(1)1.3 正弦定理與餘弦定理 二年____班 座號

1.3 正弦定理與餘弦定理 二年____班 座號：____ 姓名：

重點 1：三角形面積公式

1.公式 1：三角形(銳角、直角、鈍角)面積＝

2

1(底×高) 2.公式 2：(兩邊夾一角)

設△ABC 中，三內角∠A，∠B 和∠C 的對邊長分別為 a，b 與 c，如右圖 則 △ABC 面積＝

2

1ab sin C＝

2

1bc sin A＝

2

1ca sinB

說明：如右圖，C(b cos A，b sin A)

⇒△ABC 面積＝

2

1 AB×

CD

1×c ×b sin A＝

2

1b c sin A

同理△ABC 面積＝

2

1ca sin B＝

2

1ab sin C

例 1.1：在△ABC 中，若 AB ＝4，

AC

重點 2：內角分角線(內角平分線)定理

1.定理：設 AD 為△ABC 中∠A 的內角平分線交底邊

BC

BD ：

CD

AC

CD

(2) △ABC 面積＝△ABD 面積＋△ADC 面積

例 2.1：在△ABC 中，已知 b＝4，c＝5，∠A 的內角平分線交BC於 D，則：

(1)求面積比∆ABD：∆ACD (2)已知∠BAC＝120°，求AD長

A B

C b a

c

A

B D C

× ×

A

B D C

× × 4 5

A

C B

b c

a h 背

背

重點 3：正弦定理 (角多，ASA、AAS、AAA)

1.定理：若 a，b 和 c 分別表示△ABC 三內角∠A，∠B 和∠C 的對邊長，又△ABC 的外接圓半徑為 R，

則 A a sin ＝

B b sin ＝

C c

sin ＝2R，稱為正弦定理正弦定理正弦定理正弦定理 說明：由三角形面積公式：面積

2

1ab sin C＝

2

1bc sin A＝

2

1ca sinB

同除以2

1abc 可得 A a sin ＝

B b sin ＝

C c sin 2.性質：

(1) A a sin ＝

B b sin ＝

C c

sin ＝2R＝

∆ 2

c b

a ，∆表示∆ABC 的面積，R 表示∆ABC 的外接圓半徑

(2) a：b：c＝sinA：sinB：sinC

(3)設h ，_a h ，_b h 分別表示∆ABC 三邊 a，b，c 的高，則 a：b：c＝_c

1 h

1 h

1

h

b 1：

c 1

例 3.1：在△ABC 中，已知∠A：∠B：∠C = 1：4：1，求 a：b：c。

※ASA

例 3.2：在△ABC 中，若∠B＝60°，∠C＝75°，且

BC

(1)

AC

※SSA 相似

例 3.3：在△ABC 中，已知∠A＝45°，且 AB ＝3，

BC

例 3.4：設h ，_a h ，_b h 分別表示∆ABC 三邊 a，b，c 的高，且_c h ：_a h ：_b h ＝1：2：3，試求 sinA：sinB：sinC。 _c B

A b C

c a

A

B

45° C 60°

75°

6 背

背

例 3.5：如右圖所示，ABCD 為圓內接四邊形，若∠DBC＝30°，∠ABD＝45°，且─

CD＝6，求─

AD的長度。

重點 4：餘弦定理 (邊多，SSS、SAS)

1.定理：若 a，b 和 c 分別表△ABC 三內角∠A，∠B 和∠C 的對邊長，如右圖

則

C ab b

a c

B ca a c b

A bc c b a

cos 2

cos 2

cos 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

− +

=

− +

=

− +

=

，或

ab c b C a

ac b c B a

bc a c A b

cos 2 cos 2 cos 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

−

= +

−

= +

−

= +

，統稱為餘餘餘餘弦定理弦定理弦定理弦定理

說明：1.△ABC 中，sin A＝

b

CD，cos A＝

b

AD，∴

CD

⇒BD ＝c－ AD ＝c－b cos A

直角三角形 BCD 中，a ＝² CD ＋² BD ＝b^{2 2} sin² A＋(c－b cos A)²

＝b² sin² A＋c²－2bc cos A＋b² cos² A

＝b²(sin² A＋cos² A)＋c²－2bc cos A＝b²＋c²－2bc cos A 2.同理 b²＝c²＋a²－2ca cos B 及 c²＝a²＋b²－2ab cos C

2.性質：餘弦定理為畢氏定理的推廣(或 畢氏定理為餘弦定理的特例) 當∠A 是銳角銳角銳角時，則 cos A＞0，得知銳角 a ＜² b ＋² c²

當∠A 是直直直角直角角角時，則 cos A＝0，得知a ＝² b ＋² c² 當∠A 是鈍鈍鈍角鈍角角角時，則 cos A＜0，得知a ＞² b ＋² c²

※SAS

例 4.1：在△ABC 中，已知 AB ＝5，

AC

BC

※SSS

例 4.2 在△ABC 中，已知 AB ＝3，

BC

AC

A B

C b a

c 背

背

例 4.3：如圖所示，在△ABC 中， AB ＝8，

BC

AC

BC

CD

例 4.4：設 ABCD 為圓內接四邊形，已知 AB ＝4，

BC

CD

重點 5：平行四邊形定理與三角形中線定理

1.平行四邊形定理：平行四邊形 ABCD 中，四邊長的平方和＝對角線長的平方和 即 AB ＋² BC ＋² CD ＋² AD ＝² AC ＋² BD ²

2.三角形中線定理：(平行四邊形定理的特例) 在△ABC 中，若 BM 為底邊

AC

例 5.1：在△ABC 中，AM為BC邊上的中線，且已知 AB ＝5，

AC

BC

重點 6：海龍公式 (Heron

′

海龍公式：設 a，b 和 c 分別表△ABC 三內角∠A，∠B 和∠C 的對邊長，且 s＝

2

1(a＋b＋c)為周長的一半 則△ABC 的面積＝

s ( s − a )( s − b )( s − c )

說明：

2

1bc sin A＝

2

1bc

1 − cos

A

1bc ²

2 2 2

2 ) (

1 bc

a c b + −

− ＝

[( 2 ) ( ) ]

16

1

a c b

bc − + −

＝

( )( )( )( )

16

1 b + c + a b + c − a a + b − c a − b + c

)

)( 2 )( 2

)( 2

( 2 a b c c

c c b a a c b a c b

a + + + + − + + − + + +

＝

s ( s − a )( s − b )( s − c )

A

B C

D M

A

B

M C // //

A B

C

D 4 4 5 4

背

背

背

例 6.1：在△ABC 中，已知 AB ＝5，

BC

AC

重點 7：正弦、餘弦函數的應用

1.利用正弦、餘弦運算公式，求解問題 2.面積、內切、外切圓半徑關係：

(1)外接圓半徑 R＝

∆ 4

c b

a (或 abc＝4∆R，或∆＝

R c b a

4 ) (2)內切圓半徑 r＝

s

∆ (或 ∆＝r s)

(3) ∆＝r s＝

R c b a

4

例 7.1：某校欲在校園內與 A、B、C 三地都等距離的地方設置無線網路基地台，已知三地間的距離 AB ＝70 公尺，

AC

BC

例 7.2：∆ABC 的三邊長是￣AB＝5，￣AC＝9，￣BC ＝12，求∆ABC 的面積與內切圓半徑。