C)為真

(D)當

α = i， β = − i， γ = 1，則 αβγ = 1 ∈ R但 α ∉ R ∴ (D)不真

6. 設

α

，

β

為x²

+ 6x + 4 = 0 之二根，則( α

+

β

)² =？

(A) − 2 (B) − 4 (C) − 6 (D) − 8 (E) − 10

【解答】(E)

【詳解】

∵

α

，

β

是x²

+ 6x + 4 = 0 之二根， α + β = − 6， αβ = 4，且

b²−4ac 0> ⇒

α < 0， β < 0，

故(

α

+

β

)² =

α + β + 2 α β

= (

α + β

) − 2

αβ

= (− 6) − 2 4 = − 6 − 4 = − 10

二、填充題(每題 10 分) 1. 化簡

9 2

) 25 1

( ) 16 3

(

− +

− +

−

−

− ．

為標準式得 。

【解答】7 − i

【詳解】

9 2

) 25 1

( ) 16 3

(

− +

− +

−

−

− ． =

i i i

3 2

) 5 1 )(

4 3 (

+ +

−

−

= i

i 3

2

) 15 4 ( ) 20 3 (

+ + + +

− =

i i 3 2

19 17

+

+ =

) 3 2 )(

3 2 (

) 3 2 )(

19 17 (

i i

i i

− +

−

+ =

9 4

) 51 38 ( ) 57 34 (

+

− +

+ i=

13 13

91− i = 7 − i 2. 設a，b ∈ R，

i i

−

− 2

3

4 = a + bi，則數對(a，b) = 。

【解答】(

5 11，−

5 2)

【詳解】 i i

−

− 2

3

4 =

) 2 )(

2 (

) 2 )(

3 4 (

i i

i i

+

− +

− =

1 4

) 6 4 ( 3 8

+

− +

+ i=

5 2 11− i=

5 11− i

5

2 = a + bi，(a，b) = ( 5 11，−

5 2) 3. 設x，y ∈ R且

yi x

i i

+

− +3)(1 2) 2

( = 1 − i，則(1) x = 。 (2) y = 。

【解答】(1) 2 9 (2)

2 7

【詳解】 (2 3 )(1 2 ) (2 3 )(1 2 )(1 ) (8 )(1 ) 9 7 9 7

1 1 1 2 2

i i i i i i i i

2 2

x yi i

i

+ − + − + − + +

+ = = = = = +

− +

4. 設z = 3 + 2i，i = − ，且1

ω =

1 1 +

− z

z ，則

ω

之共軛複數ω 之虛部為 。

【解答】−

5 1

【詳解】

∵

z = 3 + 2i

∴

ω =

1 1 +

− z

z =

1 2 3

1 2 3

+ +

− +

i

i =

i i 2 4

2 2

+ + =

i i + + 2

1 =

1 4

) 2 )(

1 (

+

− +i i =

5

3+i⇒ω= 5 3−

5

i ∴ 虛部為 − 5 1

5. x，y ∈ R，若

yi x

i

+ + 3

1 = 1 + i，則數對(x，y) = 。

【解答】(2，1)

【詳解】

∵

x yi i

+ + 3

1 = 1 + i ∴ x + yi = i

i + + 1

3

1 =

) 1 )(

1 (

) 1 )(

3 1 (

i i

i i

− +

−

+ =

2 2

4+ i = 2 + i

∵

x，y ∈ R ∴ x = 2，y = 1

5. 設 )

3 5

2 (7

i i

−

+ = a + bi，其中a，b為實數，試求有序數對(a，b) = 。

【解答】(

34 29，

34

−31 )

【詳解】 )

3 5

2 (7

i i

−

+ =

i i 3 5

2 7

− + =

i i 3 5

2 7

+

− =

) 3 5 )(

3 5 (

) 3 5 )(

2 7 (

i i

i i

− +

−

− =^{29 31}_{2 2} 5 3

− i

+ =

34 29+

34

−31 i

∴ (a，b) = ( 34 29，

34

−31 )

6. (1)化簡(1 − i)¹⁰⁰ = 。 (2) 化簡(

2 1 i+

)¹⁰⁰ + ( 2 1 i−

)¹⁰⁰= 。

【解答】(1)− 2⁵⁰ (2) − 2

【詳解】

(1) (1 − i)² = 1 − 2i + i²

= − 2i， 故 (1 − i)

¹⁰⁰ = [(1 − i)²]⁵⁰ = (− 2i)⁵⁰ = 2⁵⁰．

i

⁵⁰ = 2⁵⁰ (i² ) = − 2⁵⁰ (2)∵ (

2 1 i+

)² = 2

) 1 ( +

i

²

= 2

2i= i，同理(

2 1 i−

)² = 2

) 1 ( −

i

²

= 2

−2i= − i

∴ ( 2 1 i+

)¹⁰⁰ + ( 2 1 i−

)¹⁰⁰ = i⁵⁰ + (− i)⁵⁰ = i⁵⁰ + i⁵⁰ = 2 i⁵⁰ = − 2 7. (1) 複數( 2− i)⁴的虛部為 。(2)(

2 3 1+ i

)⁶⁰ + ( 2

3 1− i

)⁶⁰ = 。

【解答】(1)− 4 2 (2)2

【詳解】

(1) ( 2− i)² = 1 − 2 2

i

⇒ ( 2 − i)⁴ =[( 2−i) ]^{2 2} = −(1 2 2 )i ² = − 7 − 4 2 i (2)設

α

=

2 3 1− i

，則

α

² = 2

3 1− i

− ⇒

α

³ =

2 3 1− i

．( ^{1 3} 2 + i

− )= −1

∴原式 = (−

2 3 1+ i

)⁶⁰ + ( 2

3 1− i

)⁶⁰

= (

α

²)⁶⁰ +

α

⁶⁰=

α

¹²⁰

+ α

⁶⁰ = (

α

³)⁴⁰ + (

α

³)²⁰ = (− 1) ⁴⁰ + (− 1) ²⁰ = 2 8. 設a，b ∈ R且[(a + 1) − 4i] + [5 + (b − 2)i] = 2 + 5i，則

a

+ = 。

bi

【解答】− 4 − 11i

【詳解】

[(a + 1) − 4i] + [5 + (b − 2)i] = 2 + 5i ⇒ (a + 1 + 5) + (− 4 + b − 2)i = 2 + 5i

⇒ (a + 6) + (b − 6) i = 2 + 5i ⇒ ∴

∴

⎩⎨

⎧

=

−

= +

5 6

2 6

b a

⎩⎨

⎧

=

−

= 11

4 b a

bi

a

+ =−4+11

i

= − 4 − 11i

9. 設a為實數，若方程式x² − (a + i)x + 2 + 2i = 0 有一實根，試求a的值為 。

【解答】3

【詳解】

設實根為

α

，則

α

² − (a + i)

α

+ 2 + 2i = 0 ⇒ (

α

² − a

α

+ 2) + (−

α

+ 2)i = 0

解 ，得

⎩⎨

⎧

= +

−

= +

− 0 2

0

2 2

α

α α a

⎩⎨

⎧

=

= 2 3

α

a

10.設i = − ，若 1 − i為x1 ²− cx + 1 = 0 之一根，則複數c = ____ 。

【解答】 2

3 i−

【詳解】

∵ 1 − i為x²− cx + 1 = 0 之一根，代入 ∴ (1 − i) ²− c(1 − i)+ 1 = 0

⇒ 1 − 2i + i² − c(1 − i)+ 1 = 0 ⇒ c(1 − i) = 1 − 2i

⇒ c = i

i

−

− 1

2

1 =

) 1 )(

1 (

) 1 )(

2 1 (

i i

i i

+

− +

− = ₂ ²

1 2 2 1

i i i i

−

−

−

+ =

1 1

2 1

+ +

− i = 2 3 i− 11. 設z為複數，若z² = 5 − 12i，則z = 。

【解答】3 − 2i 或 − 3 + 2i

【詳解】

設z = x + yi，x，y ∈ R，則(x + yi)² = 5 − 12i⇒x² − y² + 2xyi = 5 − 12i⇒

又 | (x + yi)

2 2

5

2 12

……c

……d

x y

xy

⎧ − =

⎨ = −

⎩

2 | = |5 − 12i |， x²+y² = 5²+12² ⇒x²+y² = ""13 ^③ 由c^③⇒ x² =9 ⇒ x = ±3；y = ±2，由d知 x 、y 異號

若x =3⇒ y = −2；若x = −3⇒ y =2；故 z =3−2i或 z = −3+2i 12.設z為複數，

(1)若z² = 16 − 30i，則z = 。 (2) z² − (1 + i)z − (4 − 8i) = 0 之解為 。

【解答】(1) ± (5 − 3i) (2)3 − i，− 2 + 2i

【詳解】

(1)設z = x + yi，則(x + yi)² = 16 − 30i ⇒x² − y² + 2xyi = 16 − 30i⇒

又 | (x + yi)

2 2

16

2 30

x y

xy

⎧ − =

⎨ = −

⎩

……c

……d

2 | = |16 − 30i |； x²+y² = 16²+ −( 30)² ⇒x²+y² =34""^③ 由c^③知

x

² =25 ⇒ x = ±5；y ² =9 ⇒y = ±3，由d知 x 、y 異號 若x =5⇒ y = −3；若x = −5⇒ y =3；故z = 5 − 3i或 − 5 + 3i

(2) z² − (1 + i)z − (4 − 8i) = 0 z =(1 ) [(1 )² 4(4 8 )

2

i i i

+ ± + + − 的平方根]

=^{(1 ) [16 30 )} 2

i i

+ ± − 的平方根]（利用(1)之結果）=

2 ) 3 5 ( ) 1

( +i ± − i = 3 − i或 − 2 + 2i