二元一次方程式的圖形

ax ＋ by ＝ c 的圖形 y ＝ k 的圖

形

自我評量 x ＝ h 的圖形

二元一次聯立方程式的圖形

二元一次方程式的圖形

搭配頁數 P.70

　本節的內容，將透過數對把二元一次方程式以圖 形的方式呈現在坐標平面上，並進一步探討二元一 次聯立方程式的解與其圖形之間的關係。

一個二元一次方程式的任意一組解，可以記錄 成數對的形式，此時這一組解在坐標平面上的 圖形就是一個點。

例如： x ＝ 0 ， y ＝ 5 是二元一次方程式 x ＋ 3y

＝ 15 的一組解，這一組解在坐標平面上的圖形就 是（ 0 , 5 ）這一點。

ax ＋ by ＝ c 的圖形

二元一次方程式的圖形

(1)x ＝ 5 ， y ＝ 0 這一組 解的

圖形是點 A （ 5 , 0 ）。

二元一次方程式的解與描點

求出二元一次方程式 x ＋ 2y ＝ 5 的任意五組解，

並在坐標平面上標示出這五個點。

x

y 05 31 21 － 1 － 33 4

A （ 5 , 0 ） B （ 3 , 1 ）

C （ 1 , 2 ）

(2)x ＝ 3 ， y ＝ 1 這一組 解的

圖形是點 B （ 3 , 1 ）。

(3)x ＝ 1 ， y ＝ 2 這一組 解的

圖形是點 C （ 1 , 2 ）。

解

搭配頁數 P.70

將 y 分別以 0 、 1 、 2

、 3 、 4 代入，求出對應 的 x 值，如下表：

二元一次方程式的解與描點

求出二元一次方程式 x ＋ 2y ＝ 5 的任意五組解，

並在坐標平面上標示出這五個點。

x

y 05 31 21 － 1 － 33 4

A （ 5 , 0 ） B （ 3 , 1 ）

C （ 1 , 2 ） D （－ 1 , 3 ）

E （－ 3 , 4 ）

解

搭配頁數 P.70

將 y 分別以 0 、 1 、 2

、 3 、 4 代入，求出對應 的 x 值，如下表：

(4)x ＝－ 1 ， y ＝ 3 這一組 解

的圖形是點 D （ － 1 , 3 ）。

(5)x ＝－ 3 ， y ＝ 4 這一組 解

的圖形是點 E （ － 3 , 4 ）。

0 3 x － 1

y － 2 0 6

1. 下表中， x 與 y 的值都是二元一次方程 式 2x － y ＝ 4 的解，完成下表，並將代 表這些解的點標示在坐標平面上。

2 1 2 5

－ 6 － 4

（－ 1 , － 6 ）

（ 0 , － 4 ）

（ 1 , － 2 ）

（ 2 , 0 ）

（ 3 , 2 ）

（ 5 , 6 ）

解

搭配頁數 P.71

2. 下列哪些是二元一次方程式 3x ＋ y ＝ 4 的解？並將代表這些解的點標示在坐標平 面上。

（ 0 , 4 ）

（ 1 , 1 ）

（ 4 , 0 ）、（ 0 , 4 ）、（ 1 , 1 ）、

（ 2 , 2 ）、（－ 2 , － 2 ）、（－ 1 , 7 ） 3 × 4 ＋ 0 ＝ 12 ≠ 4

3 × 0 ＋ 4 ＝ 4 3 × 1 ＋ 1 ＝ 4

3 × 2 ＋ 2 ＝ 8 ≠ 4

3×( － 2) ＋ ( － 2 ) ≠ 4 3×( － 1) ＋ 7 ＝ 4

解

搭配頁數 P.71

　在第 1 章，已經學過二元一次方程式 的解有無限多組，例如：下表中每一組 x

、 y 值都是二元一次方程式 2x ＋ y ＝ 3 的解：

把代表這些解 的點標示在坐 標平面上，如 圖 2-7 。

搭配頁數 P.72

　如果再找出二元一次方程式 2x ＋ y ＝ 3

的其他解，如下表：

把代表這些解 的點標示在坐 標平面上，如 圖 2-8 。

搭配頁數 P.72

　在圖 2-8 中，畫出通過 P （ － 2 , 7 ）、

Q （ 3 , － 3 ）兩點的直線，並稱此直線 為直線 PQ ，如圖 2-9 。

搭配頁數 P.73

　在圖 2-9 中，可以發現我們所標示的點，都 落在直線 _PQ 上。　

　事實上，如果將方程式 2x ＋ y ＝ 3 的所有 解

標示在坐標平面上的點，都會落在直線 _PQ 上。

相對地，直線 _PQ 上的任一點都代表方程式 2x ＋ y ＝ 3 的一組解。

　一個二元一次方程式的所有解在坐標平面上 所成的圖形，稱為該方程式的圖形。例如：圖 2-9 中，直線 PQ 為二元一次方程式 2x ＋ y

＝ 3 的所有解在坐標平面上所成的圖形，就稱 直線 PQ 是二元一次方程式 2x ＋ y ＝ 3 的圖 形，且直線 PQ 亦可表示為直線 2x ＋ y ＝ 3

。

搭配頁數 P.73

設 a 、 b 、 c 為已知數， x 、 y 的二元一次 方程式 ax ＋ by ＝ c 在坐標平面上的圖形 是一條直線，該直線上任何一點的坐

標都是此二元一次方程式的一組解。

ax ＋ by ＝ c 的圖形

搭配頁數 P.73

1. 有四個數 a 、 b 、 c 、 d ，且（ 2 , a ）

、

（－ 3 , b ）、（ c , 8 ） 、（ d , － 4 ）都 在二

元一次方程式 x ＋ 2y ＝ 6 的圖形上，求 a 、

b 、 c 、 d 這四個數的值。

2 ＋ 2a ＝ 6⇒ 2a ＝ 4⇒ a ＝ 2

－ 3 ＋ 2b ＝ 6⇒ 2b ＝ 9 c ＋ 16 ＝ 6⇒ c ＝－ 10 d － 8 ＝ 6⇒ d ＝ 14

解

搭配頁數 P.74

2. 找出二元一次方程式 x － 2y ＝ 4 的任意 五組解，標示在坐標平面上，再畫出二元 一次方程式 x － 2y ＝ 4 的圖形。

x

y 04

－ 12

－ 20

－ 2－ 3

－ 4－ 4

（－ 4 , － 4 ）

（－ 2 , － 3 ）

（ 0 , － 2 ）

（ 2 , － 1 ）

（ 4 , 0 ）

解

搭配頁數 P.74

【答案僅供參考】

3. 承上題，如果 A 點在方程式 x － 2y ＝ 4 的圖形上，其 y 坐標為 a ，求 A 點的 x 坐標。（以含 a 的式子表示）

（ ? , a ）

得 x － 2a ＝ 4⇒ x ＝ 4 ＋ 2a

將 y ＝ a 代入 x － 2y

＝ 4

（ 4 ＋ 2a , a ） 解

搭配頁數 P.74

　通過不同的兩點可以畫出一條直線，而 二元一次方程式的圖形都是一條直線，所 以只要求出方程式的兩組解，再標示出這 兩組解在坐標平面上所對應的點，就可以 藉由這兩點畫出二元一次方程式的圖形。

搭配頁數 P.74

先求出二元一次方程式 3x ＋ y ＝ 1 的兩組解

x y

在坐標平面上畫出二元一次方程式 3x ＋ y

＝ 1 的圖形。

畫二元一次方程式的圖形

－ 21 01

並畫 出通過此兩點的直線

。此直線即為二元一次方 程式 3x ＋ y ＝ 1 的圖 形。

（ 1 , － 2 ）

（ 0 , 1 ）

將這兩組解的點標示 在坐標平面上，

3x ＋ y ＝ 1

解

搭配頁數 P.75

（ 3 , 0 ）

（ 0 , － 3 ）

y ＝ x － 3

在坐標平面上畫出二元一次方程式 y ＝ x － 3 的圖形。

x

y － 30

30 解

搭配頁數 P.75

在坐標平面上畫出二元一次方程式 3x ＋ 2y

＝ 0 的圖形。

畫二元一次方程式的圖形（通過原點）

先求出二元一次方程式 3x ＋ 2y ＝ 0 的兩組解

x

y － 32 00

將這兩組解的點標示 在坐標平面上，

此直線即為二元一次方 程式 3x ＋ 2y ＝ 0 的圖 形。

（ 2 , － 3 ）

（ 0 , 0 ）

並畫 出通過此兩點的直線。

3x ＋ 2y ＝ 0 解

搭配頁數 P.76

在坐標平面上畫出二元一次方程式 4x － y

＝ 0 的圖形。

x

y 0

0 14

（ 1 ,

（ 0 , 0 ）4 ）

4x － y ＝ 0 解

搭配頁數 P.76

二元一次方程式 ax ＋ by ＝ c 的圖形為 一條直線。如果 c ＝ 0 ，則此直線會通 過原點。

通過原點的直線

坐標平面上任意一條直線與 x 軸相交時

，交點的 y 坐標必為 0 ；同樣地，坐標平 面上任意一條直線與 y 軸相交時，交點的 x 坐標必為 0 。在畫二元一次方程式的圖 形時，一般都會先描出直線與兩軸的交點。

搭配頁數 P.76

在坐標平面上畫出二元一次方程式

3x ＋ 4y ＝ 12 的圖形，並寫出此圖形 與 x 軸、 y 軸的交點坐標。

將 x 、 y 分別以 0 代入，並求得對應的值：

圖形與兩軸的交點

x

y 3

0 40

（ 0 , 3 ）

兩組解標示在坐標平面上

，

此直線即為二元一次方程 式 3x ＋ 4y ＝ 12 的圖形

。

畫出通過此兩點的直線。 _{（ 4 , 0 ）}

此圖形與 x 軸的交點為 (4 , 0) ， 與 y 軸的交點為 (0 , 3) 。

3x ＋ 4y ＝ 12 解

搭配頁數 P.77

1. 在坐標平面上畫出二元一次方程式

－ 3x ＋ 4y ＝ 12 的圖形，並寫出該圖形 與 x 軸、 y 軸的交點坐標。

將 x 、 y 分別以 0 代入，並求得對應的值：

x

y ^－04

30

（ 0 , 3 ）

–3x ＋ 4y ＝ 12

兩組解標示在坐標平面上，

此直線即為二元一次方程 式－ 3x ＋ 4y ＝ 12 的圖形

。

畫出通過此兩點的直線。

（－ 4 , 0 ）

與 x 軸的交點為 ( － ^{4 , 0)}

，

與 y 軸的交點為 (0 , 3) 。

解

搭配頁數 P.78

2. 在坐標平面上畫出二元一次方程式 y ＝－ 3x － 2 的圖形，並寫出該圖形 與 x 軸、 y 軸的交點坐標。

將 x 、 y 分別以 0 代入，並求得對應的值：

x

y 0 －^{0 2}

（ 0 , － 2 ）

兩組解標示在坐標平面上，

此直線即為二元一次方程 式 y ＝－ 3x － 2 ^的圖形

。

畫出通過此兩點的直線。

y ＝－ 3x － 2 解

搭配頁數 P.78

已知方程式 ax ＋ by ＝ 1 的圖形為通過

A （ 3 , 5 ）、 B （ 1 , 1 ）兩點的直線，

求出這條直線所代表的方程式。

求過已知兩點的直線之方程式

解得 a ＝ 2 ， b ＝－ 1 因此通過 A 、 B 兩點的 直線方程式為 2x － y ＝ 1

將（ 3 , 5 ）、（ 1 , 1 ）分別代入 ax ＋ by ＝ 1

解

搭配頁數 P.79

1. 已知方程式 ax ＋ by ＝ 2 的圖形為通過 A （ 2 , 0 ）、 B （－ 1 , － 1 ）兩點的直 線，

求出這條直線所代表的方程式。

將 (2 , 0) 、 ( － 1 , － 1) 分別代入 ax ＋ by ＝ 2

解得 a ＝ 1 ， b ＝－ 3 因此通過 A 、 B 兩點的 直線方程式為 x － 3y ＝ 2

解

搭配頁數 P.79

2. 已知方程式 y ＝ ax ＋ b 的圖形為通過

A （ 0 , 1 ）、 B （ 1 , － 2 ）兩點的直線，

求出這條直線所代表的方程式。

將 (0 , 1) 、 ( 1 , － 2) 分別代入 y ＝ ax ＋ b

解得 a ＝－ 3 ， b

＝ 1

解

搭配頁數 P.79

　在坐標平面上， x 軸 上的任何一點，不論 x 坐標為任何數，其 y 坐 標必為 0 ，如圖 2-10

。

　這些點的坐標都可以 寫成（ a , 0 ）的形式，

其中 a 為任意數。因此

， x 軸所代表的直線方 程式為 y ＝ 0 。

（可視為 0x ＋ y ＝ 0 ）

y ＝ k 的圖形

y ＝ 0 的圖形

搭配頁數 P.80

　在坐標平面上，通過 y 軸上坐標是 2 的點且與 y 軸垂直的直線，如圖 2-11

，其任一點的 y 坐標都是 2 ，這些點的坐標都可以寫 成（ a , 2 ）的形式，其中 a 為任意數。所以，此直線

所代表的方程式為 y ＝ 2 。

（可視為 0x ＋ y ＝ 2 ）

y ＝ k （ k 不等於 0 ）的圖形

　反過來說，在坐標平面上，直線方程式 y

＝ 2 的圖形，就是通過 y 軸上坐標是 2 的 點且與 y 軸垂直的直線。

搭配頁數 P.80

1. 在坐標平面上， y ＝ 0 的圖形就是 x 軸。

2. 其他形如 y ＝ k ， k 不等於 0 的方程 式，在坐標平面上的圖形為通過 y 軸 上坐標是 k 的點且與 y 軸垂直的直線

。

垂直 y 軸的直線（水平線）

搭配頁數 P.80

y ＝－ 4

在坐標平面上畫出方程式 y ＝－ 4 的圖形

。

垂直 y 軸的直線

如右圖所示。

在 y 軸上坐標是－ 4 的位置，

畫一條與 y 軸垂直的直線，

（ 0 , － 4 ）

解

搭配頁數 P.81

1. 在坐標平面上畫出方程式 y ＝ 1 的圖形。

如右圖所示。

在 y 軸上坐標是 1 的位置，

（ 0 , 1 ）

y ＝ 1 解

搭配頁數 P.81

畫一條與 y 軸垂直的直線，

2. 已知一條直線通過 C （ 5 , － 2 ），且該 直線平行 x 軸，求出這條直線所代表的方 程式。

方程式為 y ＝－ 2 這條直線平行 x 軸

又通過 C( 5 , － 2) 位置 , 必通過 y 軸上

坐標是－ 2 的位置

C （ 5 , － 2 ）

－ 2

y ＝－ 2

解

搭配頁數 P.81

x ＝ h 的圖形

　在坐標平面上， y 軸上 的任何一點，不論 y 坐標 為任何數，其 x 坐標必為 0 ，如圖 2-12 。

　這些點的坐標都可以寫 成（ 0 , b ）的形式，其中 b 為任意數。因此， y 軸 所代表的直線方程式為

x ＝ 0 。

（可視為 x ＋ 0y ＝ 0 ）

x ＝ 0 的圖形

搭配頁數 P.82

　在坐標平面上，通 過 x 軸上坐標是－ ³

的點且與 x 軸垂直的 直線，如圖 2-13 ，其 任一點的 x 坐標都是

－ ^{3 ，這些點的坐標}

都可以寫成 ( － 3 , b ) 的形式，其中 b 為任 意數。所以，此直線 所代表的方程式為 x ＝－ 3 ^。

（可視為 x ＋ 0y ＝－ 3 ^）

x ＝ h （ h 不等於 0 ）的圖形

搭配頁數 P.82

1. 在坐標平面上， x ＝ 0 的圖形就是 y 軸。

2. 其他形如 x ＝ h ， h 不等於 0 的方 程式，在坐標平面上的圖形為通過 x 軸 上坐標是 h 的點且與 x 軸垂直的直線

。

垂直 x 軸的直線（鉛垂線）

　反過來說，在坐標平面上，直線方程式 x ＝－ 3 的圖形，就是通過 x 軸上坐標 是

－ 3 的點且與 x 軸垂直的直線。

搭配頁數 P.82

在坐標平面上畫出方程式 x ＝ 5 的圖形。

垂直 x 軸的直線

如右圖所示。

在 x 軸上坐標是 5 的位置，

畫一條與 x 軸垂直的直線，

（ 5 , 0 ）

x ＝ 5 解

搭配頁數 P.83

如右圖所示。

畫一條與 x 軸垂直的直線，

搭配頁數 P.83

解

2. 已知一條直線通過 A （ 4 , － 2 ），且該直線 平行 y 軸，求出這條直線所代表的方程式。

方程式為 x ＝ 4

這條直線平行 y 軸

又通過 A( 4 , － 2) 位置 , 必通過 x 軸上

坐標是 4 的位置

A （ 4 , － 2 ）

4

x ＝ 4

搭配頁數 P.83

解

二元一次聯立方程式的圖形

交於一點的兩條直線

(1) 找出 x － y ＝ 1 的兩組解：(2) 找出 x ＋ 2y ＝ 4 的兩組解：

x

y 0

－ 10 1 x

y 0

4 02

搭配頁數 P.84

則 x － y ＝ 1 的圖形 是通過 A( 0 , －

1) 、 B( 1 , 0 ) 兩點的直 線 L₁ 。

（如圖 2-14 ）

則 x ＋ 2y ＝ 4 的圖形 是通過 C( 0 ,

2) 、 D( 4 , 0 ) 兩點的 直線 L₂ 。

（如圖 2-14 ）

由圖 2-14 可以發現，直線 L₁ 與 L₂ 交於一點 P(2 , 1)

搭配頁數 P.84

1. 兩條直線交於一點時，其交點坐標就是 二元一次聯立方程式的解。

2. 如果二元一次聯立方程式僅有一組解，

表示其圖形為相交於一點的兩條直線。

交於一點的兩條直線

　因為 P （ 2 , 1 ）在直線 L₁ 上，所以 x

＝ 2 ，

y ＝ 1 是方程式 x － y ＝ 1 的解，又 P （ 2 , 1 ）也在直線 L₂ 上，所以 x ＝ 2 ， y ＝ 1 也是方程式

x ＋ 2y ＝ 4 的解，所以直線 L₁ 與 L₂ 的交 點 P （ 2 , 1 ）為此二元一次聯立方程式的 解。

搭配頁數 P.84

在坐標平面上分別畫出二元一次方程式

6x ＋ y ＝ 6 與 3x － 2y ＝－ 7 的圖形。假 設此兩條直線相交於一點 A ，求出 A 點的 坐標。

兩條直線的交點坐標

畫出直線

L₁ : 6x ＋ y ＝ 6

x

y 0

1 06

畫出直線

L₂ : 3x － 2y ＝－

7

x

y 2

－ 1 5

1

L₁ : 6x ＋ y ＝ 6

L₂ : 3x － 2y ＝－ 7

（ 1 , 0 ）

（ 0 ,

6 ） （ 1 ,

5 ）

（－ 1 , 2 ）

得 15x ＝ 5

⇒2+y ＝ 6 解

搭配頁數 P.85

⇒y ＝ 4

1. 如果坐標平面上直線 2x ＋ y ＝－ 2 與直 線

x ＋ 2y ＝ 5 交於一點 P ，畫出兩條直線 的圖形，並求出 P 點的坐標。

2x ＋ y ＝－

2

x

y － 10

－ 20

x ＋ 2y ＝ 5^x_y

2 1 0

5

2x ＋ y ＝－ 2

x ＋ 2y ＝ 5

（－ 1 , 0 ）

（ 0 , － 2 ）

（ 1 , 2 ）

（ 5 , 0 ）

解

搭配頁數 P.86

2x ＋ 3y ＝ 5 ^x_{y 1}^{1 － 2}₃ x － 6y ＝ 0^x_{y 0}^{0 6}₁

2x ＋ 3y ＝ 5

（－ 2 ,

3 ） （ 1 ,

1 ）

（ 6 ,

（ 0 , 1 ） 0 ）

所表示的兩條直線，並求

出這兩條直線的交點坐標。

搭配頁數 P.86

解

平行的兩條直線

搭配頁數 P.87

2x ＋ y ＝－ 2 的圖形為通過 A( 0 , － 2) 、

B( 1 , － 4) 兩點的直線 L₁ ； 4x ＋ 2y ＝ 8 的圖形 為通過 P( 0 , 4) 、 Q( 1 , 2) 兩點的直線 L₂ 。由 前面的討論可知 L₁ 與 L₂ 平行，如圖 2-15 所 示。

搭配頁數 P.87

如果二元一次聯立方程式無解，表示其圖 形為沒有交點的兩條直線，即互相平行的 兩條直線。

平行的兩條直線

搭配頁數 P.87

聯立方程式與平行線

L₁ : 2x － y ＝ 6 ^x_{y － 6}^{0 3}₀

L₂ : 6x － 3y ＝ 6 ^x_{y － 2}^{0 1}₀ ^{L1 : 2x － y ＝ 6}

L₂ : 6x － 3y ＝ 6

（ 0 , － 6 ）

（ 3 , 0 ）

（ 1 ,

（ 0 , －0 ） 2 ）

得 0 ＝ 12

⇒此聯立方程式無解

解

搭配頁數 P.88

3x － 3y ＝ 12

x

y 0

4

－ 40

2x － 2y ＝ 6 ^x_{y － 3}^{0 3}₀ ^{3x － 3y ＝ 12}

2x － 2y ＝ 6

（ 0 , － 4 ）

（ 4 , 0 ）

（ 3 , 0 ）

（ 0 , － 3 ）

得 0 ＝ 6

⇒此聯立方程式無解

搭配頁數 P.88

解

重合的兩條直線

搭配頁數 P.89

搭配頁數 P.89

如果二元一次聯立方程式有無限多組解，

表示其圖形為重合的兩條直線。

重合的兩條直線

搭配頁數 P.89

聯立方程式與重合直線

解

搭配頁數 P.90

聯立方程式與重合直線

因為 6x ＋ 9y ＝ 18 和 2x ＋ 3y ＝ 6 的解完 所以只要畫出 2x全相同 ＋ 3y ＝ 6 的圖形即可。

找出 2x ＋ 3y ＝ 6 的兩組解

x

y 0

3 2

0 （ 0 ,

2 ） （ 3 ,

畫出直線 L 。 ^{2x ＋ 3y ＝ 6} 0 ）

6x ＋ 9y ＝ 18

L 解

搭配頁數 P.90

解

搭配頁數 P.91

因為 x ＋ y ＝ 2 和 3x ＋ 3y ＝ 6 的解完全 所以只要畫出 x相同 ＋ y ＝ 2 的圖形即可。

找出 x ＋ y ＝ 2 的兩組解

x

y 0

2 2

0 （ 0 ,

2 ）（ 2 ,

畫出直線 L 。 ^{3x ＋ 3y ＝ 6} 0 ）

x ＋ y ＝ 2

L 解

搭配頁數 P.91

二元一次聯立方程式的圖形有下列三種情形：

(1) 圖形為相交於一點的兩條直線，代表此 聯立方程式僅有一組解。

(2) 圖形為平行的兩條直線，代表此聯立方 程式無解 。

(3) 圖形為重合的兩條直線，代表此聯立方 程式有無限多組解。

二元一次聯立方程式的圖形

搭配頁數 P.91

(1) 一個二元一次方程式的任意一組 解，可以記錄成數對的形式，此 時這一組解在坐標平面上的圖形 就是一個點。

二元一次方程式的圖形與畫法：

搭配頁數 P.92

(2) 二元一次方程式的圖形都是一條 直線，因此二元一次方程式又稱 為直線方程式。

(3) 畫出二元一次方程式圖形的方法

，須先找出此二元一次方程式中

，兩組不同的解，然後在坐標平 面上標示出此兩點，並畫一條直 線通過這兩點，即為此方程式的 圖形。

搭配頁數 P.92

直線方程式 ax ＋ by ＝ c 的圖形：

條件 圖形

a ≠ 0 ， b ≠ 0

不垂直兩 軸的直線

垂直 y 軸

的直線

垂直 x 軸

的直線

搭配頁數 P.92

二元一次聯立方程式的解就是這兩 個方程式的圖形的交點坐標；

兩條直線的交點坐標就是這兩條直 線所代表的兩個方程式的共同解。

「 二元一次聯立方程式的解」

與「兩條直線的交點坐標」：

搭配頁數 P.92

二元一次聯立方程式的圖形：

解的 情形

圖形 兩條直線

交於一點

兩條直線 互相平行

兩條直線 互相重合

只有一組解 無解 無限多組解

搭配頁數 P.92

( 2 , － 2 ) 代入

，( － 1 , － 1) 代 入，

3×2 ＋ ( － 2) ＝ 4 ≠ － 4 3× ( － 1) ＋ ( － 1) ＝－ 4 ( 0 , － 4) 代入，3× (0) ＋ ( － 4) ＝－ 4

解

1

搭配頁數 P.93

x y (1)

在坐標平面上畫出下列各二元一次方程 式的圖形：

(1) y ＝ 3x － 1 (2) 3x － 4y － 12

＝ 0

2 1

－ 10

y ＝ 3x － 1

（ 1 , 2 ）

（ 0 , －

1 ） 3x － 4y ＝ 12

（ 4 , 0 ）

（ 0 , － 3 ）

x y (2)

0 4

－ 30

2

解

搭配頁數 P.93

(3) y ＝－ 4 (4) 2x － 5 ＝ 0

y ＝－ 4

（ 0 , － 4 ）

(3) y ＝－ 4

在 y 軸上坐標－ 4 畫一直線與 y 軸垂位置 直

畫一直線與 x 軸垂 直

(4)

2

解

搭配頁數 P.93

直線 x ＝ 0 （ y 軸）上的 點，共同點就是 x 坐標為 0

3

解

搭配頁數 P.94

在坐標平面上畫出通過 ( － 4 , 3) 且平行 y 軸的直線，並求出代表此直線的方程式

。

方程式為 x ＝－ 4 這條直線平行 y 軸

又通過 ( － 4 , 3) 位置 , 必通過 x 軸上

坐標是－ 4 的位置

－ 4

x ＝－ 4

（－ 4 , 3 ）

4

解

搭配頁數 P.94

二元一次方程式 y ＝ 4x － 8 的圖形與 x 軸交於 P 點，與 y 軸交於 Q 點，求 P

、 Q 兩點的坐標。

分別代入 y ＝ 4x － 8

假設 P （ a , 0 ）、 Q （ 0 , b ），

解得 a ＝ 2 ， b ＝－

8

： P(2 , 0) 、 Q(0 , － 8)

。

5

解

搭配頁數 P.94

已知方程式 ax ＋ by ＝ 2 的圖形為通 過 P( 1 , 1 ) 、 Q( 4 , － 2 ) 兩點的直線

，求：

(1) a 、 b 之值。

(2) 此直線所代表的方程式。

(1) 將（ 1 , 1 ）、（ 4 , － 2 ）

分別代入 ax ＋ by ＝ 2

解得 a ＝ 1 ， b (2) 直線方程式為 x＝ 1＋ y ＝ 2

(1) a ＝ 1 ， b

＝ 1

(2) x ＋ y ＝ 2

：

6

解

搭配頁數 P.95

已知方程式 ax ＋ y ＝ 3 和 x ＋ by ＝ 4 的圖形皆為通過點（ 2 , － 1 ）的直線，

求出 a 、 b 之值。

將點（ 2 , － 1 ）分別代 入

ax ＋ y ＝ 3 和 x ＋ by ＝ 4

：

7

解

搭配頁數 P.95

在坐標平面上畫出下列各二元一次聯立 方程式的圖形，並判別其解為「只有一 組解」、「無解」或「無限多組解」：

□ 只有一組解

□ 無解　

□ 無限多組解 x

y 0

3 3

0 x

y 0

－ 60 6

x － y ＝ 6

（ 6 , 0 ）

（ 0 , － 6 ）



8

解

搭配頁數 P.95

（ 3 , 0 ）

（ 0 , 3 ）

□ 只有一組解

□ 無解　

□ 無限多組解 x

y 0

3

－ 2 0 x

y 0

－ 2 3

0

2x － 3y ＝ 6



8

解

在坐標平面上畫出下列各二元一次聯立 方程式的圖形，並判別其解為「只有一 組解」、「無解」或「無限多組解」：

搭配頁數 P.96

（ 0 , － 5 ）

□ 只有一組解

□ 無解　

□ 無限多組解 x

y 1

2

－ 2 1 x

y － 21

－ 50

6x － 2y ＝ 10

（ 2 , 1 ）

（ 1 , － 2 ）



（ 1 , － 2 ）

8

解

在坐標平面上畫出下列各二元一次聯立 方程式的圖形，並判別其解為「只有一 組解」、「無解」或「無限多組解」：

搭配頁數 P.96

1. 右圖是在坐標平面上 的小富翁遊戲，玩家 由 A 點出發， 依順時

針方向（ A→B→C →⋯ L

→A ）以投擲一顆

骰子的點數（ 1∼ 6 點）

，作為移動的步數，

如在 A 點時投出 2 點，

會由 A 點移動至 C 點，

移動後依下面規則加 減分數。

搭配頁數 P.97

 停在 x 坐標為 0 的位置加 100 分，

停在 y 坐標為 0 的位置減 100 分。

 停在第一象限內加 100 分，停在第三 象限內減 100 分。

 移動前後的 x 坐標不變加 100 分， y 坐標不變減 100 分。

搭配頁數 P.97

某次遊戲中，當小明停在 H 點時的積分為

300 分，小芳停在 B 點時的積分為 200 分。

請回答下列問題：

(1) 若小明接著投出 1 點，則小明的積分 變為多少分？

小明投出 1 點，由 H→I

得 300 ＋ 100 ( 規 則 3)＝ 400

400 分

：

解

搭配頁數 P.97

規則 3 ：移動前後的 x 坐標不變加 100 分，

y 坐標不變減 100 分。

(2) 若小芳投擲後，積分不變，則小芳投出 幾點？

投 1 點 , 由 B→C ： 200 ＋ 100( 規則 3) ＝ 300

( 小芳停在 B 點，積分為 200 分 )

投 2 點 , 由 B→D ： 200 ＋ 100( 規則 1)

＝ 300

投 3 點 , 由 B→E ： 200 ＋ 100( 規則 2)

＝ 300

投 4 點 , 由 B→F ： 200 ＋ 100( 規則 2) ＝ 投 5 300 點 , 由 B→G ：

200 ＋ 100( 規則 2) 投 6 點 , 由 B→H ： 200 － 100( 規則 1) ＝ 100

規則 1 ：停在 x 坐標為 0 的位置加 100 分，停在 y 坐標為 0 的位 置減 100 分。

－ 100( 規則 3) ＝ 200

解

搭配頁數 P.97

5 點

：

搭配頁數 P.98

2. 霆瑋正在玩一款新上市的雷射小遊戲，遊 戲方式如下，

● 若輸入 a 、 b 兩 數，會發出路 徑為 y ＝ ax ＋ b

的綠色雷射光。

● 若輸入 c 、 d 兩 數，會發出路 徑為 y ＝ cx ＋ d

的藍色雷射光。

試回答下列問題：

(1) 若在 P( － 1 , 3) 有顆氣球，則霆瑋在 a 、 b

分別輸入多少時，才可由 A( － 2 , 0) 發出

雷射光射破氣球？

解 將 A( － 2 , 0) 、 P( － 1 , 3) 分別代入 y ＝ ax ＋ b

b ＝ 6

a 輸入 3 ， b 輸入 6

：

搭配頁數 P.98

(2) 若霆瑋在 a 、 b 、 c 、 d 分別輸入 1 、 2

、

－ 3 、 6 時，兩雷射光皆可以射破 Q 點的

隕石，則 Q 點坐標為多少？

解 將 a 、 b 、 c 、 d 分別輸入 1 、 2 、－ 3

、 6 時，

0 ＝ 4x － 4

，

x ＝ 1

Q ( 1 , 3 )

：

搭配頁數 P.98

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二元一次方程式的圖形

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