數學傳播 36卷3期, pp. 41-45
評康熙朝的一場天文比試
張海潮
楊光先和吳明烜原是康熙朝的欽天監監正和監副 (國家天文局局長和副局長)。 康熙親政 之後, 命令這對難兄難弟與傳教士南懷仁比賽, 預測立竿的日影和太陽的仰角, 結果楊吳一敗塗 地, 幾遭問斬。 此後百餘年, 欽天監的業務盡交洋人主持。 直到道光年間, 洋天文學家或歸國或 老死, 而欽天監的中國官員也已學會西法, 才停止延請洋人入監。1
立竿見影這套設計又名日晷, 功能之一是利用每天正午時的竿影來判斷一年中的時序。 在 北回歸線以北的地帶, 亦即緯度高於北緯 23.5◦ 的地帶, 夏至 (約 6 月 22 日) 這一天的日影最 短, 冬至 (約 12 月 22 日) 這一天的日影最長。 由於每一天太陽直射地球的緯度不同, 因此正 午時的日影也隨之而有消長, 請看下圖 (以下的討論均假設竿子立在位於北緯 40◦ 的北京):
圖中, 太陽直射北緯 δ。 由於北京位於北緯 40◦, 因此陽光與立竿的夾角是 40◦− δ, 再從下圖 這個直角三角形看出影長與竿長之比是 tan(40◦− δ)。
1這場比試可參考史景遷著 《改變中國》 中文譯本 30, 31 頁 (時報文化出版公司, 2004 年) 或是 GOOGLE 「楊光先」。
以夏至這一天為例, δ = 23.5◦, tan(40◦− 23.5◦)≈ 0.3。 因此如果立竿高 200 公分, 正午的 影長就是 60 公分。 到了冬至這一天, 影長與竿長之比變成 tan(40◦+ 23.5◦)≈ 2.0, 竿長 200 公分對應的影長大約是 400 公分。
至於太陽的仰角, 從上圖可以看出正午的時候, 這個仰角就是 40◦−δ 的餘角, 亦即 50◦+δ。 因此在夏至的時候是 73.5◦, 冬至的時候是 26.5◦, 不過這是正午的情形。 如果問的是北京某日, 下午三點時的仰角, 那又另當別論, 因為如圖 (y 軸指向正南):
正午時太陽在正南, 對應 θ = 0◦, 此時太陽的方向向量是 (0, cos δ, sin δ)。 由於地球由西向東 繞北極自轉, 因此在正午以後, 太陽的方向向量 (0, cos δ, sin δ) 向著 x 軸 (指向西方), 繞 z 軸 轉了 θ 角, 新的方向是 (cos δ sin θ, cos δ cos θ, sin δ)。 如果要了解這個方向在北京的仰角 γ, 或者 cos(90◦− γ), 就要將此方向與在北京立竿的方向 (0, cos 40◦, sin 40◦) 作內積而得到 γ、
θ 和 δ 的關係式:
sin γ = cos(90◦− γ) = cos 40◦cos δ cos θ + sin 40◦sin δ (1)
評康熙朝的一場天文比試 43
而此刻竿影與竿長之比就是 tan(90◦− γ)。
例如, 在正午的時候, θ = 0◦, sin γ = cos 40◦cos δ + sin 40◦sin δ = cos(40◦− δ), 亦 即 γ = 90◦− (40◦− δ) = 50◦+ δ, 與前文所求相符。 若是要求下午 3 時的仰角 γ, 則在公式 中, θ 要以 45◦ 代入, 或是要求上午 9 時的仰角, 公式中的 θ 要以 −45◦ 代入, 這是因為每一 小時地球自轉 15◦,注意到式中 δ 代表太陽直射地球的緯度。
前面提到, 夏至的時候, δ = 23.5◦,冬至的時候, δ = −23.5◦,其間春秋分的時候, δ = 0◦。 上述二至和二分是一年中四個最重要的節氣, 通常發生在 6 月 22 日、 12 月 22 日、 3 月 21 日和 9 月 23 日。 然而在這四個節氣之間, δ 與日期的關係並非線性, 而是要看地球當日在公轉 軌道上的位置。
我們在夜晚從地球觀天, 極目所見, 只有角度 (方向), 沒有遠近, 這就是所謂的天球, 球面 上繁星點點, 是所謂的粧星, 它們之間的相對位置關係不變, 但是每天繞北極星旋轉一圈。 若將 地球的經緯度從地心投射到天球, 則在天球上就有了所謂的赤經和赤緯, 並且又將地球所見太 陽的軌跡也投射到天球, 就是所謂的黃道。 我們以黃道為黃經和黃緯系統的赤道, 換句話說, 黃 道相當於黃緯的零度。
現在, 以地球為原點 (球心), 在天球上有兩組球座標, 一是黃經黃緯, 一是赤經赤緯。 如圖:
圖中天赤道這一圈是從地心將地球赤道投射到天球的軌跡, 在天球上定為赤緯 0◦, 黃道這一圈 是太陽在天球上的軌跡, 定為黃緯 0◦。 這兩個大圓有兩個交點, 一個點是春分定為黃 (赤) 經 0◦, 另一個點是秋分定為黃 (赤) 經 180◦。 以下是二至二分的經緯度:
赤經 赤緯 黃經 黃緯
春分 0◦ 0◦ 0◦ 0◦ 夏至 90◦ 23.5◦ 90◦ 0◦ 秋分 180◦ 0◦ 180◦ 0◦ 冬至 270◦ −23.5◦ 270◦ 0◦
習慣上, 我們以 (λ, β) 表示黃經黃緯, 以 (α, δ) 表示赤經赤緯; 兩者有下列的換算公式:
sin δ = sin ε sin λ cos β + cos ε sin β cos α cos δ = cos λ cos β
sin α cos δ = cos ε sin λ cos β− sin ε sin β
(2)
或sin β = cos ε sin δ− sin α cos δ sin ε cos λ cos β = cos α cos δ
sin λ cos β = sin ε sin δ + sin α cos δ cos ε 式中 ε 代表黃赤夾角, 大約是 23.5◦。2
回到楊吳與南懷仁的比試。 若要知道某月某日太陽直射地球的緯度, 等於是要知道當天太 陽的赤緯 δ。 以 4 月 20 日這一天為例, 由於這一天太陽約在黃經 30◦, 亦即將 λ = 30◦、 β = 0◦、 ε = 23.5◦ 代入換算公式 (2) 得到
sin δ = sin 23.5◦sin 30◦cos 0◦ ≈ 0.4 × 0.5 = 0.2 因此 δ 大約是 11◦400。
再由 (1) 式, 求 4 月 20 日上午 9 時 (θ = −45◦),太陽在北京的仰角 γ sin γ = cos 40◦cos 11◦400cos(−45◦) + sin 40◦sin 11◦400 ≈ 0.66
γ 大約是 41◦。 但是在同一天正午太陽的仰角卻是 50◦+ δ = 50◦+ 11◦400, 約為 61◦400, 兩 者相差 20◦ 左右。
2我們略證第一組換算公式:
如圖, 原點是地球, 春分在 (1, 0, 0), xy 平面是天赤道面, z 軸指向北極星。 黃經黃緯系統的三個互相垂直的單位向量依序為 (1, 0, 0), v = (0, cos ε, sin ε) 和 w = (0, − sin ε, cos ε), 其中 (1, 0, 0) 和 v 張出黃道面, w 是黃道面的法向量, 其與北極方向的夾角是 ε = 23.5◦。 在天球面上赤經赤緯是 (α, δ) 時, 代表空間向量
(cos δ cos α, cos δ sin α, sin δ) (3) 而黃經黃緯是 (λ, β) 時, 代表空間向量
cos β cos λ(1, 0, 0) + cos β sin λ(0, cos ε, sin ε) + sin β(0,− sin ε, cos ε) (4) 令 (3) = (4) 就得到第一組換算公式, 至於第二組, 可由第一組中 ε 代以 −ε, (λ, β) 和 (α, δ) 交換而得。
評康熙朝的一場天文比試 45
從上面的計算看來, 中國的天文官如果不知道幾何及三角, 又不能理解地球是球形, 乃至於 不清楚北京城的緯度, 在這種劣勢之下如何進行最基本的預測? 無怪乎楊吳大敗於南懷仁, 一 言以蔽之, 數學太差, 理所當敗。
—本文作者為台大數學系退休教授—
101 學年度周鴻經獎學金自即日起開始申請
申 請 辦 法 : 檢附志向說明書、 在學各學年之成績單 (一年級研究生須繳大學四 年之成績單)、 數學系所之教授二人以上之推薦書、 周鴻經獎學金 申請書及周鴻經獎學金推薦書, 由校方函送中央研究院數學研究所 申請。
截 止 日 期 : 2012年11月15日止 (以郵戳為憑)
申請書與推薦書下載: 中研院數學所網頁 http://www.math.sinica.edu.tw 詳細情形請查詢中研院數學所網頁 http://www.math.sinica.edu.tw 周鴻經先生事略及本獎學金章程請詳封底
101 年度數學教育學門專題研究計畫成果討論會
會 議 日 期 : 2012年12月1日 (星期六) ∼ 2012年12月2日 (星期日)
地 點 : 臺北市大安區羅斯福路四段1號 國立台灣大學總校區天文數學館 報 名 日 期 : 2012年9月24日 ∼ 2012年11月8日
主 辦 單 位 : 行政院國家科學委員會科學教育發展處 承 辦 單 位 : 中央研究院數學研究所
詳見國科會科教處數學教育學門學門資訊網
http://w3.math.sinica.edu.tw/nsc mathedu/
