1-1 數與數線

1-1 數 與 數 線

（每題 5 分﹐共 30 分）

1. 下列的有理數﹐哪些可以化為有限小數？

(1)3

8﹒ (2) 5

12﹒ (3) 7 40﹒

解：最簡分數中分母只含因數 2 或 5 必可化成有限小數

0.375 82  ﹒

0.416 122 3

 ﹒

0.175 40 2 5

 ﹒

2. 化簡下列各式：

(1) 2 8 18 32﹒ (2) 3 12 27 48﹒ 解：(1)原式 22 23 24 210 2﹒

3. 化簡下列各式：

(1) 1 1 3 5 5 1

  ﹒ (2) 1 1 3 7 3 7

  ﹒

解：有理化分母

(1)原式 3 5 5 1 1

4 4 2

 

   ﹒

2 2 3

 

   ﹒

4. (1)若 7 7在連續整數 n 與n1之間﹐試求 n 的值﹒

(2)若 7 7 在連續整數 k 與k1之間﹐試求 k 值﹒

解：(1)由2 73﹐得9 7 7 9. ~ 10 ﹐知n9﹒

5. 已知 a﹐b﹐c﹐d 都是整數﹐

(1)若(3 2)²  a b 2﹐試求 a﹐b 的值﹒

(2)若 11 6 2  c d 2﹐試求 c﹐d 的值﹒

解：^{(1)(3 2 )232  2 3 2( 2)2  11 6 2﹐得a11﹐b6}﹒

6. 請比較 7 2﹐ 6 3﹐ 17 的大小關係﹒

解：^{因( 7 2)2  9 2 14 9 7. ~}﹐ ( 6 3)² 9 2 18 9 8. ~﹐ ( 17 )²  9 8﹐

(  2 14  567. ~﹐2 18 728. ~﹐ 由566472﹐得2 14 8 2 18﹐

知92 14   9 8 9 2 18﹐ 得 7 2 17 6 3﹒

（每題 5 分﹐共 30 分）

1. 設 a﹐b 為有理數﹐c﹐d 為無理數﹐試問何者正確？

(1)ac 必為無理數 (2)cd必為無理數 (3) a 必為無理數 (4)c cd必為無理數﹒

解：^{(1)0 2 0是有理數﹒}

2. 設 5 1

x 2 ﹐試求下列各式的值：

(1)1

x ﹒ (2)1 x²  ﹒ x 1

解：^{(1)1 1 2 1 5 1 1 5 1}

2 2

x 5 1

 

     

 ﹒

1 ( ) 1 1 0

2 2 2 2

x   x           ﹒

3. 若 11 72 的整數部分為 a﹐小數部分是 b﹐試求 1 a bb

 的值﹒

解： 11 72  (92)2 18  3 2 1 1.414.... 1. ~ ﹐

整數部分

小數部分

b 2 1

a b        

  ﹒

4. 已知 a﹐b 都是正實數時﹐

2

a b  ab恆成立﹐有兩正實數 x﹐y 滿足xy 時﹐6 試求 3x2y的最小值﹒

解：^{設a3x﹐b2y﹐}

x y

x y

   ﹐ 得3x2y12﹒

5. 已知 x 為實數且滿足x²4x  ﹐試求： 1 0 (1) 1

x 的值﹒ (2)x ² 1₂

x  x 的值﹒

解：^{(1)x24x 1 0同除以 x（x0）﹐ x 4 1 0}

  x ﹐得 1 4 x x ﹒

(x ) x 2 x x 2

x x x x

         ﹐

  x ﹐得 ² 1₂ 14 x x  ﹒

6. 將有理數6

7表成循環小數時﹐試問小數點後第 100 位的數字﹒

解：⁶ 0.857142

7  ﹐每 6 位為循環節﹐

（每題 8 分﹐共 40 分）

1. 已知油畫的尺寸號碼與其面積成正比﹐令尺寸為 10 號的 A 畫大小為 53 公分

41 公分﹐若 B 畫為 65 公分 50 公分大小﹐則 B 畫應是幾號？

解：設 B 畫為 x 號﹐則(53 41) : (65 50) 10 : x   ﹐ 65 50 10 53 41 15 x   

 （號）﹒

2. 一張 B4 的紙對摺後剪開可得兩張 B5 的紙﹐且 B5 與 B4 的紙是相似形﹐已 知 B4 的紙中長邊為 36.4 公分﹐試求 B4 紙短邊的長度（取整數﹐四捨五入）﹒ 解： ^36.4

18.2 x

 x ﹐得x²18.2 36.4 (18.2)²2﹐ x18.2 226（公分）﹒

3. 義大利畫家達文西把一線段分成兩段不相等的線段﹐使得較長的一段與較短 的一段之比等於全段與較長一段之比﹐而這種比值稱為黃金比例﹐常用φ表 示：

5 1 2 AP AB BP AP





解：^BP_^{1 AP }_{ }^{1 1 AB( )}_^{1 2AB﹐ ( )1 2 ( 2 )2 ( 5 1)2 3 5}

2 2

5 1

 

 

   

 ﹒

4. 如下圖所示：FG是一條長 4 公尺的鐵絲﹐C 是線段 FG 上的一點﹐將CG圍成一個等腰直角三角形 CDE﹐將CF圍

成另一個等腰直角三角形﹐試求梯形 ABDE 的面積﹒

解：^令BCa﹐CDb﹐

因CAABBCCDDEECFG﹐ 得 2a    a a b b 2b4﹐

(2 2)(ab)4﹐ 4 4(2 2)

4 2 2 4 2

2 2

a b 

    

  ﹐

梯形 ABDE 面積1 1 ² 1 ²

( ) ( ) (4 2 2) 12 8 2

2 ABDE BD2 ab 2    （平方公尺）﹒

5. 陳先生三年前買了一輛剛出廠的新車買價 100 萬元；該汽車的價值在第一年 後折舊 20%﹐第二年以後每年折舊前一年車價的 15%﹒陳先生現在想用這部 車換新車﹐試問舊車可抵 58 萬元﹒（萬元以下四捨五入）【98 指考乙】

解：折舊後舊車的車價為

（萬元）﹒