.
,
数是唯一确定的
梯形矩阵中非零行的行 梯形，行阶
把它变为行阶
变换 总可经过有限次初等行
任何矩阵 Amn
.
,
,
1
2
阶子式 的
称为矩阵
阶行列式，
的 中所处的位置次序而得
变它们在
不改 元素
处的个
），位于这些行列交叉
列（
行 中任取
矩阵 在
定义
k A
k A
k n
k
m k
k k
A n
m
一、矩阵秩的概念 一、矩阵秩的概念
矩阵的秩
.
. ) ( 0
1
0 2
等于零
并规定零矩阵的秩 的秩，记作
称为矩阵
的最高阶非零子式，数 称为矩阵
，那末 于
）全等 阶子式（如果存在的话
，且所有 式
阶子 的
中有一个不等于 设在矩阵
定义
A R A
r A
D r D
k A
.
) (
子式的最高阶数
中不等于零的 是
的秩
矩阵 A R A A n
m
，
对于 AT 显有 R( AT ) R(A).
个. 阶子式共有
的
矩阵 A k Cmk Cnk n
m
例 1 . 1
7 4
5 3
2
3 2
1
的秩 求矩阵
A
解 在 A中，
， 阶子式只有一个
的
又 A 3 A
. 3 0
2
2
1
， 且 A 0 .
2 )
(
R A
例 2 . 0
0 0
0 0
3 4
0 0
0
5 2
1 3
0
2 3
0 1
2
的秩 求矩阵
B
解 B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，
. 4 阶子式全为零 的所有
B
, 0 4
0 0
2 3
0
3 1
2
而 R(B) 3.
例 3 已知 ，求该矩阵的秩．
5 1
0 2
3 1
2 0
2 2
3 1
A
, 0 2 2
0
3
1
1 0
2
1 2
0
2 3
1
5 0
2
3 2
0
2 3
1
解 计算 A 的 3 阶子式
， ,
0 0,
5 1
0
3 1
2
2 2
3
5 1
2
3 1
0
2 2
1
,
0 0,
.
0 R
A 2.做初等变换，
对矩阵
5 1
0 2
3 1
2 0
2 2
3 1
另解 A
, 0 0
0 0
3 1
2 0
2 2
3 1
~ 5
1 0
2
3 1
2 0
2 2
3 1
显然，非零行的行数为 2 ，
2. R A 此方法简单
！
. ,
梯形 等行变换把他变为行阶
总可经过有限次初 因为对于任何矩阵Amn
问题：经过变换矩阵的秩变吗？
. ,~
1 若 A B 则 R A R B
定理 证
二、矩阵秩的求法 二、矩阵秩的求法
).
( )
(
B R A
R
B A
则
， 经一次初等行变换变为
先证明：若
. 0 )
(A r A r Dr
R ，且 的某个 阶子式
设
时，
或
当A r irj B A rik B
时，分三种情况讨论：
当A r ikrj B
,.
r Dr
D
B 中总能找到与 相对应的子式 在
, 由于 Dr Dr 或 Dr Dr 或 Dr kDr
. )
(
0 R B r
Dr ，从而 因此
行；
行但不含第 中含第
）
（
行；
行和第 中同时含第
）
（
行；
中不含第
）
（
j i
D
j i
D
i D
r r r
3 2 1
. )
( ,
0 ) 2 ( ), 1 (
r B
R D
D
D B
r r
r
故
子式
对应的 中与
两种情形，显然 对
， 对情形 )(3
ˆ ,
r r
j i
j
r ri kr r k r D kD
D
, ˆ r 0 若D
, ˆ
非零子式
阶 行的
中有不含第 行知
中不含第
因 Dr i A i r
. )
(B r R
, ˆ r 0 若D
).
( )
(A R B R
B
A经一次初等行变换变为 ，则 若
, A B 也可经一次初等变换变 为 又由于
. )
( ,
0 R B r
D
Dr r 也有 则
).
( )
(A R B R
因此
).
( )
(B R A R
故也有
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知 经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
).
( )
(
, R A R B
B
A经初等列变换变为 也有 设
, B A 经初等列变换变为 设
).
( )
( ),
~
( ,
B R A
R B
A
B A
则
即 经有限次初等变换变为
若 综上
T ,
T B
A 经初等行变换变为 则
), (
) (
R AT R BT
), (
) ( ), (
)
(A R AT R B R BT
R
且
).
( )
(A R B R
证毕
初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵
，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 .
例 4
． 的一个最高阶非零子式 秩，并求
的 求矩阵
设
A
A
A ,
4 1
4 6
1
3 5
1 0
2
1 6
3 2
3
0 5
0 2
3
阶梯形矩阵：
作初等行变换，变成行 解 对A
4 1
4 6
1
3 5
1 0
2
1 6
3 2
3
0 5
0 2
3 A
0 5
0 2
3
3 5
1 0
2
1 6
3 2
3
4 1
4 6
1
4
1 r
r
4 1
4 6
1
3 5
1 0
2
1 6
3 2
3
0 5
0 2
3 A
0 5
0 2
3
3 5
1 0
2
1 1
3 4
0
4 1
4 6
1
4 2
4 1
r r
r r
12 8
12 16
0
11 7
9 12
0
1 1
3 4
0
4 1
4 6
1
4 1
4 6
1
3 5
1 0
2
1 6
3 2
3
0 5
0 2
3 A
4 2
4 1
r r
r r
1 4
1 3
3 2
r r
r r
8 4
0 0
0
8 4
0 0
0
1 1
3 4
0
4 1
4 6
1
0 0
0 0
0
8 4
0 0
0
1 1
3 4
0
4 1
4 6
1
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R(A) 3.
2
3 3r
r
2
4 4r
r
3
4 r
r
的一个最高阶子式 .
求 A
, 3 )
(A
R 知A的最高阶非零子式为3阶 . 阶子式共有
的 3
A C43 C53 40 个 .
阶梯形矩阵为
的行 则矩阵
记A (a1,a2,a3,a4,a5), B (a1,a2,a4) 的行阶梯形矩阵，
考察A
0 0
0
4 0
0
1 4
0
1 6
1
, 3 )
(B
R
的前三行构成的子式 计算B
. 3 阶非零子式 中必有
故 B 且共有 4 个.
6 2
3
5 0
2
5 2
3
6 0 11 5 0
2
5 2
3
11 6
5 22
16 0.
则这个子式便是 的一个最高阶非零子式 .A
， 阶可逆矩阵
设 n A
,
0
A A的最高阶非零子式为 A, ,
)
(A n
R 故 A的标准形为单位阵 E, A ~ E.
为满秩矩阵.
，故称可逆矩阵 可逆矩阵的秩等于阶数
奇异矩阵为降秩矩阵.
例5
4 3 2 1 ,
6 0
6 3
3 2
4 2
0 8
4 2
1 2
2 1
b 设A
. )
( 的秩
及矩阵
求矩阵A B Ab
解 分析： 设 B 的行阶梯形矩阵为 B~ (A~,b~), 的行阶梯形矩阵，
就是 则 A~ A
).
( )
(
~)
~,
~ (A b R A R B
B 中可同时看出 及
故从
4 6
0 6
3
3 3
2 4
2
2 0
8 4
2
1 1
2 2
1 B
1 3
6 0
0
5 1
2 0
0
0 2
4 0
0
1 1
2 2
1
1 3
1 2
2 2
r r
r r
1
4 3r
r
1 0
0 0
0
5 0
0 0
0
0 1
2 0
0
1 1
2 2
1
0 0
0 0
0
1 0
0 0
0
0 1
2 0
0
1 1
2 2
1
2 3
2 2
r r
r
2
4 3r
r
3 5 r
3
4 r
r
. 3 )
( ,
2 )
(
R A R B
三、小结 三、小结
(2) 初等变换法 1. 矩阵秩的概念
2. 求矩阵秩的方法 (1) 利用定义
( 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 ).
( 即寻找矩阵中非零子式的最高阶数 );
思考题 思考题
? )
( )
(
, 与 是否相等
为任一实矩阵
设 A R AT A R A
思考题解答 思考题解答
答 相等 .答
,
0
因为对于任一实向量x 当Ax 0时, ,
0 Ax AT
必有 反之当AT Ax 0时,有xT AT Ax 0 即
Ax T Ax 0 Ax 0;由此可知 Ax 0与AT Ax 0同解,
A A
R
A .R T 故
