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II. 分 數 的 概 念 及 重 點 分 析
(i) 引 言
雖 然 分 數 的 基 本 概 念，例 如 蘋 果 的 一 半、蛋 糕 的 一 半 等，低 年 級 學 生 都 能 理 解 ， 但 當 分 數 的 概 念 涉 及 不 同 整 體 的 部 分 及 一 組 物 件 的 部 分 時 ， 學 生 便 不 易 掌 握 。 在 學 習 分 數 之 前 ， 學 生 是 學 習 整 數 的 ， 而 整 數 與 分 數 無 論 在 概 念 及 運 算 上 均 截 然 不 同 ， 這 更 令 學 生 容 易 混 淆 。 同 時 ， 分 數 對 其 後 其 他 課 題 的 學 習 ， 例 如 百 分 數 、 小 數 等 ， 有 極 其 密 切 的 關 連 ， 若 學 生 未 能 對 分 數 的 學 習 奠 下 良 好 的 基 礎 ， 肯 定 會 影 響 他 們 對 這 些 課 題 的 學 習 及 其 知 識 的 掌 握 。
(ii) 分 數 的 意 義
分 數 有 多 種 不 同 的 意 義。在 小 學，分 數 通 常 解 釋 為 整 體 與 部 分 或 兩 個 整 數 的 商 。 下 列 為 分 數 的 一 些 解 釋 及 記 法 ：
(a) 整 體 與 部 分
這 包 括 以 下 的 兩 個 概 念 ： (1)
整 體 與 其 部 分 的 關 係
例 ：
• 若 代 表 一 整 體 ， 下 圖 陰 影 部 分 表 示 這 整 體 的 4
3：
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• 若 代 表 一 整 體 ， 下 圖 陰 影 部 分 表 示 這 整 體 的 4
1 ： 3
(2)
一 組 物 件 的 部 分
例 ： 下 圖 陰 影 部 分 表 示 12 粒 珠 的 4 3：
(b) 兩 個 整 數 的 商 分 數 符 號
b
a(b≠ 0)可 解 釋 為 a÷b， 即 兩 個 整 數 相 除 之 商 。
例 ： 3
6與 2 相 等 及 5
2與 0.4 相 等 。
(iii) 學 生 學 習 分 數 時 所 面 對 的 困 難
毫 無 疑 問 ， 分 數 是 小 學 階 段 較 難 處 理 的 課 題 之 一 。 原 因 可 歸 納 如 下 ：
(a) 學 生 未 能 掌 握 分 數 不 同 的 解 釋 及 記 法
對 小 學 生 而 言 ， 分 數 是 繁 複 及 難 於 理 解 的 。 他 們 通 常 被 分 數 不 同 的 解 釋 及 記 法 所 混 淆，例 如：
2
1 可 理 解 為 整 體 的 一 部 分，或 當 1÷2 時 的 商 是 0.5 等 。
同 時 ， 2
1可 寫 成 6 3，
8 4，
10
5 … … 等 。
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7 (b) 學 生 未 能 清 晰 理 解 整 體 與 部 分 的 關 係
很 多 學 生 未 能 掌 握 等 分 的 概 念 ， 例 如 ： 當 要 求 學 生 將 下 圖 分 半 時 ， 他 們 會 作 下 列 的 分 法 ：
同 時 ， 學 生 亦 未 能 清 晰 理 解 整 體 與 部 分 的 關 係 。 例 如 ：
(1) 若 將 當 一 整 體，則 下 圖 陰 影 的 部 分 應 是 這 整 體 的
4
7而 不 是 8 7，
但 若 將 當 一 整 體 ， 則 陰 影 的 部 分 應
是 這 整 體 的 8 7。
(2) 若 將 下 圖 當 一 整 體 ， 則 陰 影 的 部 分 應 是 這 整 體 的 10
3 而 不 是 7 3。
(iv) 介 紹 分 數 概 念 常 用 的 方 法
概 念 的 引 入 是 分 數 學 與 教 重 要 的 一 步 ， 這 一 步 做 得 不 好 會 影 響 到 學 生 對 分 數 概 念 的 理 解 、 認 識 和 掌 握 。 由 於 分 數 的 概 念 十 分 繁 複 及 抽 象 ， 教 師 應 認 真 研 究 各 種 分 數 概 念 的 引 入 方 法 ， 以 便 學 生 對 分 數 獲 得 充 分 的 理 解 和 認 識 。 下 面 介 紹 幾 種 常 用 的 引 入 分 數 概 念 的 方 法 。
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8 (a) 實 物 教 具
當 向 學 生 初 次 引 入 分 數 的 概 念 時 ， 應 用 具 體 的 實 物 ， 例 如 數 粒 、 積 木 等 ， 藉 以 幫 助 學 生 理 解 整 體 與 部 分 的 概 念 。
例 ：
(1) 如 下 圖 所 示 ， 有 4
3的 積 木 是 黑 色 的 ：
(2) 紙 條 的 4
3填 上 顏 色 ：
當 用 實 物 教 具 引 入 分 數 的 概 念 時 ， 應 多 讓 學 生 操 作 。 同 時 ， 所 選 的 教 具 應 能 揭 示 所 要 引 進 的 概 念 的 本 質 特 性 ， 否 則 學 生 的 注 意 力 會 被 分 散 ， 從 而 影 響 施 教 的 效 果 。
(b) 摺 紙
通 過 將 紙 對 摺 ， 學 生 得 到 2
1的 概 念 。 進 一 步 將 紙 對 摺 三 次 ， 學 生 可 將 整 體
分 為 8 等 份 ：
摺 紙 是 很 有 趣 的 教 學 活 動 ， 可 加 深 學 生 理 解 整 體 與 部 分 的 關 係 。 但 教 師 需 留 意 其 缺 點 是 較 難 將 紙 摺 成 單 數 的 等 份 ， 例 如 3 等 份 、 5 等 份 等 。
(c) 圖 形
利 用 圖 形 表 示 分 數 是 小 學 常 用 的 方 法 。 圖 形 是 將 抽 象 的 分 數 概 念 具 體 化 的 一 種 有 效 的 教 具 。 通 過 觀 察 圖 形 ， 學 生 可 進 行 思 考 、 分 析 、 比 較 ， 累 積 經 驗 ， 從 而 能 將 抽 象 的 分 數 概 念 逐 步 形 成 。 有 些 圖 形 是 不 易 用 來 介 紹 分 數 的
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概 念 ， 例 如 圓 形 。 學 生 往 往 不 能 掌 握 對 圓 形 分 為 一 半 的 意 義 （ 如 圖 一 ） ， 為 加 強 他 們 對 概 念 的 理 解 ， 教 師 可 將 圓 形 紙 對 摺 ， 在 學 生 面 前 展 示 如 何 將 圓 形 紙 分 為 若 干 等 份 （ 如 圖 二 ） 。
（ 圖 一 ） （ 圖 二 ）
(v) 教 學 建 議
為 了 幫 助 學 生 理 解 分 數 ， 教 師 在 教 學 時 宜 採 用 不 同 的 方 式 ， 務 求 能 提 供 足 夠 機 會 讓 學 生 學 習 分 數 的 內 容 ， 兼 且 能 實 踐 學 習 及 運 用 知 識 的 方 法 。 教 師 應 讓 學 生 有 較 多 機 會 學 習 如 何 觀 察、分 析、理 解 分 數 的 概 念，發 展 他 們 初 步 的 思 維 能 力 ， 為 日 後 學 習 其 他 課 題 ， 例 如 百 分 數 、 小 數 等 奠 定 基 礎 。 總 而 言 之 ， 教 師 應 避 免 作 注 入 式 的 講 述，盡 量 讓 學 生 有 機 會 自 己 進 行 探 索 及 發 現。對 於 分 數 的 學 與 教 ， 有 下 列 的 建 議 策 略 ：
(a) 將 思 維 過 程 用 數 學 語 言 表 達 出 來
在 講 解 分 數 的 過 程 中 ， 教 師 應 提 供 機 會 讓 學 生 運 用 數 學 語 言 ， 包 括 以 說 、 寫 和 圖 表 方 式 去 解 釋 結 果 、 簡 述 解 決 或 探 究 問 題 的 方 法 。 在 引 入 分 數 的 概 念 時，教 師 可 讓 學 生 將 思 維 過 程 用 分 數 語 言 表 達 出 來。例：教 師 對 學 生 說 ， 將 一 個 蛋 糕 切 為 四 等 份 ， 叫 他 取 去 一 份 並 問 他 取 去 整 個 蛋 糕 的 多 少 ？ 若 他 答 ： 「 一 份 」 ， 則 教 師 可 告 訴 他 ： 「 整 個 蛋 糕 分 為 四 等 份 ， 取 去 一 份 ， 即 佔 全 體 多 少 ？ 」 這 樣 ， 學 生 覺 察 到 相 對 整 個 蛋 糕 而 言 應 是 四 等 份 中 的 一 份 。 這 時 ， 教 師 可 教 導 學 生 用 分 數 的 語 言 「 四 分 之 一 」 讀 出 來 。 用 同 一 方 式 ， 教 師 可 引 導 學 生 了 解 剩 餘 的 蛋 糕 佔 整 體 的 多 少 ， 並 用 分 數 的 語 言 讀 出
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來 。 在 整 個 教 學 過 程 中 ， 教 師 讓 學 生 用 分 數 的 語 言 將 思 考 過 程 表 達 出 來 ， 這 樣，學 生 透 過 運 用 數 學 語 言，了 解 和 思 考 某 些 經 驗，將 知 識 組 織 和 重 組 ， 從 而 歸 納 出 一 些 模 式 和 意 念 ， 同 時 亦 糾 正 對 分 數 的 一 些 誤 解 。
(b) 利 用 各 種 圖 形 增 强 學 生 對 整 體 與 部 分 關 係 的 理 解
由 於 學 生 的 學 習 經 歷 有 限 ， 在 設 計 分 數 的 教 學 材 料 時 ， 教 師 應 以 學 生 為 中 心 ， 所 用 的 教 材 宜 將 學 生 的 已 有 知 識 及 經 驗 聯 繫 起 來 ， 使 學 生 能 易 於 掌 握 分 數 的 概 念 及 運 算 的 法 則 ， 並 幫 助 他 們 從 具 體 事 例 逐 步 過 渡 至 抽 象 思 維 的 階 段 。 為 加 強 學 生 對 整 體 與 部 分 關 係 的 理 解 ， 教 師 可 設 計 適 當 的 圖 形 引 導 學 生 並 應 讓 學 生 理 解 等 分 的 重 要 性 。 為 引 起 學 生 的 學 習 分 數 的 興 趣 ， 教 師 可 用 不 同 種 類 的 圖 形 ， 如 ：
學 生 對 掌 握 整 體 與 部 分 的 關 係 往 往 感 到 十 分 困 難，教 師 可 透 過 不 同 類 型 的 活 動 ， 由 淺 入 深 ， 讓 學 生 理 解 整 體 與 部 分 、 部 分 與 整 體 的 關 係 。 下 面 為 一 些 建 議 的 例 子 ：
y 若 為 一 整 體 ， 試 用 分 數 表 示 以 下 圖 形 中 陰 影 的 部 分 。
y 若 為 一 整 體 ， 試 用 分 數 表 示 以 下 圖 形 中 陰 影 的 部 分 。
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y 若 為 一 整 體 ， 試 用 分 數 表 示 以 下 圖 形 中 陰 影 的 部 分 。
y
y
4 1
5 3
左 圖 陰 影 部 分 佔 整 體 的 幾 分 之 幾 ？
圖 中 的 黑 點 佔 整 體 的 幾 分 之 幾 ？ 白 點 佔 整 體 的 幾 分 之 幾 ？
3 2 y
y
y
左 圖 只 畫 出 了 整 個 圖 形 的 4
1，把 餘 下 的 圖 形 畫 上 。
左 圖 只 畫 出 了 整 個 圖 形 的 5
3，把 餘 下 的 圖 形 畫 上 。
如 左 圖 為 一 整 體 ， 塗 出 陰 影 部 分 以 表 示
3 2。
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y 依 所 給 分 數 把 圖 形 適 當 的 部 分 填 上 顏 色 ：
y y
y
圖 中 蘋 果 的 數 目 佔 整 袋 蘋 果 數 目 的 3
2， 試 畫 出 袋 內 其 餘 的 蘋 果 。
1. 圖 中 A、B 和 C 作 為 一 個 整 體 時：
(a) A 佔 整 體 的 幾 分 之 幾 ？ (b) B 佔 整 體 的 幾 分 之 幾 ？ (c) C 佔 整 體 的 幾 分 之 幾 ？ 2. 圖 中 若 以 不 同 部 分 作 為 整 體 時：
(a) A 佔 B 的 幾 分 之 幾 ？ (b) A 佔 C 的 幾 分 之 幾 ？ (c) B 佔 C 的 幾 分 之 幾 ？
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(c) 增 強 學 生 對 擴 分 、 約 分 概 念 的 理 解 和 認 識 學 生 對 擴 分 、 約 分 ， 例 如 ：
2 1＝
4 2＝
8 4；
6 4＝
3 2及
20 8 ＝
10 4 ＝
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2等 的 學 習 通 常 都 感 到 困 難 ， 教 師 可 嘗 試 用 下 列 的 方 法 引 導 學 生 對 擴 分 、 約 分 的 理 解 和 認 識 ：
(1) 利 用 圖 表 ：
教 師 可 利 用 以 下 圖 表 與 學 生 討 論 擴 分 與 約 分 的 關 係 。
(2) 將 圖 形 靈 活 地 重 組：
以 分 數 表 示 著 色 部 分 佔 整 體 的 幾 分 之 幾 。
6 4＝
3 2
