第2 章 內容摘要
1. 弧度
若一圓的半徑為 r，則弧長 s 所對應的圓心角 θ 為 θ＝s
r弧度。
2. 度與弧度的換算 (1) 1 弧度＝180
。 (2) 1°＝ 180
弧度。
3. 扇形的弧長與面積公式
若圓半徑為 r，扇形 COD 的圓心角∠COD＝θ（弧度），0 ≤ θ ≤ 2π，如右圖，令扇形的 弧長為 s，面積為 A，則
(1) s＝rθ。
(2) A＝1
2 r2θ＝1 2 rs。
4. 三角函數的定義 sin θ＝對邊長
斜邊長，稱為 θ 的正弦，
cos θ＝鄰邊長
斜邊長，稱為 θ 的餘弦，
tan θ＝對邊長
鄰邊長，稱為 θ 的正切，
cot θ＝鄰邊長
對邊長，稱為 θ 的餘切，
sec θ＝斜邊長
鄰邊長，稱為 θ 的正割，
csc θ＝斜邊長
對邊長，稱為 θ 的餘割。
5. 廣義角三角函數的定義
設 θ 是一個標準位置角，在角 θ 的終邊上任取一點 P（x，y），x，y 不同時為 0，且
2 2
OP r x y ＞0，如右圖，則定義角 θ 的六個三角函數值如下：
sin θ＝ y
r ， cos θ＝x
r ， tan θ＝ y x ， cot θ＝ x
y ， sec θ＝r
x， csc θ＝ r y 。
6. 倒數關係
對於任意角 θ，在下列各項均有意義時，有 (1) sin θ‧csc θ＝1。
(2) cos θ‧sec θ＝1。
(3) tan θ‧cot θ＝1。
7. 商數關係
對於任意角 θ，在下列各項均有意義時，有 (1) tan θ＝sin
cos
。 (2) cot θ＝cos
sin
。 8. 平方關係
對於任意角 θ，在下列各項均有意義時，有 (1) sin2 θ＋cos2 θ＝1。
(2) 1＋tan2 θ＝sec2 θ。
(3) 1＋cot2 θ＝csc2 θ。
9. 正弦函數（y＝sin x）
(1) 定義域為{x|x 為實數｝。
(2) 值域為{y|y 為實數，－1 ≤ y ≤ 1｝。
(3) 週期為 2π。
10.餘弦函數（y＝cos x）
(1) 定義域為{x|x 為實數｝。
(2) 值域為{y|y 為實數，－1 ≤ y ≤ 1｝。
(3) 週期為 2π。
11. 正切函數（y＝tan x）
(1) 定義域為 |
2
x x為實數且x ＋， 為整數k k
。 (2) 值域為{y|y 為實數｝。
(3) 週期為 π。
12. 餘切函數（y＝cot x）
(1) 定義域為{x|x 為實數且 x≠kπ，k 為整數｝。
(2) 值域為{y|y 為實數｝。
(3) 週期為 π。
13.正割函數（y＝sec x）
(1) 定義域為 |
2
x x為實數且x ＋， 為整數k k
。 (2) 值域為｛y|y 為實數，y ≥ 1 或 y ≤ －1｝。
(3) 週期為 2π。
14.餘割函數（y＝csc x）
(1) 定義域為{x|x 為實數且 x≠kπ，k 為整數｝。
(2) 值域為{y|y 為實數，y ≥ 1 或 y ≤ －1｝。
(3) 週期為 2π。
15. 函數圖形的平移 設 h，k＞0。
(1) y＝f（x）＋k 的圖形是將 y＝f（x）的圖形向上平移 k 單位而得。
(2) y＝f（x）－k 的圖形是將 y＝f（x）的圖形向下平移 k 單位而得。
(3) y＝f（x＋h）的圖形是將 y＝f（x）的圖形向左平移 h 單位而得。
(4) y＝f（x－h）的圖形是將 y＝f（x）的圖形向右平移 h 單位而得。
16. 函數圖形的伸縮
(1) y＝af（x），a＞0，的圖形是將 y＝f（x）的圖形上每一點的縱坐標都乘上 a 倍而得。
(2) y＝f（ax），a＞0，的圖形是將 y＝f（x）的圖形上每一點的橫坐標都乘上1
a倍而得。
17. 正﹑餘弦函數的疊合公式
設 a，b 是不全為 0 的實數，則 a sin x＋b cos x＝ a2b2 sin（x＋θ），
其中 θ 滿足 cos θ＝ 2 2 a
a b ，sin θ＝ 2 2 b a b 。 18. 圓的參數式
如右圖，圓 C：（x－h）2＋（y－k）2＝r2 的參數式為 cos
sin
＝＋
＝＋
x h r
y k r ，0 ≤ θ＜2π。
19. 橢圓的參數式
(1) 中心在（h，k），其長軸與 x 軸平行或重合的橢圓 Γ：
2 2
2 2
( ) ( )
1 x h y k
a b
參數式為
cos sin
＝＋
＝＋
x h a
y k b ，0 ≤ θ＜2π。
(2) 中心在（h，k），其長軸與 y 軸平行或重合的橢圓 Γ：
2 2
2 2
( ) ( )
1 x h y k
b a
參數式為
cos sin
＝＋
＝＋
x h b
y k a ，0 ≤ θ＜2π。
20. 複數的極式
複數 z＝a＋bi 的極式為 z＝r（cos θ＋i sin θ），其中 r＝|z|＝ a2b2 稱為 z 的向徑，
且 θ 滿足 cos θ＝ 2 2 a
a b ，sin θ＝ 2 2 b
a b ，稱為 z 的輻角。
21. 複數極式的乘法公式與除法公式
令 z1＝r1（cos θ1＋i sin θ1）及 z2＝r2（cos θ2＋i sin θ2），則 (1) z1z2＝r1r2（cos（θ1＋θ2）＋i sin（θ1＋θ2））。
(2)
1 2
z z ＝
1 2
r
r （cos（θ1－θ2）＋i sin（θ1－θ2））。（z2≠0）
22. 棣美弗定理
設 z＝r（cos θ＋i sin θ），n 是正整數。則 zn＝rn（cos nθ＋i sin nθ）。
23. 1 的 n 次方根
1 的 n 次方根為 cos2k
n ＋i sin2k
n ，k＝0，1，2，…，n－1，
或是可以表示為 1，ω，ω2，ω3，…，ωn－1， 其中 ω＝cos2
n ＋i sin2
n 。
數學家小傳
傅立葉 Joseph Fourier
1768～1830
法國數學家及物理學家。在童年時代因父母雙亡，因此被教堂收養成長。長大後隨拿破 崙（Napoleon Bonaparte，1769～1821，法國）遠征埃及。在戰爭失敗後，他回到法國進行有 關熱傳導現象的研究，由此他建立了影響後代數學及物理發展的分析理論。
傅立葉在 1807 年向巴黎研究院提交一份論文：熱的傳導。在該論文中傅立葉建立了熱在 傳導的過程中所需要滿足的方程式，並在求解該方程時，發現了其解可以用不同週期的三角 函數疊合而成的函數來表示，這就是後世在數學﹑物理﹑工程學界廣泛使用的傅立葉級數
（Fourier series）的始祖，並進而發展出函數空間上的傅立葉分析﹑調和分析等學問。
傅立葉級數理論的應用，已經深入到現代人的日常生活之中。例如說電波信號的傳輸﹑
視訊的壓縮處理﹑聲音的合成解析等等，都使用了這項理論，使現代科技有了革命性的進展。
