第三部分　代數

第三部分　代數

1.解1 2

x ^{＋2 3x} ^{＋……＋1999 2000}^{x ＋2000 2001x} ^＝2000。

2.已知｜x＋3｜－｜x－1｜＝x＋1，則 x＝？

3.一元一次方程式 a（3x－2）＋b（2x＋3）＝10x＋7 的解有無限多個（即 x 是 任意數），則 a＝？、b＝？

4.River 說：「我花掉的錢的1

3等於我手上剩下的錢的2

3」，若 River 手上只剩下 300 元，則 River 最初有多少元？

5.解 5 2 4

－x ＝ 7 1 3

8 x＋

＋ 。

日 本

大 陸

德 國 瑞 典

香 港

6.解1

2｛x－1

3〔x＋1

4（x＋2

3）〕｝＝3

8x－ 1 36。

7. 若 abc＝1，解 x 的方程式 1

x

＋＋a ab＋ 1

x

＋＋b bc＋ 1

x

＋＋c ca＝2009。

8. 若1 a ＋1

b＋1

c ≠0，解x b c a

－－ ＋x c a b

－－ ＋x a b c

－－ ＝3。

9. 有一貨車從南方送貨物到北方的一個城市，如果以每小時 50 公里的時速進行，

會在早上 11 點送達，如果以每小時 40 公里的時速進行，會於下午 1 點送到；

如果想在中午 12 點送到達，貨車應以幾公里的時速進行？

10.如下圖，某張信用卡的卡號共 16 位數，若任意相鄰三個數字的和都是 19，

則 x＝？

8 x 5

澳 洲

印 度

荷 蘭

德 國

加拿大

1.解二元一次聯立方程式：3x＋2y＋1＝2x－y＋8＝x＋5y－1。

2.解 4 1 5 2 x y xy

x y xy





(＋)(－)＝

(－)(＋)＝ 。

3.設二元一次聯立方程式 1 6 6 4 1 a x y x a





（ ＋） ＋＝

＋（ －）＝ 至少有兩個解，求 a 的值。

4.萬聖節當天，老師發餅乾給同學當慶祝節慶的點心，平均每人可以得到 6 塊，

如果只發給女同學，每個女同學可以得到 15 塊；如果只發給男同學，則每個 男同學可以得到幾塊？

5.有三個相異正整數，其兩兩相加得到的結果為 39、45、50，則此三數為何？

澳 洲

法 國

美 國 瑞 典

大 陸

6.有一個六位數，其最高位的數字為 1，如果把這個數字移到原來個位數字的 右邊，得到一個新的六位數，那麼新得到的數是原數的 3 倍，求原來的六位 數是多少？

7. \s\do1(　　)在操場上練習跑步，跑一圈要 40 秒，\s\do1(　　　)和\s\do1(

)反方向而跑，結果每 15 秒會和\s\do1(　　)相遇，則\s\do1(　　　)跑一圈要 幾秒？

8. \s\do1(　　　)上學時趕不上校車，於是搭計程車去追那輛行駛中的校車。計 程車司機表示：「以時速 30 公里去追，1 小時才追得上；以時速 35 公里去追，

40 分鐘就可追上。」如果司機以時速 40 公里去追，要花多久的時間才追得上？

9.有 A、B 兩籃奇異果，從 A 籃拿 12 顆放到 B 籃，兩籃奇異果的數目就一樣 多。若從 B 籃拿 24 顆到 A 籃，則 A 籃奇異果的數目是 B 籃的 3 倍。則 A、B 兩籃各有多少顆奇異果？

10.傑森練習 x、y 兩數的四則運算，並將結果列式抄寫如下：

x＋y＝24，x－y＝16，xy＝108， x y ＝3 已知他不小心抄錯其中一個式子，試求 x、y。

印 度

美 國

荷 蘭

美 國

澳 洲

1.設二直線 ax＋by＝8，bx－ay＝1 相交於一點（2 , 1），求 a、b 的值。

2.坐標平面上四點 A（4 , 0）、B（6 , 4）、C（0 , 4）、D（x , y），若四邊形 ABCD

是平行四邊形，且 B、D 兩點分別在_AC的兩側。試求：

(1) D 點坐標。

(2) 四邊形 ABCD 的面積。

3.已知 4 0 2 3 0

a b c a b c





＋－＝

－－＝ ，則下列哪一點在第一象限？

(A)（abc , a

c ） (B)（

ab2

c , bc²） (C)（ac₂

b , ac＋b²） (D)（bc₂

a , －ab－bc）

4.在直角坐標平面上，有兩直線 L、M，已知 L：ax＋by＋4＝0；

M：x－2y＋4＝0，L//M，且 L 上有一點坐標是（－4 , 2），則 a＋b＝？

5.如右圖，求坐標平面上兩線段與兩軸圍出的灰色區域 面積。

法 國

韓 國

荷 蘭 瑞 典

6.在直角坐標平面上，二元一次方程式（2a－b＋7）x＋（a＋3b－5）y＋8＝0 的圖形是通過（0 ,－4）且垂直 y 軸的直線，則 ax＋by－12＝0 的圖形不通過 第幾象限？

7. 如右圖，L：3x－2y＋6＝0，M：3x＋4y－24＝0，

L、M 和 x 軸圍成一個△ABC，在_BC上有一點 P，

AP將△ABC 的面積兩等分，則^_AP的直線方程式 為何？

8. 若 a＋b＝2，b＋c＝－2，c＋a＝6，則 ax＋by＋c＝0 的圖形和 x、y 軸的交點 坐標為何？

9. 在坐標平面上，設△PQR 為直角三角形，且∠P＝90°；又 P、Q 的坐標分別是 P（3 , 0）、Q（－2 , 1），且 R 在直線 x＝－2 上，求 R 點的坐標。

10.如右圖，坐標平面上，（a , 0）、（0 , b）、（c , d）、

（e , f）為正方形的四個頂點，若 c＋d＝29，

e＋f＝22，則 a＋b＝？

韓 國

法 國

荷 蘭

印 度

澳 洲

B

A

C x

y

O M L

P

1. 解不等式7 6 2 3

x x

－

＋ ＞2。

2.過年時，因需求量大，菜價上升 10％，但隔月菜價回跌了（a－6）％，

且 a＞6，但比過年前的菜價還高，則 a 的最大正整數是多少？

3. 有 100 個連續正整數的和介於 8000 和 8100 之間，則此連續正整數最小的數 是多少？

4. 如果不等式組

9 0

8 0

x a x b

 



－

－＜ 的整數解為 1 與 2，那麼適合不等式組的整數數對

（a , b）共有多少個？

5. 解不等式 4x²≦9x。

6. 學生有 706 人，現在要從中選出 10 人為模範生，每人投一票互相選舉，可選 英 國

大 陸

荷 蘭

瑞 典

印 度 澳 洲

自己，若無廢票，則至少須得幾票才能確定當選？

7. 已知 6

11＜109 x ＜5

9，可得 x 的最小整數值 m 和最大整數值 n，則 m－n＝？

8.某次 AMC 數學測驗，共有 20 道選擇題，評分辦法是：答對一題給 5 分，答 錯一題倒扣 2 分，不答則不給分，學生海倫有三道題未答，若要該生成績在 60分以上（含 60 分），那麼海倫至少應答對幾題？

9. A 君想在搭公車不超過 30 分鐘就可以到達公司的地方買一戶住宅，已知離公 司不大於 5 公里時，公車的時速 30 公里，其他地方的時速 45 公里，則 A 君 的住宅最遠可以買在離公司多少公里？

10.已知 p 是介於 3 和 7 之間的數，q 是介於 16 和 49 之間的數，若 x＝ q

p ，則 x 有幾個整數解？

德 國

美 國

韓 國

新加坡

1. 化簡（－5ab²）÷〔（－5a²b）²÷（－ab²）〕×（－ab）²＝？

2.若 f(x)＝a（x²＋8）＋b（x²＋3x－5）＋x²＋9x－20 為零次多項式，

則 f(x)＝？

3. 若 x²＝3x－1，則 x⁴－7x²＋4＝？

4. 〔（x－1）⁴－6x²－4x＋5〕÷（x－1）²的餘式是多少？

5. 已知 0＜a＜b，且 a²＋b²＝38ab，則a b a b

＋

－ ＝？

德 國

荷 蘭

香 港

法 國

澳 洲

6. 若聯立方程式 xy＝6，x²y＋xy²＋x＋y＝63 的解是 m、n。則 m²＋n²＝？

7. 若 mx⁴＋nx³－5x²＋7x－8 可以被 x²－x＋1 整除，則 m＋n＝？

8. 兩多項式乘積（3x²－x＋5）（x²＋7x）的展開式中，其係數總和為多少？

9. 有一數學題目：「兩多項式 A、B 分別為……，試求 A÷B。」結果約翰看成是求 A＋B，得出答案為 x²＋x－1；珍妮看成是求 A－B，得出答案為 x²＋4，試求 A÷B 的正確答案。

10.（x⁶⁴＋2x²＋5）÷（x²－1）的餘式為何？

澳 洲

韓 國

印 度

瑞 典

美 國

1. 若 x＝5.72、y＝1.24，求 x²＋9y²－6xy－2 之值。

2.求（x²＋x－2）² ÷（x²＋x＋1）之餘式。

3. 因式分解（a²＋4b²－1）²－16a²b²。

4. 利用提公因式的方式，因式分解（x²＋3x）²－（3x＋9）²。

5. 有一個正分數和它的倒數之差為16

15，則此正分數和它的倒數之和是多少？

6. 因式分解 6x²＋xy－2y²＋2x－8y－8。

英 國

法 國

加拿大

韓 國

瑞 典 大 陸

7. a＋b＝5，ab＝2，則 a⁵＋b⁵＝？

8. 求

2 2

2000 1999 3998 3 1999 1999 6 1996 1998 2001 2002  

(＋－)(－－) 之值。

9. 若 a、b 皆為正整數，a²＋198²＋197²＋1＝b²＋199²＋196²，則 ab＝？

10.已知 a、b 是正整數，且 a＋b＋ab＝76，則 a＋b＝？

印 度

德 國

澳 洲

美 國

1. 解（x＋1）（x－5）＝（x＋1）（x＋8）。

2.設 2mx²－（3m＋2）x＋m＋1＝0 的兩根互為倒數，試求：

(1) m＝？

(2) 兩根和＝？

3. 已知整數 k 使得 x 的一元二次方程式 2x（kx－3）－x²＋4＝0 沒有實數解，則 最小整數 k 是多少？

4. 若方程式 ax²＋ax＋2＝0 的兩根相等，則 a＝？

5. 若 x²＋mx＋54＝0 的解都是整數，則 m 可能的值有多少個？

法 國

韓 國

澳 洲

瑞 典

荷 蘭

6. 一元二次方程式 6789x²＋mx＋5678＝0 和 5678x²＋mx＋6789＝0 有一個共同 的解，則 m＝？

7. 若 m 為整數，且 x²－mx－8＝0 有兩個整數解，則 m＝？

8. 若 1、－2 是一元二次方程式 ax²＋bx＋c＝0 的兩根，則一元二次方程式 cx²＋bx＋a＝0 的兩根是多少？

9. 設方程式 2x²＋5x－6＝0 的二根為 α、β，則以b a 、a

b 為根的一元二次方程式為 何？

10.甲、乙兩人沿著環狀跑道以順時針方向賽跑，各自保持固定速度前進，已知 甲跑一圈比乙少用 10 秒，且甲每隔 12 分鐘會追上乙一次，則跑道一圈的長 度是甲跑 1 秒的距離的幾倍？

澳 洲

韓 國

德 國

印 度

澳 洲

1. 二次函數 y＝2x²＋mx＋2 的圖形全部在 x 軸的上方，試求 m 的範圍。

2.若 a＞b＞0，則下列哪一個圖形可以表示一次函數 y＝ax＋b 和 y＝bx＋a 的圖 形？

(A)　　　　　　　(B)　　　　　　(C)　　　　　　　(D)

3. 如右圖，二次函數 y＝2x²－4x－6 的圖形交 x 軸於 A、B 兩 點，交 y 軸於 C 點，且頂點為 D，求△OAC 的面積與四邊 形 OBDC 面積的比。

4. 大賣場進耶誕樹一批，當售價訂為 600 元，利潤 200 元，可售 200 件，今擬 調整售價，根據市場分析，售價每調高 1 元銷售量會減少 5 件，降低 1 元則 會增加 5 件，試問公司新售價應訂為幾元，才能獲取最大利潤？

5. 若 f（x）＝ ^{5 4}

2 1 4

x x

x x

 



＋ ，當

－ ，當＞ ，則 f（9）＋f（6）－f（3）＝？

瑞 典

法 國

美 國

加拿大

大 陸

O x

y

O x

y

O x

y

O x

y

O x

y

D C

A B

6. 設 x：y＝4：5 且 y：z＝2：3，則（x－y）（y－z）＋x＋2y－4z 的最小值＝？

7. y＝2x²＋2px＋3（p＋1）的最小值為 M，則 M 的最大值為何？

8.如右圖，△ABC 中，_AD⊥_BC，_AD＝1

2 ^BC＝2，

長方形 PQRS 的四個頂點皆在△ABC 的三邊上，

若PQ＝x，回答下列問題：

(1) 用 x 表示_PS之長。

(2) 求_PR的最小值。

9. 若 a≠0 時，下列哪一個圖形可以表示函數 y＝ax＋b 和 y＝ax²＋bx＋c 的 圖形？

(A)　　　　　　　(B)　　　　　　(C)　　　　　　　(D)

10.若 f（x）＝ax³＋bx＋5，且 f（－1）＝8，則 f（1）＝？

澳 洲

印 度

韓 國

澳 洲

新加坡

A

B C

Q D R

T S P

x y

O x

y

x O y

O x

y O