四、評析康熙帝的數學觀

HPM 通訊第二十卷第四期第一版

發行人：洪萬生（台灣師大數學系退休教授）

主編：蘇惠玉（西松高中）副主編：林倉億（台南一中）

助理編輯：黃俊瑋（和平高中）

編輯小組：蘇意雯（台北市立大學）蘇俊鴻（北一女中）

葉吉海（陽明高中）陳彥宏（成功高中）

王文珮（青溪國中）

英家銘（台北醫學大學）

創刊日：1998 年 10 月 5 日 每月 5 日出刊 網址：http://math.ntnu.edu.tw/～horng

從「清聖祖批校幾何原本」談康熙帝之數學觀(II)

張美玲 台北市景興國中 (接續前期)

四、評析康熙帝的數學觀

《批校本》卷一之敘稱：「幾何原本者，數源之謂，度算萬物度數之大本，天文地 理等學根源也。凡習諸道必先始於易而至於難，不越次第而循序龟勉自入深微矣。是以 幾何原本將一易之形著於前，雜之形著於後，其題中兩相彷彿，易學者居先，難者繼之 列為次第，以應學者循序漸進，更由次第而發，圖形之情理名目，使不求講解而著詳論 於首也。」¹此敘言已將康熙編輯此文本的精神完全表達出來。本文本內容編排順序由淺 入深，題題都附有圖形，透過圖形，讓讀者更容易理解，透過圖形，許多證明更以直觀 訴求。康熙在其批閱《批校本》的手稿上，即已體現出部分數學功力，其數學素養涵蓋 基礎且實用的幾何學知識。只是中國的傳統數學，是以算學為中心，雖然也有邏輯「證 明」，但卻沒有形成一個嚴密的演繹體系，或許康熙亦受此傳統所影響，因此，我們在 研讀《批校本》時，感受到康熙似乎並未完全體會出《原本》中那種邏輯推理的說服力 和科學結構的嚴謹性，而只是偏向實用的、基礎性的幾何學。茲整理出以下幾點說明。

(一)、康熙相當重視數學的實用性

張誠在1690 年 3 月 24 日的日記上亦寫道：「為皇上講解了四條歐幾里得定律。皇 上認為他已經完全理解，並殷切表示要在儘可能快的時間內知道幾何原理的最必要的部 份，以求弄懂實用幾何學。我們向他指明，如果他願意的話，我們將只講最必需最有用 的定理，而不依照漢文譯本中的示例方法。這樣我們就能把課程縮短，並提供更正確的 示例。陛下同意這一建議。我們決計改用巴蒂氏的實用和理論幾何學，因為它的圖例比 較易懂。」

1 原文之敘並無標點符號，但為求閱讀方便，筆者自行加入符號。

 從「清聖祖批校幾何原本」談康熙帝 之數學觀(II)

 數學史融入數學教學

單元主題：一億以內的數-「羅塞塔石 碑的秘密」學習單

HPM 通訊

歐幾 丁未)，

改編的 前六卷 界說、求 中，體例 式來表 中。

又如

《批校 成一甲乙 等腰三 此命題 下：² (1) 任意 使得AB (2) 以 A 使得BD 外接圓 (3) 因為 BD 等於 所以角 之外角 (4) 因為 相等，所 (5) 又 A 角BCD (6) 由(4 為所求

上 蒂本》

的示例方 用幾何學 的證明

2 參閱《

3 《原本

4 歐幾里

訊第二十卷第四

幾里得的《

是利瑪竇（

十五卷拉丁 為完整的平 求作、公論

例上不作細 達代數恆等

如關於「求 本》的做法 乙丙三角形 角形。《徐利

《徐利本》

意取定一線 B、BC 構成 A 為圓心，

D 等於 AC

。

為AB、BC 於AC，所以 BDC 等於 BCD。

為AB 等於 所以BD 等 AC 等於 B D 等於角 C 4)、(5)可知 之等腰三角 述命題的證 的命題內容 方法」，而 學」。其實類 方式亦比《

《歐幾里得・

本》II-11：分已 里得的《原本》

四期第二版

《原本》（T

（Matteo Ri 丁文本，所 平面幾何部 論與命題。康

細分，且亦 等式，或許對

求作一個等腰 法為「於甲乙 形為所求之

利本》卷四第 依循歐幾

線段AB，依 成之矩形等 AB 為距離 C，連接 AD

C 構成之矩 以AB、BC 構 於角DAC (I 於AD，所以

等於DC。

D，BD 等於 CAD 的兩倍

知，角ABD 角形。

證明用到「

容。從此一 只是「儘可 類似的例子

《徐利本》容

幾何原本》，

已知線段，使

》並沒有為「

The Elemen icci）、徐光 合譯出版的 分，可以自 康熙在學習

刪除了不少 對康熙而言

腰三角形，使 乙線之兩頭 之形也」，利

第十題：「求 里得《原本

依II-11 所述 等於CA 上的 離，⁴作圓BD

D、CD，並作

形等於CA 構成之矩形等

II-32) ，兩

以角ABD 等 於DC，故 倍。

D 與角 BD

弦切角」與 相同命題，

可能快的時 子很多，如關

容易明白，且

藍紀正、朱恩 使它和一條小

「半徑」下定

nts）在中國 光啟根據丁先

的（以下簡 自成體系，

幾何學時，

少內容，如 言並非是必需

使它的底角 頭各作一七 利用有刻度之

求作兩邊等三 本》之證明

述之法，取點 的正方形。

DE，在圓上 作三角形A A 上的正方

等於BD 上的 兩者同加角 等於角BDA 故 AC 等於

DA 相等，皆

與「圓之切割

，比較兩者 時間內知道幾

關於「等腰三 且對於三角

恩寬譯，台北 小線段所構成的 定義，故亦未使

國最早的漢譯 先生（Chri 簡稱《徐利本

故譯名為

，應已參考此

《徐利本》

需的、有用

角的每一個角 七十二度之角

之圓，作出 三角形，而底

，《原本》I

點C，

3

上取D，

ACD 的

形，又 的正方形，故

CDA，可得

A，故角 AB

DC，所以

皆為角CAD

割性質」，都 者之說明，可

幾何原理的 三角形兩底 角形全等的性

北：九章出版 的矩形等於另 使用「半徑」

譯本是160 istopher Cl 本》），但只

「幾何原本 此漢文譯本

》卷二的內 的定理，故

角都是頂角 角將兩邊線

兩底角72 底上兩角各 IV-10 的作

故BD 與圓 得角BDA BD、角 BD

角CDA 等 D 的兩倍，

都是《批校 可知康熙「

的最必要的部 底角相等」之 性質，除了

版社。「IV-10」

另一小段上的正 這一個名稱

07 年 (明萬 lavius, 1538 只完成了前六 本」。其各卷

本，但在《批 內容主要為用 故未納入《批

角的兩倍」之 線俱引長相交 度，頂角3 各倍大於腰 作法及證法

ACD 相切 等於三角形 DA、角 BC

等於角CAD 故三角形

校本》刻意刪 不依照漢文 部份，以求

之命題，《批 SAS 與《徐

」表示第四卷 正方形。

。

萬曆35 年 8-1612）

六卷。此 卷又細分

批校本》

用幾何方 批校本》

之命題，

交於丙即 36 度之 腰間角。」

，簡述如

(III-37)，

形ACD CD 彼此

D，亦即

ABD 即

刪除《巴 文譯本中 求弄懂實

批校本》

徐利本》

卷命題 10。

HPM 通訊第二十卷第四期第三版

相同外，對於SSS 及 ASA 皆只有說明未證明，不似《徐利本》因循《原本》的嚴謹推 論。限於篇幅，不再贅述。

(二) 重視數學儀器的操作

北京故宮博物院收藏有各種數學文物，絕大部分都是實際使用的工具儀器，其中包 括假數尺、分厘尺、角尺、矩尺、比例規、那皮爾算籌、各種圓儀、手搖計算器等。⁵這 些數學工具肯定與康熙帝有直接關係，有的其上刻有「康熙御制」字樣。⁶

白晉在其著作中也提到：「我們將這些定律用滿語翻譯出來寫成文稿，並在其中補 充了歐幾里得和阿基米得著作中的必要而有價值的定律和圖形。除了上述的課程以外，

康熙皇帝還掌握了比例規的的全部操作法、主要數學儀器的用法和一些幾何學及算術的 應用方法。」又說：「每當學習到幾何學中最有價值的知識時，皇帝總是抱持著濃厚的 興趣，要把它們應用於實際，也會練習數學儀器的操作。……皇上在外帶著這些儀器，

有時用來測量某座山的高度，有時測量兩地之間的距離。」⁷

舉例來說吧。《批校本》中的卷七第四十一~第四十三及第四十六節，利用比例尺等 分已知線段、測量已知角、求作正方形、求作正方體。從這四個命題即可推知，康熙的 確掌握了比例規的的全部操作法。另外，卷七第四十五節利用矩尺作二直線之中率二線 法；卷七第五十節，作各種三角形之儀器法，此儀器可用以測髙深廣逺，可知其各角各 界之度；卷七第五十一節，倣各種地形畫圖法，使用半圓儀器或全圓儀器，再利用相似 三角形原理繪製地形圖。凡此等等，都可知道康熙帝重視數學儀器的操作，解決實際問 題。

(三)、未具備嚴密演繹證明能力之素養

所謂證明，就是借助一些公理或真實性業經確定的命題，來論證某一命題的真實性。

《批校本》有許多命題皆只有說明而未證明，或是引用未經證明的命題，或是以直觀法 論之，而顯得不夠嚴謹；亦有邏輯推理順序完全錯誤的命題。⁸

歐幾里得很喜歡將一個命題和他的逆定理放在一起，如《原本》I-5：「等腰三角形 中兩底角彼此相等」，I-6：「如果一個三角形中，有兩角彼此相等，則等角所對的邊也彼 此相等。」I-18：「在任何三角形中，大邊對大角。」I-19：「在任何三角形中，大角對大 邊。」I-24：「有兩個三角形，兩組對應應邊相等，則夾角大者，其所對應之邊亦較大。」

I-25：「有兩個三角形，兩組對應應邊相等，則第三邊大者，其所對應之角亦較大。」……，

9但在《批校本》中捨棄了一些逆定理的敘述，如卷二第十一節：「凡三角形之長界線，

必與大角相對。」是指三角形中若有兩邊不相等，則大邊對大角。其中，並無逆定理的 敘述與證明，卻在卷二的第十四節有此應用。卷二第九節：「三角形之二線若等，其底 線之兩角度亦為等也。」是指等腰三角形中兩底角彼此相等，但卻沒有其逆命題，或許

5 李迪、白尚恕，〈故宮博物院所藏科技文物概述〉，《中國科技史料》，1981 年 1 期，95-100。

6 有關這些工具的詳細介紹，可參閱李迪，《中國數學通史》明清卷，頁 217-218。

7 徐志敏、路洋譯，《老老外眼中的康熙皇帝》，人民日報出版社，2008 年 9 月，頁 30-32。

8 可參考筆者所寫的論文，《《數理精蘊》中的《幾何原本》》，第五章第一節。

9 I-24 & I-25 即是指樞紐定理及逆樞紐定理。

HPM 通訊

康熙認 理的國

筆者 中去評 章算術 西方數學 國傳統 公理的 智慧與 (四)、對

尺規 皮迪斯 形式規 論上去解 度的圓 出部分 具完全 的內角度 需用有刻 又如 圖完成 非尺規

用有

10 藍紀正

11 《原本 (3)以任

訊第二十卷第四

為逆定理是 中生相同，

者並非在此 斷。《九章

》的體例，

學中的地位 文化薰陶教 選擇、定義 邏輯訓練。

對尺規作圖 規作圖的難

(Oenoped 定下來，¹¹ 解決這些問 畫出對應的 內容的錯誤 不設限。如 度數。第二 刻度的圓畫 如，「立方

。當年，柏 作圖。此作 有二直線，

正、朱恩寬譯 本》卷 I 給出 5

任意中心，任

四期第四版

是理所當然

，對他們而 此批評這些 算術》成書

，來研究問 位一樣。像 教育下的許 義的給出、

。故康熙未 圖不感興趣 處，是作圖 des，O΄ινοπ

1希臘人的興 問題。《批校 的角度，其 誤。康熙似 如卷十一第 二十二節：

畫出相對應 倍積」是古 柏拉圖為了 作法被放在

，欲另作二

圖八

譯，《歐幾里得 5 個公設，頭 任意距離可作一

的成立，無 言，大邊對 邏輯上的瑕 書於公元一

題和撰寫著

《原本》這 許多知識份子

內容的編排 能具備此嚴 趣

圖只許用無 π΄ιδης，約 興趣並不在 校本》在作

中，缺乏 乎對尺規作 二十一節：

「作各種圓 的角，所以 古希臘尺規

解決此問題 在《批校本》

線為此二線

得 幾何原本》

頭 3 條就是對作 一圓。根據這

無需再特別 對大角若是 瑕疵，因為 一世紀，近兩

著作，它在 這樣一部抽 子而言，是 排、命題的 嚴密思想，

無刻度的直尺 約公元前465

在於圖形的實 作法上捨棄了

《原本》嚴 作圖不感興

：「作各種圓 外切正多邊 以並非尺規 規作圖的三大

題，勉強寫

》卷七第四 線間之兩率

，頁 6。

作圖的規定：

這幾條公設，

別提出。此種 是成立，則大 為有很多的問 兩千年來中 在傳統數學中 抽象的、演繹 是很難接受的 的嚴格證明、

亦是可以理

尺和圓規。

5 年) 所提 實際作出，

了嚴謹的尺 嚴密的邏輯推 興趣，只在乎 圓內接正多 邊形」，須先 規作圖題。

大難題之一 寫出一道作法

四十五。命題 率法。

圖九

(1) 兩點間可 作圖就只能用

種思維模式 大角對大邊 問題必須搬 國數學家大 中的地位就 繹式的邏輯 的。康熙皇

、方法的運 理解的。

此作圖的限 出，¹⁰後來

而是在尺規 尺規作圖，而

推理不說，

乎實際圖形 邊形」，先 先將圓周作

一，現已被證 法，但因使

題內容以現

九

可連一直線；

用尺規作圖。

式與很多初學 邊亦成立。

搬到當時的時 大體上都遵 就像《原本》

輯體系，對於 皇帝自然很難 運用，都需要

限制最先是 來《原本》用

規的限制下 而是允許採

我們甚至還 形的完成，對 先計算各種正 作等分，兩者

證明無法用 使用矩尺工具

現代符號簡述

(2) 線段可任

學幾何推

時空場景 遵循《九

》在古代 於處身中 難例外。

要高度的

是由依諾 用公設的 下，從理 採用有刻

還能尋找 對作圖工 正多邊形 者之作圖

用尺規作 具，故並

述如下：

任意延長；

HPM 通訊第二十卷第四期第五版

【已知】兩線段長分別為a、d

【求作】二線段長為b、c，使得 a：b= b：c =c：d

【作法】將a，b 兩線段成垂直且一端點重合，再將兩矩尺的直角點分別 置於兩線段延長線上，兩矩尺之一股重合，另一股分別置於線段 a，d 之端點處，如圖一所示，則 b，c 即為所求

【證明】如圖九所示，直角三角形ACF，BF  AC ，所以 a：b=b：c 直角三角形 DCF，CBDF，所以b：c =c：d

故 a：b==b：c =c：d

若將此命題的a 取 1，d 取 2，則以 b 為邊長的立方體體積，為以 a 為邊長的立方體 體積之二倍，如此便可完成「立方倍積」之作圖。

此外，在《原本》中，歐幾里得並沒有使用度數的觀念，他唯一使用量度角大小的 單位，就是直角，但康熙卻在《批校本》中用了不少角度的計算。比如說，其卷七第四 十二節行間，就有小楷註記「此度原是分西洋人改度」，至於卷七命題二十一，康熙則 將正文的「其五界形之五角度。俱各一百度」，更正為「其五界形之五角度。俱各一百 零八度」。

(五)、呼應劉徽的「割之又割，以至於不可割」之窮盡分割概念

《批校本》卷六第七十七節：「圓柱體外周面積與長方體底面積相等，長方體高度與 圓柱體底面半徑之半相等，則圓柱體體積與長方體體積相等。」用類似窮盡法的概念，

分割成千萬個小長尖體，文中未如劉徽所言「割之又割，以至於不可割」，但在觀念上 亦相去不遠。又如卷四第二十二節，證明圓形面積等於一直角三角形的面積，即是以千 萬正多邊形面積逼近而得。卷六第七十四節：「圓錐體底面積若與球體外表面積相等，

且圓錐體高度與球體半徑相等，則此球體體積與圓錐體體積相等。」此命題之證明係將 球體與圓錐體各分成千萬等份尖體，每一小等份皆對應相等，則合之原體必相等。

(六)、重視圖形直觀說明

其實，這點與前面所述之重視實際應用、缺乏邏輯的素養有其關連性。康熙重視以 圖形輔助理解之，在《批校本》中可以看出幾乎每道命題上方都附有圖形，連正文內容 也會穿插圖形，許多命題皆以直觀說明。如卷五第二十八節：「表面積相等之各種立體 圖形，以圓球體的體積最大。」是利用卷四第二十四節的性質：「周長相等的平面圖形，

圓形面積最大。」推論而得，其實令人難以接受。康熙在學習數學天文學時，非常重視 形數結合方法，白晉說：「皇上總是非常認真地聽講，並反覆練習，親手繪圖」，以至於

「看到關於某個定理的幾何圖形，就能立即想到這個定理及其證明過程。」¹²學習立體 幾何時，又「將同樣之圓筒形、圓錐形、楔形之比例或容積，反覆實驗之。」這種學習

12 白晉，《康熙大帝》，收入徐志敏、路洋譯，《老老外眼中的康熙皇帝》，北京：人民日報出版社，頁 30。

HPM 通訊第二十卷第四期第六版

方法行之有效，進步很快。《批校本》卷五第二十四節:「各種體形，欲以鮮明者，而難 以平圖顯之也，必用木類作其型體之模，始於此等難顯之處，自然亦顯而可明矣。但發 明此等難處之模內，有空實二端，必合於圖形，空者宗其空，實者宗其實，以作之，始 可發明其細故也。」意思是說各種立體形，很難以平面圖形顯示，需作成模型，較容易 理解。各種立體形有實心或空心，須有實際形體，才能發現其中原理。故在卷五第二十 七節：「上下面平行之柱體與尖體形同底同高者，尖體形的體積為柱體的三分之一」，僅 以「將各體照實形作空形，於此空形用水以比例之，其各體之積，自然可得而之矣」說 明之。

五、結論

傳教士白晉在其著作中，曾描述康熙：「對於自己成為一個優秀的幾何學者，皇帝 感到由衷的高興和十分的滿意。」又說：「實際上，康熙皇帝很早以前就制定了一項計 畫，即把西歐的全部科學移植到中國來，並使之在全國得到普及，這些講稿之所以公開 刊行，就是這項計畫的首次付諸實施。」¹³從白晉的這些敘述，我們很自然可以理解，

康熙為何選擇這本實用的基礎理論幾何學，如此認真地校稿、反覆修正。《批校本》翻 譯自法國數學家巴蒂 (Pardies) 所撰的實用幾何學教科書 (Elémens de géométrie)，而非 遵循著具備嚴謹公理化系統之歐幾里得《原本》，或許是因為康熙皇帝希望這部幾何學 教科書能普及於全國，而這部《批校本》比起當時徐光啟與利馬竇合譯之《幾何原本》，

更加容易學習，較能達到普及之成效。

安多和張誠、白晉等傳教士於1690 年將巴蒂所撰的幾何學教科書，另參考阿基米 德及歐幾里得的著作，翻譯成滿文，作為替康熙上課的教材，再以此滿文本為底本譯成 漢文，即為《批校本》，經康熙親自校對修改此漢文抄本後，再依據修改後的內容寫成

《精鈔本》。巴蒂的 Elémens de géométrie，其法文原名就是《幾何原本》，是適合初學幾 何者的入門書，以一種簡單迅捷的方式學習幾何學。筆者曾仔細地將《批校本》與其作 內容對照比較，¹⁴針對康熙帝的數學觀，筆者不揣鄙陋，整理出以下幾個特點，拋磚引 玉，或可引出史學研究者不同的進路與思考。為免累贅，巴蒂的 Elémens de géométrie，

將以《巴蒂本》簡稱之。

・《巴蒂本》中之弦切角與圓內接四邊形為何要刪去？或許對康熙而言，這並非一 個很實用且重要的性質，但以現代幾何知識而言，有了弦切角與圓內接四邊形的性質，

對於證明其他相關性質或應用，有其簡化算式與過程之功能。

・《巴蒂本》IV-28、IV-29 與 IV-30 此三個與證明圓面積有關的命題被刪去，因《巴 蒂本》與《批校本》採用不同的方式證明圓面積公式。兩者都是利用窮盡法的概念，巴 蒂的理論來自於阿基米德，這與他當時寫這本書時，吻合了在此書封面上表達的精神，

「通過一種簡單迅捷的方式學習歐幾里得、阿基米德、阿波羅尼以及其他優秀幾何學家

13 白晉，《康熙大帝》，收入徐志敏、路洋譯，《老老外眼中的康熙皇帝》，北京：人民日報出版社，頁 33。

14 參閱筆者碩士論文，《《數理精蘊》中的《幾何原本》》。

HPM 通訊第二十卷第四期第七版

們，從古到今的幾何發現。」¹⁵《批校本》則呼應劉徽窮盡分割的概念。劉徽證明的特 色，完全在於它的具象與直觀，這充分反映在其他的面積、體積公式的證明過程之中；

16《批校本》對於面積、體積公式亦承襲了劉徽證明的特色−具象與直觀。

・什麼樣的教材內容可稱為初等幾何學？巴蒂和康熙有著些許不同的看法。《批校 本》刪去了《巴蒂本》中不可度量、級數、對數之內容，增加了許多有關立體圖形的表 面積與體積的求法、橢圓與圓之面積關係；利用比例尺之工具作有關距離、面積、體積 的測量。康熙認為實用的圖形才是基本的幾何學，尺規作圖不切實際，只要善用中國劉 徽的窮盡分割概念，即可解出許多表面積與體積之間的關係，無須利用西方數學之難以 理解的論證方式。

康熙應是中國歷來最具有學術涵養的帝王，從康熙親筆校稿的《批校本》中，讓我 們有更多的史料據以探索與了解康熙的數學知識與思想。不過，這些只是筆者根據自己 研讀的心得所作出的推論，是否真的即是康熙的本意，恐怕也只有康熙皇帝才知道了。

參考資料

Pardies, Father Ignacius Gaston 1673). Elémens de géométrie, 1673. 資料來源：

http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de

白晉等著（徐志敏、路洋譯）(2008).《老老外眼中的康熙皇帝》，北京：人民日報出版社，

2008 年 9 月。

李迪 (2004).《中國數學通史》明清卷，蘇州：江蘇教育出版社。

利瑪竇、徐光啟合譯；偉烈亞力、李善蘭合譯；曾國藩輯刊 (1993).《幾何原本》十五卷 本，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷五，鄭州：河南教育出版社，

頁1151-1500。

吳文俊主編 (1999).《中國數學史大系》第七卷，北京：北京師範大學出版社。

洪萬生 (1994).〈數學史上三個公式積圓面〉，《科學月刊》第二十五卷第七期，頁539-544。

張美玲 (2008).《《數理精蘊》中的《幾何原本》》，台北：國立台灣師範大學數學系教學碩 士班碩士論文。

藍紀正、朱恩寬譯 (1992).《歐幾里德《幾何原本》》，台北：九章出版社。

陳方中主編 (2003).《中國天主教史籍彙編》，台北：輔仁大學出版社。

劉鈍 (1995).〈訪台所見數學珍籍〉，《中國科技史料》第 16 卷第 4 期，頁 8-21。

國圖收藏，《幾何原本》七卷附序，清精鈔本，三冊，索書號 305.4 06399，國家圖書 館館藏。

15 參考筆者碩士論文，《《數理精蘊》中的《幾何原本》》，頁 85-87。

16 洪萬生，〈數學史上三個公式積圓面〉。

HPM 通訊第二十卷第四期第八版

數學史融入數學教學

單元主題：一億以內的數-「羅塞塔石碑的秘密」學習單

楊正凡 臺北市士林國小

一、前言

作者在 2015 年的暑假，去了一趟倫敦旅遊，期間參觀了著名的大英博物館（British Museum），對其館藏之豐富深感震驚，且印象深刻。古埃及美麗又神祕的建築、藝術和 文化等，一直深深吸引著我的目光。而其中最著名的鎮館之寶--「羅塞塔石碑」（Rosetta Stone），正是破解古埃及象形文字非常重要的關鍵物。後來，作者在修讀臺北市立大學

「數學史與數學教育」的課程時，蘇意雯老師正好介紹了古埃及人的記數方法，也因此 就有了把古埃及記數系統融入課堂教學的想法。於是便設計了「羅塞塔石碑的秘密」這 個學習單，作為四年級上學期的數學補充教材使用。

二、教學指引

(一)單元教材地位

以前學過的  本單元要學的  以後要學的

三上 認識一萬以內的數

四上 第 1 單元 認識一億以內的數

四下 認識概數

四下 認識一億以上的數

(二)單元教學目標

1.能認識「萬位」、「十萬位」、「百萬位」、「千萬位」的位名。

2.能以萬為單位，說、讀、聽、寫八位數以內的數。

3.能透過位值比較億以內的數的大小，並能用＜、＞與＝表示數量大小的關係。

(三)能力指標和分年細目

N-2-02 能透過位值概念，延伸整數的認識到大數(含億、兆)。

4-n-01 能透過位值概念，延伸整數的認識到大數(含億、兆之位名)，並做位值單位的換 算。

(四)相關數學史

古埃及象形文字大約是在距今 5000 年前發明的。在使用了 3500 年後，到了 1500 年前，古埃及的文字和語言就因國家滅亡而消失了。所以，後來再也沒有人看得懂古埃 及文（現在的埃及人講的是阿拉伯語，信仰的是伊斯蘭教）。直到「羅塞塔石碑」出土

後，象 所解開 古埃及 理解的 我們 這份文 館。從蘭 系統，是 表示數 曲的繩 表示 1 support 將其相加

三、學

本學 讓學生討 出單獨使 複為原

四、實

(一)時間 本學 四年級 (二)第一 這 否能做位 這 錄數字

圖1 國 (三)第二

形文字的秘

。羅塞塔石 通俗文字

，所以象形 們對於古埃 書大約可追 蘭德紙莎草 是使用十進 字，分別是 圈（coil of

萬、以青蛙 ting the sky 加是正確的

學習單使用

學習單為補 討論、實作 使用），後 則，並求能

實施情況分

間與對象

學習單實際 的學生。收 一大題分析

一大題裡有 位值單位的 一大題全對 時，分不清

國字數字與 二大題分析

秘密，才在 石碑由上到下

（demotic）

形文字的祕 埃及數學的 追溯到西元 草文書中，

進位制的數 是：以一枝

f rope）表示 蛙或蝌蚪（

y）表示 10 的數值即可

用方式

補充教材，

作與發表。

2 頁為練 能符合本單

分析

際施做的時 收回的有效 析

有3 小題，

的換算及是 對的學生有 清楚是要寫國

與印度阿拉伯 析

1822 年，

下共刻有三

）與古希臘 密就因此而 許多認識，

前 1650 年 我們可了解 碼，這種方 筆（stroke 示100、以

（tadpole）

00 萬。在書

。（資料來

教學約需要 學習單分為 習題。因頁 元的各項教

間為2016 樣本為25

目的在測驗 否能報讀記 32 人，答 國字數字，還

伯數字寫相

正式被法國 三種語言，分 臘文（Greek 而被破解了

，是來自於 年左右，由 解古埃及數 方法基本上 e）表示 1、

以蓮花（lotu 表示 10 萬 書寫的時候 來源：Fun w

要 1 節課 4 為前後兩個 頁面有限，

教學目標。

年12 月。

和22 份，

驗學生的位 記錄數字。

答對率為 68 還是要寫印

相反

國語言學家 分別是：古埃

k）。而因為

。

「蘭德紙莎 考古學家蘭 數學的基本樣 上與羅馬數碼 以牛軛（c us plant）表 萬、以張開雙 候，這些符號

with Hierog

40 分鐘的時 個部分，前2

所以在設計

對象是隨機 總共47 份

位值概念、是 8%。學生較 印度阿拉伯數

HPM 通訊

家商博良（J 埃及象形文字 為古希臘文是

莎草文書」（ 蘭德而得名 樣貌。而關 碼相同。他 cattle hobb 表示1000、

雙臂的神明 號沒有一定 glyphs、溫柔

時間。可以 2 頁為數學 計時，以相

機選取臺北 份。

是否能點數 較容易錯的 數字。另外

訊第二十卷第

J. F. Cham 字（hierogl 是現代人可

Rhind Pap 名，現藏於大 關於古埃及人 他們用了七個 ble）表示 1

、以手指（

明（god wi 定的排列順序

柔數學史）

以先由教師講 學知識的部分 相同概念的題

北市兩間國小

數一億以內的 的地方是：在 外還有粗心數

第四期第九版

mpollion）

lyphs）、

可以閱讀

pyrus）。

大英博物 人的記數 個符號來 10、以捲 finger）

ith arms 序，只要

講解，再 分（可挑 題目不重

小各一班

的數、是 在報讀記 數錯的。

版

HPM 通訊

這 學生的位 因 易錯的地

圖2 漏

圖3 數

圖4 數 (四)第三 這 兩數的 這 位數時 致在比

圖5 不

圖6 古

訊第二十卷第四

一大題裡有 位值概念、

為這一大題 地方是：粗

漏看漏寫

數字中少零

數字中多零 三大題分析 一大題裡有 大小及是否 一大題全對

，不清楚題 大小時就答

不清楚題意

古埃及數字

四期第一○版

有2 小題，

、是否能做 題數字中間 粗心填錯數

零

零 析

有3 小題，

否能報讀記 對的學生有 題意問的是 答錯。

意

字轉化成印度

版

目的與第一 位值單位的 有零，全對 字、漏看漏

目的在測驗 錄數字。

22 人，答 什麼。還有

度拉伯數字

一大題類似 的換算及是 對的學生只 漏寫以及數

驗學生是否 答對率為 47 有在將古埃

字時出錯

似。不同之處 是否能報讀記 有 18 人，

數字中的零會

否能在定位板 7%。學生較 埃及數字轉化

處是在數字 記錄數字。

答對率降為 會多或少。

板上做位值 較容易錯的 化成印度拉

字中間有零 為 38%。學

值記錄、是否 的地方是：在 拉伯數字時出

，以測驗 學生較容

否能比較 在回答幾 出錯，導

(五)第四 這 數字來表 這 易錯的地

圖7 因

圖8 粗 學 生反應是 悉等。而 得古埃及

圖9 不

圖10

四大題分析 一大題裡有 表示數量，

一大題的位 地方是：數

因懶得畫而

粗心數錯而 習單的最後 是不喜歡，

而回答喜歡 及人很聰明

不喜歡，因

不喜歡，因 析

有3 小題，

，以及分享 位值較小，

數錯錢、對

而未作答

而漏畫

後是個開放

，因為：看 歡的人有34 明，以及沒

因為很難記

因為很麻煩

目的在測驗 寫完學習單 比較簡單，

古埃及數字

性問題，問 不懂、很麻 4%，大部分

看過，所以

煩，但優點是

驗學生是否 單後的心得

，全對的學 字不熟悉畫

問學生喜不 麻煩、很難 分是認為：

以很新鮮等

是不用數位

否能點數十萬 得感想。

學生有 30 人 畫錯、或粗心

不喜歡這張學 難畫、很難記 很好數、很 等。

位數

HPM 通訊第

萬以內的數 人，答對率為

心而漏畫和

學習單和心 記、要畫很 很有趣、很

第二十卷第四

數、是否能用 為 64%。學 和懶得畫。

心得感想。6 很久、不習慣

很可愛、很特

四期第一一版

用古埃及 學生較容

62%的學 慣和不熟 特別、覺

版

HPM 通訊

圖11

圖12

五、實

作者 關文獻 學課程 而 不錯。但 的學生回 這個結 但後 師在課 下表）：

一到四年 一年級 喜歡 16 人 70%

從 份學習單 一到三年 半部的 能的原

訊第二十卷第四

喜歡，因為

喜歡，因為

實施心得

者當初在設 之後，發現

，就將學習 在學習單做 但是在2 班

回答「不喜 果真是完全 後來，作者 堂上來使用

：

年級學生對 (23 人)

不 喜 歡

無 見 0 人 7 人 0% 30

上表的統計 單的反應是 年級老師的 題目簡化後 因是：

四期第一二版

為第一次看

為數學可以

設計這份學 現古埃及的 習單設計為 做出來之後 班四年級的學

喜歡」這份學 全出乎大家 者不死心又 用，卻得到

對學習單的 二年 無 意

見

喜歡 人 12 人 0% 55%

計結果，可 是愈不喜歡 的使用建議 後再合併使

版

看到，覺得很

以變得更好玩

習單的時候 記數數碼只 四年級上學

，許多老師 學生將學習 學習單，4%

的預料之外 試著將同一 了完全不同

喜好統計表 級(22 人)

不 喜 歡 人 2 人

9%

以發現一個 歡；但愈低年 是：可將學 使用，效果會

很有趣

玩

候，一開始 只有到百萬 學期來使用 師看了都覺 習單完成之後

%表示「不喜 外！

一份學習單 同的結果（

表

三 無 意 見

喜 8 人 12 36% 46

個明顯易見 年級的學生 學習單前2

會更好）。而

始並沒有限定 萬，千萬以上

。

覺得很新奇有 後，統計出 喜歡也不討

單加上注音後 一到四年級

年級(26 人 歡 不 喜

歡 人 7 人

% 27%

見的趨勢：就 生，雖然不太 頁故事的部 而關於這現

定使用的年 上就沒有了 有趣，大家 來的結果，

討厭」，只有

後，給一到 級學生對學

人)

喜 無 意 見

喜 7 人 27% 3

就是愈高年 太會寫，反 部分挑出單 現象產生的

年級。直到閱 了。所以為了 家都猜測效果

，竟發現有高 34%的人「

到三年級各1 學習單的喜好

四年級(47 喜歡 不 歡 16 人 29 34% 62%

年級的學生 反應卻是愈喜 單獨使用，或 原因，作者

閱讀完相 了配合數 果應該會 高達 62%

喜歡」。

1 班的老 好統計如

人)

喜 無 意 見 人 2 人

% 4%

，對於這 喜歡（給 或是將後 者推測可

意

HPM 通訊第二十卷第四期第一三版

(一)愈高年級的學生作業量愈多，造成學生不喜歡寫額外的作業。

(二)愈高年級的學生愈懶得寫字，對於要多畫一個圖和多寫一個字都會斤斤計較（從畫 圖題的空白率較高可看的出來）。

(三)愈高年級的學生愈難保有童心。

作者認為，古埃及人是很有童心的。古埃及的繪畫，有著非常鮮明獨特的風格。他 們的人物畫作，最大的特徵就是：在一直線上構圖安排人物、臉部是側面、上半身是正 面、下半身是側面、人物依尊卑而有不同大小、描黑邊、顏色平塗、畫面充實等。而上 述的這些特徵，不就和我們的兒童繪畫之間，存在著許多的共通處嗎？所以年紀愈小的 兒童，反而愈能接受和喜歡古埃及的東西。也難怪這份學習單的實施情況分析出來，竟 會有如此讓人意外的結果了。

六、參考文獻

Berlinghoff, W.P., Gouvea, F.Q.（2008），洪萬生、英家銘暨HPM 團隊譯，《溫柔數學史：

從古埃及到超級電腦》。臺北：博雅書屋。

British Museum (2016), “The Museum's story”,

http://www.britishmuseum.org/about_us/the_museums_story.aspx Casson, L.（1979），鍾禮文譯，《古代埃及》。香港：時代生活叢書出版社。

Discovering Egypt (2016), “Egyptian Mathematics Numbers Hieroglyphs”,

https://discoveringegypt.com/egyptian-hieroglyphic-writing/egyptian-mathematics- numbers-hieroglyphs/.

Roehrig, C. (2008), Fun with Hieroglyphs. London: The British Museum Press.

李源順（2016），國民小學數學課本四上第 7 冊。臺南：南一出版社。

李源順（2016），國民小學數學習作四上第 7 冊。臺南：南一出版社。

羅塞塔石碑，出自維基百科

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%85%E5%A1%9E%E5%A1%94%E7%

9F%B3%E7%A2%91

七、附錄

「羅塞塔石碑的秘密」學習單共4 頁（配合南一、康軒與翰林版國小數學四上第 7 冊第 1 單元一億以內的數）

HPM 通訊

小朋友 694223 最多的 英 國家公 人都免 年開放 它的館 們故宮 老 物，被 珍貴呢 112.3 是一塊 當時埃 破崙軍 國打敗

訊第二十卷第四

友，你去過 3 件呵！

的博物館是 英國倫敦的 公共博物館 免費參觀。

放，每天開 館藏數量是 宮館藏的 1 老師在 201

被人們層層 呢？原來就 公分、寬 塊製作於西 埃及法老王 軍隊，在一 敗了法國。

配合

四期第一四版

過臺北「國 那你知道 是誰呢？

的「大英博 館。從一開

。除了元旦 開放時間為 是世界第一 10 幾倍以

5 年暑假去 層包圍了一

就是「羅塞 寬 75.7 公分

西元前 19 王托勒密五 一個港灣城

。於是在

羅塞

合南一康軒

版

國立故宮博 道「694223

博物館」

（

開始到現在 旦和聖誕節 為上午 10 一，將近有 以上，每年

去了一趟 一圈又一圈 塞塔石碑

分、厚 28 6 年的花崗 五世的詔書 城市羅塞塔 1802 年，

塞塔石

軒翰林 105 四

博物院」嗎 3」這個數

圖 1）

，成立 在，它就 節休館，

0 點到下午 有 800 萬 年遊客人數 趟大英博物

圈。到底是

」

（圖 2）

。羅 8.4 公分 崗閃長岩 書。1799 塔發現。

羅塞塔石

石碑的

四上數學 一

嗎？數學課 數要怎麼讀

立於 1753 就讓所有的 博物館全 午 5 點半 萬件，是我

數超過 60 物館。其中

是什麼東 羅塞塔石

，重 762 公 岩石碑，上

年時，石 但是沒隔 石碑就被送

的秘密

一、一億以

課本上說故 讀嗎？還有

3 年，也是 的

全

。 我

0 萬人。

中有個寶 東西這麼

碑高 公斤。

上面刻了 石碑被入侵 隔多久，在

送到了大英

密

以內的數

故宮的館 有全世界

是世界上第

侵埃及的法 在 1801 年

英博物館

圖 2

館藏高達 界館藏量

第一個

法國拿 年時，英 館，成為

2 羅塞塔石碑 圖 1 大英

碑 博物館

它的鎮 為 的關鍵 被希臘 的文化 埃及人 直 的秘密 種語言 古埃及 臘文

（圖

所以後 利用石 容，終 今天才

象 表示意

圖

鎮館之寶至 為什麼羅塞 鍵！大約 5 臘和羅馬人 化、文字和 人講的是阿 直到後來，

密才被人解 言，分別是 及通俗文字

圖 3）

。因為古 後來有一位 石碑上的人 終於在 182

才能理解這 象形文字被 意義的字並

圖 5 橫寫時的

至今。

（資料

塞塔石碑這 5000 年前 人統治，後 和語言就慢

阿拉伯語

，因為羅塞 解開。羅塞 是：古埃及象

字（當時一 古希臘文 位很厲害的 人名和地名 22 年，成功 這些已經失 被破解後 並不多（例

閱讀順序

料來源：Briti

這麼重要呢 前，埃及人

後來又被阿 慢慢消失了

，信仰的是 塞塔石碑的 塞塔石碑由

象形文字 一般人使用 文是近代人

的法國語言 名等關鍵字

功破解了 失傳了 15

，大家才明 例如蛇並不

ish Museum）

呢？因為 人就發明了

阿拉伯人佔 了，再也沒

是伊斯蘭 的出現，

由上到下

（官方正式 用的文字 人可以閱讀

言學家商 字來比對 了象形文字

500 多年的 明白，原 不是蛇的意

為它正是破 了文字。一

佔領，國家 沒有人看得 蘭教） 。

象形文字 下共刻有三 式用語）、

） 、與古希 讀理解的，

商博良，就 對和分析石 字！所以我

的語言。

原來其中真 意思） ，而

HPM 通訊第

破解古埃及 一直到了 1 家就滅亡 得懂古埃

字 三

、 希

， 就

石碑上其他 我們

真正 而是

圖 6 直寫時 圖 4 圖片 圖 3

圖片

第二十卷第四

及象形文字 1500 年前 亡了。所以 埃及文了（

他兩種語言

時的閱讀順序 4 大部分的象 片來源：Fun w 刻有三種語言 片來源：維基

四期第一五版

字最大 前，因為 以古埃及 現在的

言的內

序

象形文字是注音 with Hieroglyp

言的羅塞塔石 象形文

通俗文

古希臘

基百科

版

音符號 phs

石碑復原圖 文字

文字

臘文

印度

1 10 10

HPM 通訊

大部分 文字

（

橫寫時 時就要 候，也

常有趣

 

度阿拉伯 數字

1 10 100 1000

10000 00000 000000

圖片來源

訊第二十卷第四

分為表示聲

圖 4）

。更特 時，可以由 要看動物的 也不用一個

趣呢？

（資

國語數

一 十 一百 一千

一萬 十萬 一百萬

源：Discoverin

四期第一六版

聲音的符號 特別的是 由左向右，

的頭朝向哪 個一個排好

料來源：Fun

數字 羅馬

百 千

萬 萬 萬

ng Egypt、南一

圖片 版

號（就像英 是，象形文

，也可以由 哪裡來判斷 好，而是可

n with Hierogly

各種記

馬數字

I X C M

一數學習作四

片來源 古代埃

英文 ABC 文字可以橫

由右向左 斷了

（圖 5

可以上下左

yphs、古代埃

記數方法

古

四上第 7 冊

埃及

和注音符 橫著寫，也

。所以到底

、6）

。甚至 左右疊在一

埃及）

法對照表

古埃及數字

牛

繩

蓮

手

蝌 或 張開

符號ㄅㄆㄇ 也可以直著

底要從哪裡 至同一組符

一起自由

字

筆 牛軛

繩圈

蓮花

手指

蝌蚪 或青蛙 開雙臂的

神

ㄇ），是屬 著寫。而直

裡開始看 符號在排列 由組合。是

積木

圖片來源

屬於拼音 直寫或 看呢？這

列的時 是不是非

錢

源 古代埃及

錢

右 館一整 數 有（

（ 個

國 印

填 大 萬、（

（ 4 個

（

右 把 看。

右圖是大 整年的參 數一數，

）個

）個

、（

國語讀作 印度阿拉伯

填填看：

大英博物館

（ ）個 個 、

右邊是 2 把埃及和英

大英博物 參觀人數 填一填

、 ）個

（ 伯數字記

館的館藏 個十萬、

6 個

2016 年四 英國的人

物

：

，

、

（ ） 個

記作（

藏有七百

（ ）個 ）。

、8 個 ）。

四個國家 人口數在

個

、（ ）

百六十萬九 個千、（

個 、3

家的大約 在定位板上

、（

個

）

九千零三 ）個一

個 合起

人口數 上記記

HPM 通訊第

）個

、（ ）

。

）。

三件，是 一合起來

起來是

：

第二十卷第四

、 個 。

是（ ） 來的，記

四期第一七版

（ ）

個百 記作

版

HPM 通訊

（

（ 在 23520 6513 萬

畫 右

（ 請

你 麼感想

訊第二十卷第四

）國 在□填入＞

0000

□

萬

□

畫畫看，

右下圖是老 請用古埃及

你喜歡古埃 想呢？

四期第一八版

國的人口

＞、＜或

□

^{2352 萬}

寫寫看 老師購買

）元 及數字畫

埃及數字

版

口比較多 ）。 或＝：

萬

：

買英國來

。 畫畫看。

字嗎？你

多。是（

九千一百

來回機票所

你覺得有什

）位數

百零六萬

所付的錢

什麼優點

數，讀作

萬八千

□

錢，總共

點？有什麼

作

□

⁹¹⁶⁸

共是

麼缺點？

80000

？有什

HPM 通訊第二十卷第四期第一九版

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《HPM 通訊》駐校連絡員 日本：陳昭蓉 (東京 Boston Consulting Group)

基隆市：許文璋（銘傳國中）

台北市：英家銘（台北醫學大學）楊淑芬（松山高中）杜雲華、陳彥宏、游經祥、蘇慧珍（成功高中）

蘇俊鴻（北一女中）陳啟文（中山女高）蘇惠玉（西松高中）蕭文俊（中崙高中）

郭慶章（建國中學）李秀卿（景美女中）王錫熙（三民國中）謝佩珍、葉和文（百齡高中）

彭良禎、鄭宜瑾（師大附中）郭守德（大安高工）張瑄芳（永春高中）張美玲（景興國中）

文宏元（金歐女中）林裕意（開平中學）林壽福、吳如皓 (興雅國中) 傅聖國（健康國小）

李素幸（雙園國中）程麗娟（民生國中）林美杏（中正國中）朱賡忠（建成國中）吳宛柔（東湖 國中） 王裕仁、蘇之凡（木柵高工）

新北市：顏志成（新莊高中） 陳鳳珠（中正國中）黃清揚（福和國中）董芳成（海山高中）孫梅茵

（海山高工）周宗奎（清水中學）莊嘉玲（林口高中）王鼎勳、吳建任（樹林中學）陳玉芬

（明德高中）羅春暉 (二重國小) 賴素貞（瑞芳高工）楊淑玲（義學國中）林建宏 （丹鳳國中）

莊耀仁（溪崑國中）、廖傑成（錦和高中）

宜蘭縣：陳敏皓（蘭陽女中）吳秉鴻（國華國中）林肯輝（羅東國中）林宜靜（羅東高中）

桃園市：許雪珍、葉吉海（陽明高中）王文珮（青溪國中） 陳威南（平鎮中學）

洪宜亭、郭志輝（內壢高中） 鐘啟哲（武漢國中）徐梅芳（新坡國中） 程和欽 (大園國際高中)、

鍾秀瓏（東安國中）陳春廷（楊光國民中小學）王瑜君（桃園國中）

新竹市：李俊坤（新竹高中）、洪正川（新竹高商）

新竹縣：陳夢綺、陳瑩琪、陳淑婷（竹北高中）

苗栗縣：廖淑芳 (照南國中)

台中市：阮錫琦（西苑高中）、林芳羽（大里高中）、洪秀敏（豐原高中）、李傑霖、賴信志、陳姿研（台中 女中）、莊佳維（成功國中）、李建勳（萬和國中）

彰化市：林典蔚（彰化高中）

南投縣：洪誌陽（普台高中）

嘉義市：謝三寶（嘉義高工）郭夢瑤（嘉義高中）

台南市：林倉億（台南一中）黃哲男、洪士薰、廖婉雅（台南女中）劉天祥、邱靜如（台南二中）張靖宜

（後甲國中）李奕瑩（建興國中）、李建宗（北門高工）林旻志（歸仁國中）、劉雅茵（台南科學園 區實驗中學）

高雄市：廖惠儀（大仁國中）歐士福（前金國中）林義強（高雄女中）

屏東縣：陳冠良（枋寮高中）楊瓊茹（屏東高中）黃俊才（中正國中）

澎湖縣：何嘉祥 林玉芬（馬公高中）

金門：楊玉星（金城中學）張復凱（金門高中） 馬祖：王連發（馬祖高中）