L8 2.4 Continuity 證明連續的四則運算 連續的合成函數
lim(x→3)f(x)=3, lim(x→3)g(x)=0 and lim(x→c)h(x)=-2, Compute lim(x→3)[3+g(x)/(f(x)-h(x))]=?
pf:
Q:你要用定義還定理？A:定理，利用極限的四則運算。∵ lim(x→3)3=3 and lim(x→3)g(x)=0∴ lim(x→3)[3+g(x)]=3+0=3
∵ lim(x→3)f(x)=3, lim(x→3)h(x)=-2∴ lim(x→3) [f(x)-h(x)]=3-(-2)=5
∵ 5≠0
分母的極限不為 0∴ lim(x→3)[3+g(x)/(f(x)-h(x))]=3/5
§ 2.4 Continuity
Let f:I→ ℝ be a function, where I ∈ ℝ.考慮此函數在 f 的圖形。
若函數 y=f(x)的圖形，在(c,f(c))上不斷時，在數學上我們就說此函數 f(x)在 c 點連續(continuous)=cont. 。
否則為，不連續(not continuous)=discontinuous。
在數學上 By the way~原始是出自於圖形，當你講圖形的時候，圖形上是兩個座標 (x,y)，換成函數來講的時候，你只管說函數只管定義域，它的取值是對應域，在 c 點是連續的，f 在 c 點連續。
口語：若函數 y=f(x)在(c,f(c))不斷時，則函數 f 在 c 點就在連續
o x
y
c,f(c)
I
y=f(x) d,f(d)
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Question:如何不透過畫圖形，而能過確定函數在某點 c 連不連續？
圖形上已有抽象概念，找到數學的建模。你在圖形上看到什麼？也就是在靠近 c 附近的點在 c 有沒有黏上去，一個是逼近 c，一個是黏上去，也就是逼近 c 的極 限值要等於函數值。
圖形在 c 點不斷時，表現出 lim(x→c)f(x)=f(c)
Def: f is cont. at c if lim(x→c)f(x)=f(c). Otherwise f is discontinuous.
如果該點的極限值等於該點的函數值，則 f 在 c 點就連續。
如果該點的極限值不等於該點的函數值，則 f 在 c 點就不連續。
Q:等號不成立有兩種狀況？A:1.極限不存在 2.極限值不等於函數值
Def:Let f:I→ ℝ be a function f is cont. on I, if f is cont. at every point of I.
如果在整個區間上的每一點都連續，則函數在定義域上連續。
Question:哪些函數會連續呢？
Ans:
在該點函數值等於極限值。○ 1 Polynomials are cont. on ℝ.
○ 2 Rations function are cont. on their domain.定義域
○ 3 |x| is cont. on ℝ.
○ 4 √x is cont on R
+={x ∈ℝ| x>0}。R
-={x ∈ℝ| x<0}
如果隨便給你一個函數，問你是否連續？檢驗該函數在該點的極限值有沒有等於 該點極限值，也就是就是要去算極限，我們不喜歡用的定義算極限，我們喜歡用 定理算極限，也就是極限的四則運算。
Q:連續用極限來定的，極限有四則運算。連續有沒有四則運算？
A:有
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Thm:(連續函數的四則運算) If f and g are cont. at c, then
Q:在這個地方討論單點還整個區間？A:單點，因為整個區間由單點組成。
○ 1 f+g is cont. at c.
○ 2 α+g is cont. at c.
○ 3 f×g is cont. at c.
○ 4 If g(c)≠0, then f/g is cont. at c.
pf.
從所求想起。By the way~(f⋅g)=f(x)g(x)○ 3 To shat that lim(x→c)f(x)g(x)=f(c)g(c)
函數在該點極限值等於該點函數值∵f is cont. at c ∴lim(x→c)f(x)=f(c)
從已知推得該點極限值等於該點函數值∵g is cont. at c ∴lim(x→c)g(x)=g(c)
從已知推得該點極限值等於該點函數值⇒lim(x→c)(f(x)g(x))=f(c)g(c)
f 與 g 極限存在，相乘的極限存在等於極限相乘⇒fg is cont. at c.
從連續的定義，推得 f(x)g(x)在 c 點連續。e.g. Let F(x)=3|x|+(x
3-x)/(x
2-5x+6)+4.
Show that lim(x→0)F(x)=4?
用連續算極限，算連續有 1.定義、2.定理。∵ 0-0+6≠0 ∴(x
3-x)/(x
2-5x+6) is defined at 0.
因為分母不為 0⇒it is cont. at 0.
∵ 3|x| and 4 are cont. at 0. ∴ F is cont. at 0.
根據定理⇒lim(x→c)F(x)=F(0)=0+0+4=4
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現在算極限有三種方法 1.用定義、2.用定理、3.用連續 Q:兩個函數除了四則運算還能做怎樣運算？A:合成函數 Q 合成函數造出來的多還是四則運算？
A:合成函數，數學上真正造出大量函數的是合成函數
兩個函數不一定能做合成。合成函數的定義 f→g。f:I→ℝ、g:I1→ℝ。x→f(x)=g(f(x)) 取決 g(x)有沒有定義在在 f(x)上，也就是 f(x)落不落在 g(x)定義域
f(x)定義域只能少，因為要滿足 g(x)，最好狀況是全部滿足。
