1-2 數線上的幾何

(1)

1-2 數線上的幾何

（每題 5 分﹐共 30 分）

1. 設 x 是實數﹐試分別求出 x 的範圍並標示在數線上﹒

(1) | |x  ﹒ (2)| | 33 x  ﹒ (3)| | 3x  ﹒ 解：(1)x 3或x3﹒

(2)  3 x 3﹒

(3)x 3或x3﹒

(1)|x  ﹒ (2)|2 | 5 x  ﹒ (3)|2 | 5 x  ﹒ 2 | 5 解：(1)x  2 5或x 2 5﹐得x 3或x7﹒

(2)   5 x 2 5﹐得  3 x 7﹒

(3)x  2 5或x 2 5﹐得x 3或x7﹒

(1)| 2x  ﹒ (2)| 23 | 5 x  ﹒ (3)| 23 | 5 x  ﹒ 3 | 5 解：(1)2x  3 5或2x 3 5﹐得x 1或x4﹒

(2) 5 2x    3 5 2 2x7﹐得  1 x 4﹒

(3)2x  3 5或2x  3 5 2x8,或2x 2﹐得x 1或x4﹒

(2)

4. 在數線上﹐設 A(3)﹐ (11)B ﹐

(1)若M x 是 AB 的中點﹐試求 x 的值﹒ ( )

(2)若 ( )P x 在 AB 上且AP3PB﹐試求 x 的值﹒

解：(1)因AB中點的坐標為3 11 2 7

  ﹐ 得x7﹒

(2)AP PB: 3 :1﹐ 由分點公式得 3 11 1 3

3 1 9 x    

 ﹒

5. 在數線上﹐設 ( 2)A ﹐ (4 2)B ﹐若 ( )P x 滿足AP2BP﹐試求 x 的值﹒

解：

(1)點 P 在AB之間時﹐ AP PB: 2 :1﹐

^{由分點公式得} ^{2 4 2} ¹ ² 3 2

x  2 1  

 ﹒

(2)點 P 在AB的右側時﹐AB BP: 1:1﹐

^{由中點公式得}4 2 ²

2

x

 ﹐得x7 2﹒

6. 設 x 是實數且 y    ﹐試求 y 的最小值﹒ |x 3 | |x 5 |

解：^{由三角不等式：}^y^^|^x^{ }^{3 |} ^|^x^{ }^{5 | | (}^x^{  }³⁾ ⁽^x ^{5) | | 8 |}^ ^⁸^﹐

得 y 的最小值為 8﹒

（每題 5 分﹐共 30 分）

1. 設 x 是實數﹐且滿足1 2x 1 3﹐試求出 x 的範圍並標示在數線上﹒

解： 3 2x  1 1或1 2 x 1 3﹐ 得 x 的範圍為  1 x 0或1 x 2﹐

在數線上為：

2. 已知 x 是實數﹐且滿足  2 x 12﹒

(1)將 x 表為 |x h  時﹐試求 h﹐k 的值﹒ | k

(3)

(2)將 x 表為|ax  時﹐試求 a﹐b 的值﹒ 1| b 解：^{在數線上標示：}

(1)A( 2) ﹐B(12)的中點M(5)﹐ 得|x 5 | 7﹐知h5﹐k7﹒ (2)|x 5 | 7同乘 1

| |

5 ﹐得 1 7

| 1|

5x 5

   ﹐知 1

a 5﹐ 7 b5﹒

3. 設 a﹐b 為實數且0 a b﹒ (1)在數線上標示 3

( ) 4 P a b

﹐ ( ) 2 Q a b

﹐ 3

( ) 4 a b R 

的位置﹒

(2)試比較3 4 a b

﹐ 2 a b

﹐ 3 4 a b

的大小﹒

解：(1)AP PB: 1: 3﹐AQ QB: 1:1﹐AR RB: 3 :1﹒

(2)由數線上的位置﹐得知：3 3

4 2 4

ab ab a b﹒

4. 設 a﹐b 為有理數且0 a b﹐n 是正整數﹒

(1)請判別

1 a nb

a b

n

  

 是否恆成立？

(2)請判別 a﹐b 之間的有理數個數是否無限多個？

解：^{(1)在數線上﹐設}^{A a}^{( )}^﹐^{B b}^{( )}^﹐ ⁽ ⁾ 1 a nb P n



 ﹐則 AP PB: n:1﹐

由分點公式知

1 a nb

a b

n

  

 恆成立﹒

(2)n 是正整數且 n 有無限多個﹐

知 a﹐b 之間的有理數有無限多個﹒

5. 設 x 是實數﹐試解不等式： 2 |x   ﹒ 1| |x 2 | 解：^決定|x1|﹐|x2 |正負的 x 有1﹐2﹒

(4)

(1)x2時﹐2(x  1) x 2﹐得x 4﹐知無解﹒

(2)  1 x 2時﹐2(x  1) 2 x﹐得x0﹐知  1 x 0﹒ (3)x 1時﹐2(x  1) 2 x﹐得x 4﹐知   4 x 1﹒ 由(1)(2)(3)得  4 x 0﹒

6. 設 x 是實數且 y    ﹐試求 y 的最小值及此時 x 的範圍﹒ |x 1| |x 3 | 解：^決定|x1|﹐|x3 |正負的 x 有 1﹐3﹒

(1)x3時﹐x 1 0﹐x 3 0﹐

y(x 1) (x 3) 2x4﹐得x3時﹐y2最小﹒

(2)1 x 3時﹐x 1 0﹐x 3 0﹐ y(x  1) (3 x)2為定值﹒

(3)x1時﹐x 1 0﹐x 3 0﹐ y   (1 x) (3 x) 4 2x2﹒

由(1)(2)(3)知 y 的最小值為 2﹐此時1 x 3﹒

（每題 8 分﹐共 40 分）

1. 法國物理學家查理（Charles）發現在等壓之下，氣體的體積 V（公升）與溫 度 T（C）成正比﹐現有一莫耳的氫在一大氣壓下

V 0.08213T22.4334﹐

若氣體的體積想控制在 20 公升內，試問溫度需控制在攝氏零下多少度以下？（取整數）

解：^V ^^0.08213^T^^22.4334^²⁰^﹐ 0.08213T2.43340﹐

^2.4334 29.6 30

0.08213

T      （C）﹒

2. 某火力發電廠燒煤發電﹐會產生大量的空氣污染﹐若精算出要清除r%的空 氣污染﹐每度電需成本 C 元﹐

4 100 C r

 r

 ﹐0 r 100﹒

已知該電廠清除空氣污染的成本不大於 4 元﹐試求 r 的最大值﹒

解：^依題意： ⁴ 4

100 C r

 r 

 ﹐整理得r50﹒

(5)

3. 根據都卜勒效應﹐靜止的行人聽到警車鳴笛聲聲波的頻率是 f﹐v（公尺/秒）

表消防車接近該行人的車速 132000

f 330

 v

 ﹐

若測得頻率 f 至少為 440﹐試問車速至少每秒多少公尺？

解：¹³²⁰⁰⁰ 440 330 v 

 ﹐ 解得v30（公尺/秒）﹒

4. 有線電視公司的位置在坐標平面上的原點 O﹐現有新申 請裝機的 (1, 4)A ﹐ (3,3)B 的兩戶人家﹒已知工程人員沿 著 ymx到達A(1, )m ﹐B(3, 3 )m ﹐再往北或往南拉線到 此兩戶人家﹐使電路線 AABB為最短時﹐試求 m 值﹒

解：^{電路線長：}L|m 4 | | 3m3 |﹐

(1)m4時﹐L4m 7 9﹐L9時m4﹒

(2)1 m 4時﹐L2m1﹐在m1時﹐L 有最小值 3﹒

(3)m1時﹐L 4m 7 3﹐

知m1時﹐電路線最短﹒

5. 有兩家無線電計程車行﹐甲家是車資一律 8 折收費﹐乙家是超過 100 元的車資 7 折計費﹐即滿 100 元時﹐收費為100 0.7 | x100 |﹒若兩家的收費相同時﹐

原始的車資為多少元？

解：設原始的車資為 x 元﹐依題意

0.8x100 0.7 | x100 |﹐得x300（元）﹒

1-2 數線上的幾何