第2章 綜合演練 基礎題

高中數學(一)習作甲 第 2 章 多項式函數 1

第 2 章 綜合演練

基礎題

1. 某次考試，全班最高分為 50 分，最低為 20 分，現在擬用一個線性函數來加分，使 20 分 變為 60 分，50 分變為 100 分，則：

(1) 若原來考 41 分，加分後為 分。（5 分）

(2) 若加分後為 72 分，則原來為 分。（5 分）

解 令 y＝ax＋b  60 20 100 50

a b a b





＝ ＋

＝ ＋ 

4 3 100

3 a

b







＝

＝

∴y＝4

3x＋100 3

故(1)令 x＝41 代入得 y＝4

3×41＋100

3 ＝88（分）

(2)令 y＝72 代入得 72＝4

3x＋100

3  x＝29（分）

2. 已知 1  x  4，若一次函數 f（x）＝－3x＋k，有最小值為 5，則 k＝ 。（6 分）

解 ∵1  x  4

－12 －3x －3

－12＋k －3x＋k －3＋k

∵f（x）＝－3x＋k 有最小值 5

∴令－12＋k＝5  k＝17 故 k＝17

3. 若二次函數 y＝f（x）＝－x²＋6x－5，則：

(1) y＝f（x）的圖形與 x 軸的交點坐標為 。（6 分）

(2) y＝f（x）的圖形與 y 軸的交點坐標為 。（6 分）

解 (1)令 y＝0 －x²＋6x－5＝0  x²－6x＋5＝0

（x－1）（x－5）＝0  x＝1 或 5

∴f（x）與 x 軸的交點為（1﹐0），（5﹐0）

(2)令 x＝0  y＝－5

∴f（x）與 y 軸的交點為（0﹐－5）

高中數學(一)習作甲 第 2 章 多項式函數 2

4. 二次函數 f（x）＝2x²＋ax＋b 的圖形通過點（2﹐3），且頂點在直線 y＝4x－3 上，則數對

（a﹐b）＝ 。（8 分）

解 f（x）＝2x²＋ax＋b＝2

2

4 x a

 

 

 ＋  ＋b－

2

8

a ，故頂點

2

4 8

a a

 b 

 

－ ， － 

∵頂點在 y＝4x－3 上

∴b－

2

8 a ＝4×

4

 a

 

－ －3  b＝

2

8

a －a－3………

而圖形又通過點（2﹐3）

∴3＝8＋2a＋b  b＝－2a－5………

代入得

2

8

a －a－3＝－2a－5  a＝－4，b＝3 故數對（a﹐b）＝（－4﹐3）

5. 若多項式 a（x－1）（x－2）＋b（x－1）（x－3）＋c（x－2）（x－3）＝x²＋x－5，則序組

（a﹐b﹐c）＝ 。（8 分）

解 a（x－1）（x－2）＋b（x－1）（x－3）＋c（x－2）（x－3）＝x²＋x－5 令 x＝3 代入得 a×2×1＝3²＋3－5  2a＝7  a＝7

2

令 x＝2 代入得 b×1×（－1）＝2²＋2－5 －b＝1  b＝－1

令 x＝1 代入得 c×（－1）×（－2）＝1²＋1－5  2c＝－3  c＝－3 2 故序組（a﹐b﹐c）＝ 7 3

2 1 2

 

 

 ，－，－ 

6. 試求兩函數 y＝x 與 y＝x³圖形的交點坐標為 。（8 分）

解 解 ^{y x}₃ y x





L L L L L L L L

＝

＝





－得 x³－x＝0  x（x²－1）＝0

 x（x＋1）（x－1）＝0

 x＝0 或－1 或 1

∴兩函數圖形的交點坐標為（0﹐0），（－1﹐－1），（1﹐1），如下圖

高中數學(一)習作甲 第 2 章 多項式函數 3

7. 設 x²＋3x＋2 為 f（x）＝x⁴＋x³＋ax²＋bx＋10 之因式，則數對（a﹐b）＝ 。（8 分）

解 ∵x²＋3x＋2＝（x＋1）（x＋2）為 f（x）之因式

∴f（－1）＝1－1＋a－b＋10＝0  a－b＝－10 f（－2）＝16－8＋4a－2b＋10＝0  4a－2b＝－18 解之得 a＝1，b＝11

故數對（a﹐b）＝（1﹐11）

8. 設 f（x）為三次多項式，若 f（－1）＝f（2）＝f（4）＝3 且 f（1）＝15，則多項式 f（x）

＝ 。（8 分）

解 令 f（x）＝k（x＋1）（x－2）（x－4）＋3

又 f（1）＝15  15＝k×2×（－1）×（－3）＋3  6k＝12  k＝2 故 f（x）＝2（x＋1）（x－2）（x－4）＋3

＝2（x³－5x²＋2x＋8）＋3

＝2x³－10x²＋4x＋19

9. 若方程式 x⁴＋ax³＋2x²－3x－2a＝0 在 1 與 2 及－1 與－2 之間都恰有一實根，則實數 a 之 範圍為 。（8 分）

解 由勘根定理知 f（1）f（2）＜0

（1＋a＋2－3－2a）（16＋8a＋8－6－2a）＜0

（－a）（6a＋18）＜0

 a（a＋3）＞0

 a＞0 或 a＜－3………

又 f（－1）f（－2）＜0

（1－a＋2＋3－2a）（16－8a＋8＋6－2a）＜0

（－3a＋6）（－10a＋30）＜0

（a－2）（a－3）＜0

 2＜a＜3………

由、知 2＜a＜3

高中數學(一)習作甲 第 2 章 多項式函數 4

進階題

1. 若 2x⁴＋3x³－x²＋7x＋a 能被 x²＋2x＋b 整除，則數對（a﹐b）＝ 。（12 分）

解 2 1

1 2 2 3 1 7 2 4 2 1 2 1 7 1 2 2 1 7

b a

b b

b

b b a

－

＋ ＋ ＋ － ＋ ＋

＋ ＋

－ ＋（－ －）＋

－ － －

（－ ＋）＋（ ＋ ）＋

令 2 1 1

－ ＋b

＝7 2

＋b

＝a b

 7 2 2 1 2 1

b b

a b b





＋ ＝（－ ＋）

＝（－ ＋）  b＝－1，a＝－3 故數對（a﹐b）＝（－3﹐－1）

2. 設整係數多項式f（x）＝x⁴－x³＋kx²－2kx－2 有整係數一次因式，則 k＝ 。（12 分）

解 由整係數一次因式檢驗法知

f（x）之所有可能整係數一次因式為 x－1，x＋1，x－2，x＋2 (1)若x－1 為 f（x）之因式，則 f（1）＝1－1＋k－2k－2＝0

 k＝－2

(2)若x＋1 為 f（x）之因式，則 f（－1）＝1＋1＋k＋2k－2＝0

 k＝0

(3)若x－2 為 f（x）之因式，則 f（2）＝16－8＋4k－4k－2＝0

 k 無解

(4)若x＋2 為 f（x）之因式，則 f（－2）＝16＋8＋4k＋4k－2＝0

 k＝－11

4 （不合）

故 k＝－2 或 0