1 餘式定理

(1)

B1-3-2 餘式定理與因式定理

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本章提要

本節介紹與多項式除法的相關應用的餘式定理、因式定理與整係數一次因式檢查法。

餘式定理

f x 被 x Cb 除所得之餘式為f Kb

•

f x 被 ax Cb 除所得之餘式為f Kb

• a

因式定理 x Cb f x 0 f Kb = 0

•

ax Cb f x 0 f Kb a = 0

•

整係數一次因式檢查法

px Cq a_nxⁿC...Ca₀0 p a_n q a₀

•

1 餘式定理

•

2 因式定理

•

3 整係數一次因式檢查法

•

(2)

1 餘式定理

重點

除法原理 A

被除式= B

除式$ Q

商式C R

• 餘式

餘式定理 • f x 被 x Cb 除所得之餘式為f Kb f x 被 ax Cb 除所得之餘式為f Kb

• a

(3)

例題1A 餘式定理應用：求餘式(一般情形)

老師講解學生練習

試求x³C2x²C5xK3除以x C2所得餘式 試求x³K2x²K2x C5除以xK3所得餘式

[簡答] : 8

例題1B 餘式定理應用：求餘式(係數大時)

試求123x⁴K389x³C68x²K32xK19除以 xK3所得餘式

例題1C 餘式定理應用：求餘式(次數高,缺項多時)

試求3x¹⁰K7x⁵C6x²K3除以x C1所得餘式 試求x⁹⁵K5x⁹C8除以x C1所得餘式

[簡答] : 12

(4)

例題2A 餘式定理應用：求函數值(一般情形)

已知函數f x = x³C2x²C5xK3, 試求 f K2 =?

已知函數f x = x³K2x²K2x C5, 試求f 3 =?

[簡答] : 8

例題2B 餘式定理應用：求函數值(係數大或次數高)

已知函數f x = 123x⁴K389 x³C68x²K32xK19, 試求f 3 =?

試求3x⁵K22x⁴K12x³K33x²C10 x C5, 試 求f 8 =?

[簡答] : 21

例題2C 餘式定理應用：求函數值(次數高,缺項多時)

已知函數f x = 3x¹⁰K7x⁵C6x²K3,試求 f K1 =?

已知函數f x = x⁹⁵K5x⁹C8,試求f K1 =?

[簡答] : 12

(5)

計算

12⁵K7 # 12⁴K58 # 12³C16 # 12²K465

# 12 C100 的值.

例題4A 餘式定理應用

已知多項式f x 除以xK1, 得餘式6; 除以 xK2,得餘式4,求f x 除以 xK1 xK2 之餘 式

已知多項式f x 除以xK3, 得餘式16; 除以 x C4,得餘式K19,求f x 除以 xK3 x

C4 之餘式

[簡答] : 5x C1

例題4B 餘式定理應用

已知a, b為常數,設多項式

f x = x³C3ax²CbxK2可被xK1整除,且 以xK2除f x 得餘式為2,求a, b之值.

(6)

例題5A 餘式定理應用

已知多項式f x 分別以xK1, xK2, xK3除之 ,餘式依次為5, 10, 17,求f x 除以

xK1 xK2 xK3 之餘式

例題5B 餘式定理應用

設三次多項式f x , 以x²Cx C2除之得 餘式x C2,以x²CxK2除之得餘式5xK2, 求 f x

例題5C 餘式定理應用...

若以x²K4xK5除多項式f x 得餘式3xK2, 以xK2除多項式f x 得餘式4,則以 x²KxK2除f x 所得的餘式為何?

(7)

已知x²CxK6除多項式f x 與g x 的餘式 分別為3x C2與xK5,則

(1)求3f x C2g x 除以xK2的餘式 (2)求f x $g x 除以x C3 的餘式

例題7 餘式定理應用

下式是小明利用綜合除法計算三次多項 式f x 除以x K1的算式, 因不小心將飲料 翻倒在計算紙上, 所以只能辨識部分數字 (無法辨識的數字以英文字母代替)

若小明沒有計算錯誤, 求a Cb Cc Cd的 值

(8)

2 因式定理

重點

因式定理 • x Cb f x 0 f Kb = 0 ax Cb f x 0 f Kb

a = 0

•

(9)

例題8 因式定理應用

若4x³K13x Ck可被 2x C1 整除,求k之值 .

若x³CaxK9 可被 xK3 整除,求a之值.

[簡答] : K6

例題9A 因式定理應用

已知三次多項式f x 滿足

f 1 = f 2 = 0與f 3 = 16, f 4 = 66, 求f x =?

f K1 = f K2 = 0與f 1 = 6, f 2 = 48, 求f x =?

[簡答] : 3x³C7x²K4

例題9B 因式定理應用

f 0 = f 1 = f 2 = 0與f 3 = 24,求f x

=?

f K1 = f K2 = f K3 = 5與f K4 =K7, 求f x =?

[簡答] : 2x³C12x²C22x C17

(10)

3 整係數一次因式檢查法

重點

整係數一次因

式檢查法 px Cq a_nxⁿC...Ca₀0 p a_n q a₀

•

(11)

例題10 整係數一次因式檢查法

求多項式2x³K3x²K8xK3的整係數一次因 式

求多項式2x⁴Kx³K2x C1的整係數一次因式

[簡答] : xK1, 2xK1

例題11 整係數一次因式檢查法

設a為正整數,且多項式x³Kax²CxK2有整 係數一次因式,求a之值.