從醉月湖的面積談起

(1)

從醉月湖的面積談起 _: 向量微積分簡介

蔡聰明

1. 一個求面積的問題

面積是一個很古老的幾何概念, 它起源於人類要丈量土地的大小。 Geometry 這個字的根源是 geometrein, geo 是土地, me- trein 是測量, 故幾何學的原意是測量土地、

求面積。自古以來, 由於所給的條件有各式各樣, 於是對應有各式各樣的面積公式。經過兩千多年的發展, 終於創立微積分, 透過微分法一舉解決了一切求積問題。

問題1: 在平面上, 一條封閉曲線所圍成的領域, 例如台大的醉月湖, 如何求它的面積呢?

按思考的常理, 我們先退到比較簡單的特例, 譬如說透過離散化或有窮化, 退到多邊形, 再退到四邊形乃至三角形。

對於三角形的情形, 如果所給的數據是三個邊之長, 那麼其面積就有 Heron 公式可循, 參見 [1]。推廣到四邊形的情形, 如果所給的數據是四個邊之長加上兩對角線或兩個對角, 那麼其面積又有 Brahmagupta 公式與 Bretschneider 公式可算, 參見 [2]。四邊

形的面積公式已經有點煩瑣, 如果要再推廣到五邊以上的多邊形, 其困難是可以想像得到的, 甚至根本行不通。一個求面積公式, 若只能對付三角形或四邊形, 那麼也太局限了, 不合數學追尋普遍的“萬人敵”之道。

換個追尋的方向, 改變所給的數據是個好辦法:

(i) 假設多邊形的頂點皆為平面上的格子點, 那麼其面積就有 Pick 公式

A = b

2+ i − 1 (1) 其中 b 與 i 分別表示在邊界上及內部的格子點之個數, 參見 [4]。讓格子的間隔越來越小, 原則上利用 (1) 式可以求出一般平面領域的面積。

(ii) 已知多邊形的頂點坐標, 因為頂點唯一決定多邊形 (邊則不然), 所以多邊形的面積理應可以利用頂點的坐標來表達。

實際測量一塊多邊形的土地, 我們得到邊長 r

₁

, r

₂

,· · · 以及邊相對於水平線之旋轉角 θ

1

, θ

2

,· · ·, 參見圖 1。由這些數據可以得到多邊形的頂點坐標。設第一點的坐標為

3

數學傳播21卷2期民86年6月數學傳播21卷2期民86年6月

海大河工系工數課程講義陳正宗終身特聘教授 Feb. 20. 2014

(2)

A= (x

1

, y

1

) (由取平面坐標系而決定下來);

然後就可求出 B = (x

₂

, y

2

) 如下:







x

₂

= x

1

+ r

1

cos θ

1

y

2

= y

1

+ r

1

sin θ

1

接著求出 C = (x

₃

, y

₃

) 為







x

3

= x

2

+ r

2

cos θ

2

y

₃

= y

2

+ r

2

sin θ

2

· · · 等等, 參見圖 2。

... .

. .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . ...

... ...

A

B C

r

1

r

²

r

³

θ

1

θ

2

θ

3

.. .. .. . .. .. . .. .. ..

.. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . . .. . .. . . . .. .

.. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . .. . .. . .. .. .. ..

... ... ... ... ... ...

... ... ... ...

... ... ...

圖 1

... .

.. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . . ...

...

... ...

. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . . .. ... . .. .. .. . .. .. . ..

y

x A(x

1

, y

1

)

B(x

2

, y

2

) C(x

3

, y

3

) D(x

4

, y

4

)

圖 2

問題2: 已知多邊形的頂點坐標為 (x

1

, y

₁

), (x

2

, y

₂

), · · · , (x

n

, y

n

), 如何求其面積?

本文的主題是: 先追尋多邊形的面積公式; 接著連續化得到平面上一般領域 (包括醉月湖) 的面積公式; 再作推廣, 得到平面上的 Green 定理; 最後推廣到三維空間, 得到 Gauss 的散度定理與 Stokes 的旋度定理。這些深深觸及向量微積分的核心, 是一條值得探尋的路徑。

2. 多邊形的面積公式

多邊形仍然太複雜, 我們再退到三角形的特例, 探尋完成後, 再進到多邊形。這種處理問題時退、進之道很值得留意。

問題3: 已知三角形三個頂點的坐標為 A = (x

₁

, y

₁

), B = (x

₂

, y

₂

), C = (x

₃

, y

₃

), 如何求其面積?

我們進一步退到三個頂點為 O = (0, 0), B = (x

2

, y

2

), C = (x

3

, y

3

) 之更特殊三角形。令 OB, OC 與 x 軸的夾角分別為 θ

1

與 θ

₂

, 且 OB = ρ

1

, OC = ρ

2

, 則

x

2

= ρ

1

cos θ

1

, y

2

= ρ

1

sin θ

1

x

3

= ρ

2

cos θ

2

, y

3

= ρ

2

sin θ

2

... ..

... ...

.. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . . .. .. . ... . .. .. . .. .. . .. ..

B = (x

2

, y

2

) C = (x

3

, y

3

)

θ

¹

θ

²

ρ

1

ρ

2

O x

y

.. .. ...

... .. .. .. .. . ...

...

.. .. . .. .. . .. .

.. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. ..

圖3

(3)

: 5

... .

... ...

. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. ... .. . .. .. .. . .. .. .

B = (x

2

, y

2

)

C = (x

3

, y

3

)

θ

1

θ

2

ρ

1

ρ

2

O x

y

. .. . .. ... .. . ...

. .. . .. .. ...

...

. .. .. . .. .. . ..

. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. .

圖4

如上圖所示, 我們分成兩種情形來討論:

(i) 當 O, B, C 成為逆時針 (或右手系) 定向時, 如圖 3, 則 ∆OBC 的面積為

S=1

2ρ

₁

ρ

₂

sin(θ

₂

− θ

₁

)

=1

2ρ

1

ρ

2

(sin θ

2

cos θ

1

− cos θ

2

sin θ

1

)

=1

2(x

2

y

3

− y

2

x

3

)

=1 2

x

₂

x

₃

y

₂

y

₃

(2)

(ii) 當 O, B, C 成為順時針 (或左手系) 定向時, 如圖 4, 則 ∆OBC 的面積為

S=1

2ρ

₁

ρ

₂

sin(θ

₁

− θ

₂

)

=1

2(x

₃

y

₂

− x

₂

y

₃

)

= −1 2

x

₂

x

₃

y

₂

y

₃

因此行列式

x

2

x

3

y

₂

y

₃

代表由 OB 與 OC 所生成的平行四邊形的有號面積, 當 O, B, C 逆時針定向時為正, 順時針定向時為負。利用向量外積也可以推導出這個結果。

回到問題 3, 不妨假設 ∆ABC 為逆時針走向, 見圖 5, 則 ∆ABC 的面積為

S= ∆OAB +∆OBC −∆OAC

=1 2

x

1

x

2

y

₁

y

₂

+1 2

x

2

x

3

y

₂

y

₃

−1 2

x

1

x

3

y

₁

y

₃

=1 2

3 X

k=1

x

k

x

_k+1

y

k

y

k+1

(3)

其中規定 x

4

= x

1

且 y

4

= y

1

註: 通常教科書將 (3) 式寫成

S = 1 2

1 1 1 x

₁

x

₂

x

₃

y

1

y

2

y

3

(4)

不過,(3) 式適於推廣到任何多邊形, 而 (4) 式則不然。換言之,(4) 式是死的, (3) 式才是活的有源之泉。

. ... . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . ...

... ...

...

.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. . .. . ... .. . .. . .. .. .. . ..

A = (x

1

, y

1

) B = (x

2

, y

2

) C = (x

3

, y

3

)

O x

y

...

.. ... . ... . .. ... . .. . ... .. .. ... ...

... .. ... . .. ... . .. .

圖 5

(4)

仿上述之論證可得

定理1: 設 A

₁

(x

1

, y

₁

), A

2

(x

2

, y

₂

),

· · · , A

n

(x

n

, y

n

) 為 n 邊形之頂點坐標且為逆時針定向, 則此 n 邊形的面積為

S = 1 2

n

X

k=1

x

k

x

k+1

y

k

y

_k+1

(5) 其中規定 x

_n+1

= x

₁

且 y

_n+1

= y

₁

註: (5) 式又叫做測量師的公式。

3. 醉月湖的面積公式

公式 (5) 更是活生生的, 它還可以再推廣, 無窮化與連續化成平面上封閉曲線所圍成的領域 (如醉月湖) 之面積公式。為此, 我們根據行列式的性質將 (5) 式稍作變形

S=1 2

n

X

k=1

x

k

x

k+1

− x

k

y

k

y

_k+1

− y

k

=1 2

n

X

k=1

x

k

∆x

k

y

k

∆y

k

(6) 如何連續化呢? 由微積分我們知道, 圓內接正 n 邊形的連續化 (即 n → ∞ ) 就得到圓, 差和分的連續化就是微積分, 參見 [3]。

按此理, 平面上封閉曲線 Γ 所圍成的領域, 可以看作是邊長為無窮小 (infinitesimal) 的無窮多邊之多邊形 (我們採無窮小論證之觀點)。所謂“連續化”在作法上就是將

和分 Σ 改為積分

^R

差分 ∆ 改為微分 d 因此,(5) 式的連續化就變成

S =1 2

Z

Γ

x dx y dy

=1 2

Z

Γ

xdy−ydx (7)

此地積分記號

Z

Γ

意指沿 Γ 以逆時針方向作曲線積分 (line integral)。我們可以這樣來理解 (6) 式: 想像封閉曲線 Γ 上無窮地接近的兩點 (x, y)、(x + dx, y + dy) 與原點 (0, 0) 所圍成無窮小的三角形面積為

1 2

x x+ dx y y+ dy

= 1 2

x dx y dy

再讓 (x, y) 沿曲線 Γ 的逆時針方向變動, 連續地求和 (即積分), 就得到 (7) 式, 參見圖 6。

...

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . . . .. . .. .. . ... . .. . .. .. . .. .. ..

... . ... .

(x + dx, y + dy) (x, y)

Ω

0 x

y

Γ

. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . .. . . .. . . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. .. . . .. .. . . .. . .. . . .. . .. ...

...

. ...

.. ...

. ...

... . ...

... ...

. ...

... ...

..

... . ...

. ...

... .. ...

...

... ...

...

圖6

例1: 橢圓 Γ 的參數方程式為







x= a cos t

y= b sin t 0 ≤ t ≤ 2π 由 (7) 式算得

S=1 2

Z

Γ

xdy− ydx

=1 2

Z _2π

0

[a cos t · b cos t

− b sin t(−a sin t)]dt

=1 2ab

Z _2π

0

dt

= πab

這恰是通常熟悉的橢圓面積公式。

(5)

: 7

因此我們很有理由相信公式 (7) 是對的。事實上, 我們可以採用一般微積分教科書上的極限論證法給予證明。不過, 我們要指明: 從 Leibniz 或非標準分析 (non- standard analysis) 的眼光來看, 無窮小論證法是合法的 (歷史上曾被宣佈為“非法的”), 更漂亮而具有發現的潛力, 並且足以保證 (7) 式是成立的。

定理2: 設 Γ : t ∈ [a, b] → (x(t), y(t)) ∈ R

²

為一條單純的 (即沒有打結)、封閉的可微分曲線, 並且是逆時針定向, 則 Γ 所圍成的領域之面積為

S=1 2

Z

Γ

x dx y dy

=1 2

Z

Γ

xdy− ydx

=1 2

Z _b

a

[x(t)y

^′

(t)− y(t)x

^′

(t)]dt (8) 註: (8) 式表示, 沿著曲線 Γ 繞一圈, 作某種功 (或度量), 就知道曲線所圍的面積, 這真奇妙。一位農夫沿著農地走一圈就知道面積!

對於極坐標描述的封閉曲線 Γ : r = f (θ), a ≤ θ ≤ b 可改為參數方程式







x= f (θ) cos θ

y= f (θ) sin θ a≤ θ ≤ b 計算

x(θ)y

^′

(θ) − y(θ)x

^′

(θ) = (f (θ))

²

於是得到:

推論: 設 Γ : r = f (θ), a ≤ θ ≤ b, 為一條單純的、封閉的可微分極坐標曲線, 則 Γ 所圍成領域之面積為

S = 1 2

Z _b

a

(f (θ))

²

dθ (9) 註: 事實上, 不必限於封閉的極坐標曲線,(9) 式亦成立。這是在微積分中我們熟悉的一個公式。

例2: 設 a > 0, 考慮半徑為 a 的圓在半徑為 3a 的圓內部沿著圓周滾動, 試求滾動圓上一點 P 的軌跡所圍成領域之面積。

解: 如圖 7 所示, 取圓心為原點, 並且小圓上的 P 點起先跟 (3a, 0) 點重合, 然後開始滾動, 再取圓心角 θ 當參數, 容易算出 P 點的坐標 (x, y) 滿足







x=2a cos θ+a cos 2θ

y=2a sin θ−a sin 2θ, 0 ≤ θ ≤ 2π 我們稱 P 點的軌跡為圓內三尖輪迴線 (Del- toid)。由公式 (8) 知, 它所圍成領域之面積為

S=1 2

Z

Γ

xdy− ydx

=a

²

2

Z _2π

0

[(2 cos θ + cos 2θ)

·(2 cos θ − 2 cos 2θ)

−(2 sin θ − sin 2θ)

·(−2 sin θ − 2 sin 2θ)]dθ

=a

²

2

Z _2π

0

(2 − 2 cos 3θ)dθ

= 2πa

²

(6)

.

...

... ...

.. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .... .. .. . .. .. .. . .. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

... ... ...

(3a, 0) θ

θ 2θ

0 x

y

y P

x

^.

. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . ..

... .. .. .. .. . .. .. . .. . .. . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . .. . .. . .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . ...

... . .. .. .. . ...

.. .. .. ..

... .

. .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. .. . . .. .. . .. . .. . .. .. . . .. .. .. .. . . .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . . .. .. . ...

. .. . . ..

...

.. . .. . .. . .. .. ...

. .. .. ... . ... ...

.. .. . .. .. . ..

圖 7

習題: 求星形線 x²³ + y²³ = a²³, a >0, 所圍的面積。

4. 推廣成 Green 定理

公式 (8) 是露出海面上的冰山之一角, 底下還有更廣大的整座冰山。為了發現這座冰山, 我們將 (8) 式重新整理成:

Z Z

Ω

2dxdy = 2S =

Z

Γ

xdy− ydx (10) 其中 Ω 表示 Γ 所圍成的領域, 通常也記 Γ = ∂Ω, 表示 Ω的邊界。

(10) 式顯示兩重積分與線積分具有密切關係。常函數 ϕ(x, y) = 2 在 Ω 的內部作兩重積分就等於向量場 ~V(x, y) = x~i − y~j 沿 Ω 的邊界 ∂Ω 作線積分。這條線索類似於微積分根本定理

Z

[a,b]

f

^′

(x)dx =

Z

∂[a,b]

f(x)dx

= f (b) − f (a)

亦即 f 在邊界 ∂[a, b] 上作積分 (得 f (b) − f(a) ) 等於 f 的變化率 f

^′

在 [a, b] 上作積分。因此, 常函數 ϕ(x, y) = 2 似乎應該就是

向量場 ~V(x, y) = x~i − y~j 的某種“變化率”

(或“微分”)。

為了尋找兩重積分與線積分的一般關係式, 我們考慮平面上的向量場

F~(x, y) = P (x, y)~i + Q(x, y)~j 沿著一條封閉曲線 Γ 作線積分

Z

Γ

F~ · d~r =

Z

Γ

P(x, y)dx + Q(x, y)dy 問題4: 線積分

Z

Γ

P dx+ Qdy 可化成 Ω 上什麼形式之兩重積分, 包括 (10) 式為特例?

我們仔細觀察 (10) 式。欲

Z

Γ

xdy − ydx 改寫成

Z

Γ

P dx+ Qdy 之形, 只需取 P(x, y) = −y 且 Q(x, y) = x

就好了。但是

^RR _Ω

2dxdy 這一項怎麼來的呢? 容易看出

∂Q

∂x

−

^∂P _∂y

= 1 − (−1) = 2

因此

^RR _Ω

2dxdy 就是由

^RR _Ω

(

^∂Q _∂x

−

^∂P _∂y

)dxdy 得來的。

到此為止, 我們已經可以提出猜測 (Conjecture):

Z

∂Ω

P dx+Qdy =

Z Z

Ω

(∂Q

∂x−∂P

∂y)dxdy (11) 我們先用一個例子來檢驗 (11) 式。

例3: 設 ~F(x, y) = 2y~i + 3x~j, 即 P(x, y) = 2y, Q(x, y) = 3x, Γ : x

²

+ y

²

= 1 為單位圓, 取參數方程式







x= cos t

y= sin t , 0 ≤ t ≤ 2π

(7)

: 9

則

Z

Γ

P dx+ Qdy =

Z

Γ

2ydx + 3xdy

=

Z _2π

0

[2 sin t(− sin t) + 3 cos t · cos t]dt

=

Z _2π

0

(1 2 +5

2cos 2t)dt

= π 另一方面

Z Z

Ω

(∂Q

∂x − ∂P

∂y)dxdy

=

Z Z

x

²

+y

²

≤1

(3 − 2)dxdy = π 因此, 上述猜測對於本例成立。

我們已有相當理由支持 (11) 式之猜測, 那麼我們就試證看看吧。仍然從最簡單的情形著手:

(i) 當 Ω = [a, b] × [c, d] 為矩形領域時, 參見圖 8。

Z

∂Ω

P dx+ Qdy

=

Z b

a

P(x, c)dx +

Z d

c

Q(b, y)dy +

Z a

b

P(x, d)dx +

Z c

d

Q(a, y)dy

=

Z _d

c

(Q(b, y) − Q(a, y))dy

−

Z b

a

(P (x, d) − P (x, c))dx

由 Newton-Leibniz 公式 (簡稱 N − L 公式) 知

Q(b, y) − Q(a, y) =

Z b a

∂Q

∂xdx P(x, d) − P (x, c) =

Z _d

c

∂P

∂ydy

所以

Z

∂Ω

P dx+ Qdy

=

Z _d

c

Z _b

a

∂Q

∂xdxdy−

Z _b

a

Z _d

c

∂P

∂ydydx

=

Z Z

Ω

(∂Q

∂x − ∂P

∂y)dxdy

... ..

.. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. ... .. .. . .. .. .. . .. .

. .. . .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..

... ... .. .. ...

... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

...

a b

c d

Ω Γ

... .

.. .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .

.. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. ... ... ... ... ... ...

圖8

(ii) 其次考慮平面領域 Ω, 滿足: 邊界 Γ = ∂Ω 跟平行於 x軸與 y 軸的直線至多只交於兩點, 參見圖 9。

...

.. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. . .. .. . .

x y

Ω

a b

c d

A

B

C

.

D

. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . .. . . .. .. . . .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. ...

...

.. .. .. . .. .. . . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. ..

... ... ... ... ... ... ... ...

.. .. .. . .. .. . . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ... ... ... ... ... ... ...

圖9 我們只需要證明

Z

Γ

P dx= −

Z Z

Ω

∂P

∂ydxdy (12) 與

Z

Γ

Qdy=

Z Z

Ω

∂Q

∂xdxdy (13)

(8)

再相加起來就好了。今證 (12) 式: 邊界 Γ 可以分成兩部分

Γ

1

: CDA 與 Γ

2

: ABC 分別由函數 y = f

₁

(x) 與 y = f

₂

(x), x∈ [a, b] 所定義, 於是

Z

Γ

P dx

=

Z

Γ

1

P dx+

Z

Γ

2

P dx

=

Z _b

a

P(x, f

2

(x))dx+

Z _a

b

P(x, f

1

(x))dx

= −

Z _b

a

[P (x, f

₁

(x))−P (x, f

₂

(x))]dx

= −

Z b a

Z f

1

(x) f

2

(x)

∂P

∂ydydx (由N-L 公式)

= −

Z Z

Ω

∂P

∂ydxdy 同理可證明 (13) 式。

(iii) 當 Ω 為單純連通領域 (simply connected region) 時, 可以分割成幾個 (ii) 的領域之聯集, 這種情形上述的猜測也成立。

參見圖 10。

... ...

.. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. ... .. .. .. . .. .. .. .

y

.

O x

Ω 1

Ω 2

Ω 4 Ω 3

圖10

定理3: (Green 定理,1828 年) 設 Ω 為由封閉曲線 Γ 所圍成的單純連通領域, 並且

P, Q,

^∂Q _∂x

,

^∂P _∂y

在 Ω 上皆為連續函數, 則

Z

Γ

P dx+ Qdy =

Z Z

Ω

(∂Q

∂x −∂P

∂y)dxdy (14) 註: 我們不去追求最廣泛的 Green 定理。一般微積分教科書都將 (10) 式貶為是 (14) 式的特例或腳註。我們反其道而行, 將 (10) 式視為是生出 (14) 式的胚芽 (germ) 或線索 (clue)。

5. 整裝待發

如何將 Green 定理推廣到三維空間?

為此, 我們要對於 Green 定理的形式與內涵兩方面作更詳細的考察。

甲. 形式上的觀察

Green 定理可以寫成兩個等價的形式:

Z

Γ

P dx+ Qdy =

Z Z

Ω

(∂Q

∂x −∂P

∂y)dxdy (15)

Z

Γ

P dy− Qdx =

Z Z

Ω

(∂P

∂x +∂Q

∂y)dxdy (16) 事實上, 在 (15) 式中, 將 P 改為 −Q, Q 改為 P , 就得到 (16) 式; 反過來, 在 (16) 式中, 將 P 改為 Q, Q 改為 −P , 就得到 (15) 式。

進一步, 採用向量記號將 (15) 與 (16) 改寫:

令向量場 ~F(x, y) = P(x, y)~i + Q(x, y)~j, 及微分算子 ∇ =

_∂x ^∂

~i +

_∂y ^∂

~j 。模仿向量的內積與外積運算, 我們定義:

∇ · ~F = ( ∂

∂x~i + ∂

∂y~j) · (P~i + Q~j)

(9)

: 11

= ∂P

∂x +∂Q

∂y (17)

∇ × ~F = ( ∂

∂x~i + ∂

∂y~j) × (P~i + Q~j)

=

~i ~j ~k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

P Q 0

= (∂Q

∂x −∂P

∂y)~k (18) 再令 s 表示曲線 Γ 之弧長參數, ds 表示無窮小線元, 於是單位切向量為

T~ = dx ds~i + dy

ds~j 向外單位法向量為

~n= dy

ds~i − dx ds~j 參看圖 11。於是

...

.. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. ... .. . .. .. . .. .. . ..

... ...

... . .. . .. . . .. . . .. . .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. ...

...

~ n T ~

Ω ds

0 x

y

Γ

. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. .. . . .. . . . .. .. . .. . .. . .. .. . .. .

...

圖11

Z

Γ

F~ · ~T ds

=

Z

Γ

(P~i + Q~j) · (dx ds~i + dy

ds~j)ds

=

Z

Γ

P dx+ Qdy 以及

Z

Γ

F~ · ~nds

=

Z

Γ

(P~i + Q~j) · (dy

ds~i −dx ds~j)ds

=

Z

Γ

P dy− Qdx

從而 (15),(16) 兩式可分別改寫成:

Z

Γ

F~ · ~T ds=

Z Z

Ω

(∇ × ~F) · ~kdA (19)

Z

Γ

F~ · ~nds =

Z Z

Ω

(∇ · ~F)dA (20) 其中 dA 表示無窮小的面積元。(19) 式叫做切向式 (tangential form), (20) 式叫做法向式 (normal form)。換言之,Green 定理有 (15)、(16)、(19) 與 (20) 四種化身。這四個式子都叫做 Green 公式。

乙. 內涵的掌握

∇ · ~F 與 ∇ × ~F (即 (17) 與 (18) 兩式) 代表什麼物理意義呢?

由於 Green 公式與 N − L 公式在形式與內涵上都具有相同的本質, 所以 ∇· ~F 、∇×

F 與函數 f~

^′

應該具有密切關連。

問題5: 如何解釋 N − L 公式 f(b) − f (a) =

Z _b

a

f

^′

(x)dx ? 我們採用流體流動的觀點來解釋。考慮一根直線管子, 參見圖 12, 假設橫截面具有單位面積。

...

a α x β b

.. .. . .. . .. .. .. . .. .

.. .. . .. . .. .. .. . .. . ...

. . . . . . .. .. .. .. . .. ..

... ... ...

圖12

(10)

今想像有流體在管子中流動, 其速度場為 ~v(x) = v(x)~i, 密度為 ρ(x)。令向量場

F~(x) = ρ(x)v(x)~i = f (x)~i

這叫做流體的通量向量場 (the flux vector field of the flow)。因此, f (x) 表示單位時間流體通過 x 點處橫截面之通量 (flux)。由於

~i 是向右之單位向量, 故當 f(x) > 0 時, 表示流體向右流過 x 點處的截面; 當 f (x) < 0 時, 表示流體向左流過 x 點處的截面。於是從大域的 (global) 眼光來看,f (b) − f (a) 表示在管段 [a, b]中, 單位時間流體的減少量, 即單位時間流體流出 [a, b] 的通量。

另一方面, 從局部的 (local) 眼光來看流速場的變化。考慮區間 [α, β] ⊂ [a, b] 且 x ∈ (α, β), 那麼 f (β) − f (α) 表示在管段 [α, β] 中單位時間流體的減少量, 從而, 牛頓商

^{f(β)−f (α)}

β−α

表示單位時間單位長度管段 [α, β] 中流體的平均減少量。因此微分

f

^′

(x) = lim

β↓x,α↑x

f(β) − f (α)

β− α (21) 表示單位時間單位長度流體在 x 點處的減少量, 亦即在 x 點單位時間單位長度流散出的量, 因此叫做散度 (divergence)。按積分的定義可知,

^R _a ^b

f

^′

(x)dx 表示單位時間流體在 [a, b] 中的減少量。今因流體不會無中生有, 也不會無故消失, 所以 N − L公式

f(b) − f (a) =

^R _a ^b

f

^′

(x)dx 顯然成立。這是一種散度定理。

上述流體的觀點, 推廣到兩維平面恰好也就是 Green 定理 (20) 式的解釋。為了說明這件事, 我們必須推廣 (21) 式。

在 (21) 式中, 分母可改為矩形的面積, 但是分子較難推廣, 不過並不絕望。我們重新整頓一下

^{f(β)−f (α)}

β−α

: 分母是區間 I = [α, β]

的長度, 記為 |I|, 而分子 f (β) − f (α) 改為

f(β) − f (α) =

2 X

i=1

(−1)

ⁱ

f(r

i

) 其中 r

1

=α, r

2

=β 是 I 的邊界點, 符號 (−1)

ⁱ

表示在左端點取負號, 右端點取正號, 這樣才符合流體流出 I = [α, β] 的意思, 即在 I 的端點流體是向外流出的。換言之, 在邊界點都賦予向外法向之概念, 即

f

^′

(x)=lim

I↓{x}

P

f(r

i

) · (在點 r

i

之向外法向)

|I|

(22) 其中

^P

是對 I 的邊界點來求和的。經過這樣的修飾, (22) 式才適合推廣到高維空間。

設 ~F(x, y) = P (x, y)~i + Q(x, y)~j 為兩維平面上的一個向量場, 想像成流體的通量向量場。令 S ⊂ R

²

為平面上一塊領域, (x, y) ∈ S, 將 (22) 式中的求和

^P

改為沿邊界 ∂S 作積分, 即定義:

S↓{(x,y)}

lim

R

∂S

F~ · ~nds

|S| = (div ~F)(x, y) (23) 叫做向量場 ~F 在 (x, y) 點的散度 (divergence), 其中 |S| 表示 S 的面積,~n 表示沿邊界的 ∂S 的向外單位向量。這是一維導數 (22) 式的類推與推廣。

根據定義, (div ~F)(x, y) 代表在 (x, y) 點處單位時間單位面積流體向外流出的通量。

這是局部變化率, 是向量場 ~F 的一種“微分”概念。

(11)

: 13

... ...

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...

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...

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...

. . . . . . . . . . . . . ...

...

. . . . . . . . . . . . . ...

...

... ... .. .. . .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. ....

... ...

... ... ... ...

. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. ...

dA

x y

0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . . .. . .. . . .. . .. . . .. .. . . . .. .. . . . .. .. .. . .. .. . . .. .. . .. .. . . .. .. .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .

...

圖13

按兩重積分的定義,

^RR _Ω

(divF )dA 的意義是: 將 Ω 分割成無窮多塊的無窮小塊, 參見圖 13。於是 (div ~F)dA 表示單位時間流體流出 dA 的通量, 然後對整個 Ω 連續求和, 即作積分, 就得到

^RR _Ω

(div ~F)dA 。由於在內部的邊界, 流體的進出恰好抵消, 整個合起來只剩下流出邊界 ∂Ω 的通量。因此,

RR

Ω

(div ~F)dA 代表單位時間流體流出 ∂Ω 的通量。另一方面, 這個流出通量按定義就是線積分

Z

∂Ω

F~ · ~nds, 所以下式顯然成立:

Z

∂Ω

F~ · ~nds =

Z Z

Ω

(div ~F)dA (24) 此式跟 (20) 式還有一段距離, 不過我們可以證明

div ~F = ∇ · ~F = ∂P

∂x + ∂Q

∂y (25) 代入 (24) 式就得到法向式的 Green 公式了。

另一方面, 在上述 (23) 式的定義中, 其分子是沿邊界 ∂S 的向外單位法向作積分, 現在如果改為沿邊界的切向 ~T 作積分, 用循環量 (Circulation) 代替通量 (flux), 就得到旋度 (Curl 或 rotation) 的定義:

S↓{(x,y)}

lim

R

∂S

F~ · ~T ds

|S| =(rot ~F)(x, y) · ~k (26)

換言之, rot ~F (有時也記為 Curl ~F) 為一個向量場, 它在 z 軸的投影恰好就是流體在 (x, y) 點處單位時間單位面積的循環量。這也是局部變化率, 是向量場 ~F 的另一種“微積分”概念。

...

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x y

dA

0

.. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. .

...

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...

圖14

按重積分的定義,

^RR _Ω

(rot ~F) ·~kdA 的意義是: 將 Ω 分割成無窮多塊的無窮小塊, 參見圖 14。於是 (rot ~F) ·~kdA 表示單位時間流體繞 dA 的循環量, 然後對整個 Ω 作積分得到

^RR _Ω

(rot ~F) · ~kdA 。由於沿內部的邊界之循環量恰好來回抵消, 整個合起來只剩下沿邊界 ∂Ω 的循環量。另一方面, 這個總循環量按定義就是線積分

Z

∂Ω

F~ · ~T ds , 所以下式顯然成立:

Z

∂Ω

F~ · ~T ds=

Z Z

Ω

(rot ~F) · ~kdA (27)

我們也可以證明

(rot ~F)·~k = (∇× ~F)·~k = ∂Q

∂x−∂P

∂y (28) 代入 (27) 式就得到切向式的 Green 公式了。

(12)

... ...

. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . . .. .. . .. ... . .. .. . .. .. . .. ..

A D

x y

0 B C (x, y) ·

... .

.. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..

圖15

下面我們就來證明 (25) 與 (28) 兩式。

為了計算方便起見, 我們作一矩形, 以 (x, y) 點為中心, 圍成領域 S, 並且四邊跟 x 軸或 y 軸平行, 參見圖 15。設 AB =

∆x, BC = ∆y, 於是四個頂點的坐標為 A= (x − 1

2∆x, y − 1 2∆y), B = (x + 1

2∆x, y − 1 2∆y), C= (x + 1

2∆x, y + 1 2∆y), D= (x − 1

2∆x, y + 1 2∆y),

我們先證明 (25) 式。為此, 必須估算流體流出 S 之通量。流體流出邊界 AB, CD, AD 與 BC 的通量分別約為

−Q(x, y − 1

2∆y) · ∆x, Q(x, y +1

2∆y) · ∆x,

−P (x −1

2∆x, y) · ∆y, P(x + 1

2∆x, y) · ∆y,

其中我們取四邊的中點當估值的代表點。因此, 流出 S 的通量約為

[P (x+1

2∆x, y)−P (x−1

2∆x, y)]∆y +[Q(x, y+1

2∆y)−Q(x, y−1

2∆y)]∆x

由平均變率定理 (Mean value theorem), 這個通量為

[∂P

∂x(x+ξ∆x, y)+∂Q

∂y(x, y + η∆y)]∆x∆y (29) 其中 0 < ξ, η < 1。顯然, 當 ∆x 與 ∆y 越來越小時, 近似估計就越來越精確。

今將 (29) 式除以 |S| = ∆x∆y, 再讓

∆x 與 ∆y 趨近於 0, 則得

S↓{(x,y)}

lim

R

∂S

F~ · ~nds

|s| =∂P

∂x(x, y)+∂Q

∂y(x, y) 亦即

(div ~F)(x, y) = (∇ · ~F)(x, y) 於是 (25) 式得證。

其次證明 (28) 式, 仍然參見圖 15。我們要估算流體沿邊界 ∂S 的循環量, 即 ~F 沿 AB、BC、CD、DA 的線積分, 其總和約為

[P (x, y−1

2∆y)−P (x, y+1 2∆y)]∆x +[Q(x+1

2∆x, y)−Q(x−1

2∆x, y)]∆y

= [∂Q

∂x(x + ξ∆x, y)

−∂P

∂y(x, y + η∆y)]∆x∆y (30) 其中 0 < ξ, η < 1。

將 (29) 式除以 |S| = ∆x∆y, 再讓

∆x 與 ∆y 趨近於 0, 得到

S↓{(x,y)}

lim

R

∂S

F~ · ~T ds

|S| =∂Q

∂x(x, y)−∂P

∂y(x, y) 亦即

(rot ~F)(x, y) = (∇ × ~F)(x, y)

(13)

: 15

從而 (28) 式得證。

6. 推廣到三維空間 :Gauss 定理與 Stokes 定理

抓住了 Green 公式的形式與內涵, 要推廣到三維空間就不難了。首先令

F~(x, y, z) = P (x, y, z)~i+Q(x, y, z)~j + R(x, y, z)k

表示空間中的一個向量場 (Vector field), 即定義在空間中某領域的一個向量值函數。定義:

∇ · ~F=∂P

∂x +∂Q

∂y +∂R

∂z

∇ × ~F=

~i ~j ~k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

P Q R

= (∂R

∂y − ∂Q

∂z )~i + (∂P

∂z −∂R

∂x)~j + (∂Q

∂x −∂P

∂y)~k

分別叫做向量場 ~F 的散度與旋度。

其次我們注意到, 平面領域 Ω 可以有兩個方向的推廣: 一個是空間中的可定向 (Ori- entable) 曲面 S(M¨obius 帶子就不是可定向曲面), 參見圖 16; 另一個是空間中的一塊立體領域 V, 參見圖 17。

...

... .

.. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . . . .. . ... . .. . .. .. . .. .. ..

.. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. ... ...

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. ... .. .. .. . .. .. .. . .

... ...

... .

z ~ n

T ~

x y

S dA Γ

. ... . . .. .. . .. .. ...

. . . .. . . . . . . . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. .. . .. . . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . . .. .. . . .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. ..

...

圖16

...

... ..

.. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . ... .. .. . .. .. . .. .. .

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. .. ... ... . . . .. . .. . ...

z

~ n

x y

dA S V

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. .. .. .. . .. . .. . .. . .. .. .. .. .

... ...

. .. . .. .. .. .. . . .. ..

圖17

在 (19) 式中, ~k 是 Ω 的向外單位法向量; 當 Ω 改為空間曲面 S 時, ~k 就應該改為 S 的向外單位向量 ~n。

我們可以證明 ∇ · ~F 與 ∇ × ~F 跟二維的情形有類似的解釋。∇ · ~F(x, y, z) 表示單位時間單位體積流體在點 (x, y, z) ∈ V 的流出通量,(∇ × ~F)(x, y, z) ·~n 表示單位時間單位體積流體在點 (x, y, z) ∈ S 的循環量。

從而 (19) 與 (20) 兩式就推廣為:

定理4: (Gauss定理, 又叫做散度定理, 1839 年) 設向量場 ~F 的分量 P, Q, R 及其一階偏導函數皆為連續函數, 則

Z Z

∂V

F~ · ~ndA =

Z Z Z

V

(∇ · ~F)dv (31) 其中 ∂V 為圍成 V 之封閉曲面,dV 表示無窮小的體積元。

定理5: (Stokes定理, 又叫做旋度定理, 1854 年) 在與定理 4 相同的假設下, 我們有

Z

∂S

F~ · ~T ds=

Z Z

S

(∇ × ~F) · ~ndA (32) 參見圖 16。

在上述中,(31) 式與 (32) 式分別將曲面積分與三重積分, 線積分與曲面積分連結

(14)

起來。若採用直角坐標系來表達, 它們分別就是

Z Z

∂V

P dydz+ Qdzdx + Rdxdy

=

Z Z Z

V

(∂P

∂x + ∂Q

∂y +∂R

∂z)dxdydz 以及

Z

∂S

P dx+ Qdy + Rdz

=

Z Z

S

(∂R

∂y−∂Q

∂z )dydz+(∂P

∂z−∂R

∂x)dzdx +(∂Q

∂x − ∂P

∂y)dxdy (33) 這一切可以再推廣到 R

ⁿ

的可定向 k 維可微分子流形 M ⊂ R

ⁿ

, 用微分式的積分與外微分理論, 統合成為廣義的 Stokes 定理:

Z

M

dω=

Z

∂M

ω (34)

其中 ω 為 k − 1 型微分式。這是微積分學根本定理最本質的形式。

7. 特殊與普遍的互相含納

我們從醉月湖的求面積問題出發, 先退到多邊形, 再退到三角形, 最後更退到一頂點是原點之特殊三角形。此時問題變得很簡單, 一下子就解決了。然後開始前進, 先是一般三角形, 再來是多邊形, 緊抓住公式的正確形式, 連續化就解決了求醉月湖的面問題。接著順勢推舟, 飛躍出 Green 定理, 整理成法向式與切向式, 再類推、推廣成三維空間的

Gauss 定理與 Stokes 定理, 最後統合於廣義的 Stokes 定理。

這種解決問題的「退進之道」, 在數學中隨處可見。偉大數學家 Hilbert 說得淋漓盡致:「做數學的要訣 (或藝術) 在於找到含有普遍性的所有胚芽那個特例。」 (The art of do- ing mathematics consists in finding that special case which contains all the germs of generality。) 三角形的面積公式就是符合 Hilbert 所說的「那個特例」。本文正好可作為 Hilbert 這句名言之腳註。

特殊孕育出普遍, 充實普遍; 普遍又回過頭來照顧特殊, 含納特殊。這種特殊到普遍之拾級而上, 有機連結, 互相啟發與觀照, 發人深省。

參考文獻

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蔡聰明

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談

_Heron

公式

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記一段教學經驗

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第十七卷第一期

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蔡聰明

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四邊形的面積

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如何想出微積分

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7. D. M. Bressoud, Second year calculus, Springer-Verlag, 1991.

—

本文作者任教於台灣大學數學系

從醉月湖的面積談起