§3.1 不定积分的概念

1

第三章 一元函数积分学

§3.1 不定积分的概念

§3.2 不定积分的计算方法

§3.3 定积分概念及性质

§3.4 积分学基本公式

§ 3.5 定积分的换元积分法与分部积分法

§3.7 定积分的应用

2

§3.1 不定积分的概念

• 3.1.1原函数与不定积分的概念

• 3.1.2不定积分的性质与基本积分公式

3

例 ( sin x ) ′ = cos x

x

sin

^是 cos x 的原函数.

( )

ln ′ = >

x x x

x ln

^是

x

1

在区间

+∞

内的原函数.

3.1.1 原函数与不定积分的概念

定义

内的一个原函数。

在区间

是

，则称

或 恒有

使得对

内的函数，若存在函数 是区间

设

I

x f x

F dx

x f x

dF

x f x

F I

x

x F I

x f

) ( )

( )

( )

(

) ( )

( ' ,

), (

) (

=

=

∈

∀

注: 原函数不唯一,但不同的原函数之间只差一个常数

4

定理3.1 若 是 在区间 内的一个原函数，

则集合 是由 的原函数

全体构成的集合，其中 称为 的原 函数的一般表达式。

) (x

F ^{f (x)} I

} {

⁽

^{) +}

^{为任意常数}

C x

F( ) +

) (x f

) (x f

如 cos x 的原函数的一般表达式为

) (

sin x + C C为任意常数

在 的原函数的一般表达式为

x

1 ( 0 , +∞ )

) (

ln x + C C 为任意常数

5

任 意 常 数

积 分 号 被 积 函 数

定义3.2（不定积分的定义）

C x

F dx

x

f = +

∫ ^{( ) 被 ( )}

积 表 达 式 积 分 变 量

称为 f ( x ) ^在区间 I ^{内的 不定积分，记为} ∫ ^{f ( x ) dx .}

若

^{(x )} 是

在区间 内的一个原函数，则

的原函数的一般表达式

( 为任意常数

)

) (x f

即

注：求不定积分即为求原函数，不定积分和原函数是

计算定积分、重积分与解微分方程的基础，故很重要.

解

例1 求 . 1

1

∫

+ dx

x

7

函数 f ( x ) ^的原函数

^{的图形称为} f ( x ) ^的一条积

分曲线

_{轴任意平行移动，可得} f ( x ) ^的无穷

多条积分曲线

，称为 f ( x ) 的积分曲线族。

几何意义：一个积分曲线族。

若求通过点 （称为初始条件）的积分 曲线，由初始条件可确定积分常数 的值。

C x

F dx

x

f = +

∫

) ,

(x₀ y₀

C

8

∫ ^{[ f ( x ) ± g ( x )] dx =}

) 1

( ∫ ^{f ( x ) dx ±} ∫ ^{g ( x ) dx ;}

3.1.2 不定积分的性质与基本积分公式

∫ ^{kf ( x ) dx =}

) 2

( ^k ∫ ^f ( ^x ) ^dx .

（ k ^是常数， k ≠ 0 )

[ ^{f ( x ) dx} ] ^{f ( x ),}

dx

d ∫ = ^{d [ ∫ f ( x ) dx ] = f ( x )}

∫ ^{F ′ ( x ) dx = F ( x )} ∫ ^{dF ( x ) = F ( x )}

dx

,

+ C + C

（3）

（4）

1. 基本性质

9

例2 求积分

解 原式＝

. )

1 2 ( 3

2 2

dx

x x

∫ ⁻ ₋

结论：

1、微分运算与求不定积分的运算是

互逆的；

2、检验积分结果是否正确，可对结果求导，看

是否等于被积函数；

10

2. 基本积分公式

µ µ

µ ^x

x =

′

 

 





+

+

1

1

.

1

1

x C dx

x +

+

= µ

⇒ ∫

) 1 ( µ ≠ −

实例

启示 能否根据求导公式得出积分公式？

11

基 本 积 分 公 式



);

1 1 (

) 2 (

1

+ ≠ −

= +

∫

_µ

^µ

∫ ^a

^dx = )

4

(

ln

+

≠

a^x



∫

=

5

(

e

+ C ;

+ =

∫

) 6

(

arctan x + C ;

− =

∫

x² 1

) 1 7

(

arcsin x + C ;

两种情况求。

－

和

＝－

则需讨论

无特殊的说明，

若对

时，

注：求

1

1

≠

∫

µ

µ µ

µdx x

; 1 ln

) 3

( dx x C

x

= +

∫

; ) (

) 1

( ∫ ^{kdx = kx + C k 是常数}

12

∫

⁼

) 9

(

sin x + C ;

∫ ^{sin xdx =}

) 8

( ^{− cos x + C ;}

∫

10

(

∫ ^sec

^{xdx = tan x + C ;}

∫

11

(

∫ ^csc

^{xdx = − cot x + C ;}

; sec

tan sec

) 12

(

∫

=

+

cot csc

) 13

(

∫

= −

+

13

例3 求积分

1

2 1

) 1 (

2 2 2

dx x

x

x x

∫

⁻ ₋ ^{− −} 解 原式＝

例4 求积分 解 原式＝

2 . cos 1

∫ + 1 dx

x

14

例5 求积分 ∫ _sin

¹ _cos

说明： 求不定积分时，先将被积函数化简 或运算，再利用不定积分的性质和 基本积分公式来求。

解 原式＝

15

§3.2 不定积分的计算方法

3.2.1 换元换元法 3.2.2 分部积分法

16

问题 ∫ ^{cos 2 xdx = sin 2 x + C ,}

解决方法 利用复合函数，设置中间变量.

过程 令 t = 2 x , 2

1 dt dx =

⇒

∫ ^{cos 2 xdx = 1} ₂ ∫ ^{cos t dt = sin 1} ₂ ^{t + C = 1} ₂ ^{sin 2 x + C .}

1、第一类换元法

3.2.1 换元换元法

17

在一般情况下：

设 F ′ ( u ) = f ( u ), ^则 ∫ ^f ( ^u ) ^{du = F} ( ^u ) ^{+ C} .

如果 u = ϕ ( x ) ^（可导）

) ( )]

( [ )])'

( [

( F ϕ x = f ϕ x ϕ ^′ x



∫ ^{′ = +}

∴ f [ ϕ ( x )] ϕ ( x ) dx F [ ϕ ( x )] C

∫

= [ f ( u ) du ]

由此可得换元法定理

18

设 f (u ) ^{具有原函数}

^{(u ) ，}

∫ ^{f [ ϕ ( x )] ϕ ′ ( x ) dx =}

∫

^ϕ

第一类换元公式（凑微分法）

说明 使用此公式的关键在于将

∫ ^{g ( x ) dx 化为 ∫}

^[

⁽

^)]

^{′ (}

⁾

^{= ∫}

^[

⁽

^)]

⁽

^{) .}

观察重点不同，所得结论不同.

) ( x

u = ϕ ^可导，

则有换元公式

定理3.2

19

例1 求 ∫ sin 2 ^xdx .

解（一）

（二）

（三）

原式 原式

原式

20

例3 求 ∫

解

例2 求 ∫

^{' (}

⁾

⁽

⁾

解 原式

一般地

) 0 )(

( ) 1 (

)

( + = ∫ + + ≠

∫

21

例4 求 .

) ln 2 1

(

1 dx

x

∫ x ₊

解 原式

一般地

f

1 (ln ) ln

)

(ln ∫

∫ ⁼

22

例5 求 1 ( 0 ).

2

2

≠

∫ _a + _x ^{dx a}

解 原式

例6 求

(

1

2 e dx

x

x x

∫ ⁻

解

小结：例1－6应用凑微分可直接观察到。

23

常 用 的 三 角 函 数 关 系 式



1.积化和差公式：

2.倍角公式

] ) cos(

) [cos(

2 cos 1

cos

] ) cos(

) [cos(

2 sin 1

sin

] ) sin(

) [sin(

2 cos 1

sin

x x

x x

x x

x x

x x

x x

β α

β α

β α

β α

β α

β α

β α

β α

β α

+ +

−

=

+

−

−

=

− +

+

=

2 . 2 cos cos 1

2 ; 2 cos sin 1

; 2 2 sin

cos 1 sin

2 2

x x x x

x x

x

= +

= −

=

3.平方公式

. cot

1 csc

; tan

1 sec

; 1 cos

sin

2 2

2 2

2 2

x x

x x

x x

+

=

+

=

=

+

24

例7 求 . 1

1 dx e

∫ ₊

解

一) 原式 (

二) 原式

(

25

例8 求 .

1 2

3 2

1 dx

x

∫ x _{+ + −}

解 原式

小结：例7－8被积函数经过适当的变形如加

减项或根式有理化，再应用凑微分。

26

例9 求 解

cos . 1

∫ ₊ 1 _x ^dx

原式

∫ _{1 +} ^dx _{sin x}

类似可求

27

解

例10 求 ∫ csc ^xdx .

∫ ^{sec xdx .}

类似可求

28

例11 求 解

. cos

sin

∫ ^{x ⋅ xdx}

原式

) ,

( sin

) sin

1 ( sin

cos sin

2 2

1 2 2

+ +

∈

−

= ∫

∫

Z n

m x

d x

x

xdx x

n m

n m

29

例12 求 ∫ sin

x cos

xdx

解 原式

降幂计算。

，利用倍角公式 注：对

2 2 cos cos 1

2 , 2 cos sin 1

) ,

( cos

sin

2 2

2 2

x x x x

Z n

m xdx

x ⁿ

m

= +

= −

∈ ⁺

∫

30

例13 求 解

. arcsin 2

4

1

2

x dx

∫ x

− 原式

小结：例9－12是三角函数求积分，常应用三角

函数中的关系式来变形再用凑微分来求。此类变

形通常较灵活多变，有一定的难度。

31

问题 ∫ ^x

1 − ^x

^dx = ?

解决方法 改变中间变量的设置方法.

过程 令 x = sin t ⇒ dx = cos tdt ,

=

∫ ^x

¹ − ^x

^dx ∫ ^{(sin t )}

^{1 − sin}

^{t cos tdt}

tdt t

5

cos

∫ sin

= =  

（应用“凑微分”即可求出结果）

2、第二类换元法

32

其中 ψ

(

) _是

_{= ψ}

_{的反函数.}

证 设

为

的原函数,

则

dt dt

x d

F

′ )

= Φ ⋅ =

ψ

ψ ^′

) ( 1 ψ′ t

⋅

)

1(

] ) ( ' )]

( [ [

) (

) ( ' )]

( [

. 0 )

( ' )

(

x

dt t

t t

f dx

x f

t t

f

t t

x

= −

∫ ⁼ ∫

≠

=

ψ

ψ ψ

ψ

ψ ψ

公式 具有原函数，则有换元

又设

，且 是单调的、可导的函数

定理 设

)) ( (

)

(x ¹ x F = Φ

ψ

令

)]

( [ t f ψ

= ⁼

说明

^为

的原函数,

∫ ^{= +}

∴ f ( x ) dx F ( x ) C

^ψ

[

]

)

(x dx f t t dt t x

f ₋

∫

∫

ψ ψ

第二类

积分换

元公式

33

例14 求 解

).

0 1 (

2

2

>

∫ _x + _a ^{dx a}

t a

x

2

2

a

x +

注1 用换元法得到的结果，必须代回原变量

34

例15 求 解

).

0 1 (

2

2

>

∫ _x − _a ^{dx a}

t a

x

a

x −

法一：

35

例16 求 解

.

4

3

x dx

∫ x ⁻

t

2 x

原式

36

注 以上几例所使用的均为 三角代换.

三角代换的目的 是化掉根式.

一般规律如下：当被积函数中含有

2

)

1

( a − x ^可令

( 2

sin t t a t

a

x

π 原式＝

= 

2

)

2

( a + x ^可令

( 2

tan t t a t

a

x

π 原式＝

= 

2

)

3

( x − a ^可令

0 2 (

csct t a t

a

x

π 原式＝



= 

37

例17 求 解

. 1

1

2 dx e ^x

∫ ₊

注

积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不

是绝对的，需根据被积函数的情况来定.

38

6 5

3

2

− +

+ x x

x

) 3 )(

2 (

3

−

−

= +

x x

x ,

3 2 + −

= −

x B x

例18 A

39

例19 求积分 dx x

x

x

∫ x

₊ ^{− +} _{+ 1} ¹

解 原式

40

注 当被积函数含有两种或两种以上的

根式 时，可采用令

（其中 为各根指数的最小公倍数）

l

k

x , , x x = t

n

例20 求 .

) 1

( 1

3

dx

x

∫ x ₊

解

41

问题 ∫ ^xe

^{dx = ?}

解决思路 利用两个函数乘积的求导法则.

设函数 u = u ( x ) ^和 v = v ( x ) 具有连续导数,

dx x v x u x

v x u dx

x v x

u

∫

∫

则有分部积分公式

3.2.2 分部积分法

∫

定理3.4

证明 由两个函数的乘积求导公式 ：

∫

⁼

⁻ ∫

（1）

) ( ' ) ( )

( ) ( ' )]'

( ) (

[ u x v x = u x v x + u x v x

或

42

对上式两端求不定积分得（1）式。

) ( )' (

)]' (

) ( [ )'

( )

( x v x u x v x u x v x

u = −

移项可得

说明 ∫ u ⁽ x ⁾ v ^{′ (} x ⁾ dx ⁼ u ⁽ x ⁾ v ⁽ x ^{) −} ∫ u ^{′ (} x ⁾ v ⁽ x ⁾ dx

不易求 易求

易求。

比 使

和 如何选择

注：分部积分的关键是

dx x

v x u dx

x v x u

x v x

u

∫

∫ ^{' ( ) ( ) ( ) ' ( )}

), (

) (

分部积分法

43

例1 求积分 ∫ ^x cos ^xdx .

解（一）

解（二）

44

) ( )

( )

0 (

cos )

(

) 0 (

sin )

(

) 0 (

) ( .

1

) ( )

2 ( );

( 1

) ( )

(

x P

x u xdx

x P

xdx x

P

dx e

x P

x u x

v x

v x

u

n

n n

x n

=

 



 





≠

≠

≠

∫

∫

∫

取 形如

常见的题型：

。 求导简单的选为

）积分更容易的选为

（

的原则是：

和 选

β β

β β

λ

λ

是n次多项式 x

P_n( )

) ( )

( ' arctan

) (

arcsin )

(

) (

ln ) ( .

2 v x P x

xdx x

P

xdx x

P

Z m

xdx x

P

n

n n

m n

=

 



 



∈ 

∫

∫

∫

取

形如

45

例 2 ^求积分 ∫ ^{ln xdx .}

解

例3 求积分 ∫ ^x arctan ^xdx .

解

原式

46

例4 求积分 解

2

.

∫ ^{x e}

^dx

47

例5 求积分 ∫

解

48

3.3 定积分的概念和性质

3.3.1 定积分的定义

3.3.2 定积分的性质

49

a b x

y

o

? S = 曲边梯形由连续曲线

实例 （求曲边梯形的面积）

) ( x f

y = ( f ( x ) ≥ 0 ) ^、 x

x = a

b

x = 所围成.

1、问题的提出

) ( x f y =

3.3.1 定积分的定义

50

a b x

y

a b x o

y

o

用矩形面积近似曲边梯形面积

显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．

（四个小矩形） （九个小矩形）

具体做法如下：

？

积得到曲边梯形的面积

问题：如何利用矩形面

51

曲边梯形如图所示，

, 1 ]

, [

1 2

1

0 x x x x b

x a

n b

a

n n

< =

<

<

<

<

=

−



个分点，

内插入 在区间

a b ^x

y

o

∑

−

−

∆

=

=

∆

−

=

∆

n

i

i i

i

i i

i i

i

S S

n i

S

n y

x

x x

x x

x n

b a

1

.

1 1

), , , 2 , 1 (

; ]

, [

] , [

则有 为

边梯形，记它们的面积 个小曲 将曲边梯形分成

轴的平行线，

作 过分点

，长度为 个小区间

分成 把区间



则 似小曲边梯形的面积，

为高的小矩形面积来近

为底，

，用以 上任取一点

在每个小区间 )

(

] ,

[ ]

,

[ _{1 1}

i

i i

i i

i

f

x x

x x

ξ

ξ ₋

−

) , ,

2 , 1 (

)

( x i n

f

S

≈ ξ

∆

= 

∆

(1)分割

(2)近似代替（以直代曲）

) , , 2 , 1

(i =  n

52

i n

1 i

i n

i

i

f( ξ ) x

S

S = ∑ ∆ ≈ ∑ ∆

=

=1

曲边梯形面积的近似值为

i n

i

λ

f( ξ

) x

S = ∑ ∆

→ = 0 1

lim

时，

趋近于零

即小区间的最大长度 当分割无限加细

) 0 (

} {

max

,

1

∆ λ →

=

λ

i

x

曲边梯形面积为

(3)

求和

(4)取极限

53

设函数 f ( x)^在[a,b]^{上有定义，}

若不论对 [ a , b ]

在

[ a , b ]

−1

n

个分点 a = x

< x

< x

<  < x

< x

= b

把区间

^分成

^{个小区间，}

−1

−

=

∆

一点

ξ

i

i

x

f ( ξ ) ∆ ^{( i = 1 , 2 ,  )}

求和

2、定积分的定义

定义

， 令

记 max { }, 0

1

∆ λ →

=

λ

i

x

. )

(

1

i i

n

i

n f x

S

= ∑ ξ ∆

=

]), ,

[

(ξ_i

∈

), ,

2 , 1

( i =  n

54

如何分割，

∫

f ( x ) dx ⁼

被 积 函 数 被 积 表 达 式 积 分 变 量

]

积分区间

[a b

也不论在小区间

[ x

, x

]

点

ξ

存在，称这个极限为函数

f ( x )

在区间

[ a , b ]

_记为

积分下限

积分和

i i

n

λ i

n f (ξ ) x

S

= ∑ ∆

→ =

→

λ 0 lim0 1

lim

i i

n

i

x

f ∆

∑

→

( )

lim

0 1

ξ

λ

积分上限

55

, 0 )

( x ≥

f ∫

f ( x ) dx ⁼ S ^{曲边梯形的面积} ,

0 )

( x <

f ∫

f ( x ) dx ^{= −} S ^{曲边梯形的面积}

的负值

S1

S2

S3

S4

4 3

2

) 1

(x dx S S S S

b f

∫

^{= − + −}

3、定积分的几何意义

a _b

56

1 4

1 0

2

π

=

∫ − ^{x dx}

例1.利用定积分的几何意义，说明下列等式：

1 1

0

57

3.3.2定积分的基本性质

∫

^α

^{± β}

^{= α} ∫

^{± β} ∫

g ( x ) dx 性质1

是任意常数）

，

（α β

. ]

, [ ) ( ),

( 在 上均可积

数

设下面性质中涉及的函 f x g x a b

∫

f ( x ) dx ⁼ ∫ ⁺ ∫

a

f ( x ) dx f ( x ) dx

性质2

如果在区间

[ a , b ]

f ( x ) ≤ g ( x )

则

∫

^≤ ∫

^<

性质3

58

例 3 比较积分值

∫

e

dx

∫

x dx

解

例 2 比较积分值

∫

2 和

∫

3 的大小.

解

（注意上下限的大小）

59

设

M

m

证

（此性质可用于估计积分值的大致范围）

则

m ( b a )

f ( x ) dx M ( b a )

a

≤ −

≤

− ∫ ^.

) ( x

f ^在区间 [ a , b ] ^{上的最大值及最小值，}

性质4：

60

例 4 估计积分 dx

∫

1 的值.

解

61

如果函数

f ( x )

[ a , b ]

证

M dx

x a f

m b

a

≤

≤ −

∴ ¹ ∫ ^{( )}

) (

) ( )

( b a f x dx M b a

m

a

≤ −

≤

− ∫



由闭区间上连续函数的介值定理知 则在积分区间

^{上至少存在一个点} ξ ^，

使

f x dx

∫

^{( ) = f ( ξ )( b − a ) . ( a ≤ ξ ≤ b )}

性质5（定积分中值定理）

积分中值公式