圍 3-3 期望值

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：98.06.10.

班級 範

圍 3-3 期望值

座號

姓 名 一、選擇題 (每題 10 分 )

( ) 1. 擲 3 個硬幣﹐出現 3 正面可得 12 元﹐2 正面可得 8 元﹐一正面可得 4 元﹐為了公平起見﹐出現 三反面時﹐應賠多少元﹖ (1)20 元﹒ (2)24 元﹒ (3)36 元﹒ (4)40 元﹒ (5)48 元﹒

解答 5

解析 投 3 個硬幣﹐其樣本空間元素個數n

(

)  2

 8

得款數 12 8 4  x

機率

8 3

8 3

8 1

公平即期望值E

 0

8 ) 1 8 (

4 3 8 8 3 8

121     x   ，x48﹐即賠48 元

( ) 2. (複選)投擲一公正硬幣 n 次（nN）﹐出現正面次數的期望值為 En﹐下列何者正確﹖

(1) E2  1﹒ (2) E4  2﹒ (3) E8  4﹒ (4) E10  8﹒ (5) En 

2

n

﹒ 解答 123

解析 E1  2 1  0 

2 1  1 

2 1

E2  0  4

1  1  2

1 _{ 2 } 4 1 1

22

E3  0  8

1 _{ 1 } 8

3 _{ 2 } 8 3_{ 3 }

8 1_ 1

32



∴ En  nE₁  2

n _{ E}

2  1﹐E₄  2﹐E₈  4﹐E₁₀  5

( ) 3. (複選)投擲公正骰子 n 個（nN）﹐點數和的期望值為 En﹐下列何者正確﹖

(1) E₂  7﹒ (2) E4  14﹒ (3) E8  28﹒ (4) E10  35﹒ (5) E2n  7 n﹒

解答 12345 解析 E₁  1 

6 1 _{ 2 }

6 1 _{ 3 }

6 1_{ 4 }

6 1_{ 5 }

6 1_{ 6 }

6 1_

6 21 _

2 7﹐

又 En  nE1  2

7n，∴ E2  7﹐E4  14﹐E8  28﹐E10  35﹐E2n  7n

二、填充題 (每題 10 分)

1. 一袋中有 1 號球 1 個﹐2 號球 2 個﹐3 號球 3 個﹐4 號球 4 個﹐

(1)從袋中任取一球﹐若取到 k 號球可得 5  k 元﹐則此試驗得獎金的期望值為____________元﹒

(2)從袋中一次取兩球﹐取到的號碼和為 k 時﹐可得 10  k 元﹐則此試驗得獎金的期望值為 _____元﹒

解答 (1) 2; (2) 4

解析 (1)袋中球的總數  1  2  3  4  10﹐此試驗得獎金的機率分布如下

獎金 X 4 3 2 1

機率 10

1 10

2 10

3 10

4

故得獎金的期望值 E(X)  4  10

1 _{ 3 } 10

2 _{ 2 } 10

3 _{ 1 } 10

4 _{ 2（元）}

即平均值

1 1 2 2 3 3 4 4

5 2

1 2 3 4

      

 

  

(2)一次取兩球﹐設此試驗得獎金的金額為 X 元﹐

則機率分布如右 X 7 6 5 4 3 2 機率 C¹⁰2

2 C¹⁰2

4 C¹⁰2

10 C¹⁰2

11 C¹⁰2

12 C¹⁰2

6

故得獎金的期望值 E(X)  7  45

2  6  45

4  5  45 10  4 

45 11  3 

45 12  2 

45 6 

45

180 4（元）

即平均值

1 1 2 2 3 3 4 4

10 2 4

1 2 3 4

      

  

  

2. 一盒子中有 5 個紅球﹐3 個白球﹐且每球被取的機率相同﹐

(1)若一次取一球﹐則取到白球個數的期望值為____________﹒

(2)若一次取三球﹐則取到白球個數的期望值為____________﹒

解答 (1) 8 3;(2)

8 9

解析 (1)一次取一球﹐取到白球的機率  8

3﹐所以取到白球個數的期望值  1  8 3_

8 3

(2)取到白球個數的機率分布如下

個數 0 1 2 3

機率 C C

83 5 3

C C C

83 52 13

C C C

83 15 32

C C

83 33

取到白球個數的期望值 E(X)  1  ¹³ ₈ ⁵²

3

C C C

  2  ³² ₈ ¹⁵

3

C C C

  3  C C

83 33

 56 30_{ 2 }

56 15_{ 3 }

56 1 _

8

9，即平均值

3 9 8  3= 8

(1)若一次取兩球﹐則兩球中編號較大者的期望值為____________﹒

(2)若一次取兩球﹐則兩球編號差之平方的期望值為____________﹒

解答 (1) 4;(2) 5

解析 (1)設取到的數中﹐較大的數為 X﹐則 X 的機率分布如下

X 1 2 3 4 5

機率 C⁵2

0 C⁵2

1 C⁵2

2 C⁵2

3 C⁵2

4

取到較大編號數的數值期望值 E(X)  2  10

1 _{ 3 } 10

2 _{ 4 } 10

3 _{ 5 } 10

4 _{ 4}

(2)設取到的兩數編號差的平方為 X﹐則機率分布如下

X 1 4 9 16 機率 C⁵2

4 C⁵2

3 C⁵2

2 C⁵2

1

期望值 E(X)  1  10

4 _{ 4 } 10

3 _{ 9 } 10

2 _{ 16 } 10

1 _{ 5}

4. 一袋中有 10 元硬幣 3 個﹐5 元硬幣 x 個﹐每個硬幣被取的機會相同﹐

(1)若從中取一個硬幣時﹐取得金額的期望值為 8 元﹐則 x  ____________﹒

(2)若 x  4﹐則從中取兩個硬幣可得的金額之期望值為____________ 元﹒

解答 (1) 2;(2) 7 100

解析 (1)期望值 E(X)  8  10  3 3



x ^{ 5 }x3

x ﹐即8x  24  30  5x﹐所以 x  2

即平均值

10 3+5 3 8

x x

  



2 3 2

C

C  15  C

C C

72 41 13

 10  C C

72

42  20  7 1 15 

7 4 10 

7 2

7

100（元）

即平均值

10 3+5 4 100

3 4 2 7

   



(1)出現 6 點次數的期望值為____________﹒ (2)出現質數點次數的期望值為____________﹒

解答 (1) 2 1;(2)

2 3

解析 (1)擲一骰子三次﹐設 X 表示出現 6 點的次數﹐則其機率分布

X 0 1 2 3

機率 216 125

216 5 3 ²

216 5 3

216 1

期望值 E(X)  1  216

75 _{ 2 } 216

15 _{ 3 } 216

1 _ 216 108_

2

1，即平均值

1 1 6   3 2

X

0 1 2 3

機率

216 27 3

216 27 3

216 27

期望值 E(X)  1  216

81 _{ 2 } 216

81 _{ 3 } 216

27 _ 216 324_

2

3，即平均值

3 9 6   3 2

6. 根據統計資料得知﹐一個 50 歲的人﹐在一年內存活的機率為 98.5％﹐今有一個 50 歲的人參加一年期 保險額度為五十萬元的人壽保險﹐須繳保費一萬元﹐則保險公司獲利的期望值為____________﹒

解答 2500（元）

解析 保險公司獲利的期望值 98.5％  10000  1.5％  (10000  500000)  2500（元）

7. 將 3 個球投入 3 個盒子裡﹐每次投一個球﹐連續投 3 次﹐則

(1)每個盒子裡都有球的機率為____________﹐(2)空盒子個數的期望值為____________﹒

解答 (1)2 9;(2)8

9

解析 (1)3 個球投入 3 個盒子﹐每次一球﹐每個盒子都有球的機率 ₃ 3 3！

9 2

(2)設空盒子數為 X﹐則 X 的機率分布如下

X 0 1 2

機率 27

6

27 ) 2 2 ( 3 ³ 

27 3

空盒子數的期望值  1  27

6 3 _{ 2 }

27 3 _

27 24_

9 8

8. 擲三粒骰子一次﹐須先付 10 元﹐若出現點數均相同時﹐可得 120 元﹔點數成等差時﹐可得 30 元﹐求 (1)此遊戲是否有利﹖____________﹒（答有利或不利）

(2)要使遊戲公平﹐應將出現點數成等差時可得 30 元﹐更改為____________元﹒

解答 (1)不利;(2) 40 解析 (1) E  120  ₃

6

6

3 6 ！ _

3

10 _{ 5 } 3

25 _{ 10﹐故不利}

(2) 120  ₃

6

6

3

6 ！  10  x  40

9. A 袋中有 100 元 5 張﹐10 元 3 張﹐1 元 4 張﹐B 袋中有 10 元鈔票 10 張﹐

(1)自 A 袋中任取二張﹐其期望值為____________﹒

(2)自 A 袋中取一張放入 B 袋﹐再自 B 袋取二張﹐求期望值為____________﹒

解答 (1) 89;(2) 11 289

解析 (1) E  2(100  12

5  10  12

3  1  12

4 )  89，即平均值

100 5 10 3 1 4 5 3 4 2 89

      

 

(2) E  2(

2 89_

11 1 _{ 10 }

11 10_{)  2 }

22 289_

11

289，即平均值

10 10 89 2 1 2 289

10 1 11

  

  

10. 袋中 1 號球 1 個﹐2 號球 2 個﹐3 號球 3 個﹐…﹐n 號球 n 個（nN）﹐取到 k 號球得 k 元（1 ≤ k ≤ n）﹐

假設任取一球得錢的期望值為 En元﹐(1) E₁₀  ____________﹒ (2) n E_n

nlim



  ____________﹒

解答 (1) 7; (2) 3 2

解析 (1)En 



 n

k

k

1 

2 ) 1 (n n

k 

) 1 (

2



n



 n

k

k

1 2

) 1 (

2



n ^ 6

) 1 2 )(

1 (n n

n 

3 1 2n

即平均值

2 2 2 2

( 1)(2 1)

1 2 3 ... 6 2 1

( 1)

1 2 3 ... 3

2

n n

n n n

 

    

  

   

1 10

2  _{ 7}

(2)nlim

n E_n

nlim

n n

3 1 2 

nlim

n n

3 1 2  _

3 2

11. 袋中有鈔票 1000 元 4 張﹐500 元 3 張﹐100 元 3 張﹐每張被取到的機會相等﹐今任取 3 張﹐則所得錢 數的期望值為____________元﹒

解答 1740 元

解析 任取 3 張錢數之期望值是任取一張錢數期望值之 3 倍



10 100 3 10 500 3 10

4    

 )  1740

12. (1)投擲一公正的骰子一次﹐則出現點數的期望值  ____________﹔

(2)同時投擲兩公正的骰子﹐則出現點數和的期望值  ____________﹒

解答 (1)7 2;(2)7

解析 (1) 點數 1 2 3 4 5 6

機率 6

1 6 1

6 1

6 1

6 1

6 1

投擲一公正骰子出現點數的期望值為

2 7 6 21 6 6 1 6 5 1 6 4 1 6 3 1 6 2 1 6

11           

即平均值

1 2 3 4 5 6 7

6 2

     

(2)《方法 1》

投擲兩公正骰子

點數和 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

機率

36 2

36 3

36 4

36 5

36 6

36 5

36 4

36 3

36 2

36 1

投擲兩公正骰子點數和期望值  2

36 5 36 8 6 36 7 5 36 6 4 36 5 3 36 4 2 36 3

1            

  9 

36 4 _

36 1 12 36 2 11 36 3

10     

  7

252 36

《方法2》利用(1)的結果﹐投擲兩公正骰子點數和的期望值  2 7 2

7 

13. 投擲三個均勻的硬幣一次﹐若出現三正面得 8 元﹐二正面得 3 元﹐一正面得 1 元﹐為使賭局公平﹐出 現三反面應賠____________元﹒

解答 20

解析 投擲三硬幣﹐出現三反面賠x元﹐則

0

8 ) 1 8 (

8 1 8 3

8 1

3 1 3

2

     







 x  8  9  3  20

14. 若擲一均勻硬幣三次﹐每出現一次正面可得 10 元﹐一次反面賠 4 元﹐則所得金額的期望值為___元﹒

解答 9 元 解析 3  [10 

2

1 ( 4)  2

1]  9，即平均值

10 ( 4) 2 3 9

   

15. 6 個不同的球﹐任意放入 3 個不同的箱子﹐每箱個數不限﹐

(1)恰有一個空箱子的機率為____________﹒ (2)空箱子個數的期望值為____________﹒

解答 (1) 243

62 ;(2) 243

64

解析 6 個不同的球﹐放入 3 個不同箱子﹐每箱個數不限

(1)恰有一個空箱子



(2)恰有二個空箱子之機率  ²³₆ 1 1 3 243 C 

　

所求空箱子個數的期望值  1 62 1 243 2 243

   

243 64

16. 某次考試中﹐有一部分試題採用多重選擇題﹐每題有五個敘述﹐其中正確的敘述可能不只一個﹐但也 可能一個也沒有﹐必須完全選對才得5 分﹐否則倒扣S分﹒某考生決定靠運氣瞎猜﹐而此部分得分期 望值為0﹐若他對單獨一題猜對的機率為P﹐則(1)P____________﹐(2)S



解答 (1) 32

1 ;(2) 31

5

解析 每題有 5 個敘述﹐其猜答方式有2⁵ 32種﹐答對只有一種方式﹐故

32

 1 P 又答對得5 分﹐答錯倒扣S^{分而得期望值為}0 ∴ 5 

32

1  ( S)  32

31 0  S  31

5

17. 某人投擲兩公正骰子﹐出現點數和為 7 時﹐可得 1000 元﹐並獲得繼續投擲的權利﹐若再出現點數和 為7 時﹐再得 1000 元﹐又可繼續投擲﹒如此繼續下去﹐直到擲出點數和不為 7 時﹐才停止﹐則此人 得獎金的期望值____________元﹒

解答 200

解析 每人投擲出現點數和為 7 的情形有(1﹐6)﹐(2﹐5)﹐(3﹐4)﹐(4﹐3)﹐(5﹐2)﹐(6﹐1)

∴ 出現點數和為7 的機率  6 1 366 

(一次點數和 7) (二次點數和 7) (三次點數和 7) ………

故得獎金的期望值為1000         6 ) 5 6 (1 6 3000

) 5 6 (1 6 2000

5 6

1 _{2 3}

…

        )²  6 (1 3 6) (1 2 1 6 [ 5 6

1000 1 … ] 

)2

6 1 1 (

1 9

1250

　

  200

18. 將 5 個大小形狀相同﹐顏色不同的球﹐全投入 3 個不同的袋子中﹐則

(1)每個袋子中均有球的機率為____________﹒ (2)空袋子個數的期望值為____________個﹒

解答 (1) 81 50;(2)

81 32

解析 5 個不同顏色的球放入 3 個不同的袋子中﹐其放入法有3⁵ 243種 (1)每個袋子均有球﹐依個數安排可分成兩類 (3,1,1)

(2,2,1)



 放法有

! 2

! 3

! 2

!

3 ₁

1 3 2 5 2 1

1 2 1 5

3 　

　   





C C C C C

C  60  90  150，所求機率為

81 50 150 243 (2)∴ 空袋子個數的期望值 

81 32 243

96 243 3 2 243 90 1 243 150

0       

空袋子個數 0 1 2

機　　　率 243 150

243 90

243 3

19. 甲､乙兩人下棋﹐兩人棋力相當﹐規定先勝 3 局者可得獎金 1000 元﹐但每次對局均須分出勝負﹐不 許和局﹒今兩人進行到甲勝2 局﹐乙勝 1 局時﹐比賽因故停止﹐依公平的原則﹐來分此 1000 元獎金﹐

則甲應得____________元﹒

解答 750

解析 若比賽不終止﹐繼續比到先勝 3 局才停﹐其情形有

（甲勝2 局﹐乙勝 1 局）

∴ 甲先勝3 局的機率 

4 3 2 1 2 1 2

1   ﹐故甲應得 750

4

10003 元

20. 某人參加保齡球賽﹐每場比賽得勝機率為 3

1﹐失敗機率為 3

2﹒今參加五場比賽﹐規定勝一場可得獎金

1000 元﹐敗一場罰款 400 元﹐則

(1)此人至少贏得 3000 元的機率為____________﹒ (2)此人獲得獎金的期望值為____________﹒

解答 (1) 243

11 ;(2) 3 1000元

解析 (1)此人至少贏 3000 元﹐則五場比賽中須勝 4 場輸 1 場或勝 5 場 ∴ 至少贏 3000 元的機率  ₄^{5 4} ₅⁵ )⁵

3 (1 3)

(2 3)

(1 C

C  

243 11 243

1 10 

(2) 比賽

結果 5 勝 4 勝 1 負 3 勝 2 負 2 勝 3 負 1 勝 4 負 5 負 所得

款額 5000 3600 2200 800  600  2000 機率

)

3

( 1 )

3 ( 2 3 ) ( 1

5

C4 ⁵₃ ³

)

3 ( 2 3 ) ( 1

C ⁵₂ ²

)

3 ( 2 3 ) ( 1

C ₁⁵

)

3 )( 2 3 ( 1

C

)

3 ( 2

期望值  5000 ( 3

1)⁵  3600 ⁵₄ 1 ⁴ ( )3

C   2 ⁵₃ 1 ³ 2 ² ( ) 2200 ( ) ( )

3  C  3  3  ⁵₂ 1 ² 2 ³

800 ( ) ( ) 3 3

C    600 ₁⁵ 1 2 ⁴ ( ) ( )

3 3

C    2000 (2 3) ⁵ 

3

1000（元）

期望值即平均值知所求為

1 2 1000

[1000 ( 400) ] 5

3 3 3

     

21. 某人投籃命中率為 0.4﹐若讓他連續投籃直到中了才停止﹐則其投籃次數的期望值  ___________次﹒

解答 5 2

解析 因每次投籃命中率為 0.4﹐不中的機率為 0.6﹐而命中後即停止 故投籃次數期望值  0.4  2 (0.6) (0.4)  3 (0.6)² (0.4)  …  (0.4)

2 5 ) 6 . 0 1 (

1

2 

  （次）

22. 擲 4 個公正硬幣﹐若出現四個正面﹐可得 20 元﹐三個正面可得 15 元﹐二個正面可得 10 元﹐一個正 面可得5 元﹐則為使賭局公平起見﹐得四個反面應付____________元才公平﹒

解答 160

解析 擲 4 個公正硬幣﹐出現 4 個正面的機率 ₄⁴

1

( ) 2

16

1 ； 3 個正面的機率 ₃⁴

1

1

( ) ( )

2 2

C 

4

16

1

1

( ) ( ) 2 2

C 

6

16

4 1 3

1

1 1 ( ) ( )

2 2

C 

4

16

1

( ) 2

16 1

 0 16 ) 1 16 (

5 4 16 10 6 16 15 4 16

20 1        x  

 x

 20  60  60  20  160

23. 甲､乙二人下棋為賭﹐約定先贏 3 局者勝﹐敗者付給勝者 1000 元﹐已知甲､乙二人棋藝相等﹐現於 甲勝2 局､乙勝 1 局時﹐比賽因故中止且決定不再比賽﹐如按機率處理﹐乙應付給甲____________

元才合理﹒

解答 500

解析 在甲勝 2 局﹐乙勝 1 局時﹐繼續比賽﹐則 甲勝的機率 

2 1 _

2 1_

2 1 

4

3 乙勝的機率  1  4 1 43  (甲) (乙﹐ 甲)

∴ 甲得款額的期望值 500

4 ) 1 1000 4 (

10003    ，故乙應給甲500 元才算合理

24. 一袋中有 10 個樣品﹐其中有 2 個不良品﹒今自袋中任取一個樣品﹐取得良品則放回﹐直到取到不良 品才停止﹐試求所取樣品次數的期望值為____________﹒

解答 5 次

解析 每次取出良品的機率  5

4﹐不良品的機率  5 1

∴ 期望值            )  5 (1 5) (4 4 5) (1 5) (4 5 3 1 5 2 4 5

1 1 ^{2 3}

E …

 )

5 (1 5) (4 4 5 ) (1 5) (4 3 5 ) (1 5) (4 2 5 1 5 4 5

4E    2    3   4  …

兩式相減得         

5 ) 1 5 (4 5 ) 1 5 (4 5 1 5 4 5 1 1 5

1 _{2 3}

E … 

1

5 1 4

5 1





 E 5 次

25. 袋中有編號 1﹐2﹐3 的三個白球﹐編號 1﹐2﹐3﹐4 的四個紅球﹐編號 1﹐2﹐3﹐4﹐5 的五個黑球﹐

今任意抽取兩球且每球被取中的機率相等﹐求

(1)兩球不同色的機率為____________﹒ (2)兩球號碼和的期望值為____________﹒

解答 (1) 66 47;(2)

6 31

解析

 

 



5 4 3 2 1

4 3 2 1

3 2 1

，

，

，

， 黑：

，

，

， 紅：

，

，

： 白

(1) 白紅 紅黑 黑白

12 2

3 1 5 1 5 1 4 1 4 1 3 1

C

C C C C C

C   

66 15 20 12  

66 47

(2)[ 12

) 5 4 3 2 1 ( ) 4 3 2 1 ( ) 3 2 1

(            _{]  2 } 6 31

26. 擲三個骰子一次﹐若點數最大為 x﹐求(1)x  6 的機率為_________﹒ (2)求 x 的期望值為__________﹒

解答 (1) 216

91 ;(2) 24 119

解析 (1) ₃

3 3

6 5 6 

216 91

(2)1  216

1 _{ 2 }

216

1 2



 3 

216

2 3



 4 

216

3 4



 5 

216

4 5



 6 

216

5 6



 216

1 _ 216

14 _ 216

57 _ 216 148 _

216 305_

216 546_

24 119

27. 甲､乙二人網球比賽﹐約定先贏 3 局者勝﹐敗者應付給勝者 4000 元﹒若已知甲､乙二人實力相當﹐

現於甲勝2 局時因故不能繼續比賽﹐如按機率處理﹐乙應付給甲____________元﹒

解答 3000 解析 P(甲勝) 

2 1_{ (}

2 1)²  (

2 1)³ 

8

7_{﹐P(乙勝)  (} 2 1)³ 

8 1

E(甲)  4000  8

7 ( 4000)  8

1 3000（元）

甲勝 乙勝 甲勝

乙勝 甲勝 乙勝

28. 五骰子投擲一次﹐若五骰子同點﹐則可得 1200 元﹐若恰四骰子同點﹐則可得 600 元﹐則投擲一次之 期望值為____________元﹒

解答 25 2 解析

獎金 1200 600

機率 6  (

1

)

 C



！

！ 4

5

 (

6 1

)

xxxxy

∴ 期望值為1200  ( 6

1)⁴  600  ₄ 6 25_

2 25元

29. 袋中有 2 個紅球﹐4 個白球﹐5 個黃球﹐每球被取的機會相同﹐從袋中一次取出三球﹐則得黃球個數 的期望值為何﹖

解答 15 11個

解析 設取出三球中﹐取到黃球個數以 X 表示﹐則其機率分布如下（黃球 5 個﹐非黃球 6 個）

X 0 1 2 3

機率 C C

113 63

C C C

113 62 15

C C C

113 16 52

C C

113 53

所以取到黃球個數的期望值 E(X)  1  C¹¹3

75

60

10

11

15（個）

期望值即平均值知所求為

5 15

2 4 5   3 11

 

30. 同時擲三粒骰子，如果恰有兩粒點數相同時，可得 200 元獎金，三粒點數都相同時，可得 500 元獎金，

其餘的都沒獎金，求此試驗得獎金的期望值。

解答 875 9 元

解析 設得獎金的金額以 X 表示﹐則其機率分布

X 0 200 500 機率 216

120

216 3 5 6 

216 6

期望值 E(X)  200  216

90  500  216

6 21000 875

216  9 （元）