高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：97.05.29 班級
範
圍 3-2 機率
座號
姓 名 一、填充題(每題 10 分)
1. 甲、乙、丙、丁、戊等五人排成一列，甲不排首，乙不排末之機率為 。
【解答】20 13
【詳解】
排容原理：全− (甲排首) − (乙排末) + (甲排首且乙排末)=5 ! − 4 ! − 4 ! + 3 ! =120 − 48 + 6 =78 故所求機率為
20 13 12078 = 即錯排：
2 2 2
05! 14! 23! 120 48 6 78 13 5! 120 120 20 C −C +C − +
= = =
2. 袋中有 5 紅球，3 白球；今任取 3 球，每球被取到的機會相等，則 3 球中至少 2 紅球之機率為 。
【解答】7 5
【詳解】
3 球中，至少 2 紅球 ⇒ 2 紅 1 白及 3 紅球，所求機率 = 8
3 5 3 3 1 5 2
C C C C +
= 7
5 56
10 30+ =
3. 有六雙大小分別不同的鞋子（共 12 隻），假設每隻鞋被選出的機會均等，今從其中任意挑選 出四隻，試求此四隻恰為匹配的兩雙的機率為 。
【解答】33 1
【詳解】
全部挑法有C124 種，挑出恰為匹配的兩雙有C62×C22×C22種，機率為
6 2 2
2
2 2
12 4
C C C C
× ×
=33 1
4. 從 5 雙不同花色的襪子中，任取 4 隻，每隻被取到的機會相等，則此 4 隻，恰成一雙機率為
。
【解答】7 4
【詳解】
4 隻恰成一雙⇒ 一雙及來自不同的二雙左或右之一，所求機率 = 10
4 2 4 2 5
1 2
C C C． ．
= 210 4 6 5．．
=7 4
5. 從 1、2、3、…、9 等九個數字中任取相異兩數，則所取得二數互質的機率為 。
【解答】4 3
【詳解】
任取兩數的方法有 種，其中不互質的有( 2，4 )，( 2，6 )，( 2，8 )，
( 3，6 )，( 3，9 )，( 4，6 )，( 4，8 )，( 6，8 )，( 6，9 )等 9 種情況
故由 1、2、3、…、9 等九個數字中任取相異兩數，其中互質的機率 = 1 −
9 36
2 = C
4 3 369 =
6. 投擲一不均勻骰子一次，其出現點數與其發生的機率成正比，則出現質數點的機率為 。
【解答】21 10
【詳解】
令出現 1 點的機率為 k ，則出現 2，3，4，5，6 點的機率分別為 2k，3k，4k，5k，6k
∵ P(S) =1 ⇒ k + 2k + 3k + 4k + 5k + 6k = 1 ⇒
21
= 1 k
∴ 故出現質數點 2，3，5 的機率為
21 10 21
5 21
3 21
2 + + =
7. 袋中有 2 個 2 號球，3 個 3 號球，4 個 4 號球，今由袋中每次取出一球，取後不放回，每個球 被取的機會相同，則
(1)前三次取的球都不同號碼的機率為 ， (2)前三次取的球的號碼和為偶數的機率為 。
【解答】7 2；
42 19
【詳解】
(1) 9!
!
4 3
1 3 1 2
1 ×C ×C ×
C =
7 2
(2)三球號碼和為偶數可分二種情況：
三球均為偶數 ⇒ 6 × 5 × 4 種
二球奇數，另一球偶數 ⇒ C32× C × 3 !16 種 ∴ 所求機率=6 5 4 3 6 6
9 8 7
× × + × ×
× × =
42 19
8. 已知路旁有 10 棵樹，將它們任意編號為 1，2，3，…，9，10，且其中有三棵松樹，則編號為 4 與 5 都是松樹的機率為 。
【解答】15 1
【詳解】
三棵松樹的編號中有兩棵編 4、5 的方法數為 C3× 2！× 8！
10 棵樹任意編號有 10！方法 所以三棵松樹編號為 4 與 5 的機率
2
！
！
！ 10
8 2 3× ×
=15 1
9.擲一枚硬幣四次，恰出現三次正面的機率為 ，至少出現三次正面的機率為 。
【解答】4 1；
16 5
【詳解】
SOL(一)
設擲四枚硬幣，樣本空間S，則n(S) = 24 = 16
恰三次正面的事件為A，則 n(A)= C = 4；至少三次正面的事件為B，則n(B)= C + C = 5 所以P(A) =
4 3
4 3
4 4
16 4 =
4
1，P(B) = 16
5
SOL(二) 34( ) ( )1 1 1 3 1
2 2 4
C = ； 34( ) ( )1 1 1 3 44( )1 4 1 1 5
2 2 2 4 16 16
C +C = + =
10.若將四位數 1234 的數字任意重新排列，則 (1)恰有兩個數字位置不變的機率為 ， (2)每個數字都改變位置的機率為 。
【解答】4 1；
8 3
【詳解】
(1)
4 2 2 2
2( 02! 11! 20!) 6(2 2 1) 1
4! 24 4
C C −C +C = − + =
(2)
4 4 4 4 4
04! 13! 22! 31! 40! 24 24 12 4 1 3
4! 24 8
C −C +C −C +C − + − +
= =
11.擲一粒骰子三次，第三次出現 1 點的機率為 ，第一次或第三次出現奇數點的機率 為 。
【解答】6 1；
4 3
【詳解】
(1)擲一粒骰子三次，第三次出現 1 的機率= 3 6
1 6 6× × =
6 1
(2)第一次或第三次出現奇數點的機率= 3 6
3 6 3 3 6 6 6 6
3× × + × × − × × = 2 6
9 18 18+ − =
4 3
12.袋中有 3 個紅球，2 個白球，1 個黑球，每球被取的機會相同，
(1)若一次取兩球，則兩球同色的機率為 。 (2)若一次取三球，則三球均不同色的機率為 。
【解答】(1) 15
4 (2) 10
3
【詳解】
(1)
3 2
2 2
6 2
4 15 C C
C
+ =
(2)一次取三球，三球均不同色的機率= 6
3 1 1 2 1 3 1
C C C
C =
20 6 =
10 3
13.六對夫婦參加一家庭舞會，若舞伴是以抽籤的方式來決定的，則至少有一對夫妻共舞的機率 為 。
【解答】144 91
【詳解】
全 − 全錯排
6 6 6 6 6 6 6
06! 15! 24! 33! 42! 51! 60!
1 6!
C C C C C C C
P − + − + − +
= − = 1 −
2 1
！+ 3
1
！− 4
1
！+ 5
1
！− 6
1
！ = 1 − 2 1+
6 1−
24 1 +
120 1 −
720 1 =
144 91
14.若將「probability」這個字的字母任意排列，則兩個b相鄰的機率為 ，相同字母都 不相鄰的機率為 。
【解答】(1) 11
2 (2) 55 37
【詳解】
(1)任意排列的排列數 = 2 2
11
！
！
！ ，兩個 b 相鄰的排列數 = 2 10
！
！
兩個 b 相鄰排列的機率 = 10
2 11 2 2
！
！
！
！ ！
=11 2
(2)設 b 相鄰的排列
！
！ 2
10 ，i 相鄰的排列
！
！ 2
10 ，b 相鄰且 i 相鄰的排列 9！，
b 相鄰或’i 相鄰的排列 2 ×
！
！ 2
10 − 9！= 10！− 9！= 9 × 9！
相同字母不相鄰排列的機率 = 1 − ( 9 9 11 2 2
× ！
！
！ ！
) = 1 − 55 18 =
55 37
16.甲、乙兩人參加演講比賽，共有 10 個人參賽，若以抽籤方式決定上場的次序，則甲、乙兩人 相鄰上場的機率為 。
【解答】5 1
【詳解】9 2! 8 ! 10 !
× × = 5 1
16. 5 男 5 女圍一圓桌而坐，則恰好男女相間之機率為 。
【解答】126 1
【詳解】P =
！
！
！ 9
5
4 =
126 1
17.將 3 個球任意投入 3 個不同的袋中，每次投一個球，連續投 3 次，則 (1)每個袋子均有球的機率為 。
(2)3 個球均投入同一袋中的機率為 。
【解答】(1) 9 2 (2)
9 1
【詳解】
令樣本空間為 ，則
(1)每個袋子均有球即 (將 3 個不同球排在 3 個相異袋子前) 的排列數= 3 ! = 6
∴ P =
S n(S)=33 =27
9 2 276 =
(2)3 個球全放在同一袋中的排列數 = 3 ∴ 機率 =
9 1 273 =
18.一袋中有黑球、白球、紅球共 12 個，已知黑球有四個且由袋中任取二球，取到二個均為紅球 的機率為33
5 ，求白球的個數。
【解答】3 個
【詳解】
設白球有 x 個，則紅球有 8 − x 個，則機率 12
2 8 2
C C −x
=33
5 ⇒ (8 − x)(7 − x) = 20 ⇒ x = 3 19.同時投擲三粒公正的骰子，則出現點數和為 5 的倍數的機率為 。
【解答】216 43
【詳解】
同時投擲三粒骰子點數和為 5 的倍數者有 點數和 = 5 者有( 1，1，3 )，( 1，2，2 )
點數和 = 10 者有( 1，3，6 )，( 1，4，5 )， ( 2，2，6 )，( 2，3，5 )，( 2，4，4 )，( 3，3，4 ) 點數和 = 15 者有( 3，6，6 )，( 4，5，6 )，( 5，5，5)
故所求機率為 3
6
3 4 3
! 3
! 6 2
!
3 × + × +
!
! 216
= 43
20.若甲、乙兩人各擲一枚公正的骰子一次，則甲的點數大於乙的點數的機率為 。
【解答】12 5
【詳解】
甲的點數 = 乙的點數的機率為 36
6
∴ 甲的點數大於乙的點數的機率為 2 1(1 −
36 6 ) =
12 5
21.自一副撲克（A poker hand）牌 52 張中任取 5 張，
(1)求 5 張牌成為「富而好施」（Full house），即點數如(x，x，y，y，y)的形式，但x，y是不 同點數的機率為 。
(2)求 5 張牌成為「兩對」（Two pairs），即點數如(x，x，y，y，z)的形式，但x，y，z是不同 點數的機率為 。
【解答】(1) 4165
6 (2) 4165
198
【詳解】
(1) P =
13 4 4
2 2 3
52 5
2!
C C C C
× =
5 4 3 2 1
48 49 50 51 52
4 6 12 13
×
×
×
×
×
×
×
× × × × =
4165 6
(2) P =
13 4 4 4
3 2 2 1
52 5
3!
C C C C 2!
C
× =
5 4 3 2 1
48 49 50 51 52
4 6 6 11 6 13
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
× =
4165 198
22.設甲、乙兩人以丟硬幣決定勝負，每丟一次硬幣賭資 1 元，約定出現正面是甲贏，出現反面 是乙贏，試問丟完四次後，則
(1)甲贏 4 元的機率是多少？ (2)甲贏 1 元的機率是多少？ (3)甲贏 2 元的機率是多少？
(4)甲、乙無輸贏的機率是多少？
【解答】(1) 16
1 (2) 0 (3) 4 1 (4)
8 3
【詳解】
(1)甲贏 4 元表示四次都出現正面，其機率是 16
1
(2)因每次結果是 + 1 或 − 1，所以，4 個 ± 1 相加結果必為 − 4，− 2，0，2，4 甲贏 1 元的機率為 0
(3)甲贏 2 元表示四次中甲贏三次輸一次，也就是銅板出現 3 次正面，1 次反面 機率為C ．(34
2 1)3．
2 1=
16 4 =
4 1
(4)甲、乙無輸贏表示四次中甲贏二次輸二次，也就是銅板出現 2 次正面，2 次反面 所以機率為C ．(42
2 1)2．(
2 1)2 =
16 6 =
8 3
23.一袋中有 6 個白球，4 個紅球，3 個黑球，每一球被取中的機會均等，試求下列各事件的機率：
(1)一次取出四球，恰為二黑二白。 (2)一次取出四球，恰為三色。
(3)一次取出四球，恰為二色。 (4)一次取出一球，取後不放回，紅球先取完。
【解答】(1) 143
9 (2) 143
72 (3) 715 339 (4)
455 153
【詳解】
(1)取出四球的方法有 種，取中二黑二白的方法有 ∴ 所求機率 =
13
C4 C26×C32
13 4
3 2 6 2
C C C ×
= 715 3 15× =
143 9
(2)取出四球恰為三色的方式有 2 白 1 紅 1 黑，2 紅 1 白 1 黑，2 黑 1 白 1 紅 ∴ 所求機率= 13
4
4 1 6 1 3 2 3 1 6 1 4 2 3 1 4 1 6 2
C
C C C C C C C C
C × × + × × + × ×
=
715
4 6 3 3 6 6 3 4
15× × + × × + × ×
= 143 72 360 =715
(3)取出四球恰為二色，正面討論情形較多，從反面處理較簡便 ∴ 所求機率 = 1 − (恰為 1 色的機率) − (恰為三色的機率) = 1 −
143 72
13 4
4 4 6
4 −
C C
C ＋ = 1 −
715 339 143
72 715
16 − = (4) P(紅球先取完) = 1 − P(白比紅先取完 ∪ 黑比紅先取完)
= 1 − P(白比紅先取完) − P(黑比紅先取完) + P(白、黑均比紅先取完）
= 1 −
非紅 紅
紅 黑
紅 紅 白
紅 紅
+ +
− +
+ = 1 −
13 4 7 4 10
4 − + = 455 153
