第二章 實驗原理與裝置

第二章 實驗原理與裝置

2-1 電子躍遷理論

考慮單一電子在電磁場中，其動能為 )2

2 (

1

A

c p e m

_e

v + v

(2.1) 其中

m

e為電子質量，

pv

為電子動量，e 為電子電荷，c 為光速，

A v

為電 磁場的向量位(vector potential)，假設其為一平面波形式

)]

( ˆ exp[

0

e i k r t

A

A

v= ⋅ ⋅ v⋅v−

ω

(2.2) 則電子和電磁場交互作用下的哈密爾頓(Hamiltonian)為

( ) r V c A

p e H m

e

e = (v + v)² + v

2 1

2 2 2 2

) 2 2 (

)) 2 (

( A

c m p e

A A c p

m r e

m V p

e e

e

v v v v v

v v

+

⋅ +

⋅ +

+

=

(2.3)

使用庫倫規範(Coulomb gauge)，使∇⋅

A v

=0，則

p A

ϕ

i A v

ϕ

v h

v ⋅ ) ⇒ − ∇ ⋅ (

ϕ

ϕ ϕ

) (

] )

( [

∇

⋅

−

=

∇

⋅ +

⋅

∇

−

=

A i

A A

i h v

v h v

ϕ ) ( A v p v

⋅

⇒

因此(2.3)式中第二項可化為

) ( )

2 (

A p

c m p e A A c p

m e

e e

v v v v

v⋅ v+ ⋅ = ⋅

(2.4)

且因第三項(即

A v

²

項)所造成的非線性影響極小，可以忽略不計，因此 電子和電磁場交互作用的Hamiltonian 可簡化為

H

_e

= H

₀

+ H

_rad

(2.5) 其中

( ) ) 2

(

2

0

V r

m r p

H

e

v v

v = +

，

( )

, (

A p

)

c

m t e r H

e

rad v

=

v

⋅

v

H

rad乃因電磁場所引起與時間變數有關的微擾項，此項將導致電子由價 帶(valence band)躍遷至導帶(conduction band)。亦即當我們對樣品中的

電子加一電磁場微擾時，將導致電子的躍遷。而不同的能帶結構位置，

躍遷率(transition rate)也不相同。

根據Fermi-Golden Rule^[1]，在單位時間內電子由初狀態

i

到末狀態

f

的躍遷率為

)

2 π

²

δ ( ω

h − ± h

→f

=

rad i f

i

f H i E E

P

(2.6)

E

i表初狀態的能量，

E

_f 表末狀態的能量，而

_h ω

為光子的能量，其

_h ω

前 為「＋」表示吸收一光子；為「－」表示放出一光子。

定義電子在導帶與價帶的波向量分別為

k

^v_c與

k

^v_v，且電子在導帶與價 帶的波函數分別為

kc cv

ψ

, 與

kv vv

ψ

, ，則

kv c c

k c e

rad

A p

c m i e H

f = ψ

_,^{v v}

⋅

^v

ψ

_,^v (2.7) 將(2.2)式與(2.7)式代入(2.6)式中，則得光子所引發電子從價帶到導帶間 的單位時間躍遷機率為

) ) ( )

( ( 2 ˆ ,

) ( , ) 2

2 (

₀

ω δ

ψ π ψ

v h v v

v v v

h v ⋅ ⋅ − −

→ = E c k E v k

k v p v r e k e i k c c c

e c

P v

m

e

A

(2.8)

當(2.8)式符合能量守恆與動量守恆原理時，其躍遷機率才不為零，

而由式中δ-function 可知，只有當

E c ( k ^v ) − E v ( k ^v ) = _h ω

時，才不會使躍遷 機率為零，表示當入射光子的能量恰好等於導帶空態

E

_c(

k

^v)與價帶佔據 態

E

_v(

k

^v)之間的能量差時，吸收躍遷機率才不為零。即δ-function 代表 能量守恆的要求。

另外由

2 ˆ ,

) (

, i k r e p v k v c e

k

c v v v v

v ψ

ψ ⋅ ⋅

項得知，

k

^v_c、

k

^v_v與光子波向量

k

^v應 滿足動量守恆定律，即

k

^v_c

= k

^v_v

+ k

^v ，否則

k v p v r e k e i k c

c v v v v

v ( ) ˆ ,

, ψ

ψ ⋅ ⋅

此項 將為零，則將不會有躍遷發生。

光子與電子的波向量

k

^v、

k

^v_v的絕對值分別為

λ

π k 2

k

^v

= =

(2.9)

a k 2

k

_{v v}

π

=

v

=

(2.10) 對一般能量的光子而言，其波長λ 約為 10⁴Å，而晶格常數 a 約為 5Å 附近，所以

k 〈〈 k

_v，因此

v

c

k

k ≈

(2.11) 可視為電子吸收光子而發生躍遷時，保持波向量不變，稱此種躍遷為垂 直躍遷(vertical transition)，如圖一所示。

若定義

M

_cv

(k v )

為

) , ( ) )(

, ( ˆ

ˆ )

(

ˆ M k

_,

e

^{( )}

e p

_,

e d r

^*

k r i k r

e

_{v v}

V c c

v k v r

k i c k

cv c

v v

v h v v

v v

v v v

v ψ ψ ψ

ψ

⋅ = ⋅

∫

− ∇

=

⋅

^⋅ (2.12)

其中 V 代表晶胞體積(crystal volume)，則(2.8)式可寫為 ) )

( ) ( ( ) ˆ (

)

2

π

( _{0 2} ²

δ ω

v h

v v

h

⋅ − −

→

= e M k E k E k

c m

P eA

_{cv c v}

e c

v (2.13)

依據躍遷率

P

_v→c，可計算出當入射光子頻率為

ω

時，單位時間單位 體積內的總躍遷率

P

~(

ω

)為

) ) ( ) ( ( ) ( ) ˆ

2 ( ) 2 2 (

) 2 2 ( ) 1

~ (

2

, 3

0 2

, 3

ω π δ

π ω π

v h v

v v

h

v

−

−

⋅

=

×

=

∑ ∫

∑ ∫

_→

k E k E k M e k c d

m eA

P k V d P V

v c

v cv e c

c v v

c

(2.14)

圖一 半導體中電子在能帶間垂直躍遷示意圖 光子

導帶

重電洞價帶 電子

輕電洞價帶 價帶 電洞

2-2 光學函數與電子躍遷的關係

物質的介電函數(complex dielectric function)以複數形式表示為

)

( )

( ω ε ω ε

ε =

_r

+ i

_i

(2.15)

其中

ε

_r

( ω )

與

ε

_i

( ω )

分別為介電函數的實部與虛部。若所研究的半導體為 無向性

(isotropic)

、均勻的

(homogeneous)

，且在線性響應範圍內，則宏 觀的光學性質可用一般介質的折射率

n(refractive index)

與消光係數

κ (extinction coefficient)

來概括，即物質的折射率

(complex refractive

index)

可以複數形式表示為

) ( ) ( )

( ω n ω i κ ω

N = + (2.16)

對消光係數不為零的物質，其電磁波的振幅將隨傳播距離增加而呈指數 衰減的形式。

而介電函數與折射率有以下關係

N

2

ε

=

(2.17)

計算可得

2

2

κ

ε

_r = n −

(2.18) κ

ε

_i

= 2 n (2.19) n

i

2 κ

=

ε

⇒

(2.20)

根據光吸收係數α

(absorption coefficient)

的定義與上述光學常數間的關 係，可將吸收係數表示為

nc c

ωε

i

α

=

2 κω

=

(2.21)

亦即

ω

ε

_i =

ⁿ α ^c

(2.22)

對一般介質中電磁場的平均能量密度 u 為

2 2 2 0 2

2 2 2 0 2 2 0

8 8

1 8

8

c A n c A t

A c E u

π ω π

ω ε π

ε π ε

=

∂ =

− ∂

=

=

v v

(2.23)

依光吸收係數

α ( ω )

的定義為單位時間、單位體積的晶體所吸收的能量除 以能量通量

(energy flux)

，亦即

uc P n u

P

~( ) ~( ) )

(

ω ω

ν ω ω ω

α

=^h = ^h

(2.24) 將(2.14)式代入上式得

) )

( )

( ( ) ˆ (

) 2 (

2 16

) )

( )

( ( ) ˆ (

) 2 ( ) 2 2 (

) ( ) (

2

, 3

2 2 2

2

, 3

0 2

ω π δ

ω π

ω π δ

π ω ω

α

v h v

v v

v h v

v v

h h

−

−

⋅

=

−

−

⋅

=

∑ ∫

∑ ∫

k E k E k

M e k c d

nm e

k E k E k

M e k c d

m eA uc

n

v c

v cv e c

v c

v cv e c

(2.25) 結合(2.22)式，則介電常數虛部

ε

_i可寫成

) )

( )

( ( ) ( ) ˆ

2 (

2

16

²

, 3

2 2

2

2

δ ω

π ω

ε = π ∑ ∫ d k ^v e ⋅ M k ^v E k ^v − E k ^v − _h m

e

v c

v cv

i c

(2.26)

由於

e ˆ M

_vc

( k v )

⋅

是

k v

的漸變函數，在積分範圍中變化微小，可將

e ˆ M

_vc

( k v )

⋅

視為常數提到積分外，因此

ε

_i可寫為

) )

( ) ( ) (

2 ( ) 2 ( 16 ˆ

, 3

2 2

2 2

2

δ ω

π ω

ε = π ∑ e ⋅ M k ^v ∫ d k ^v E k ^v − E k ^v − _h m

e

v v c

c cv

i

(2.27)

令上式對

k v

空間的積分部分為

) )

( ) ( ) (

2 ( ) 2

(

₃

δ ω

ω = ∫ π ^{d k v E k v} − ^{E k v} − _h

J

_{cv c v}

(2.28)

其意義為對

k v

空間中所有滿足躍遷能量守恆定律的狀態累加，此與導帶 能態密度及價帶能態密度有關，稱其為結合能態密度

(Joint density of states)

，則

ε

_i可寫成

∑ ⋅

=

cv cv cv

i

e M k J

m e

,

2 2

2 2 2

) ( ) ˆ (

16 ω

ω

ε π ^v (2.29)

由上式可知，對

ε

_i的影響變因有兩個：一為

J

_cv

( ω )

，另一為

)

2

ˆ M ( k e

_cv

v

⋅

。我們將分別討論如下：

(

Ⅰ

) J

_cv

( ω )

由已知δ-function 的性質

1

0

0 0

) ( )]

( [ ) (

−

=

∫

⁼

∑

^∂_∂

x x x

b

a

x

x f g dx

x f x

g δ

(2.30a) 當 a＜x⁰＜b 時，

f ( x

₀

) = 0

，及

dE dE dS dk dSdk

k d k

d v =

³

=

_⊥

=

^⊥

(2.30b)

) ) (

(

E k dk

k dE

k

v v

∇

=

⇒

⊥

得

∑

=

− −

∇

= −

−

− n

Ev Ec v c

k

n v

c

E k E k

k k k

E k E

ω

ω δ δ

h

v v

v h v

)]

( ) ( [

) ) (

) ( ) (

(

(2.30c)

則式(2.28)之結合能態密度

J

_cv

( ω )

可寫為

∫

=

− −

= ∇

S k c v E E

cv

v c

k E k E J dS

π

ω

ω

h

v v) ( )]

( 4 [

) 1

( ₃ (2.31) 其中 S 表示在

k

v

空間中

E

_c(

k

^v)−

E

_v(

k

^v)=_h

ω

的曲面，dS、

dk 分別為其等

_⊥ 能量面上的面積元和垂直這一面積元的微分厚度。

由(2.31)式可知，當

0 )]

( ) (

[ − =

∇_k

E

_c

k

v

E

_v

k

v

(2.32) 會使

J

_cv

( ω )

發散，亦即使介電函數

ε

_i發散，這些點被稱為臨界點(Critical points)或稱為 Van-Hove singularities，為對

ε

_i值貢獻的主要來源，即形 成半導體光譜架構的來源。

對滿足∇_k[

E

_c(

k

v)−

E

_v(

k

v)]=0

可以有兩種可能性，即 ∇_k[

E

_c(

k

v)]=∇_k[

E

_v(

k

v)]=0

(2.33) 或 ∇_k[

E

_c(

k

v)]=∇_k[

E

_v(

k

v)]≠0

(2.34) 其中滿足(2.33)式的臨界點稱為第一類臨界點，一般為一些極值點，且 僅發生在布里淵區中的高對稱點位置﹙如Γ、Σ、X 等為針對面心立方 晶格的布里淵區而言﹚。而滿足(2.34)式的臨界點稱為第二類臨界點或稱 馬鞍點(Saddle point)，其可能發生在布里淵區中對稱性較低的位置﹙即 在非電子能帶對稱點上﹚。

在臨界點附近，

E

_c(

k

v)

E

_v(

k

v)

− 可用泰勒展開式來趨近，即

2 0 3

0 1

0( ) ( )

) ( )

( _{i i}

i i

v

c

k E k E k k k

E

v v v v v

− +

=

−

∑

=

α

(2.35) 其中

k v

₀為臨界點的波向量

0

2

2( )

k i k

v c

i

dk

E E d

v v=

= −

α

(2.36) 由於

α

_i的值有正負不同，組成四種型態（C⁴₃），因此可將臨界點分 成四類，並將隨之改變的

J

_cv

( ω )

(Joint density of states)計算出來，列於

表一並呈現於圖二中。由圖可發現，

J

_cv

( ω )

隨著臨界點的不同而有顯著 的差異，亦即由

ε

_i所影響的光譜將有所變化。

表一 Joint density of states function J_cv at four types of critical point^[2]

Critical

point

α

¹,

α

₂,

α

₃ Joint density of states function J(ΔE)

Mo (+,+,+) ΔE<Eg

ΔE>Eg

C1

C₁+C₂(ΔE - Eg)^1/2 M₁ (+,+,−) ΔE<Eg

ΔE>Eg

C1−C2(ΔE - Eg)^1/2 C₁

M₂ (+,−,−) ΔE<Eg

ΔE>Eg

C₁

C₁−C2(ΔE - Eg)^1/2 M₃ (−,−,−) ΔE<Eg

ΔE>Eg

C₁+C₂(ΔE - Eg)^1/2 C1

圖(2-2) 四種類型的臨界點隨能量變化的 J_cv差異^[2]

圖二 臨界點附近的四種 Jcv型態

由表一可知，M⁰和 M³類型的臨界點是滿足(2.33)式的臨界點，即為 第一類臨界點或稱極值型臨界點，這種臨界點附近的結合能態密度和能 量之間呈平方根的關係。而 M¹和 M²類型的臨界點則為滿足(2.34)式的馬 鞍型臨界點。

(Ⅱ)

e ˆ M

_cv

( k v )

²

⋅

已知

v

c

k

k

v v

≈

∫ ∗ − ∇

⋅

=

⋅

M

_cv

k e

_V

r e

ˆ (v) ˆ

d r c ( k c , r )( i ) v ( k _{v v} ,

v)

v h

v ψ v ψ

(2.37) 經計算化簡後可得

ˆ ] )[

)(

( )

ˆ^⋅ ( ^{= −} ₂ ⁻

∫

V ^{− ⋅ ∗ ⋅ ⋅} v r k i c r k i v

c

cv

m E E d r e u e r e u

k M

e

v ^vv v ^vv

h v

^{= −}

m E

c ⁻

E

v

∫

V

d r

^v

ψ

c^∗

e

^⋅

r

^v

ψ

v

h )( ) ˆ

( ₂ (2.38) 因此只要知道

ψ

_c^∗及

ψ

_v的形式，就可以求得

e

ˆ

M

_cv(

k

v)

⋅ 。也可藉由當 0

) ˆ⋅

M

(

k

≠

e

_cv v

，即

ε

_i ≠0，為躍遷允許的情況；當

e

ˆ⋅

M

_cv(

k

v) =0

，即

= 0

ε

i ，則不會有躍遷發生，作為我們判斷可能躍遷的情形。

以上討論的為自由電子在能帶間躍遷的情形，但實際上在晶體中受 到光子激發的電子將伴隨著電洞的產生，形成電子-電洞對，而其若受 庫倫作用力的束縛，使受光子激發產生的電子以電洞為中心形成一個類 氫原子的系統，稱之為激子(Exciton)系統^[3]。一般而言，在晶體中激子 的形式為Mott-Wannier exciton^[4]，即電子與電洞間的距離遠大於晶體晶 格常數，所受庫倫作用力較弱。

對激子系統的束縛能級為出現在接近導帶底附近，因此可由解氫原 子能級的方式，解得激子的束縛能量為

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−

⎥⎦ ≡

⎢⎣ ⎤

− ⎡

= ₂ ⁴₂ 1₂ 1₂

2

E n

n e

E

_ex

m

^r _B

h

ε

n=1,2,3,… (2.39) 其中

ε

為半導體材料的介電常數（permittivity)

B r B

r

B

a m a

e e E m

2 2

2

2 2

2 2

4

h

h = =

= ε ε

^為激子的

^Rydberg

^能量

^(2.40)

₂

2

e a m

r B

ε h

=

為激子的波爾

(Bohr)

半徑

(2.41)

h e

h e

r

m m

m m m

= +

為電子與電洞的約化質量

(2.42)

如圖三所示，激子的光學躍遷能量

( )

_h

ω

^ex在

k v = 0

處將比能帶與能帶之間 的自由電子躍遷能量

E

_g略低

) 6 (

. 13 ) 1

( ₂

0 2 0 2

2

eV

m m E n

E n

E

_{g B g} ^r

ex

ε

ω

= − ×

ε

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−

h =

(2.43)

其中

m

₀為電子質量，

ε

₀為真空中的介電常數（

permittivity)

。

而這部分討論的

( )

_h

ω

^ex為三維系統中激子的能量。若在二維量子井系統 中，因電子電洞對被束縛在更小的侷限區域中，所受庫倫作用力更強，

造成激子束縛能更大，若量子井內的成分均勻，則激子將能更穩定地存 在量子井侷限的區域中，便可更易於光譜圖中發現。

圖三 三維系統中激子在能帶間的分佈情形

2-3 調制光譜的基本原理

1964

年賽若芬

(Seraphin)

在關於鍺材料反射率電場效應的研究^[5]

中，首度以電場調制技術

(electroreflectance/ER)

得到微分形式的譜 線。近四十年來，相關的理論與新的技術不斷的被開發，而今調制光譜 的量測已成為半導體特性研究上重要量測的技術之一。原因在於其光譜 呈 現 出 微 分 形 式 的 譜 線 ， 訊 號 僅 出 現 在 結 合 能 態 密 度 的 奇 異 點

(singularities)

上，可有效的抑除背景訊號與雜訊，以得到相當豐富的訊

息，包含半導體表面及界面間的電場^[6]、能帶間的躍遷^[7]、雜質效應、

單軸性應力^[8]、激子作用的強弱、費米能階在表面的能量、載子濃度、

深層缺陷、活化能、材料均勻度及化合物的組成等等，皆可由調制光譜 中求得。近來，更應用於實際元件結構及量子點、量子井等低維度結構 的光學性質探討，為一便利且有效的非破壞鑑定技術。

所謂的調制光譜是將探測光或樣品的某種物理特性作週期性微小 變化，利用鎖相放大器鎖住微擾頻率，量測樣品受微擾所產生的反射率 變化量

(ΔR)

。因反射率變化量與反射率的比值

R Δ R

為正比於樣品受微擾 時介電函數的變化量，而介電函數與樣品的基本物理性質有關

(

如：能 帶結構

)

，因此調制光譜可應用在檢測半導體的光學性質上。調制的方 法大致上分為兩類，一為調制探測光本身的物理特性，如改變探測光的 波長或偏振，此類調制方式稱為內部調制

(internal modulation)

；另一為 調制外加於樣品的物理量，如溫度、壓力、磁場或電場，稱為外部調制

(external modulation)

。

在應力、溫度的調制下，樣品仍具有平移對稱

(translation symmetry)

的特性，這時在倒晶格向量中，動量仍是一好的量子數

(good quantum

number)

。如圖四

(a)

所示，此種微擾使得能帶產生不連續的變化，且所

產生的譜型通常為一階微分

(first derivative)

的特性。

在電場的調制下則較為複雜，此種微擾下由於晶體內的自由電子與 電洞被外加電場加速而破壞了晶體在外加電場方向上的平移對稱性，這

時動量在電場方向上就不是好的量子數，使得未受微擾的電子

(

或電洞

)

波函數產生混合，若調制的電場不大，則波函數的混合僅限於導帶底端

(

或價帶頂端

)

，所以遠離臨界點的能帶結構則不被調制，而使得不感興 趣的背景值被抑制。當調制屬於低電場調制，如圖四

(b)

所示，譜線交

x

軸有兩點，這正是三階微分的特性。

但對於高電場調制時，譜型常會包含一些振盪曲線，這些振盪曲線 稱之為

Franz-Keldysh oscillation

，簡稱

FKO

。

FKO

的週期與樣品的電 場有著密切的關係，透過

FKO

週期的測量，半導體的內建

(built-in)

電 場或介面電場可輕易的求出。相反地，

Pollak

及

Glembocki

^[9]指出，對 束縛態

(bound state)

諸如激子

(exciton)

，雜質態

(impurity level)

及量子 井中之獨立能階

(isolated state)

等而言，由於載子被侷限在有限空間中，

電場無法加速載子，仍保持平移對稱性，故其譜型應為一階微分。

圖四

(a)

在調制下晶格仍具週期性時，介電函數虛部呈現一階微分的 變化情形

(b)

在電場調制下晶格週期被破壞後，介電函數虛部呈現類似於 三階微分的變化情形。^[1]

ε

_i

ε

_i

目前使用調制的種類有很多，包含電場調制反射光譜(ER)、光調 制反射光譜(PR)、壓電調制反射光譜(PZR)、熱調制反射光譜(TR)、

波長調制反射光譜(WMR)及磁場調制反射光譜(MR)等等。由於調制

的方式不同，調制譜

型

所強調的部分也就不同，因此將不同調制技術

的結果相互比較對照，便可得到完整可靠的光譜訊息，如此對樣品結 構的瞭解有莫大的助益。

圖五為室溫下砷化鎵的直接反射光譜與電場調制反射光譜的比 較。由圖中可看出直接反射的譜形較平滑，在能帶躍遷的臨界點處變化 很小，光學躍遷的能量很難精確量測。然而調制反射光譜在每個光學躍 遷的臨界點上，有顯著尖銳的變化，因而較易於精確地量測能帶之間躍 遷的能量。一般來說，調制的光譜寬度要比直接的反射光譜寬度窄約

20~50

倍^[10]，所以調制光譜已被廣為應用在研究材料結構的電光性質。

圖五 室溫下，砷化鎵的反射光譜與電場調制反射光譜的比較^[10]

調制反射光譜的原理乃利用外加微擾於樣品上，使樣品的介電函數 產生變化，因而造成反射率的改變。由量測微擾所造成反射率變化量

(ΔR)

對反射率

R

的比值

(

即

R

Δ

R )

即為調制的光譜圖。

當探測光源

(probe beam)

以近乎垂直入射於樣品表面時，由

Fresnel

方程式得到其反射率為

2 2

2 2

) 1 (

) 1 (

k n

k R n

+ +

+

= − (2.50)

其中

n

為介質的折射率

(index of refraction)

，

κ

為消光係數

(extinction coefficient)

。

由

(2.18)

式與

(2.19)

式得

12 12 2 2

2 ) (

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ + +

=

^{r r i}

n

ε ε ε

(2.51)

12 12 2 2

2

) (

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ − + +

=

^{r r i}

k

ε ε ε

(2.52)

將

(2.51)

式與

(2.52)

式代入

(2.50)

式中，得垂直反射率與介電函數的關係 如下

( ) [ ( ) ]

( ) [ ^{2 2 2 2} ( ) ] ^{1 1}

) ,

(

_{12 12}

2 2 2

2 1 2

2 2 1 2 1 2 2

2 1 2

+ +

+ + +

+ +

+

−

= +

=

i r r

i r

i r r

i r i

R

r

R

ε ε ε ε ε

ε ε ε

ε ε ε

ε

(2.53)

當樣品受到一微擾或調制時，介電函數的變化量可表示為

i

r

i ε

ε ε = Δ + Δ

Δ (2.54)

而將

R( ε

_r

, ε

_i

)

對

ε

_r和

ε

_i作偏微分，即得反射率變化量Δ 與介電函數變

R

化量

Δ ε

的關係為^[10]

] Re[

] )) , ( ) , ( ( Re[

)]

1 )(

Re[( 1

1 1

ε

ε ε ε β ε

ε α

ε ε ε

ε

ε ε ε ε

θ

Δ

=

Δ

−

=

Δ +

∂ Δ

− ∂

∂

= ∂

∂ Δ + ∂

∂ Δ

= ∂ Δ

i

i r i

r

i r

i r

i i r

r

Ce

i R i i R R R

R R R

R R

R

(2.55)

式中

( )

r i

r

R R ε ε

ε

α ∂

= 1 ∂

, (2.56a)

( )

i i

r

R R , 1

ε ε ε

β ∂

= ∂ (2.56b)

α、β稱為塞若芬

(Seraphin)

係數，是介電函數調制行為的決定性參數，

亦 為 能 量 的 函 數 。 其 中

Δ ε

_r 與

Δ ε

_i可 藉 由 克 拉 瑪

-

克 朗 尼 希 關 係 式

(Kramers-Kronig relation)

相互轉換。由於介電函數為樣品能帶結構中電

子狀態所呈現出來的巨觀整體行為，因此透過調制反射光譜

R Δ R

的量 測，即可間接得到樣品受微擾時介電函數的變化情形。

若樣品受到微擾

(

或調制

)

後，仍保持晶格的平移對稱性

(translation

symmetry)

時，例如：溫度、壓力等微擾，則

ξ ξ ε ε

Δ

∂

= ∂

Δ

(2.57)

上式中，

ξ

是微擾因素，

Δ ε

為

ε

對

ξ

的一階導數。若是在電場、磁場等 調制下，晶格的對稱性被破壞，則

Δ ε

的變化將較為複雜。

2-3-1 弱電場調制

當電子能量受電場影響的變化為

ΔE

時，介電函數

ε

的變化量

Δ ε

可 表示為

^Δ ε ( E ^, E

g

^{, Γ} ) ( ⁼ ε E ^{+ Δ} E ^, E

g

^{, Γ} ) ( ⁻ ε E ^, E

g

^{, Γ} ) (2.58)

其中

E

_g

＝ E

_c

－ E

_v，

Γ

為展寬參數

(broadening parameter)

，由電子壽命所 造成的譜形展寬。

因此當調制電場很小時，電子受電場影響的能量變化

ΔE

也很小，

介電函數的變化量可以使用泰勒展開式的第一級來近似，表示為

( ^Γ )

Δ

ε

E , E

_g

, = ^Δ _∂ ^∂ ( ^{E , E , Γ} )

E E

ε _g

(2.59)

考慮空間中存有電場

ℑ

^v 的情況下，對未受束縛的電子和電洞而言，

在時間

t

內將獲得能量

ΔE

為

= Δ E ( t ) ( )

μ 2

t e

ℑ ²

(2.60)

式中

μ

為載子沿電場方向能帶間的有效約化質量

(interband effective reduced mass)

μ

1

＝

E ( k ) k

1

2 2 2

v h

∂

∂ (2.61)

根據量子力學，時間算符

(operator) t

可表為

t

→

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

i

_h

E (2.62)

將

(2.60)

、

(2.61)

、

(2.62)

式代入

(2.59)

式得

( Γ ) =

Δ ε E , E

_g

, ( )

μ

2

t e ℑ

²

3 3

∂ E

∂ ε ( E , E

_g

, Γ )

3

= 1 ( )

_h

Ω

³

3 3

∂ E

∂ ε ( ^{E , E}

g

^{, Γ} ) (2.63)

式中

( )

_h

Ω

³＝

( )

μ 2

e ℑ

_h ²

(2.64)

為系統的特徵電光能量

(characteristic electro-optic energy)

。

很明顯地，由弱電場所引起的介電函數變化量與未受微擾的介電函 數之三階導數有關，即在弱電場下的電場調制反射光譜譜線形狀為對能

量的三次微分形式，且譜線形狀不受調制電場大小的影響，電場的大小 只與訊號強弱有關。

將介電函數在弱電場中的變化量

Δ ε

，結合

(2.55)

式可以寫為^[14-15]

R

Δ

R

＝

Re

^[

^Ce

^iθ

( ^E

−

^E

_g +

ⁱ

Γ

)

^−m]

(2.65)

其中

E

g為能隙值，

Γ

為展寬參數，

C

表振幅大小，θ為相位因子。而

C

與θ這兩個參數均隨

E

緩慢變化，所以在

E

變化很小時，可以視為與

E

無關。而臨界點的性質決定於參數

m

，在三維臨界點的情況下

m

＝

2.5

為三階導函數譜形

m

＝

1.5

為二階導函數譜形

m

＝

0.5

為一階導函數譜形

在二維臨界點的情況下

m

＝

3

為三階導函數譜形

m

＝

2.5

為二階導函數譜形

m

＝

2

為一階導函數譜形

2-3-2 束縛態的電場調制

當外加調制電場於一般半導體塊材時，此微擾會破壞材料的平移對

稱性

(translational symmetry)

使得未束縛電子或電洞加速。在弱電場調制

下，從上一節可知其譜線形狀為對能量的三次微分形式^[16]；然而對於束 縛態

(bound state)

如激子

(exciton)

、雜質

(impurity)

及量子井中之受限能階

(confined state)

等，微擾並不會加速電子或電洞造成轉移對稱性的破

壞，因此呈現一次微分形式^[20]的譜線。

在束縛態中，載子被侷限在有限空間，使得電場無法加速載子，

Pollak

與

Glembocki

^[16-17]等人曾說明，電場微擾所造成的介電函數變化

量可表示成一次微分形式^[17-19]：

X X I I X X

E E

i i

cv cv

i

i

⎥ Δ

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

∂

∂ + ∂

∂ Γ

∂ Γ

∂ + ∂

∂

∂

∂

= ∂

Δ ε ε ε ε

(2.66)

其 中

E

_cv 為 躍 遷 能 量 ，

I

為 躍 遷 的 積 分 強 度

(integrated intensity of

transition)

，

i=1,2

分別為介電函數的實部與虛部，

Δ X

為外加的微擾物理

量，在電場調制下，即為電場大小。

由 展 寬 機 制 或 溫 度 機 制 決 定 其 譜 形 可 能 為 勞 倫 茲 分 佈 譜 形

(Lorentzian profile)

或高斯分佈譜形

(Gaussian profile)

。而在低溫時因激 子與聲子的耦合作用較弱，一般以勞倫茲分佈展寬譜形來描述，此時介 電函數可表示為

Γ

−

− E i E

_g

~ 1

ε

(2.67)

則其一次微分的勞倫茲譜形^[16-18]可寫為

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ − + Γ Δ =

∑

= n −

j j j

i j

j

e h E i

R C R

1

) 2

(

Re ^θ

υ

(2.68)

其中

n

為躍遷的數目，

C

_j、

θ

_j與

Γ

_j分別為第

j

個信號的振幅、相位與展 寬。

而高溫時，激子與聲子間的耦合較強或樣品不均質所造成展寬效應 較大時，則調制譜形為高斯展寬譜形，其一次微分^[18-19]為

X X f E

f e R C

R

j

j n

j E E

i

j j j

j

⎟ ⎟ Δ

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

∂

∂

⎥⎦ Γ

⎢⎣ ⎤

⎡ −

Δ = ∑

= 2

1

2

1

1

) (

Re

^θ

(2.69)

其中

j i i

E

E

f

_j

∂

= ∂ ε

，

n

為躍遷發生的數目，

C

j與

θ

j分別為第

j

個信號的振幅 與相位。

2-4 光調制實驗裝置

光調制

(PR)

的實驗裝置如圖六所示。在實驗中共有兩束光束：一為

調制光束

(pump beam)

，是由波長

4880 Å

的氬離子雷射所產生的，此雷

射光束經過頻率為

207 Hz

的斷續器

(chopper)

後打在樣品上，使得樣品 上會產生電子－電洞對中和內建電場，我們可以藉此調制

(modulate)

樣 品表面或界面的內建電場。另一束為探測光束

(probe beam)

，是由

250 W

的鹵素燈經過透鏡和單色分光儀

(monochromator)

產生波長λ的單色 光，再利用透鏡聚焦打在樣品上，其強度以

I

₀表示。儘量使上述兩道光 以近似垂直的角度入射，並重疊在樣品上。經樣品表面反射的探測光由 透鏡收集並聚焦於光偵測器

(photodetector)

上，且在偵測器前方放置濾 光片以過濾我們不要的訊號，如經樣品散射的雷射光或外界射入的其他 光線。

偵測器量測到的訊號即為反射強度

I

_R，之後訊號分為兩路：一為至

數位電表

(

Ⅰ

)

顯示

V

^Ⅰ並連至電腦描繪，另一為送入鎖相放大器

(lock-in

amplifier)

中，由鎖相放大器鎖定與調制源同相位的反射強度變化量Δ

I

_R，再由數位電表

(

Ⅱ

)

顯示

V

^Ⅱ並連至電腦描繪。

本實驗中的單色分光儀是透過與電腦連線的步進馬達來控制其光

柵的偏轉角度，藉步進馬達不斷改變探測光波長λ，電腦可依次記錄不 同能量之光子的波長λ、

V

^Ⅰ及

V

^Ⅱ的整組數據，經由以下計算

λ

hc

＝

E(

光子能量

)

V

Ι

V

_Ⅱ

＝

I ( ) L ( ) R ( ) K ( ) G G ) ( K ) ( R ) ( L ) ( I

0 0

× λ

× λ

× λ

× λ

× λ

× λ Δ

× λ

×

λ

＝

R

Δ

R

(2.70)

其中，

I

₀

(

λ

)

為探測光強度，

L(

λ

)

為透鏡、玻璃等因素所造成的影響，

R(

λ

)

為樣品的反射率，Δ

R(

λ

)

為樣品受調制所產生的反射率微量變 化量，

K(

λ

)

為光檢測器對光訊號的響應

(response)

，

G

為與波長λ無 關的光檢測器電訊號放大倍率

(gain)

。如此即可得到

R Δ R

隨光子能量變 化的調制光譜。