一個集團免疫機率模型之探討

(1)

中華民國第 61 屆中小學科學展覽會作品說明書

排版\050411-封面

高級中等學校組數學科

050411-封面

一個集團免疫機率模型之探討

學校名稱：國立彰化高級中學

作者：指導老師：

高二胡欣龔詩尹

楊昌宸

關鍵詞：集團免疫機率模型、二項式係數、同餘

(2)

1 摘要

本研究延續國中獨立研究，結合高中機率課程，建構二維與三維之集團免疫機率模型，

特殊

n

之研究結果如下，其他情形請參閱內文：

一、

（一）二維：

n = 2

^k時，具有抗體之總人數與無抗體之總人數的比例，必須維持奇數對奇數，模型才會有免疫效果。

2 1

^k

n = +

時，模型具不具備免疫效果，僅跟第一位與第

n

^位有關。

（二）三維：

n = + 2 1

^k 時，模型具不具備免疫效果，僅跟對應於正三角形三頂點位置的 3 人有關。

二、

（一）二維：

n = 2

^k時，具有免疫效果之機率為

¹ 2 ¹ ( )

²

2 2

pq q p

n⁻

 

+   −   −

^。

2 1

^k

n = +

時，具有免疫效果之機率為

2 pq

^。

（二）三維：

n = + 2 1

^k 時，具有免疫效果之機率為

¹ 2 ¹ ( )

2 +    pq − 2    q p −

^。

三、

（一）二維：免疫效果的期望人數為

1 p q

+ + q p

，特別是等機率時，期望人數為 3 人。

（二）三維：免疫效果的期望人數請參閱內文，特別是等機率時，期望人數為 6 人。

(3)

2 壹、研究動機

面對 2020 年新冠肺炎肆虐全球，世界各國使用不同的防疫政策來打擊 COVID-19，其中英國所提出的「佛系防疫」引起全球關注，其理念基於集團免疫（herd immunity）：當群體中有很大比例的人獲得免疫力時，其他沒有免疫力的個體就能受到保護而不被感染。然而，這樣的防疫邏輯並沒有足夠的科學證據予以證明。也正因為它的機制尚未被釐清，本研究擬將國中階段所參與之縣內獨立研究競賽獲得甲等之問題，結合高中所學，建構一個機率模式，

進行試探性研究，詮釋並探討集團免疫的相關問題。

為了方便敘述所建構的機率模式，假設一群人的集團免疫效果，是經過每相鄰兩人的交互影響，若這兩人中，恰有一人具有足夠的抗體，則免疫效果產生，反之則無，帶有足夠抗體者以黑色球表示，未帶有足夠抗體者以白色球表示。依據這樣的假設，這個機率模式，刻畫這n 個人的集團免疫效果，必須先完成底下的 n 個步驟，再根據最底下那顆球的顏色，來 決定集團免疫效果，若為黑色表示有免疫效果，若為白色，則表示無。首先，第 1 步根據隨機的方式，亦即隨機產生了第一列總數n 個的黑球與白球之序列。接下來第 2~ n 步，依據黑 白配黑色，同色配白色的規則來產生，例如：

_{n =} ₅

，如下圖所示，這 5 人的集團免疫效果，

是看最底下的那顆球是什麼顏色來決定，答案是黑色，也就是有集團免疫效果：

這個機率模型，一般性來考慮時，我們將延續獨立研究時的想法，也考慮三維空間的模型。這個機率模型，是底座為正三角形之正四面體，刻畫這

⁽ ¹⁾

2 n n +

個人的集團免疫效果，一

樣要先完成底下的n 個步驟，然後看最上面的那顆球之顏色，若為黑色表示有免疫效果，若 為白色，則表示無。首先，第 1 步根據隨機的方式，亦即隨機產生了第一層（最底層），總數

( 1) 2

n n +

個的黑球與白球之正三角形。接下來第 2~n 層，則依據一顆黑與兩顆白、或是三顆全

黑時配黑色，其餘配白色的規則來產生上一層。

(4)

3 貳、研究目的一、有無抗體比例如何影響集團免疫效果

分別探討二維與三維的情況下，對任意給定之n ，黑球總數與白球總數的比例，如何影 響集團免疫效果。也就是，二維的情況下，第一行的黑球總數與白球總數的比例是多少的條件下，這n 人不可能達到集團免疫效果。同理，三維的情況下，最底層之黑球總數與白球總 數的比例是多少的條件下，此時，這

⁽ ¹⁾

2 n n +

人不可能達到集團免疫效果。

二、集團具有免疫效果之機率

探討在隨機給定的人數下，具有集團免疫效果之機率值。也就是，二維時，隨機給定第一行之n 個球，則最底下那顆球是黑色的機率為何？三維時，隨機給定最底層之

⁽ ¹⁾

2 n n +

個球，

則最上面那顆球是黑色的機率為何？

三、集團具有免疫效果之期望人數

分別探討二維與三維的情況下，具有集團免疫效果的期望人數之值。

參、研究設備及器材

紙、筆、電腦。

肆、研究過程或方法一、文獻回顧

與本研究有密切關聯之文獻有兩篇，茲簡述如下：

（一）周家萱、詹雅涵、黃子恆之神算研究 1. 研究目的：

科學研習月刊 2015 年 54 卷 4 期第 48 頁第 6 題，問n 是多少時，可以由 第一列直接預測最後一列球的顏色？如何判斷？使用基本單元的設計研究平面的四層結構。同時，將延伸研究三維空間研究正四面體（如下圖）。

(5)

4

2. 符號設定：

(1) 倒立正三角形之情形：

令紅色以 0 代表，綠色以 1 代表，藍色以 2 代表。又G 表示邊長_{i j}ⁿ_, n 之 倒立正三角形，由上而下，由左而右，第i 列第

j

行的數值。

(2) 正四面體之情形：

令紅色以 0 代表，綠色以 1 代表，藍色以 2 代表，黃色以 3 代表。又T_{i j k}_{, ,}ⁿ 表示邊長n 之正四面體，由上而下第

k

層，第i 列第

j

行的數值。

3. 主要研究結果：

(1) 倒立正三角形之情形：

a. G_{i j}ⁿ_, +G_{i j}ⁿ_{, 1}₊ +G_iⁿ₊_1,_j ≡0 mod 3

( )

，

₁ ≤ ≤ − _{i n} ₁

，

₁ ≤ ≤ − _{j n} ₁

。 b. 1, 1

( )

¹ ¹ ¹ 1, 1

( )

0

1^m ^m mod 3

n m n

t m s j t s j

j

G_{+ + +} ⁻ ⁻ C G⁻ _{+ + +}

=

 

≡ − × 



∑

 ^，

⁰ ^{≤ ≤ −} ^{t n} ¹

^，

⁰ ^{≤ ≤ −} ^{s n} ¹

^，

0 ≤ ≤ − m n 1

，

1 ≤ + ≤ − t m n 1

，

1 ≤ + ≤ − s m n 1

，其中組合數

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

1 ! 1 2

! 1 ! 1 2 1

mj

m m m m j

C j m j j j

−

− − × − × × −

= =

− − × − × × ×



。

(2) 正四面體之情形：

a. T_{i j k}_{, ,}ⁿ +T_i₊ⁿ_{1, ,}_{j k}+T_i₊ⁿ_{1, 1,}_j₊ _k+T_{i j k}_{, , 1}ⁿ ₋ ≡0 mod 4

( )

。

b. _1,1,1

( )

¹ ₁¹ _{1 , ,}¹

( )

1 1

1

^k ^k ^k

mod 4

n k k n

i j i j k

i j

T

⁻

C

₋⁻

C T

₋⁻

= =

   

 

≡ − ×    

   

 ∑ ∑ 

^，

^{i j k} ^{+ ≤}

^。

(6)

5

（二）研究者、蔡昀倢、陳映彤再戰神算研究 1. 研究目的：

推廣周家萱、詹雅涵、黃子恆之神算研究至球色三種以上，以及配色規則一般化前述研究之情況下，探討二維中，最後一顆球的顏色，僅由第一列最左最右兩端的球色來決定的n 值。另外，探討三維中，最上面那顆球的顏色，僅由最 底層正三角形三頂點之球色來決定的n 值。

2. 符號設定：

假設平面的倒立正三角形情形有p 種顏色之球色，將其數字化代號

0,1, ,  p − 1

，立體的正四面體情形有q 種顏色之球色，將其數字化為

0,1, ,  q − 1

。另外，稱邊長為n 之倒立正三角形，係指每邊由 n 個球所排成，進而稱邊長為 n 之正四 面體，係指底座為每邊由n 個球堆疊所成之正四面體，此處，其底座為正立之 正三角形。設函數y f a b=

( ) (

, mod p

)

表示倒立正三角形之顏色配置，其中，

a 表示 y 的緊鄰左上之球色的代號，

b

表示y 的緊鄰右上之球色的代號，

{ }

, 0,1,2, , 1

a b∈  p− 。當

_{p =} ₃

， f a b

( )

, =2a+2b≡ − −a b mod 3

( )

時，即為周家萱、詹雅涵、黃子恆在神算研究中，平面情形之配色設定。另外，設函數

(

, , mod

) ( )

y g a b c= q 表示正四面體之顏色配置，其中，

_{a b c} _{, ,}

表示y 的緊鄰 下層之三顆球的代號，其相對位置如下圖所示：

{ }

, , 0,1,2, , 1

a b c∈  q− 。當

_{q =} ₄

，g a b c

(

, ,

)

=3 3 3a b c+ + ≡ − − −a b c mod 4

( )

時，即為周家萱、詹雅涵、黃子恆在神算研究中，正四面體之配色設定。

3. 主要研究結果：

(1) 任意給定倒立之正三角形之第一列x x₁, , ,₂  x_n後，在配色規則

( )

, mod

( )

f a b ≡

α

a+

β

b p 下，假設最後最底下那顆球之代號為λ ，若p 為

(7)

6

質數，

α

ⁿ⁻¹≡

α

mod

(

p

)

，

β

ⁿ⁻¹≡

β

mod

(

p

)

，且n p= ^k + ，其中1

k

^為給定之正整數，則

λ

= f x x

(

1, _n

) (

mod p

)

，亦即，最底下那顆球的顏色，僅由倒立正三角形之第一列的最左與最右這兩顆球的顏色來決定。

(2) 任意給定邊長為n 之正四面體最底層的 ( 1) 2 n n +

個球，假設由上到下，由左到右依序表成x x₁, , ,₂  x_0.5_{n n}

_{( )}

₊₁ 後，此時最底層三頂點之代號變成

( )

1, 0.5 ( 1) 1_{n n} , 0.5_{n n} 1

x x _{− +} x ₊ ，在配色規則 g a b c

(

, ,

)

≡

α

a+

β

b+

γ

c mod

(

q

)

下，假設最後最上面那顆球之代號為λ ，若q 為質數，

α

ⁿ⁻¹ ≡

α

mod

(

q

)

，

( )

1 mod

n q

β

⁻ ≡

β

，

γ

ⁿ⁻¹≡

γ

mod

(

q

)

且n q= ^k + ，其中1

k

^{為給定之正整數，}

則

λ

=g x x

(

1, 0.5 ( 1) 1_{n n}_{− +},x0.5 ( 1)_{n n}₊

)

mod

(

q

)

，亦即，最上面那顆球的顏色，僅由正四面體最底層之三頂點的球之顏色來決定。

(3) 本研究當

p = ₃

時，即周家萱、詹雅涵、黃子恆之神算研究中，倒立正三角形之情形，此時，若

n = + _{3 1}

^k ，其中k 為給定之正整數，則可得到最底下 那顆球的顏色，僅由倒立正三角形之第一列的最左與最右這兩顆球的顏色來決定。然而，當

_{q =} ₄

時，即周家萱、詹雅涵、黃子恆之神算研究中，正四面體之情形，此時，因為

q = ₄

不為質數，取α

= _2,

β

= _2,

γ

= ₂

，根據本研究可得，對任意n ≥ ，最上面那顆球的顏色，無法僅由正四面體最底層3 之三頂點的球之顏色來決定。

二、研究問題推導計算

考慮二維與三維之集團免疫機率模型時，帶有抗體者以黑色球表示，未帶有抗體者以白色球表示。

在二維之集團免疫機率模型，令

n

^{表示第一列的球數，}

X

i表示第一列由左到右數第

i

^球的球色狀態，且

(8)

7 1, 0 X

i



=  

黑球, 白球。

假設

X

_i^{是黑球之機率為}

p

^{，白球之機率為}

q

^，

p q + = 1

，且

X X X 

₁

, , ,

₂ ₃ ^為獨立。

在三維之集團免疫機率模型，假設集團排成一個每邊n 人之正三角形。為方便起見，這

(

1

)

2 n n +

人，由上到下，由左到右依序排列為

11, 21, 22, 31, 32, 33, , _i1, _i2, , , ,_ii _n1, _n2, , _nn

X X X X X X  X X  X  X X  X ，亦即

X

_ij^{表示由上往下第}i 列，

由左到右第

j

^{個之數，其取值為}

1, 0 X

ij



=  

黑球, 白球。

假設

X

_ij^{是黑球之機率為}

p

^{，白球之機率為}

q

^，

p q + = 1

，且

X X X X X 

₁₁

,

₂₁

,

₂₂

,

₃₁

,

₃₂

,

^為獨

立。此時，該集團是否具免疫效果，是根據文獻[2]之配色規則a b c+ + mod 2

( )

，再檢視最上面那顆球是黑色與否來決定，此處，

a b c _{, ,}

之配置，請參閱肆、一、（二）2.。

（一）探討黑球總數與白球總數的比例，如何影響集團免疫效果。

1. 二維情形：

根據二維模型演算定義，不難計算當n ≥ ，且第一列為2

n

^{顆球時，最底下那}

顆球之值為

1 1 1

1 1ⁿ 2 2ⁿ 3 _nⁿ 2 _n 1 _n

(mod 2)

X C X +

⁻

+ C X

⁻

+ +  C X

−⁻ −

+ X

。（4.2.1.1）

因為對任意

i = 1,2, ,  n − 2

^，

C

_iⁿ⁻¹

≡ 0 1 (mod 2) 或

^{，因此，想知道黑球總}

數與白球總數的比例，如何影響集團免疫效果時，可根據（4.2.1.1）式來判斷即可。首先，根據國中獨立研究之結果，以及（4.2.1.1）式，可知，當

n = 2 1

^k

+

^，其中，

k

為非負整數時，本機率模型具不具備免疫效果，跟全部之黑球總數與白球總數的比例無關，而是僅跟第 1 位與第

n

位之有無抗體情形關連。然而，

根據張鎮華教授（1986）[4] 之結果，當

n = 2

^k^，其中，

k

為大於 1 之整數時，

此時（4.2.1.1）式變成

(9)

8

1 2 3 _n 1 _n

(mod 2)

X + X + X + +  X

−

+ X

，故本機率模型具備免疫效果之充分必要條件為

1 2 3 n 1 n

1 (mod 2)

X + X + X + +  X

₋

+ X ≡

。

因此，總數

n = 2

^k人之集團免疫機率模式，可得具有抗體之總人數與無抗體之總人數的比例，必須維持奇數對奇數，機率模型才會有免疫效果。

為了考慮其他情況，對任意n 元序對

(

t t_{1 2}, , , t_n

)

，定義對應關係T :

(

t t_{1 2}, , , t_n

) (

→ T T₁, , ,₂  T₄_n

)

如下：

2 3

1 , 2 1 2 , 2 2 1 3 , 4 3 1 4 .

i i n

i n

t i n

t n i n

T t n i n

t n i n

−

 ≤ ≤

 + ≤ ≤

=  + ≤ ≤

 + ≤ ≤



當當

記成T t t

( (

1 2, , , t_n

) )

=

⁽

T T1, , ,2  T4_n

⁾

。T 的 2 次合成

T

²為

( )

( ) ( ( ( ) ) )

2 1 2

, , ,

_n 1 2

, , ,

_n

T t t  t = T T t t  t

，因此，T²

( (

t t1 2, , , t_n

) )

為

_{4 n}

² 元序對，

記成T²

( (

t t1 2, , , t_n

) )

=

(

T T1², , ,1²  T4²²_n

)

，其滿足當

₁ ≤ ≤ _i ₄ _n

，恆有T_i² = ，所T_i 以，對任意正整數

_k

，當

₁ ≤ ≤ _i ₄

^k⁻¹

_n

，恆有T_i^k =T_i^k⁻¹，且T^k

( (

t t1 2, , , t_n

) )

為

₄

^k

_n

元序對，最後定義

_lim

ⁿ

n_→∞

T

Ψ =

，記成Ψ = Ψ Ψ Ψ  。不難觀察出對任意正

(

₁, ₂, ,₃

)

整數i ，恆有Ψ = 。今取_i T_iⁱ

(

t t t t =_{1 2 3 4}, , ,

) (

1,2,2,4

)

，可得

( )

(

^1,2,2,4

) ⁽

1,2,2,4,2,4,4,8,2,4,4,8,4,8,8,16

⁾

T = ，

( )

2

1,2,2,4,2,4,4,8,2,4,4,8,4,8,8,16, 2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16,32, 1,2,2,4

2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16,32, 4,8,8,16,8,16,16,32,8,16,16,32,16,32,32,64 T

 

 

= 

 

 

，

所以，

(

1,2,2,4,2,4,4,8,2,4,4,8,4,8,8,16,2,4,4,8,4,8,8,16,4,8,8,16,8,16,16,32,

)

Ψ =  。

(10)

9

根據上面定義，以及利用張鎮華教授（1986）[4] 之結果，可得對任意之n ， 滿足C ≡_iⁿ 1 (mod 2)之i (

0 i n ≤ ≤

)的個數恰為Ψ ，例如: _n+₁

n = 0

時，滿足

1 (mod 2)

in

C ≡ 之i (

0 i n ≤ ≤

)的個數等於Ψ = 個，₁ 1

n = 1

時，滿足C ≡_iⁿ 1 (mod 2)

之i (

0 i n ≤ ≤

)的個數等於Ψ = 個，₂ 2

n = 2

時，滿足C ≡_iⁿ 1 (mod 2)之i (

0 i n ≤ ≤

) 的個數等於Ψ = 個，₃ 2

n = 3

，滿足C ≡_iⁿ 1 (mod 2)之i (

0 i n ≤ ≤

)的個數等於

4 4

Ψ = 個。

現在回到我們的n 人之集團免疫機率模式，根據（4.2.1.1）式，我們可得這個 式子，在同餘 2 的作用下，恰好會有Ψ 個_n X 留下來，其餘的_i X 都因為乘上 0_i 而消失了。因此，留下來的Ψ 人中，帶有抗體的人數，必須為奇數，機率模_n 型才會有免疫效果。

2. 三維情形：

根據歸納推導，當n ≥ 時，可得最上面那顆球的代號為 2

( )

11 1 ( , , )

0 , , 1,2

( 1)! mod 2

! ! !

n nn h i j l

i j l n i j l n

X X X n X

i j l

+ + = −

≤ ≤ −

+ + +

∑

− ，（4.2.1.2）

其中X_{h i j l}_{( , , )}適當地對應三頂點X X₁₁, , _n₁ X 以外之所有代號，故三維之集團免_nn

疫機率模型具有免疫效果之充分必要條件為

( )

11 1 ( , , )

0 , , 1,2

( 1)! 1 mod 2

! ! !

n nn h i j l

i j l n i j l n

X X X n X

i j l

+ + = −

≤ ≤ −

+ + +

∑

− ≡

因此，要達到免疫效果，黑球總數與白球總數之比例，取決於（4.2.1.2）式中，

在同餘 2 的作用下，共有幾項非 0 之

X

_ij^{相加來決定。}

事實上，（4.2.1.2）式中

( 1 )

2 n n +

個係數，恰好對應到

(

a b c+ +

)

ⁿ⁻¹展開式中，同類項合併後，所得之

( 1 )

2 n n +

個項的係數，具體言之，

( )

¹ ¹ ¹ ¹

0 0

( 1)!

! !( 1 )!

n n

n i j n i j

i j

a b c n a b c

i j n i j

− −

− − − −

= =

+ + = −

− − −

∑∑

^，

(11)

10

其中

( 1)! , 0 1, 0 1 ,

! !( 1 )!

n i n j n i

i j n i j

− ≤ ≤ − ≤ ≤ − −

− − −

( 1 )

2 n n +

個係數，恰好對應到（4.2.1.2）式中之

( 1 )

2 n n +

個係數。另外，因為

1 1

( 1)!

! !( 1 )!

ⁱⁿ ⁿ^j ⁱ

n C C

i j n i j

− − −

− =

− − −

所以（4.2.1.2）式中，在同餘 2 的作用下，共有幾項非 0 之

X

_ij^{相加之問題，變}

成

1 1

, 0 1, 0 1 ,

n n i

i j

C C

⁻ ^{− −}

≤ ≤ − i n ≤ ≤ − − j n i

（4.2.1.3）

在同餘 2 的作用下，共有幾個非 0 之項。轉變成這個方向的問題時，就可根據上面二維時定義的Ψ 值來表達，因為（4.2.1.3）式可以寫成 _n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 1 0 2 0 2 0 1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 0 1 1 1 2 1 3 1 2

1 3 1 3 1 3 1 3

2 0 2 1 2 2 2 3

, , , , , , , , , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , ,

n n n n n n n n n n

n n

n n n n n n n n n n

n n

n n n n n n n n

n

C C C C C C C C C C

C C C C C C C C

− − − − − − − − − −

− −

− − − − − − − − − −

− −

− − − − − − − −

−

     

  

1 2 1 2 1 2

3 0 3 1 3 2

1 1 1 1

2 0 2 1

1 01 0

, ,

,

n n n

n n

nn

C C C C C C C C C C

C C

− − −

− −

−



所以，在同餘 2 的作用下，（4.2.1.3）式中，共有

(

^C⁰ⁿ⁻¹^{(mod 2)}

)

^{× Ψ}ⁿ⁺

(

^C¹ⁿ⁻¹^{(mod 2)}

)

^{× Ψ}ⁿ⁻¹⁺

(

^C²ⁿ⁻¹^{(mod 2)}

)

^{× Ψ}ⁿ⁻²^{+ +}^

(

^Cⁿⁿ⁻⁻¹¹^{(mod 2)}

)

^{× Ψ}¹

個非 0 之項。因此，（4.2.1.2）式中，在同餘 2 的作用下，共有

( C

0ⁿ⁻¹

(mod 2) ) × Ψ

_n

+ ( C

1ⁿ⁻¹

(mod 2) ) × Ψ

_n−1

+ +  ( C

_nⁿ−⁻1¹

(mod 2) ) × Ψ

1項非 0 之

X

_ij

相加。

例如：

n = + 2 1

^k 時，根據文獻[2]，對任意

1 ≤ ≤ − i n 2

，恆有

C

_iⁿ⁻¹

≡ 0 (mod 2)

，

(12)

11

故（4.2.1.2）變成

( )

11 1 ( , , ) 11 1

0 , , 1,2

( 1)! 1 mod 2

! ! !

n nn h i j l n nn

i j l n i j l n

X X X n X X X X

i j l

+ + = −

≤ ≤ −

+ + +

∑

− ≡ + + ≡ ^。

故此時之機率模型具不具備免疫效果，僅跟對應於正三角形三頂點位置的 3 位有關，此時三人中，恰有一位或三位具有抗體時，機率模型才會有免疫效果。

（二）探討在隨機給定的人數下，具有集團免疫效果之機率值。

1. 二維情形：

當

1 p q = = 2

且

n = 2

時，可以證得最底下那顆球之值為 1 之機率為

1

2

^，理由

如下：因為最底下那顆球之值為

X

₁

+ X

₂

(mod 2)

^{，故要得到}

X

₁

+ X

₂

= 1

^時，

必須取

X

₁

= 1, X

₂

= 0

^或

X

₁

= 0, X

₂

= 1

^{，故機率等於}

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 × + × =

。

同理，可推得一般情形之

n

時，最底下那顆球之值為 1 之機率為

1

2

^{。在這樣的} 假設下，這個集團免疫機率模型，顯示每增加 1 人，則具有免疫效果的機率為

1

2

^。

當

p q ≠

^且

n = 2

^、

3

時，可以證得最底下那顆球之值為 1 之機率為

2 pq

^，

n = 4

時，最底下那顆球之值為

X

₁

+ X

₂

+ X

₃

+ X

₄

(mod 2)

^{，所以，最底下那顆}

球為黑球，則必

X

₁

+ X

₂

+ X

₃

+ X

₄

≡ 1 (mod 2)

^。亦即，

X X X X

₁

, , ,

₂ ₃ ₄^中，

必為 1 個 1 與 3 個 0，或是，3 個 1 與 1 個 0，故得機率為

3 3

4! 4!

3!1! × pq + 3!1! × p q

^。

5 n =

X

₁

+ X

₅

(mod 2)

，所以，最底下那顆球為黑球，則必

X

₁

+ X

₅

≡ 1 (mod 2)

。亦即，

X X

₁

,

₅中，必為 1 個 1 與 1 個 0，

故得機率為

2 pq

^。

n = 6

(13)

12

1 2 5 6

(mod 2)

X + X + X + X

1 2 5 6

1 (mod 2)

X + X + X + X ≡

，故得機率為

3 3

4! 4!

3!1! × pq + 3!1! × p q

^。

7 n =

X

₁

+ X

₃

+ X

₅

+ X

₇

(mod 2)

X

₁

+ X

₃

+ X

₅

+ X

₇

≡ 1 (mod 2)

，故得機率為

3 3

4! 4!

3!1! × pq + 3!1! × p q

^。

8 n =

1 2 3 4 5 6 7 8

(mod 2)

X + X + X + X + X + X + X + X

^{，所以，最底下那顆球}

為黑球，則必

X

₁

+ X

₂

+ X

₃

+ X

₄

+ X

₅

+ X

₆

+ X

₇

+ X

₈

≡ 1 (mod 2)

^。亦即，

1

,

5

X X

中，必為 5 個 1 與 3 個 0，3 個 1 與 5 個 0，1 個 1 與 7 個 0，7 個 1 與 1 個 0，故得機率為

5 3 3 5 7 7

8! 8! 8! 8!

5!3! × p q + 5!3! × p q + 7!1! × pq + 7!1! × p q

^。

為了計算一般情形之

n

^{的機率，令}

(

1 2 3 1

1 (mod 2) )

n n n

a = P X + X + X + +  X

₋

+ X ≡

。因為

( )

1

1 1

1

1 1 1

1 (mod 2) 1, 0 (mod 2)

0, 1 (mod 2)

1 0 (mod 2)

n n

i n i

i i

n

n i

i n

n i

i

P X P X X

P X X

P X P X

−

= =

−

=

−

=

 ≡  =  = ≡  +

   

   

 = ≡ 

 

 

 

= =   ≡

∑ ∑

∑

( )

( ) ( )

1 1

1 1 1

0 1 (mod 2)

1 .

n

n i

i

n n n

P X P X

p a qa p q p a

−

=

− − −

 +



 

=  ≡ 

 

= − + = + −

∑

（4.2.2.1）

(14)

13

所以，

a

n

= + p q p a ( − )

n−1。又因為前面的推導知

a

₂

= 2 pq

，此遞迴公式進一步計算可得

( ) ( ) ( { ) } ( ) ( )

( ) { ( ) ( ) }

( ) { ( ) }

( ) ( ) { ( ) }

( )

2

1 2 2

2 3 4

2

2 2 2

2

1 1 1

2 2 1

1 2

1 2 1 .

2 2

n n n n

n n n

n

n n n

n

a q p a p q p q p a p p q p a q p p p q p a p q p q p

p q p

pq q p pq q p q p

q p pq q p

− − −

−

− − −

−

= − + = − − + + = − + − +

= − + − + − + +

− −

= − + = − + − −

− −

 

= +  −  −

 



根據上式

a

_n^公式，當

n = 2

^k時，則最底下那顆球為黑球之充要條件為

1 2 3 n 1 n

1 (mod 2)

X + X + X + +  X

₋

+ X ≡

，因此，機率為

(

1 2 3 1

1 (mod 2) ) 1 2 1 ( )

²

.

2 2

n

n n

P X + X + X + +  X

₋

+ X ≡ = +    pq −    q p −

⁻

事實上，根據肆、二、（一） 1. 所定義之

Ψ = Ψ Ψ Ψ  (

1

, , ,

2 3

)

。對於一般情形之

n

的機率值，在同餘 2 的作用下，共有

Ψ

_n項非 0 之

X

_i^{相加，扣除}

X

₁^與

X

_n^，

亦即存在足碼

i

_m^，

1 < < < i i

₁ ₂

 < i

_{Ψ −}_n ₂，使得它的（4.2.1.1）變成

1 2 3 2

1

(mod 2)

i i i i n n

X + X + X + X + +  X

_{Ψ −}

+ X

，此時，利用

X X X 

₁

, , ,

₂ ₃ ^{具有同分佈，這個}

n

^{的機率值等於}

2 2 1

1 1 1

1

1 (mod 2)

1

1 (mod 2)

.

n m

n

n n

i i n i n

i m

P X C X X P X X X

a

− Ψ −

−

= + =

Ψ

 

 + + ≡  = + + ≡

   

   

=

∑ ∑

例如：

n = 7

^，

i =

₁

3

^，

i =

₂

5

^，此時，

Ψ =

₇

4

^{，所以得到}

(15)

14 ( )

( )

1 3 5 7 4

2

3 3

1 (mod 2)

1 1

2 2 2

4! 4!

.

3!1! 3!1!

P X X X X a

pq q p pq p q

+ + + ≡ =

 

= +   −   −

= × + ×

2. 三維情形：

根據二維的計算經驗，對任意之

n

，計算三維模型之免疫效果機率

( )

11 1 ( , , )

0 , , 1,2

( 1)! 1 mod 2

! ! !

n nn h i j l

i j l n i j l n

P X X X n X

i j l

+ + = −

≤ ≤ −

 

 + + + − ≡ 

 

 

∑

時，根據

X X X X X 

₁₁

,

₂₁

,

₂₂

,

₃₁

,

₃₂

,

為獨立且具同分布，只要知道（4.2.1.2）式中，在同餘 2 的作用下，共有幾項非 0 之

X

_ij相加即可。因此，根據肆、二、（一）

2. 之計算，共有

( C

0ⁿ⁻¹

(mod 2) ) × Ψ

_n

+ ( C

1ⁿ⁻¹

(mod 2) ) × Ψ

_n−1

+ +  ( C

_nⁿ−⁻1¹

(mod 2) ) × Ψ

1

項非 0 之

X

_ij相加，故所求之機率值等於

( )

11 1 ( , , )

0 , , 1,2 2

( 1)! 1 mod 2

! ! !

1 2 1 ,

2 2

n

n nn h i j l

i j l n i j l n

P X X X n X

i j l pq q p

^λ

+ + = −

≤ ≤ −

−

 − 

 + + + ≡ 

 

 

 

= +  −  −

 

∑

這裡，

(

0ⁿ ¹

(mod 2) ) + (

1ⁿ ¹

(mod 2) )

1

+ + (

ⁿ1¹

(mod 2) )

1

n

C

n

C

n

C

n

λ =

⁻

× Ψ

⁻

× Ψ

₋



₋⁻

× Ψ

。

例如：

n = 2

^時，可得

λ

₂

= 3

，故所求機率等於

( )

(

11 21 22

1 mod 2 ) 1 2 1 ⁽ ⁾ .

2 2

P X + X + X ≡ = +    pq −    q p −

3 n =

^時，可得

λ

₃

= 3

(16)

15 ( )

(

11 31 33

1 mod 2 ) 1 2 1 ⁽ ⁾ .

2 2

P X + X + X ≡ = +    pq −    q p −

4 n =

^時，可得

λ

₄

= 9

( )

11 21 22 31 33 41 42 43 44

7

1 mod 2

1 2 1 .

2 2

P X X X X X X X X X

pq q p

+ + + + + + + + ≡

 

= +   −   −

5 n =

^時，可得

λ

₅

= 3

( )

(

11 51 55

1 mod 2 ) 1 2 1 ⁽ ⁾ .

2 2

P X + X + X ≡ = +    pq −    q p −

6 n =

^時，可得

λ

₆

= 9

( )

11 21 22 51 55 61 62 65 66

7

1 mod 2

1 2 1 .

2 2

P X X X X X X X X X

pq q p

+ + + + + + + + ≡

 

= +   −   −

7 n =

^時，可得

λ

₇

= 9

( )

11 31 33 51 55 71 73 76 77

7

1 mod 2

1 2 1 .

2 2

P X X X X X X X X X

pq q p

+ + + + + + + + ≡

 

= +   −   −

另外，根據文獻[2]，

n = + 2 1

^k ^{時，對任意}

1 ≤ ≤ − i n 2

，恆有

C

_iⁿ⁻¹

≡ 0 (mod 2)

，故（4.2.1.2）變成

( )

11 n1 nn

mod 2

X + X + X

，故此時的

n

^{之機率等於}

( )

(

11 1

1 mod 2 ) 1 2 1 ⁽ ⁾ .

2 2

n nn

P X + X + X ≡ = +    pq −    q p −

（三）具有集團免疫效果的期望人數。

1. 二維情形：

(17)

16

為了計算集團免疫效果的期望人數，對任意之定數

r ∈ (0,1)

^，假設

x ∈ [0, ] r

，因為

0

1 1

n

x

∞

=

− = ∑

為均勻收斂，故等號之兩邊對

x

^{微分時，右邊可對}

x

^逐項微

分，變成

( 1 ¹ )

² ¹ ¹

n

nx

x

∞ −

=

− = ∑

^。

假設隨機變數

W

^表示以

X

₁為基礎開始增加，第 1 次出現免疫效果時，增加之人數。隨機變數

W

之嚴格數學定義如下：假設取值 0 與 1 之隨機變數

I

_i^表示

第

i

次增加 1 人後，其取值依據

i + 1

人之機率模型的免疫狀態來決定，具體而言，令隨機變數

1 1 1

1 1 2 2 3 2 1

n n n

n n n n

Y = X C X +

⁻

+ C X

⁻

+ +  C X

₋⁻ ₋

+ X

，故

1 1

1, (mod 2)

0 0 (mod 2)

i i

i

I Y

Y

+

 ≡

=   ≡

當 1 ,

當。

然後定義

W = min { i N I ∈ :

_i

= 1 }

。因此，

{ } { } { } { }

{ } { }

1 2 1 2

1 1 1 (mod 2) 1 (mod 2)

0, 1 1, 0 ,

W I Y X X

X X X X

= = = = ≡ = + ≡

= = ≡  = ≡

{ } { } { }

{ }

{ } { }

1 2 2 3

1 2 1 2 3

1 2 2 3

1 2 3 1 2 3

2 0, 1 0 (mod 2), 1 (mod 2)

0 (mod 2), 2 1 (mod 2)

0 (mod 2), 1 (mod 2)

0, 0, 1 1, 1, 0 ,

W I I Y Y

X X X X X

X X X X

X X X X X X

= = = = = ≡ ≡

= + ≡ + + ≡

= + ≡ + ≡

= = = =  = = =

{ } { }

{ }

{ } { }

1 2 3

2 3 4

1 2 2 3 3 4

1 2 3 4 1 2 3 4

3 0, 0, 1

0 (mod 2), 0 (mod 2), 1 (mod 2)

0, 0, 0, 1 1, 1, 1, 0 ,

W I I I

Y Y Y

X X X X X X

X X X X X X X X

= = = = =

= ≡ ≡ ≡

= + ≡ + ≡ + ≡

= = = = =  = = = =

(18)

17

以此類推可得

{ } { } { }

{ } { }

1 1

1

1 1

0,1 1, 1 0 (mod 2),2 , 1 (mod 2)

0 (mod 2) 1 (mod 2)

0,1 , 1 1,1 , 0

i n i n

n

i i n n

i

i n i n

W n I i n I Y i n Y

X X X X

X i n X X i n X

+

−

+ +

=

+ +

= = = ≤ ≤ − = = ≡ ≤ ≤ ≡

 

=   + ≡   + ≡

= = ≤ ≤ = = ≤ ≤ =

 

 ^。

進一步計算

( )

ⁿ ⁿ

P W n = = p q pq +

所以，二維集團免疫效果的期望人數即為

( ) ( )

1 1 1 1

2 2

1 1 1 1

1 1

n n n n

EW nP W n n p q pq q np p nq

pq pq p q

p q q p

∞ ∞ ∞ ∞

= = = =

+ = + = = + + = + +

= + + = + +

− −

∑ ∑ ∑ ∑

。

這裡，

EW

要加 1，理由是因為定義隨機變數

W

時，乃是給定第一位的前提下，然後開始在排成一直線的集團增加一人。因此，在

1 p q = = 2

^{之假設下，}

集團免疫效果的期望人數等於 3 人。

2. 三維情形：

令

11 1 ( , , )

0 , , 1,2

( 1)!

! ! !

n n nn h i j l

i j l n i j l n

Z X X X n X

i j l

+ + = −

≤ ≤ −

= + + +

∑

− ^。

假設取值 0 與 1 之隨機變數

J

_i^表示第

i

次邊長增加 1 後，其取值依據每邊

i + 1

人之三維機率模型的免疫狀態來決定，具體而言，

1 1

1, Z (mod 2)

0 Z 0 (mod 2)

i i

i

J

⁺

+

 ≡

=   ≡

當 1 ,

當。

然後定義

S = min { i N J ∈ :

_i

= 1 }

。為了計算三維集團免疫效果的期望人數

ES

^{，我們試著計算}

{ S = 1 }

^、

{ S = 2 }

^、

{ S = 3 }

^{之機率如下：}

(19)

18 { }

( ) ( { } ) ( { } )

{ }

( )

{ } { }

(

{ } { } )

1 2

11 21 22

11 21 22 11 21 22

2 3

1 1 1 (mod 2)

1 (mod 2)

0, 0, 1 0, 1, 0

1, 0, 0 1, 1, 1

3 ,

P S P J P Z

P X X X

P X X X X X X

X X X X X X

pq p

= = = = ≡

= + + ≡

= = = = = = =

= = = = = =

= +

 



{ }

( ) ( { } ) ( { } )

{ }

( )

{ }

( )

1 2 2 3

11 21 22 11 31 33

11 21 22 21 22 31 33

21 22

2 0, 1 0 (mod 2), 1 (mod 2)

0 (mod 2), 1 (mod 2)

0 P S P J J P Z Z

P X X X X X X

P X X X X X X X

pP X X

= = = = = ≡ ≡

= + + ≡ + + ≡

= + + ≡ + + + ≡

= ( { + ≡ } ) ( { } )

{ }

( ) ( ^{ ^} )

( ) ( ) ( )

31 33

21 22 31 33

2 2 2 2 2 2 2 2

(mod 2) 1 (mod 2)

1 (mod 2) 0 (mod 2)

2 2 2 ,

P X X

qP X X P X X

p q p q pq p q pq p q

+ ≡ +

+ ≡ + ≡

= + + + = +

{ }

( ) ( { } )

{ }

( )

( {

1 2 3

2 3 4

11 21 22 11 31 33

11 21 22 31 33 41 42 43 4

3 0, 0, 1

0 (mod 2), 0 (mod 2), 1 (mod 2)

0 (mod 2), 0 (mod 2),

P S P J J J

P Z Z Z

P X X X X X X

X X X X X X X X X

= = = = =

= ≡ ≡ ≡

= + + ≡ + + ≡

+ + + + + + + + } )

( {

} )

{ }

( ) ( { } )

4

11 21 22 21 22 31 33

31 33 41 42 43 44

21 22 31 33

1 (mod 2)

0 (mod 2), 0 (mod 2),

1 (mod 2)

1 (mod 2) 1 (mod 2)

P X X X X X X X

X X X X X X

pP X X P X X

≡

= + + ≡ + + + ≡

+ + + + + ≡

= + ≡ + ≡ ×

{ }

( )

{ }

( )

{ }

( ) ( { } )

( ) ( ) ( )

41 42 43 44

21 22

31 33 41 42 43 44

2 4 2 2 4 2 2 2 2 2

0 (mod 2)

0 (mod 2) 1 (mod 2)

2 6 4

P X X X X

qP X X

P X X P X X X X

p pq p p q q pq p q p q

+ + + ≡ +

+ ≡ ×

+ ≡ + + + ≡

= + + + + ( + )

( ) ( )

2

3 2 4 2 2 4 2 2 2 3

4 p q p 6 p q q 4 pq p q ,

= + + + +

先不要代入機率，進一步往下分析可得

{ } {

}

11 21 22 21 22 31 33

31 33 41 42 43 44

41 42 43 44 51 55

4 0 (mod 2), 0 (mod 2),

0 (mod 2),

1 (mod 2)

S X X X X X X X

X X X X X X

= = + + ≡ + + + ≡

+ + + + + ≡

(20)

19 { } {

₁₁ ₂₁ ₂₂ ₂₁ ₂₂ ₃₁ ₃₃

31 33 41 42 43 44

41 42 43 44 51 55

51 55 61 62 65 66

5 0 (mod 2), 0 (mod 2),

0 (mod 2),

1 (

S X X X X X X X

X X X X X X

= = + + ≡ + + + ≡

+ + + + + ≡

+ + + + + ≡ mod 2) }

{ } {

11 21 22 21 22 31 33

31 33 41 42 43 44

41 42 43 44 51 55

51 55 61 62 65 66

6 0 (mod 2), 0 (mod 2),

0 (mod 2),

0 (

S X X X X X X X

X X X X X X

= = + + ≡ + + + ≡

+ + + + + ≡

61 62 65 66 71 73 75 77

}

mod 2),

X + X + X + X + X + X + X + X ≡ 1 (mod 2)

這裡，我們觀察出下面規律，

{ } {

11 21 22 21 22 31 33

31 33 41 42 43 44

41 42 43 44 51 55

51 55 61 62 65 66

0 (mod 2), 0 (mod 2),

0 (mod 2),

0 (

S n X X X X X X X

X X X X X X

= = + + ≡ + + + ≡

+ + + + + ≡

}

1 2 1 2 1

61 62 65 66 71 73 75 77

( 1) ( 1) ( 1)

mod 2),

0 (mod 2),

1 (mod 2) ,

n n

n n n n n n

X X X X X X X X

X

_α

X

_α

X

_α_Ψ

X

₊ _β

X

₊ _β

X

₊ _β_{Ψ +}

+ + + + + + + ≡



 

其中，

α

_i

= min { i > α

_i₋1

: C

_iⁿ⁻¹

≡ 1 (mod 2) , } α

1

= 1

，

{

1

}

1

min :

ⁿ

1 (mod 2) , 1

i

C

i

β = > β

₋

≡ β =

，

Ψ

_i之定義，請參閱肆、二、（一）

1.。因此

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

2 2

2

2 2

2

1 1 1 1

1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 1 1 2 1

2 2 2 2

1 1

2 2 2

n i

n

i n i

P S n p pq q p pq q p

q pq q p pq q p

p pq

+

Ψ − Ψ −

=

Ψ − Ψ −

=

         

= =   −   +   −   −       +   −   −   +

 

 +  −  −  −  +  −  − 

             

     

 

= −   −  

∏

( ) ( )

1

2 2

2

2 2

2

1 2 1

2 2

1 2 1 1 2 1

2 2 2 2

n i

n

i n i

q p pq q p

q pq q p pq q p

+

Ψ − Ψ −

=

Ψ − Ψ −

=

 −   +  −  −  +

       

   

 +  −  −   −  −  − 

       

   

   

∏

根據上式，即可計算

(21)

20 ( )

1 1

1

ES

n^∞

nP S n

=

+ = + ∑ =

^。

這裡，

ES

要加 1，理由是因為定義隨機變數

S

時，乃是給定第一位的前提下，

然後開始在排成正三角形集團的每邊增加 1 人。因此，集團免疫效果的期望人數等於

( 1 )( 1 1 ) ( 1 )( 2 )

2 2

ES ES ES ES

+ + + + +

=

。

特別是，在

1 p q = = 2

時，上面的推導可知

( ) ¹

2

n

P S n = =      

^。

所以，當

1 p q = = 2

時，

( )

1 1

1 1 1 1 3

2

n

n n

ES

^∞

nP S n

^∞

n

= =

+ = + ∑ = = + ∑       =

^。

亦即三維集團免疫效果的期望人數即為

3 4 6 2

× =

人。

伍、研究結果一、有無抗體比例如何影響集團免疫效果

（一）二維模型：

1. 當

n = 2

^k^時，這

n

人中，具有抗體之總人數與無抗體之總人數的比例，必須維持奇數對偶數，機率模型才會有免疫效果。

2. 當

n = + 2 1

^k 時，機率模型具不具備免疫效果，僅跟第一位與第

n

^{位有關，此}

時兩位中，恰有一位具有抗體時，機率模型才會有免疫效果。

3. 其他情形之

n

^{時，則必存在}Ψ 人，使得這n Ψ 人中，具有抗體之總人數與無抗_n 體之總人數的比例，必須維持奇數對奇數，機率模型才會有免疫效果。

（二）三維模型：

1. 在同餘 2 的作用下，（4.2.1.3）式中，共有

(22)

21 ( C

0ⁿ⁻¹

(mod 2) ) × Ψ

_n

+ ( C

1ⁿ⁻¹

(mod 2) ) × Ψ

_n−1

+ +  ( C

_nⁿ−⁻1¹

(mod 2) ) × Ψ

1

項非 0 之

X

_ij相加。故在對應的非 0 之處，具有抗體之總人數，必須維持奇數，

機率模型才會有免疫效果。

2. 當

n = + 2 1

^k 時，機率模型具不具備免疫效果，僅跟對應於正三角形三頂點位置的 3 位有關，此時三人中，恰有一位或三位具有抗體時，機率模型才會有免疫效果。

二、集團具有免疫效果之機率

假設某人具有新冠肺炎抗體之機率為

p

^{，不具抗體之機率為}

q = − 1 p

。

1. 當

n = 2

^k時，具有免疫效果之機率為

( ) ( )

²

1

1 1

1 mod 2 2 .

2 2

n n

i i

P X pq q p

⁻

=

 

 ≡  = + − −

   

 ∑   

2. 當

n = + 2 1

( )

(

1 _n

1 mod 2 ) 2 .

P X + X ≡ = pq

3. 其他情形之

n

^{，則必存在正整數}

Ψ

_n，使得具有免疫效果之機率為

( )

²

1 2 1 ,

2 2

pq q p

^{Ψ −}n

 

+   −   −

1. 當

n = + 2 1

( )

1 2 1 .

2 +    pq − 2    q p −

2. 其他情形之

n

^{，則必存在正整數}

λ

，使得具有免疫效果之機率

( )

²

1 2 1 ,

2 +   pq − 2   q p −

^λ⁻

 

(23)

22

這裡，

( C

0ⁿ ¹

(mod 2) )

_n

+ ( C

1ⁿ¹

(mod 2) )

_n1

+ + ( C

_nⁿ1¹

(mod 2) )

1

.

λ =

⁻

× Ψ

⁻

× Ψ

₋



₋⁻

× Ψ

三、集團具有免疫效果之期望人數

集團免疫效果的期望人數等於

1 p q .

+ + q p

特別是，在

1 p q = = 2

時，集團免疫效果的期望人數等於 3 人。

集團免疫效果的期望人數等於

( 1 )( 2 )

2 ES ES

+ +

，

這裡，

( )

1 1

1

ES

n^∞

nP S n

=

+ = + ∑ =

^，

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

2 2

2

2 2

2

1 2 1 1 2 1

2 2 2 2

1 2 1 1 2 1 ,

2 2 2 2

n i

n

i n i

P S n p pq q p pq q p

q pq q p pq q p

+

Ψ − Ψ −

=

Ψ − Ψ −

=

       

= =   −   −   −     +   −   −   +

 +  −  −   −  −  − 

           

   

∏

Ψ

i之定義，請參閱肆、二、(一) 1.。

特別是，在

1 p q = = 2

時，集團免疫效果的期望人數等於 6 人。

陸、討論

有關

ES

之推導，本研究雖然推導出公式，但因

^{P S n} ( ⁼ )

之公式，過於複雜，無窮級數求和時，雖然無法進一步化簡，但這裡，實際應用時，可以代入給定之

p

^與

q

^{值，來計算近} 似值，即便如此，另一作法，因為對任意之

i ≥ 2

^，

Ψ

_i為偶數且

Ψ ≥

_i

2

，又

一個集團免疫機率模型之探討

中華民國第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書

高級中等學校組 數學科

050411-封面